Gọi d là công sai của CSC này
có $\frac{1}{\sqrt{u_i}+\sqrt{u_{i+1}}}=\frac{\sqrt{u_{i+1}}-\sqrt{u_i}}{u_{i+1}-u_i}=\frac{\sqrt{u_{i+1}}-\sqrt{u_i}}{d}$
Áp dụng điều này :
$\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n}}}$ 
$=\frac{\sqrt{u_{2}}-\sqrt{u_1}}{d}+\frac{\sqrt{u_{3}}-\sqrt{u_2}}{d}+...+\frac{\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}}{d}$ 
$=\frac{\sqrt{u_n}-\sqrt{u_1}}{d}=\frac{u_n-u_1}{d(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1})}=\frac{(n-1)d}{d(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1})}=\frac{(n-1)}{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1}}$ 
Ta có ĐPCM 

Trước hết ta có : $1+a+2+2=a^3+...+a^k=\frac{a^{k+1}-1}{a-1}$
$B=(3 +\frac{1}{3} )^{2} +(3^{2} +\frac{1}{3^{2}} )^{2 }  +...+(3^{n} + \frac{1}{3^{n}} )^2=(3^2+2+\frac{1}{3^2})+(3^{2.2}+2+\frac{1}{3^{2.2}})$
$+....+(3^{2n}+2+\frac{1}{3^{2n}})=2n+(3^2+3^{2.2}+...+3^{2n})+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^{2.2}}+...+\frac{1}{3^{2n}})$
$=2n+3^2\frac{3^{2n}-1}{3^2-1}+\frac{1}{3^2}\frac{\frac{1}{3^{2n}}-1}{\frac{1}{3^2}-1}$ 

 

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Phương trình $2t^2-5t+m=0$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
suy ra $5^2-8m>0 \Leftrightarrow m<\frac{25}{8}$ và $m>0$ (1)
Với đk này, gọi 2 nghiệm của phương trình (*) là $t_1,t_2$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$
Gọi a là nghiệm dương bé nhất của phương trình ban đầu: khi ấy -a cũng là 1 nghiệm của pt đó, do 4 nghiệm này tạo thành cấp số cộng nên công sai là 2a, vậy 2 nghiệm còn lại của pt ban đầu là -3a và 3a. 
Vậy pt (*) có 2 nghiệm là $t_1=a^2$ và $t_2=9a^2$
Theo dl viet, ta suy ra $\begin{cases}t_1+t_2=5/2=10a^2 \\ t_1.t_2=m/2=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow 2m/25=9/100 \Leftrightarrow m=9/8 $ (thỏa mãn đk (1))
Thay $m=9/8$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là: $-3/2,-1/2.1/2.3/2$

Gọi $u_1$ và $d$ là số bé nhất trong 4 số và công sai của CSC này
khi đó theo giả thuyết
$\begin{cases}u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)+(u_1+3d)=4u_1+6d=10  (1) \\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2+(u_1+3d)^2=70  (2) \end{cases}$ 

Từ (1) $\Rightarrow u_1=(10-6d)/4$ Thay vào (2) ta được:
 $((10-6d)/4)^2+((10-6d)/4+d)^2+((10-6d)/4+2d)^2+((10-6d)/4+3d)^2=70$
$\Leftrightarrow 5(d-3)(d+3)=0$
Có 2 nghiệm là: 3 và -3
Suy ra $u_1=(10-6.3)/4=-2$ hoặc $u_1=(10+6.3)/4=7$

Để phương tình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương  trình $t^2-2(m+2)+2m+3$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$ (Các nghiệm của phương tình ban đầu sẽ là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$)
điều này có nghĩa là
$(m+2)^2-2m-3>0 \Leftrightarrow m^2+2m+1=(m+1)^2>0 \Leftrightarrow m\neq -1 $ (1)
và $m+2>0 \Leftrightarrow m>-2$ (2)

Gọi $a$ là nghiệm dương bé nhất của phương tình ban đầu, khi đó $-a$  cũng là nghiệm của pt đó, vậy 4 nghiệm tạo thành CSC có công sai là $a-(-a)=2a$ vậy 4 nghiệm của pt ban đầu là $-3a,-a,a,3a$
Vậy  phương tình (*) có 2  nghiệm là $a^2$ và $9a^2$
Vậy suy ra $\begin{cases}2(m+2)=10a^2 \\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4(m+2)^2=100a^4\\ 2m+3=9a^4 \end{cases} \Rightarrow\frac{2m+3}{4m^2+16m+16}=\frac{9}{100}$
$\Rightarrow\begin{cases}m=3 \\ m=-13/9 \end{cases}$ 
 2 nghiệm  này đều thỏa mãn (1) và (2) vậy  $m=3$ hoặc $m=-13/9$ 

