Nhận xét có: $tan \frac{A}4.tan\frac{B}4 \leq tan^2\frac{A+B}8$
Tương tự có $tan\frac{C}4.tan\frac{\pi}{12} \leq  tan^2\frac{C+\frac{\pi}3}8$
Suy ra $tan\frac{A}4.tan\frac{B}4.tan\frac{C}4.tan\frac{\pi}{12} \leq tan^2\frac{A+B}8.tan^2\frac{\frac{\pi}{12}+C}8$
$\Rightarrow tan\frac{A}4.tan\frac{B}4.tan\frac{C}4.tan\frac{\pi}{12} \leq tan^4\frac{\pi}{12}$

$\Rightarrow tan\frac{A}4.tan\frac{B}4.tan\frac{C}4 \leq  tan^3\frac{\pi}{12} =(2+\sqrt3)^3$

Dấu bằng xảy ra khi $A=B=C \Leftrightarrow \triangle ABC$ đều