Ta có: $3b^2c^2-2bc-1=-(a-1)^2\le0\Rightarrow bc\le1$
Mà ta có:
$\dfrac{1}{(a+b)^2}\ge\dfrac{1}{(a^2+bc)(1+\dfrac{b}{c})}=\dfrac{c}{(a^2+bc)(b+c)}$
$\dfrac{1}{(a+c)^2}\ge\dfrac{1}{(a^2+bc)(1+\dfrac{c}{b})}=\dfrac{b}{(a^2+bc)(b+c)}$
Suy ra: $\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}\ge\dfrac{1}{a^2+bc}$
$\Rightarrow P\ge a^2+\dfrac{4}{a^2+bc}\ge a^2+\dfrac{4}{a^2+1}=a^2+1+\dfrac{4}{a^2+1}-1\ge3$
Min$P=3 \Leftrightarrow a=b=c=1$

Giả sử có $k$ bài hát được hát trong lễ hội và mỗi cặp ca sĩ được hát cùng nhau $m$ bài hát.
Gọi 8 ca sĩ đó là $A_1;A_2;\ldots;A_8$, các bài hát được hát trong lễ hội là: $x_1;x_2;\ldots;x_k$.
Xét tập $S=\big\{\{A_i;A_j;x_l\}| A_i$ và $A_j$ cùng biểu diễn bài hát $x_l\big\}$.
Ta sẽ tính $|S|$ theo 2 cách:
Vì mỗi bài hát được hát bởi 4 ca sĩ nên: $|S|=C_4^2k=6k$.
Vì mỗi cặp ca sĩ hát với nhau $m$ bài hát nên: $|S|=C_8^2m=28m$
Từ đó suy ra: $6k=28m\Rightarrow 3k=14m$
Suy ra: $14|k\Rightarrow k\ge 14$.
Vậy có ít nhất 14 bài hát được hát tại lễ hội.

Đặt: $t=x+y;t>2$
Ta có: $(x+y)^2\ge4xy\Rightarrow xy\le\dfrac{t^2}{4}$
Ta có:
$P=\dfrac{(x+y)^3-3xy(x+y)-(x+y)^2+2xy}{xy-(x+y)+1}$
    $=\dfrac{t^3-t^2-xy(3t-2)}{xy-t+1}$
    $=\dfrac{t^3-t^2-\dfrac{t^2(3t-2)}{4}}{\dfrac{t^2}{4}-t+1}=\dfrac{t^2}{t-2}$
Xét hàm: $f(t)=\dfrac{t^2}{t-2};t>2$
Ta có: $f'(t)=\dfrac{t^2-4t}{(t-2)^2}$
$f'(t)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=0\\t=4\end{array}\right. \Leftrightarrow t=4$
Lập bảng biến thiên ta có: $\displaystyle \min_{t\in(2;+\infty)}f(t)=f(4)=8$
Vậy: Min$P=8 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=4\\xy=4\end{array}\right. \Leftrightarrow x=y=2$

Bạn xem lời giải ở đây nhá.

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/115927/hi-nh-ko-gian-giu-p-to

Giả sử $AM=ON=c$, suy ra: $M(a-c;0);N(0;c)$.
Phương trình $MN$ là: $c(x-0)+(a-c)(y-c)=0 \Leftrightarrow cx+(a-c)y-ac+c^2=0$
Tọa độ trung điểm $I$ của $MN$ là: $I(\dfrac{a-c}{2};\dfrac{c}{2})$.
Phương trình trung trực $(d)$ của $MN$ là:
      $(c-a)(x-\dfrac{a-c}{2})+c(y-\dfrac{c}{2})=0$
$\Leftrightarrow (c-a)x+cy+\dfrac{(c-a)^2}{2}-\dfrac{c^2}{2}=0$
Dễ thấy $(d)$ luôn đi qua $K(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2})$

Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x+3y+12=0\\x+7y+32=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3\\y=-5\end{array}\right.$ hay $A(3;-5)$
Phương trình $AC$ đi qua $A(3;-5);C(-3;1)$ là: $x+y+2=0$
Đường thẳng $BC$ đi qua $C(-3;1)$ và vuông góc với: $AH:x+7y+32=0$ nên phương trình đương thẳng $BC$ là: $7(x+3)-(y-1)=0 \Leftrightarrow 7x-y+22=0$.
Gọi $C'$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AD$, suy ra: $C'\in AB$
Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $C$ và vuông góc với $AD$ là:
$3(x+3)-(y-1)=0 \Leftrightarrow 3x-y+10=0$
Giao điểm $I$ của $AD$ và $(d)$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x+3y+12=0\\3x-y+10=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-21}{5}\\y=\dfrac{-13}{5}\end{array}\right.$
Từ đó suy ra: $C'(\dfrac{-27}{5};\dfrac{-31}{5})$
Phương trình $AB$ đi qua $A(3;-5);C'(\dfrac{-27}{5};\dfrac{-31}{5})$ là: $x-7y-38=0$

