|
|
sửa đổi
|
Bài toán tìm điều kiện thỏa phương trình lượng giác.
|
|
|
|
a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.
a)Ta có: $\sin^4x+\cos^4x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 1-2\sin^2x\cos^2x+m\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 2-\sin^22x+m\sin2x=1$$\Leftrightarrow \sin^22x-m\sin2x-1=0$Đặt: $\sin 2x=t,t\in[-1,1]$, suy ra: $t^2-mt-1=0$Cách 1:Ta thấy $t=0$ không là nghiệm của phương trình$\Rightarrow m=\frac{t^2-1}{t}$Xét: $f(t)=\frac{t^2-1}{t}=1-\frac{1}{t}$Ta có: $f'(t)=\frac{1}{t^2}>0$Suy ra $f(t)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-1,0)$ và $(0,1)$.Lập bảng biến thiên ta được: $m\in\mathbb{R}$Vậy $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.Cách 2: (không dùng đạo hàm)Ta có: $\Delta=m^2+4>0\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm $t_1, t_2$.Mà: $t_1t_2=1\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} |t_1|\le1\\|t_2|\le1 \end{array} \right.$, thỏa mãn.Suy ra: $\forall m\in\mathbb{R}$, phương trình đều có nghiệm.
|
|
|
|
sửa đổi
|
Một số phương trình lượng giác khó và hay.
|
|
|
|
Bài toán 2: $ \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$ \Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$
\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) =
\pi x^2 + k2 \pi \\ \pi x^2 + 2x = \pi - \pi x^2 + k2\pi
\end{matrix}} \right. $$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k
\in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}}
\right. $$\left( {\text{*}} \right)$Do $\begin{cases}\left(
{\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z}
\\\end{cases} $ suy ra $\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$
Bài toán 2: $ \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$ \Leftrightarrow \sin \left[ {\pi \left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \sin \left( {\pi {x^2}} \right)$$
\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \pi \left( x^2 + 2x \right) =
\pi x^2 + k2 \pi \\ \pi (x^2 + 2x) = \pi - \pi x^2 + k2\pi
\end{matrix}} \right. $$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x = k
\in \mathbb{Z} \\ 2x^2 + 2x - \left( 2k + 1 \right) = 0 \end{matrix}}
\right. $$\left( {\text{*}} \right)$Do $\begin{cases}\left(
{\text{*}} \right) \\x{\text{ > }}0 \\k \in \mathbb{Z}
\\\end{cases} $ suy ra $\min x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Một số phương trình lượng giác khó và hay.
|
|
|
|
Một số phương trình lượng giác khó và hay. $\fbox{Bài toán 1.}$ Giải phương trình: $a)\,\sin^3x+\cos^3x=2-\sin^4x\\b)\,\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}=3\\c)\,\sin x+\tan\dfrac{x}{2}=2$$\fbox{Bài toán 2.}$ Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình:$$\cos\pi\left(x^2+2x-\dfrac{1}{2}\right)=\sin\pi x^2$$
Một số phương trình lượng giác khó và hay. $\fbox{Bài toán 1.}$ Giải phương trình: $a)\,\sin^3x+\cos^3x=2-\sin^4x\\b)\,\sin x+\sqrt{2-\sin^2x}+\sin x\sqrt{2-\sin^2x}=3\\c)\,\sin x+\tan\dfrac{x}{2}=2$$\fbox{Bài toán 2.}$ Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:$$\cos\pi\left(x^2+2x-\dfrac{1}{2}\right)=\sin\pi x^2$$
|
|
|
|
sửa đổi
|
bài toán về dãy
|
|
|
|
bài toán về dãy cho dãy F(n) là dãy fibonacci.n,k là các số tự nhiên tùy ýCMR: phân số $\frac{k. u_{n+2}+ u_{n}}{k. u_{n+3}+ u_{n+1}} $ tối giản
bài toán về dãy cho dãy F(n) là dãy fibonacci.n,k là các số tự nhiên tùy ýCMR: phân số $\frac{k. F_{n+2}+ F_{n}}{k. F_{n+3}+ F_{n+1}} $ tối giản
|
|
|
|
sửa đổi
|
giải pt
|
|
|
|
giải pt Giải pt: $cotx-1=\frac{cos2x}{1+tanx}+sin^{2}x-\frac{1}{2}sin2x$
giải pt Giải pt: $ \cot x-1=\frac{ \cos2x}{1+ \tan x}+ \sin^{2}x-\frac{1}{2} \sin2x$
|
|
|
|
sửa đổi
|
nghiệm nguyên
|
|
|
|
Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:$\cos \left[ {\frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right) = k2\pi $ ($k \in \mathbb{Z}$)$\Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 80x -40} = 3x - 20k$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9{x^2} + 80x -40 = \left( {3x - 20k} \right)^2\end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x- 20k \ge 0 \\ x = \frac{{10{k^2} +1}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9x = 30k - 20 + \frac{{49}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$ $\left( 1\right)$$ \Rightarrow \frac{{49}}{{3k + 2}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{-17,-3; - 1}}} \right\}$ $\left(2 \right)$Từ $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được: $\left[ \begin{array} \left\{ \begin{array} k = -1 \\ x = - 11 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} k = - 17 \\ x = - 59 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} k = - 3 \\ x = - 13 \\ \end{array}\right.\end{array} \right.$Vậy: $x\in\{-11,-13,-59\}$
Giả sử $x$ là nghiệm nguyên của PT, khi đó ta có:$\cos \left[ {\frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right)} \right] = 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{10}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 80x -40} } \right) = k2\pi $ ($k \in \mathbb{Z}$)$\Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + 80x -40} = 3x - 20k$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9{x^2} + 80x -40 = \left( {3x - 20k} \right)^2\end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x- 20k \ge 0 \\ x = \frac{{10{k^2} +1}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} 3x - 20k \ge 0 \\ 9x = 30k - 20 + \frac{{49}}{{3k + 2}} \\ \end{array} \right.$ $\left( 1\right)$$ \Rightarrow \frac{{49}}{{3k + 2}} \in \mathbb{Z}$, suy ra :$k \in \left\{ {{\text{-17,-3; - 1}}} \right\}$ $\left(2 \right)$Từ $\left( 2 \right)$ , bằng cách thử trực tiếp vào$\left( 1 \right)$ ta được: $\left[ \begin{array} \left\{ \begin{array} k = -1 \\ x = - 11 \\ \end{array} \right. &\textrm{(loại)} \\ \left\{ \begin{array} k = - 17 \\ x = - 59 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} k = - 3 \\ x = - 13 \\ \end{array}\right.\end{array} \right.$Vậy: $x\in\{-13,-59\}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
một bài toán
|
|
|
|
Có: $C_10^5=252$ cách chọn $5$ chữ số khác nhau từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $252$ số thỏa mãn.
