Ta có thể viết phương trình thành:⇔sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)⇔sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC⇔sin2A−sin2B=cosC(sinB−sinA)⇔2sin(A−B)cos(A+B)=cosC.2sinB−A2cosB+A2⇔−2cosCsin(A−B)+cosC.2cosA+B2sinA−B2=0⇔2cosC.sinA−B2(cosA+B2−cosA−B2)=0Thấy rõ: cosA+B2−cosA−B2<0 Do nếu x<y ($0<x;y<\pi ) thì cosx>cosy$. Ở đây ta có A-B<A+BSuy ra: \Rightarrow cosC=0 hoặc sin\frac{A-B}{2}=0\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2} hoặc A=BVậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C
Ta có thể viết phương trình thành:\Leftrightarrow sinA(2cosA+cosC)=sinB(2cosB+cosC)\Leftrightarrow sin2A+sinAcosC=sin2B+sinBcosC\Leftrightarrow sin2A-sin2B=cosC(sinB-sinA)\Leftrightarrow 2sin(A-B)cos(A+B)=cosC.2sin\frac{B-A}{2}cos\frac{B+A}{2}\Leftrightarrow -2cosCsin(A-B)+cosC.2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}=0\Leftrightarrow 2cosC.sin\frac{A-B}{2}(cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2})=0Thấy rõ: cos\frac{A+B}{2}-cos\frac{A-B}{2}<0 (1) Do nếu x<y mà (0<x;y<\pi) thì $cos x> cos y$. Ta lại có $\left| {\frac{A-B}{2}} \right|<\frac{A+B}{2} và cos\frac{A-B}{2}=cos\frac{B-A}{2} (2) nên nếu A-B>0$ ta dể dàng suy ra (1), nếu $A-B<0 tức B-A>0 suy ra cos\frac{B-A}{2}>\frac{A+B}{2}$ mà ta lại có (2) nên dể dàng suy ra (1)Suy ra: \Rightarrow cosC=0 hoặc sin\frac{A-B}{2}=0\Leftrightarrow C=\frac{\pi }{2} hoặc A=BVậy tam giác ABC vuông hoặc cân ở C