Với $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Cho tam giác ABC vuông ở A. D là một điểm trên cạnh AC (D khác A và C). Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn (D). Gọi M là trung điểm của BC, BF cắt AM tại N. Chứng minh AN=NF.

* Giải hệ phương trình đối xứng loại I:
$\begin{cases}(x+y)\left ( 1+\frac{1}{xy} \right )=5 \\ (x^{2}+y^{2})\left ( 1+\frac{1}{x^{2}y^{2}} \right )=49 \end{cases}$
* Giải hệ phương trình đối xứng loại II:
Bài 1. $\begin{cases}2x+y=\frac{3}{x^{2}} \\ 2y+x=\frac{3}{y^{2}} \end{cases}$
Bài 2. $\begin{cases}3y=\frac{y^{2}+2}{x^{2}} \\ 3x=\frac{x^{2}+2}{y^{2}} \end{cases} \begin{cases}\left ( x, y\in R\right ) \end{cases}$
Bài 4. $\begin{cases}\sqrt{x^{2}+9}+y=9 \\ \sqrt{y^{2}+9}+x=9 \end{cases}$

Giải hệ phương trình: \begin{cases}x+\frac{yz}{y+z}=\frac{1}{2} \\ y+\frac{zx}{z+x}=\frac{1}{3} \\ z+\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{4}\end{cases}

1. Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy. Gọi (O) là một đường tròn qua B, C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a) Chứng minh rằng: E, F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
b) Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E'. Chứng minh EE'//AB.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
2. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E. Một đường thẳng nào đó đi qua A, cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của đường thẳng EM và BN. Chứng minh CK vuông góc với BN

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh A, B cố định và C thay đổi trên đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
1) Chứng minh 4 điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At, đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.