ÐK: $x\neq 0$. Phương trình có thể viết: $1-\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{2}{x}+...+\dfrac{1}{x}               (1)$

$(1)$ được xem là tổng của một cấp số cộng có $u_1=1-\dfrac{1}{x}; d=-\dfrac{1}{x}$

Ta xem $\dfrac{1}{x}=u_n$ hay $\dfrac{1}{x}=1-\dfrac{n}{x}$, suy ra $n=x-1$

Áp dụng $S_0=(u_1+u_n)\dfrac{n}{2}$ vào $(1)$, ta được $(1-\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{n}{x})\dfrac{x-1}{2}=3$

Suy ra $x=7$.

ĐS: Nghiệm của phương trình là $x=7$.

Ta chứng minh mệnh đề trên bằng quy nạp:
Khi $n=1$, mệnh đề hiển nhiên đúng
Khi $n=k+1$, ta có:
$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2k+1}}. \frac{2k+1}{2(k+1)}=\frac{1}{\sqrt {2k+3}}.\frac{\sqrt{2k+3}}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2(k+1)}$
                                                                 $=\frac{1}{\sqrt{2k+3}}.\sqrt{\frac{(2k+3)(2k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)^2} }$
                                                                 $=\frac{1}{2k+3}.\sqrt{\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4} }$
Vì     $\frac{4k^2+8k+3}{4k^2+8k+4}<1$    nên từ đó suy ra:   $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2k+1}{2(k+1)}<\frac{1}{\sqrt{2(k+1)+1}}$
Tức là $(1)$ đúng khi $n=k+1$
Vậy mệnh đề trên đúng với mọi  $n$.

Vì $\alpha, \beta, \gamma$   là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng  $d= \dfrac{\pi}{3}$  nên
              $\alpha=\beta-\dfrac{\pi}{3} ,     \gamma= \beta+\dfrac{\pi}{3}$

Vế trái (VT) của $(1)$ là:
          $tan(\beta -\dfrac{\pi}{3} )tan \beta + tan \beta. tan \left ( \beta+\dfrac{\pi}{3}  \right )+ tan \left ( \beta - \dfrac{\pi}{3}  \right ). tan \left ( \beta + \dfrac{\pi}{3}  \right )$

hay   $\dfrac{tan \beta- \sqrt[]{3} }{1+\sqrt[]{3}tan \beta }.tan \beta + tan \beta. \dfrac{tan\beta+\sqrt[]{3} }{1-\sqrt[]{3}tan\beta } +\dfrac{tan\beta - \sqrt[]{3} }{1+\sqrt[]{3}tan \beta }.\dfrac{tan\beta + \sqrt[]{3} }{1-\sqrt[]{3}tan\beta }$

              $= \dfrac{(tan^2\beta-\sqrt[]{3}tan\beta )(1-\sqrt[]{3}tan\beta )+(tan^2\beta+\sqrt[]{3}tan\beta )(1+\sqrt[]{3}tan\beta )+tan^2\beta-3}{1-3tan^2\beta}$

$=\dfrac{9tan^2\beta-3}{1-3tan^2\beta}= -3 \dfrac{\left ( 1-3tan^2 \beta \right ) }{1-3tan^2\beta}= -3$

Vậy $(1)$ được chứng minh.

a) Cho $n$ điểm (không có $3$ điểm nào thẳng hàng), ta cứ nối hai điểm với nhau thì được số cạnh và số đường chéo. Do đó số đường chéo là:
$$C^{2}_{n}-n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n=\frac{(n-1)n}{2}-n=\frac{(n-3)n}{2}$$
b) Cứ nối $3$ đỉnh ta được một tam giác nên số tam giác có được từ $n$ điểm là:
$$C^{3}_{n}=\frac{n!}{3!(n-3)}=\frac{(n-2)(n-1)n}{6}$$
c) Số đường chéo đi qua đỉnh A là $n-3$

d) Tam giác có $1$ đỉnh là A, $2$ đỉnh còn lại là đỉnh của $n$- giác bằng cách nối hai trong $n-1$ điểm còn còn lại để được một cạnh đối diện với đỉnh A.

Do đó số tam giác có một đỉnh là A bằng:

a) Giả sử số cần tìm có dạng $\overline{abcba}$. Như vậy, ta chỉ cần tìm số $\overline{abc}$ là đủ vì sau khi đã tìm được số $\overline{abc}$ rồi, ta chỉ cần ghép chúng vào mỗi số.

Bài toán quy về tìm số có ba chữ số được lập bởi $10$ số từ $0$ đến $9$.

Nên có tất cả là $648$ số.

b) Số cần tìm là $\overline{abcdef}$, trong đó $f$  phải là $0$ hoặc $5$.

- Nếu $f=0$ thì có $9$ cách chọn $a$ và $A^4_8$ cách chọn $b,c,d,e$. Do đó có:    $9.A^4_8=15120$ (số).

