Từ điều kiện đã cho có thể đặt
x=\sin a,y=\cos a \Rightarrow P=\frac{\sin a}{\sqrt{1+\cos a}}+\frac{\cos a}{\sqrt{1+\sin a}}
Chú ý \cos a\ne -1\Leftrightarrow \cos \frac a2\ne0Và ta có thể đặt t=\tan \frac a2 (t \ne -1)
Sử dụng công thức \sin a=\frac{2t}{1+t^2},\cos a=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\Rightarrow P=\frac{\sqrt2t}{\sqrt{{t^2+1}}}+\frac{(1-t)(1+t)}{|1+t|\sqrt{t^2+1}}
Nếu t+1 >0 thì P=f(t)=\frac{t(\sqrt 2-1)+t}{\sqrt{t^2+1}}
Xét hàm số f(t) trên (1;+\infty) ta thu được \max f(t)=\sqrt{4-2\sqrt 2}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt 2}{2}
Nếu t+1<0 xét tương tự thu được \min f(t)=-\sqrt{4+2\sqrt 2}\Leftrightarrow x=y=-\frac{\sqrt 2}{2}