Chuẩn hóa $a+b+c=8$Chú ý: $a^4+b^4+c^4=(a+b+c)^4-4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)^2+4(a+b+c)abc$Tới đây chỉ cần khảo sát:-Khảo sát điều kiện-Khảo sát đề bài: $t=ab+bc+ca$
Ta thấy: $x^4=x^4.1 \leq \frac{x^8+1}2Tươngtựy^4 \leq \frac{y^8+1}2$$z^4 \leq \frac{z^8+1}2$$\Rightarrow P\leq \frac{x^8+y^8+z^8+3}{2(x+y+z)^4}$$\Leftrightarrow P \leq \frac{x^8+y^8+z^8+2x^4y^4+2y^4z^4+2x^4z^4+3-2x^4y^4-2y^4z^4+2z^4x^4}{2(x+y+z)^4}$$\Leftrightarrow P \leq \frac{(x+y+z)^4+3-2(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)}{2(x+y+z)^4}$$\Leftrightarrow P \leq \frac{1}2+\frac{3}{2(x+y+z)^4}-\frac{x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4}{(x+y+z)^4}Mà \frac{3}{2(x+y+z)^4} \leq \frac{3}{162\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}$$\frac{x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4}{(x+y+z)^4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{x^8y^8z^8}{(\sqrt[3]{32xyz})^4}}=3\sqrt[3]{\frac{x^4y^4z^4}{\sqrt[3]{32}}}Do (x+y+z)^3=32xyz \Rightarrow x+y+z = \sqrt[3]{32xyz}$Để P có GTLN thì $\frac{3}{2(x+y+z)^4}-\frac{x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4}{(x+y+z)^4}$ có GTLNĐặt $\sqrt[3]{(xyz)^4}=t và a=\frac{3}{162}, b=\frac{3}{\sqrt[3]{32}}$Ta có một hàm: $f(t)=at- \frac{b}{t}$Đạo hàm f(t) có dạng : $a-\frac{b}{t^2}$Để hàm có cực trị thì đạo hàm bằng $0 \Leftrightarrow t^2=\frac{b}{a}$Lập bảng biến thiên rồi rút ra giá trị thôi