Ta có thể chứng minh bổ đề: MA = MB+MC (Bài tập Sách bài tập toán 9-tập 2 bài 20)thật vậy, Gọi D là điểm trên AM sao cho MD = MBDo tam giác BMD có BM=BD và $\widehat{BMD} = \widehat{BCA}$ = 60nên tam giác BMD đềuXét tam giác BDA và BMC có:BA = BC(gt)$\widehat{ABD} = \widehat{MBC}$ (cùng +$\widehat{DBC}$ = 60)BD = BM (BMD đều)$\Rightarrow$ 2 tam giác ABD và CBM bằng nhau(c.g.c)vậy MA = MD+ DA = MB + MC Gọi E = MA ∩ BC . Gọi F là điểm chính giữa cung BCXét 2 tam giác BME và AMC có$\widehat{AEC} = \widehat{BEM}$ ( Đối đỉnh)$\widehat{MBE} = \widehat{MAC}$ (2 góc cùng chắn cung MC)$\Rightarrow$ BME $\sim$ AMC (g.g) $\Rightarrow$ $\frac{MB}{ME} = \frac{MA}{MC} = \frac{MB+MC}{MC}$. Vậy $\frac{1}{ME} = \frac{1}{MB} + \frac{1}{MC}$ (1)Ta có AF vuông góc BC và $\widehat{AMF}$ = 90$\Rightarrow AM \leq AF , AE \geq AH$Do vậy $ME = AM - AE \leq AF - AH = FH$$\Rightarrow$ $\frac{1}{ME} \geq \frac{1}{FH}$ ( không đổi) (2)Từ (1)(2) ta có $\frac{1}{MB} + \frac{1}{MC} \geq \frac{1}{FH}$Dấu = xảy ra khi M trùng FKhi M trùng F thì $\frac{1}{MA}$ cũng đạt giá trị nhỏ nhấtKết luận: Khi M nằm chính giữa cung BC thì $\frac{1}{MA} + \frac{1}{MB} + \frac{1}{MC}$ đạt GTNN

Ta có thể chứng minh bổ đề: MA = MB+MC (Bài tập Sách bài tập toán 9-tập 2 bài 20)(Với M nằm trên cung lớn BC)thật vậy, Gọi D là điểm trên AM sao cho MD = MBDo tam giác BMD có BM=BD và $\widehat{BMD} = \widehat{BCA}$ = 60nên tam giác BMD đềuXét tam giác BDA và BMC có:BA = BC(gt)$\widehat{ABD} = \widehat{MBC}$ (cùng +$\widehat{DBC}$ = 60)BD = BM (BMD đều)$\Rightarrow$ 2 tam giác ABD và CBM bằng nhau(c.g.c)vậy MA = MD+ DA = MB + MC Gọi E = MA ∩ BC . Gọi F là điểm chính giữa cung BCXét 2 tam giác BME và AMC có$\widehat{AEC} = \widehat{BEM}$ ( Đối đỉnh)$\widehat{MBE} = \widehat{MAC}$ (2 góc cùng chắn cung MC)$\Rightarrow$ BME $\sim$ AMC (g.g) $\Rightarrow$ $\frac{MB}{ME} = \frac{MA}{MC} = \frac{MB+MC}{MC}$. Vậy $\frac{1}{ME} = \frac{1}{MB} + \frac{1}{MC}$ (1)Ta có AF vuông góc BC và $\widehat{AMF}$ = 90$\Rightarrow AM \leq AF , AE \geq AH$Do vậy $ME = AM - AE \leq AF - AH = FH$$\Rightarrow$ $\frac{1}{ME} \geq \frac{1}{FH}$ ( không đổi) (2)Từ (1)(2) ta có $\frac{1}{MB} + \frac{1}{MC} \geq \frac{1}{FH}$Dấu = xảy ra khi M trùng FKhi M trùng F thì $\frac{1}{MA}$ cũng đạt giá trị nhỏ nhất Khi M nằm chính giữa cung BC thì $\frac{1}{MA} + \frac{1}{MB} + \frac{1}{MC}$ đạt GTNNDo hình có tính đối xứng nên M cũng nằm chính giữa cung AB hoặc cung AC thì cũng thỏa mãn bài toánKết luận: Có 3 điểm M thỏa bài toán