Đặt $A'B=x,A'C=y$
Khi ấy ta có $x+y=a, b^2-x^2=AA'^2=c^2-y^2$ => $x^2-y^2=b^2-c^2$ => $x-y=(b^2-c^2)/a$
Từ đây =>
$x=(a^2+b^2-c^2)/2a, y=(c^2+a^2-b^2)/2a$  (1)
Ta suy ra
$AA'=\sqrt{b^2-x^2}=\sqrt{\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{4a^2}}$ (2)
Ta lại có $\widehat{HBC}=\widehat{A'AC}$
suy ra $\Delta HBA' \approx \Delta CAA'$ =>$HA'/CA'=BA'/AA'$ 
Hay $HA'=xy/AA'$ còn $HA=AA'-HA'$( Với $x,y$ và $AA'$ xác định như (1) và (2))  

xét hàm $f(x)=x+x^2+x^3+...+x^{2010}=x(1+x+x^2+...+x^{2009})=x.\frac{x^{2010}-1}{x-1}$
Ta có $f'(x)=1+2x+3x^2+....+2010.x^{2009}$
Nhưng ta cũng có $f'(x)={\frac {2011\,{x}^{2010}-1}{x-1}}-{\frac {x\cdot ({x}^{2010}-1)}{
 \left( x-1 \right) ^{2}}}$
Vậy $D=f'(3)=\frac{2011.3^{2010}-1}{2}-\frac{3.(3^{2010}-1)}{4}$

Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=c
Ta có các công thức quen thuộc
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$
Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$
Tương tự thì
$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$
$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$
 Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$
$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$
$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{(a+b+c)4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)

Gọi O là tâm hình vuông
Kẻ AE,DF,CG,BH vuông góc với d
Ta chứng minh được $\Delta AOE=\Delta COG$ nên AE=CG
tương tự thì DF=BH
Vậy thay vì chứng minh $AE^2+DF^2+CG^2+BH^2$ không đổi,
ta chứng minh $AE^2+DF^2$ không đổi (1)
ta lại có $\widehat{EAO}=\widehat{DOF}$ (cùng phụ $\widehat{AOE}$)
Mà $AO=OD$ => $\Delta OAE=\Delta DOF$ => $AE=OF$
=> $AE^2+DF^2=OF^2+DF^2=OD^2$ (Cố định) (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM

Ta có:
$3T= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]$
$=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)]$
$=n(n+1)(n+2)$
=> $T=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Đây là câu 5, thi HSG quốc gia năm 2012
Lời giải của nó thế này:

đánh số thứ tự các ghế từ trái sang phải là 1, 2, …,17.
Gọi g₁, g₂, g₃, g₄, g₅ là vị trí chỗ ngồi của các cô gái G₁, G₂, G₃, G₄, G₅ tương ứng.

Khi đó ta có 1 ≤ g₁ < g₂ < g₃ < g₄ < g₅ ≤ 17. Ngoài ra ta còn có 3 < g₂ – g₁ và 1 < g₅ – g₄ < 6.

 

Đặt A = {(g₁, g₂, g₃, g₄, g₅)| 1 ≤ g₁ < g₂ < g₃ < g₄ < g₅ ≤ 17, 3 < g₂ – g₁, 1 < g₅ – g₄ < 6} thì ta cần tìm |A|. 

 

Đặt  B = {(g₁, g₂, g₃, g₄, g₅)| 1 ≤ g₁ < g₂ < g₃ < g₄ < g₅ ≤ 17, 3 < g₂ – g₁, 1 < g₅ – g₄ }

        C = {(g₁, g₂, g₃, g₄, g₅)| 1 ≤ g₁ < g₂ < g₃ < g₄ < g₅ ≤ 17, 3 < g₂ – g₁, 6 ≤ g₅ – g₄ }  

thì rõ ràng ta có A = B \ C (với C Ì B), suy ra |A| = |B| - |C|.

 

Để tính |B|, ta đặt D = {(h₁, h₂, h₃, h₄, h₅}| 1 ≤ h₁ < h₂ < h₃ < h₄ < h₅ ≤ 13} và xét ánh xạ f: B à D, f(g₁, g₂, g₃, g₄, g₅) à (g₁, g₂-3, g₃-3,g₄-3,g₅-4) thì dễ dàng kiểm chứng được f là một song ánh.

 

Nhưng |D| bằng số cách chọn 5 phần tử ra từ 13 phần tử nên ta có $|D| = C^{5}_{13}$. Vậy  $|B| = |D| = C^{5}_{13}$.

           

Một cách hoàn toàn tương tự, ta tính được $| C | = C^{5}_{9}$. Vậy số cách xếp chỗ cho 15 cô gái bằng $C^{5}_{13}-C^{5}_{9}$  .

 

Vì còn có 12 chàng trai có thể hoán đổi vị trí ở 12 chiếc ghế dành cho họ nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là  12! 1161.

Hi em, em xem lời giải ở đây nhé :D

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115142/giai-giup-em-nhe/15316#15316