- Nếu $f=5$ thì có $8$ cách chọn $a\neq 0$ và $A^4_8$ cách chọn $b,c,d,e$. Do đó có:   $8.A^4_8=13440$ (số)

Vậy có tất cả: $9.A^4_8+8.A^4_8=15120+13440=28560$ số thỏa mãn đề bài.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Phương trình có hai nghiệm trái dấu nếu  $\begin{cases}\Delta >0 \\ P<0 \end{cases}$
a)   $\begin{cases}m^2+11m+14>0\\ P=\frac{-3m+2}{1} <0\end{cases}   \Leftrightarrow  m>\frac{2}{3}$.

b)$\begin{cases}9m^2-118m+429>0\\ P=\frac{2m-3}{-1} <0\end{cases}   \Leftrightarrow   m>\frac{3}{2}$.

c) $\begin{cases}m \ne 2 \\m^2-5m+4<0\\ P=\frac{3m-4}{m-2} <0\end{cases}   \Leftrightarrow  \frac{3}{4}<m<2$ 

a) Ta có : $\Delta' = 5m-4,   S=\frac{2m}{m-1},    P=\frac{m-4}{m-1}$.
Kết quả: 
$m<\frac{4}{5}$: Phương trình vô nghiệm.
$m=\frac{4}{5}$: Phương trình có nghiệm kép  $x_1=x_2=-4$
$\frac{4}{5}<m<1$: phương trình có hai nghiệm âm (ứng với điều kiện $S<0, P>0$).
$m=1$:  Phương trình có nghiệm duy nhất  $x=-\frac{3}{2}$.
$1<m<4$:  Phương trình có nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (ứng với điều kiện $S>0, P<0$).
$m=4$: Phương trình có hai nghiệm  $x_1=0; x_2=\frac{8}{3}$.
$m>4$: Phương trình có hai nghiệm dương (ứng với điều kiện $S>0, P>0$).

b) Với  $m \neq 1$,  ta có  $S=\frac{2m}{m-1}   \Rightarrow   S=2+\frac{2}{m-1}$
                                        $P=\frac{m-4}{m-1}   \Rightarrow    P=1-\frac{3}{m-1}$
cho ta:  $3S+2P-8=0$.
Hệ thức cần tìm là:  $3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8=0.$
c) Điều kiện:  $\begin{cases}\Delta'<0 \\ a< 0\end{cases}  \Leftrightarrow    \begin{cases}5m-4<0 \\ m-1<0 \end{cases}    \Leftrightarrow    m<\frac{4}{5}$.

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì
$\begin{cases}m-2 \ne 0 \\ \Delta>0  \\ P>0 \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 2 \\ 3m^2+10m-33 <0 \\ (m-2)(m+3)<0\end{cases}\Leftrightarrow    -3<m<2.$
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là:
$\begin{cases}\Delta>0  \\ P>0 \\ S>0 \end{cases}        \Leftrightarrow           \begin{cases}-2m^2-11m-5>0 \\ m \neq -1\\\frac{3(m+1)}{m+1}>0 \\ \frac{2(m-1)}{m+1} >0   \end{cases}$
$\Leftrightarrow   \begin{cases}-5<m<-\frac{1}{2} \\ P=3>0 \\ \left[ {\begin{matrix} m<-1 \\  m>1 \end{matrix}} \right. \end{cases}    \Leftrightarrow    -5<m<-1$
Để phương trình  có hai nghiệm âm thì:
$\begin{cases} \Delta >0 \\ P>0 \\ S<0\end{cases}        \Leftrightarrow           \begin{cases}-2m^2-11m-5>0 \\ P>0 \\ \frac{2(m-1)}{m+1}<0  \end{cases}$
Từ các kết quả trên ta được:  $-1<m<-\frac{1}{2}$

a) Để  $-1$  nằm giữa hai nghiệm , theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai, ta phải có  $\begin{cases}\Delta'>0 \\ af(-1)<0 \end{cases}$
Ta có: $\Delta'=m+3>0 \Leftrightarrow m>-3$.
  $f(x)=(m−1)x^2−2(m+1)x+m+2$
  $f(-1)=(m-1)(-1)^2-2(m+1)(-1)+m+2   \Rightarrow   f(-1)=4m+3$
  $a.f(-1)<0    \Leftrightarrow    (m-1)(4m+3)<0     \Leftrightarrow   -\frac{3}{4}<m<1$.

b) Điều kiện để  $-1<x_1<x_2$  là:
$\begin{cases}\Delta'>0 \\ af(-1)>0 \\\frac{S}{2}-(-1)>0  \end{cases}    \Leftrightarrow       \begin{cases}m+3>0 \\ (m-1)(4m+3)>0\\ \frac{3m+1}{m-1}>0  \end{cases}      \Leftrightarrow       \begin{cases}m>-3 \\ \left[ {\begin{matrix} m<-\frac{3}{4}  \\ m>1\end{matrix}} \right.\\\left[ {\begin{matrix} m<-\frac{1}{3} \\  m>1 \end{matrix}} \right.   \end{cases}$
Kết quả:  $-3<m<-\frac{3}{4}$  hoặc  $m>1$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giải hệ:  $\begin{cases}\Delta>0 \\ af(0)>0 \\\frac{S}{2}>0\\af(1)>0\\\frac{S}{2}-1<0  \end{cases}              \Leftrightarrow                       \begin{cases}5m^2-2m-3>0 \\ -(m-3)(m+1)>0\\\frac{-(m+3)}{m-3}>0\\(m-3)(m-1)>0\\\frac{-(m-3)}{m-3}-1<0   \end{cases}$
Kết quả:  $-1<m<\frac{3}{5}$

Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đã nêu, tức là:
$-2<x_1<1<x_2$,  ta phải có:  $\begin{cases}\Delta'=6m+1>0\\af(1)<0 \\ f(-2).f(1)<0 \end{cases}$
Mặt khác, $f(1)=4m-2;   f(-2)=m-8$
Ta giải hệ: $\begin{cases}m>-\frac{1}{6}\\m(4m-2)<0 \\ (4m-2)(m-8)<0 \end{cases}   \Leftrightarrow    \begin{cases}0<m<\frac{1}{2}  \\ \frac{1}{2}<m<8  \end{cases}    \Rightarrow$   không có giá trị nào của  $m$  để điều kiện đã cho được thỏa mãn.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết