do:

.

Giả sử tồn tại 1 số(a) trong 3 số a,b,c >2,do a,b,c dương nên$:a^2+b^2+c^2+abc=4>4+b^2+c^2+abc>4$(vô lí)$\Rightarrow a,b,c\in [0;2]$Từ gt suy ra$:a+2+abc+\frac{b^2c^2}{4}=4+\frac{b^2c^2}{4}-b^2-c^2$hay$:(a+\frac{bc}{2})^2=\frac{(4-b^2)(4-c^2)}{4}$do $:b,c\leq2\Rightarrow a+b+c=\frac{\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{4}-\frac{bc}{2}+b+c\leq \frac{\frac{1}{2}(4-b^2+4-c^2)-bc}{2}+b+c=3-(\frac{b+c}{2}-1)^2\leq 3$.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

do:

$(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})^3=(-\sqrt[3]{x+3})^3$$\Leftrightarrow 2x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$$\Leftrightarrow3x+6=3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$$\Leftrightarrow (3x+1)^3-27(x+1)(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow 27(x+2)=0$

$(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})^3=(-\sqrt[3]{x+3})^3$$\Leftrightarrow 2x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$$\Leftrightarrow3x+6=3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$$\Leftrightarrow (3x+6)^3-27(x+1)(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow 27(x+2)=0$

$\Rightarrow(a+b+c)(\Sigma \frac{a^2+b^2}{a+b})\leq 3(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow \Sigma\frac{c[(a+b)^2-2ab]}{a+b}\leq a^2+b^2+c^2$$:a^2+b^2+c^2+2abc(\Sigma \frac{1}{a+b})\geq 2(ab+bc+ca)$Mà$:\Sigma\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$bđt sẽ trở thành 1 bài toán bđt chur dạng phân thức$:a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq2(ab+bc+ca)$dấu = khi a=b=c hoặc a=b;c=0 hoán vị

$\Rightarrow(a+b+c)(\Sigma \frac{a^2+b^2}{a+b})\leq 3(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow \Sigma\frac{c[(a+b)^2-2ab]}{a+b}\leq a^2+b^2+c^2$$:a^2+b^2+c^2+2abc(\Sigma \frac{1}{a+b})\geq 2(ab+bc+ca)$Mà$:\Sigma\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$bđt sẽ trở thành 1 bài toán bđt chur dạng phân thức$:a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)$muốn c/m bđt thì giả sử a là max(a;b;c) và có đánh giá:$a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq0$tự làm tiếp:dấu = xảy ra khi $a=b=c=0 $và $a=b;c=0$(hoán vị)

$\Rightarrow(a+b+c)(\Sigma \frac{a^2+b^2}{a+b})\leq 3(a^2+b^2+c^2)$Sau khi biến đổi 1 hồi ta có bđt tương đương$:a^2+b^2+c^2+2abc(\Sigma \frac{1}{a+b})\geq 2(ab+bc+ca)$Mà$:\Sigma\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$bđt sẽ trở thành 1 bài toán bđt chur dạng phân thức$:a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq2(ab+bc+ca)$dấu = khi a=b=c hoặc a=b;c=0 hoán vị

$\Rightarrow(a+b+c)(\Sigma \frac{a^2+b^2}{a+b})\leq 3(a^2+b^2+c^2)$$\Leftrightarrow \Sigma\frac{c[(a+b)^2-2ab]}{a+b}\leq a^2+b^2+c^2$$:a^2+b^2+c^2+2abc(\Sigma \frac{1}{a+b})\geq 2(ab+bc+ca)$Mà$:\Sigma\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}$bđt sẽ trở thành 1 bài toán bđt chur dạng phân thức$:a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq2(ab+bc+ca)$dấu = khi a=b=c hoặc a=b;c=0 hoán vị

Ta có$:P\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$Cần $CM:(a^2+b^2+c^2)^2\geq a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$Đúng do$:3(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2=9$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq(a^3+b^3+c^3)^2\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Gọi P là VT.Ta có$:P\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$Cần $CM:(a^2+b^2+c^2)^2\geq a^3+b^3+c^3+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$Đúng do$:3(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2=9$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq(a^3+b^3+c^3)^2\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

giúp e vài bài nữa vs

$B1:$cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh:$a,Tìm Min:\frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}+\sqrt{2y^2+2(x+z)^2+3}$$b,$chứng minh$:\frac{24}{13x+12\sqrt{xy}+16\sqrt{yz}}+2(x+y+z)\geq \frac{7}{2}$B2:Cho $x,y,z>0$ thỏa$:x^2+y^2+z^2\leq2y+1$.Chứng minh$:\frac{1}{x+y+z+1}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}\geq \frac{21}{5}$

Bất đẳng thức Cô-si

giúp e vài bài nữa vs

$B1:$cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh:$a,Tìm Min:\frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}+\sqrt{2y^2+2(x+z)^2+3}$$b,$chứng minh$:\frac{24}{13x+12\sqrt{xy}+16\sqrt{yz}}+2(x+y+z)\geq \frac{7}{2}$B2:Cho $x,y,z>0$ thỏa$:x^2+y^2+z^2\leq2y+2$.Chứng minh$:\frac{1}{x+y+z+1}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}\geq \frac{21}{5}$

Bất đẳng thức Cô-si

giúp e vài bài nữa vs

$B1:$cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh:$a,Tìm Min:\frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}+\sqrt{2y^2+2(x+z)^2+3}$$b,$chứng minh$:\frac{24}{13x+12\sqrt{xy}+16\sqrt{yz}}+2(x+y+z)\geq \frac{7}{2}$B2:Cho $x,y,z>0$ thỏa$:x^2+y^2+z^2\leq2y+1$.Chứng minh$:\frac{1}{x+y+z+1}+\sqrt{2xy}+\sqrt{yz}\geq \frac{21}{5}$

Bất đẳng thức Cô-si

giúp e vài bài nữa vs

$B1:$cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh:$a,Tìm Min:\frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}+\sqrt{2y^2+2(x+z)^2+3}$$b,$chứng minh$:\frac{24}{13x+12\sqrt{xy}+16\sqrt{yz}}+2(x+y+z)\geq \frac{7}{2}$B2:Cho $x,y,z>0$ thỏa$:x^2+y^2+z^2\leq2y+1$.Chứng minh$:\frac{1}{x+y+z+1}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}\geq \frac{21}{5}$

Bất đẳng thức Cô-si

giúp e 2 bài này vs

B1:chứng minh với mọi a,b dương ta có:$\sqrt{2a(a+b)^3}+\sqrt{2b(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$bài 2:cho $x,y,z\geq 0;x+y+1=z.C/M:\frac{a^3b^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}\leq \frac{4}{729}$

Bất đẳng thức Cô-si

giúp e 2 bài này vs

B1:chứng minh với mọi a,b dương ta có:$\sqrt{2a(a+b)^3}+\sqrt{2b(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$bài 2:cho $x,y,z\geq 0;x+y+1=z.C/M:\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+xz)(z+xy)^2}\leq \frac{4}{729}$

Bất đẳng thức Cô-si