|
giải đáp
|
Khát danh vọng
|
|
|
Cách 2 : Ta sd bổ đề : Nếu $a+b+c+abc=4 , và a,b,c>=0 thì a+b+c>= ab+bc+ca$ K mất tính tổng quát , giả sử : $c>=b>=a$ . Ta phải chứng minh : $a+b-ab >=\frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-c)<=> (a+b-c)^{2} >=ab(a-1)(b-1)$ Theo bđt AM-GM : $(a+b-2)^{2}>=4|(a-1)(b-1)|>=ab|(a-1)(b-1)|$ Từ bổ đề , suy ra : Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz : $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}>= \frac{(a+b+c)^{2}}{c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+A}}$ $c\sqrt{a+b}+a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}=< \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$ => $VT >= (a+b+c)\sqrt{\frac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}}>= \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$ Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Khát danh vọng
|
|
|
Đặt : $x=a^{2},y=b^{2},z=c^{2}$ Bđt <=> $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z^{2}+x^{2}}} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt{2}}$ <=>$ \sum_{cyc}\frac{2x^{4}}{x^{2}+y^{2}}+\sum_{cyc} \frac{4x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})}}>= (x+y+z)^{2}$ Mà : $\sum\frac{2x^{4}}{x^{2}+y^{2}}=\Sigma \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}$ Mặt khác 2 bộ số : $\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},....$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},...$ là 2 bộ số đơn điệu ngc chiều , theo bđt hoán vị : $\sum_{cyc} \frac{4x^{2}y^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})}}>= \sum_{sym} \frac{4x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} $ => Ta cần cm : $\sum_{sym} \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}+\sum_{sym}\frac{4x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}>=(x+y+z)^{2}$ <=>$\sum_{sym}x^{2}+\sum_{sym} \frac{2x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}>=2(xy+yz+zx)$ <=> $\sum_{sym}(\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}-\sqrt{\frac{2x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}})^{2}>=0$ (đpcm ) Dấu = xảy ra <=> x=y=z<=>a=b=c
|
|
|
giải đáp
|
thử làm nha mọi người!
|
|
|
Đặt : $x=\sqrt{b+c},y=\sqrt{c+a},z=\sqrt{a+b}$ => Bđt <=>$\frac{x}{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}-y^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}} \geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz} $ Nếu x>= y thì $x(y^{2}+z^{2}-x^{2})\leq y(x^{2}+z^{2}-y^{2})$ Theo bđt Chebyshev : $VT >=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}.\Sigma \frac{1}{x(y^{2}+z^{2}-x^{2})}$ Áp dụng bđt AM-GM : $\Sigma\frac{1}{x(y^{2}+z^{2}-x^{2})} >= \frac{3}{\sqrt[3]{xyz(x^{2}+y^{2}-z^{2})(y^{2}+z^{2}-x^{2}(z^{2}+x^{2}-y^{2})}} >= \frac{3}{xyz}$ Dấu = xảy ra <=> a=b=c
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|