Có: $C_{10}^5=252$ cách chọn $5$ chữ số khác nhau từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $252$ số thỏa mãn.
|
|
|
|
sửa đổi
|
một bài toán
|
|
|
|
Có: $C_9^5=126$ cách chọn $5$ chữ số khác nhau từ tập $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều tăng dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $126$ số thỏa mãn.
Có: $C_10^5=252$ cách chọn $5$ chữ số khác nhau từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$Với mỗi cách chọn ta sắp xếp các chữ số theo chiều giảm dần và nhận được 1 số có 5 chữ số thỏa mãn đề bài.Vậy có $252$ số thỏa mãn.
|
|
|
|
sửa đổi
|
Chứng minh giúp em ạ
|
|
|
|
Chứng minh giúp em ạ Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ thỏa mãn: $a_1+a_2+\cdots+a_n=1.$Đặt $H_k=\frac{k}{1 /a_1+1 /a_2+\cdots+1 /a_k}$ với $k=1,2,\cdots, n$.Chứng minh rằng: $H_1+H_2+\cdots+H_n<2.$
Chứng minh giúp em ạ Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ thỏa mãn: $a_1+a_2+\cdots+a_n=1.$Đặt $H_k=\frac{k}{ \displaystyle\frac{1 }{a_1 }+ \frac{1 }{a_2 }+\cdots+ \frac{1 }{a_k }}$ với $k=1,2,\cdots, n$.Chứng minh rằng: $H_1+H_2+\cdots+H_n<2.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Cho em hỏi
|
|
|
|
b)Ta có:$MA^2+2MB^2-3MC^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$
$=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$
b)Ta có:$MA^2+2MB^2-3MC^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})^2+2(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})^2-3(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})^2$
$=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC})$
$=2\overrightarrow{MO}.(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Xác suất 3.
|
|
|
|
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng.Số phương án lấy ra 5 quả cầu là: $C_{18}^5=8568$Số phương án lấy ra 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng là: $C_8^3.C_{10}^2=2520$Suy ra: $P(B)=\frac{2520}{8568}=\frac{5}{17}$
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng.Số phương án lấy ra 5 quả cầu là: $C_{18}^5=8568$Số phương án lấy ra 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng là: $C_8^3.C_{10}^2=2520$Suy ra: $P(A)=\frac{2520}{8568}=\frac{5}{17}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Xác suất 1.
|
|
|
|
a)Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu xanh.Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_5^2=10$Suy ra: $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$
a)Gọi A là biến cố lấy được 2 bi màu xanh.Số phương án lấy ra 2 bi là: $C_8^2=28$Số phương án lấy ra 2 bi xanh là: $C_5^2=10$Suy ra: $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Toán 10 Giai và biện luận phương trình
|
|
|
|
Toán 10 Giai và biện luận phương trình Giai và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a và b $\begin {case} ax + y = 3 \\ x + ay = 3a \end {case}$ $\begin {case} ax - y = b \\ bx + y = a \end {case}$
Toán 10 Giai và biện luận phương trình Giai và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a và b $\begin{case s} ax + y = 3 \\ x + ay = 3a \end{case s}$ $\begin{case s} ax - y = b \\ bx + y = a \end{case s}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Phương trình lượng giác.(II)
|
|
|
|
a)Phương trình tương đương với: $2\cos^2x+2\sqrt3\sin x\cos x=\cos x-\sqrt3\sin x$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x$$\Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{k2\pi}{3} \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$
a)Phương trình tương đương với: $2\cos^2x-1+2\sqrt3\sin x\cos x=\cos x-\sqrt3\sin x$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin2x=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x$$\Leftrightarrow \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x+\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{3}=-x-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{k2\pi}{3} \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}$
|
|