* Giải hệ phương trình đối xứng loại I:
$\begin{cases}(x+y)\left ( 1+\frac{1}{xy} \right )=5 \\ (x^{2}+y^{2})\left ( 1+\frac{1}{x^{2}y^{2}} \right )=49 \end{cases}$
* Giải hệ phương trình đối xứng loại II:
Bài 1. $\begin{cases}2x+y=\frac{3}{x^{2}} \\ 2y+x=\frac{3}{y^{2}} \end{cases}$
Bài 2. $\begin{cases}3y=\frac{y^{2}+2}{x^{2}} \\ 3x=\frac{x^{2}+2}{y^{2}} \end{cases} \begin{cases}\left ( x, y\in R\right ) \end{cases}$
Bài 4. $\begin{cases}\sqrt{x^{2}+9}+y=9 \\ \sqrt{y^{2}+9}+x=9 \end{cases}$

Giải hệ phương trình:  $$\begin{cases}x+\frac{yz}{y+z}=\frac{1}{2} \\ y+\frac{zx}{z+x}=\frac{1}{3} \\ z+\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{4}\end{cases}$$

1. Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy. Gọi (O) là một đường tròn qua B, C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
a) Chứng minh rằng: E, F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
b) Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E'. Chứng minh EE'//AB.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
2. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E. Một đường thẳng nào đó đi qua A, cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của đường thẳng EM và BN. Chứng minh CK vuông góc với BN

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh A, B cố định và C thay đổi trên đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P, Q, R lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn này với các cạnh AC, BC, AB. Đường thẳng PQ và AI cắt nhau tại D.
1) Chứng minh 4 điểm B, D, Q, R nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At, đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Giải phương trình bằng phương pháp chuyền về hệ phương trình:
a) $\sqrt[3]{(8-x)^{2}}-\sqrt[3]{(8-x)(x+27)}+\sqrt[3]{(x+27)^{2}}=7$
b) $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$
c) $\sqrt[4]{8-x}+\sqrt[4]{9+x}=3$
d) $2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}-8=0$

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
a) $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$
b) $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}=2x^{2}+2x+1$
c) $2(1-x)\sqrt{x^{2}+2x-1}=x^{2}-2x-1$
d) $x^{2}-x-6=2\sqrt{x^{3}+8}$
e) $2(x^{2}+2x+3)=5\sqrt{x^{3}+3x^{2}+3x+2}$

Giả sử các số dương $x, y, z$ thoả mãn hệ thức $x+y+z=18\sqrt{2}$. Chứng minh rằng:
              $\frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(z+x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(x+y)}}\geq \frac{1}{4}$ 

1. Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq\frac{1}{2}$
2. Cho $a, b, c>0$ và thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
                        $P=\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}$

1. Cho $a\geq3, b\geq4, c\geq2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$
2. Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, có $p=\frac{a+b+c}{2}$
Chứng minh rằng: $\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}  \right )$

1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a) Nếu $\frac{a}{b}<1 thì \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$
b) Nếu $\frac{a}{b}>1 thì \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
    1<$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$<2
3. Cho a, b, c, d là bốn số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng số:
X=$\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}$không phải là số nguyên.
4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + abc}$+$\frac{1}{b^{3} + c^{3} + abc}$+$\frac{1}{c^{3} + a^{3} + abc}$$\leq \frac{1}{abc}$
5. Cho x, y, z > 0 và xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=$\frac{1}{x^{3} + y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}$
6. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=abc
Chứng minh rằng: $\frac{a^{4} + b^{4}}{(a^{3} + b^{3})ab}+\frac{b^{4} + c^{4}}{bc(b^{3} + c^{3})}+\frac{c^{4} + a^{4}}{ca(a^{3} + a^{3})}\geq 1$