Ta có:$\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b=x_ax_b+y_ay_b$ và $|\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos(\overrightarrow a;\overrightarrow b)$
Lại có:
     $(\overrightarrow a\times\overrightarrow b)^2+(\overrightarrow a\centerdot \overrightarrow b)^2$
$=(x_ay_b-x_by_a)^2+(x_ax_b+y_ay_b)^2$
$=x_a^2y_b^2+x_b^2y_a^2+x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2$
$=(x_a^2+y_a^2)(x_b^2+y_b^2)$
$=|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2$
Suy ra: $|\overrightarrow a\times \overrightarrow b|^2=|\overrightarrow a|^2|\overrightarrow b|^2\sin^2(\overrightarrow a;\overrightarrow b)$
$\Rightarrow |\overrightarrow a\times \overrightarrow b|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|\sin(\overrightarrow a;\overrightarrow b)$, do $\sin(\overrightarrow a;\overrightarrow b)\ge0.$

Ta có:
$y^2\le(a^2+b^2+c^2)(1+2\sin^2x+\sin^22x)$
     $=52(1+2\sin^2x+\sin^22x)$
     $=52[1+2\sin^2x+4\sin^2x(1-\sin^2x)]$
     $=52(-4\sin^4x+6\sin^2x+1)$
Đặt: $\sin^2x=t,t\in(0;1)$
$f(t)=-4t^2+6t+1$
$f'(t)=-8t+6;f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{3}{4}$
Lập bảng biến thiên ta có: Max$f(t)=\dfrac{13}{4} \Leftrightarrow t=\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \sin^2x=\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}$
Từ đó suy ra:
Max$y=13 \Leftrightarrow a=4;b=2\sqrt6;c=2\sqrt3$
Min$y=-13 \Leftrightarrow a=-4;b=-2\sqrt6;c=-2\sqrt3$

Phương trình đã cho tương đương với:
      $\left\{\begin{array}{l}1-x\ge0\\(m+1)x^2-2(m+1)x+3m+4=(1-x)^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\le1\\mx^2-2mx+3m+3=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x\le1\\2m+3+m(x-1)^2=0\end{array}\right.$
*) Với $m<\dfrac{-3}{2}\Rightarrow 2m+3+m(x-1)^2<0$, phương trình vô nghiệm.
*) Với $m=\dfrac{-3}{2}\Rightarrow x=1$ là nghiệm của phương trình đã cho.
*) Với $\dfrac{-3}{2}<m<0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1+\sqrt{\dfrac{2m+3}{-m}}\\x=1-\sqrt{\dfrac{2m+3}{-m}}\end{array}\right.$
Khi đó phương trình có nghiệm: $x=1-\sqrt{\dfrac{2m+3}{-m}}$
*) Với $m\ge0\Rightarrow 2m+3+m(x-1)^2>0$, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm khi $m\in(-\infty;\dfrac{-3}{2})\cup[0;+\infty)$

Ta có:
$P=\dfrac{1}{8}(x+4\cos x)^2-1\ge-1$
Dấu bằng xảy ra khi: $f(x)=x+4\cos x=0$
Vì $f$ là hàm liên tục mà: $f(0)=4>0,f(\pi)=\pi-4<0$
nên tồn tại $x_0\in(0;\pi)$ sao cho $f(x_0)=0$
Vậy Min$P=-1$

Phương trình tương đương với:
      $2\cos^2(\dfrac{\pi}{4}-2x)-1+\sqrt3\cos4x=2(2\cos^2x-1)$
$\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{2}-4x)+\sqrt3\cos4x=2\cos2x$
$\Leftrightarrow \sin4x+\sqrt3\cos4x=2\cos2x$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin4x+\dfrac{\sqrt3}{2}\cos4x=\cos2x$
$\Leftrightarrow \cos(4x-\dfrac{\pi}{6})=\cos2x$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}4x-\dfrac{\pi}{6}=2x+k2\pi\\4x-\dfrac{\pi}{6}=-2x+k2\pi\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{36}+k\dfrac{\pi}{3}\end{array}\right.,k\in\mathbb{Z}$