|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{3\cos x+1}=t \Rightarrow 3\cos x+1=t^2 \Rightarrow -3\sin x=2tdt$ Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=2$ $x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$ Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin2x+\sin x}{\sqrt{3\cos x+1}}dx$ $=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x(2\cos x+1)}{\sqrt{3\cos x+1}}dx$ $=\dfrac{-2}{3}\int\limits_2^1\dfrac{\dfrac{2(t^2-1)}{3}+1}{t}tdt$ $=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2\left(\dfrac{2t^2}{3}+\dfrac{1}{3}\right)dt$ $=\left(\dfrac{4t^3}{27}+\dfrac{2t}{9}\right)\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\dfrac{34}{27}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{x^2+4}=t \Rightarrow x^2+4=t^2 \Rightarrow xdx=tdt$ Đổi cận: $x=\sqrt5 \Rightarrow t=3$ $x=2\sqrt3 \Rightarrow t=4$ Ta có: $\int\limits_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}$ $=\int\limits_3^4\dfrac{tdt}{(t^2-4)t}$ $=\int\limits_3^4\dfrac{dt}{t^2-4}$ $=\dfrac{1}{4}\int\limits_3^4\left(\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t+2}\right)dt$ $=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{t-2}{t+2}\right|\left|\begin{array}{l}4\\3\end{array}\right.=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{5}{3}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Ta có: $\int\limits_0^{\sqrt3}\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$ $=x\ln(x+\sqrt{1+x^2})\left|\begin{array}{l}\sqrt3\\0\end{array}\right.-\int\limits_0^{\sqrt3}xd(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\int\limits_0^{\sqrt3}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\int\limits_0^{\sqrt3}\dfrac{d(x^2+1)}{2\sqrt{x^2+1}}$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-\sqrt{x^2+1}\left|\begin{array}{l}\sqrt3\\0\end{array}\right.$ $=\sqrt3\ln(\sqrt3+2)-1$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tính tổng ??
|
|
|
|
Với mọi số nguyên dương n, ta luôn có: $\sum_{i=1}^ni^3=\dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} (*)$ Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp. Với $n=1$, ta có: $1^3=1=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}$ Như vậy $(*)$ đúng khi $n=1$ Giả sử $(*)$ đúng khi $n=k,k\in{\mathbb{N}^*}$. Ta cần chứng inh $(*)$ đúng với $n=k+1$, tức là: $\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$ Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: $\sum_{i=1}^{k+1}i^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\dfrac{(k+1)^2}{4}.(k^2+4k+4)=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$. Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$. |
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
TÍnh tổng ??????
|
|
|
|
Ta có: $\sum_{i=0}^{100}x^i=\dfrac{1-x^{101}}{1-x}$ $\Rightarrow \sum_{i=0}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$ (đạo hàm 2 vế) $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{100}ix^{i-1}=\dfrac{100x^{101}-101x^{100}+1}{(x-1)^2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
xin mọi người giúp đỡ
|
|
|
|
Gọi 4 số cần tìm là: $a-3d,a-d,a+d,a+3d$. Ta có: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=20$ $\Leftrightarrow 4a=20$ $\Leftrightarrow a=5$ Lại có: $(5-3d)(5-d)(5+d)(5-3d)=384$ $\Leftrightarrow (25-9d^2)(25-d^2)=384$ $\Leftrightarrow 9d^4-250d^2+241=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}d^2=1\\d^2=\dfrac{241}{9}\end{array}\right.$ Từ đó suy ra 4 số cần tìm là: $(2;4;6;8)$ hoặc $(5-\sqrt{241};5-\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\dfrac{\sqrt{241}}{3};5+\sqrt{241})$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Ta có: $\int\limits_0^1 x\ln(x^2+1)dx$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1\ln(x^2+1)d(x^2+1)$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2\ln tdt$ $=\dfrac{t\ln t}{2}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2td(\ln t)$ $=\ln 2-\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2dt$ $=\ln 2-\dfrac{t}{2}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\ln 2-\dfrac{1}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bài tích phân
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{1+\ln x}=t \Rightarrow 1+\ln x=t^2 \Rightarrow \dfrac{dx}{x}=2tdt$ Đổi cận: $x=1 \Rightarrow t=1$ $x=e \Rightarrow t=\sqrt{2}$ Ta có: $I=\int\limits_1^{\sqrt 2}\dfrac{t^2-1}{t}2tdt$ $=2\int\limits_1^{\sqrt 2}(t^2-1)dt$ $=\left(\dfrac{2t^3}{3}-2t\right)\left|\begin{array}{l}\sqrt2\\1\end{array}\right.=\dfrac{4-2\sqrt2}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tính tích phân
|
|
|
|
Ta có: $\int\limits_0^1 x\ln(x^2+1)dx$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1\ln(x^2+1)d(x^2+1)$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2\ln tdt$ $=\dfrac{t\ln t}{2}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2td(\ln t)$ $=\ln 2-\dfrac{1}{2}\int\limits_1^2dt$ $=\ln 2-\dfrac{t}{2}\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=\ln 2-\dfrac{1}{2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân cần lời giải thật chi tiết. C.ơn ạ!
|
|
|
|
Đặt: $\sqrt{1+t}=x \Rightarrow 1+t=x^2 \Rightarrow dt=2xdx$ Suy ra: $I=2\int\limits_1^2e^xx^2dx$ $=2\int\limits_1^2x^2d(e^x)$ $=2x^2e^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.-2\int\limits_1^2e^xd(x^2)$ $=8e^2-2e-4\int\limits_1^2xe^xdx$ $=8e^2-2e-4\int\limits_1^2xd(e^x)$ $=8e^2-2e-4xe^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.+4\int\limits_1^2e^xdx$ $=2e+4e^x\left|\begin{array}{l}2\\1\end{array}\right.=4e^2-2e$ |
|
|
|
giải đáp
|
Phương trình bậc ba.
|
|
|
|
Giả sử 3 nghiệm của phương trình là: $u,v,w$ và $u+w=2v$ Theo định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}u+v+w=a\\uv+vw+wu=b\\uvw=c\end{array}\right.$ Ta có: $(u+v-2w)(u+w-2v)(v+w-2u)=0$ $\Leftrightarrow (a-3u)(a-3v)(a-3w)=0$ $\Leftrightarrow a^3-3a^2(u+v+w)+9a(uv+vw+wu)-27uvw=0$ $\Leftrightarrow 9ab=2a^3+27c$ |
|
|
|
giải đáp
|
Thắc mắc.
|
|
|
|
Giả sư: $x\overrightarrow{OM}+y \overrightarrow{ON}+z \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OX}$ Suy ra: $(x\overrightarrow{OM}+y \overrightarrow{ON}+z \overrightarrow{OP})^2=(\overrightarrow{OX})^2=OX^2\ge0$
P/s: Bình phương của một vector luôn không âm nhé. |
|