|
|
giải đáp
|
ai giỏi lượng giác giúp mình với
|
|
|
|
Bài 1:$4.cos^4x - cos2x - \frac{cos4x}{2} + cos\frac{3x}{4} = \frac{7}{2}$ (1)
Ta có: $4{\cos ^4}x = {(2{\cos ^2}x)^2} = {(1 + c{\rm{os}}2x)^2} = 1 + 2\cos 2x + \frac{{1 + c{\rm{os}}4x}}{2} = \frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{{c{\rm{os}}4x}}{2}$
$(1) \Leftrightarrow \frac{3}{2} + \cos 2x + c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = \frac{7}{2}$
$\Leftrightarrow \cos 2x + c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = 2$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}c{\rm{os}}2x = 1 \\ c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = 1 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}2x = m2\pi \\ \frac{{3x}}{4} = n2\pi \end{cases} $ ($m,n \in Z$)
$ \Leftrightarrow x = k8\pi (k \in Z)$
|
|
|
|
giải đáp
|
giup minh bai nay voj
|
|
|
|
Bài 2: Đường chéo của hình chữ nhật cơ sở cũng chính là đường kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này. Suy ra: $\sqrt {4{a^2} + 4{b^2}} = 2R$ Với $a = 5,R = \sqrt {41} $ ta dễ dàng tính được $b=4$. Vậy $(E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ |
|
|
|
giải đáp
|
giup minh bai nay voj
|
|
|
|
Bài 1: Tâm sai $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{b^2} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (1) Diện tích hình chữ nhật cơ sở $S = 2a.2b = 32\sqrt 3 \Leftrightarrow ab = 8\sqrt 3$ (2) Từ (1) và (2) ta suy ra:\[{a^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = 16,{b^2} = 12\] Vậy $(E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1$
|
|
|
|
giải đáp
|
Hình học phẳng
|
|
|
|
* Gọi B' là hình chiếu của B qua đường phân giác trong At. Dễ thấy $B' \in AC$Ta tìm được tọa độ B' là $(-6;13)$. * Do $A \in At$ nên ta đặt $A(-2a+5;a)$. * Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Do $\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AG} $ nên ta có: \begin{cases}{x_M} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} + 2a - 5) \\ {y_M} - \frac{2}{3} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3} - a) \end{cases}
\[ \Leftrightarrow \begin{cases}{x_M} = a - 2 \\ {y_M} = - \frac{a}{2} + 1 \end{cases}\]
* Do M là trung điểm của BC nên: \begin{cases}{x_C} = 2(a - 2) + 12 = 2a + 8 \\ {y_C} = 2( - \frac{a}{2} + 1) - 1 = - a + 1 \end{cases}
* Khi đó, ta có: $\overrightarrow {B'A} = ( - 2a + 11;a - 13),\overrightarrow {B'C} = (2a + 14; - a - 12)$ Do $\overrightarrow {B'A} ,\overrightarrow {B'C} $ cùng phương nên tồn tại $k \in R$ để: \begin{cases} - 2a + 11 = k(2a + 14) \\ a - 13 = k( - a - 12) \end{cases}
\[ \Leftrightarrow \begin{cases}2(ka + 1) = 11 - 14k \\ ka + 1 = 13 - 12k \end{cases}\]
\[ \Leftrightarrow \begin{cases}a = - 2 \\ k = \frac{3}{2} \end{cases}\]
\[ \Rightarrow C(4;3),\overrightarrow {BC} = (16;2),BC:x - 8y + 20 = 0\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân
|
|
|
|
$I = \int\limits_1^9 {\frac{{ln(16 - x)}}{{\sqrt x }}} dx$ Đặt: \[u = ln(16 - x) \Rightarrow du = \frac{{dx}}{{x - 16}}\] \[dv = \frac{{dx}}{{\sqrt x }} \Leftarrow v = 2\sqrt x \]
$ \Rightarrow I = 2\sqrt x ln(16 - x) - 2\int\limits_1^9 {\frac{{\sqrt x }}{{x - 16}}} dx = 6\ln 7 - 2\ln 15 - 2\int\limits_1^9 {\frac{{\sqrt x }}{{x - 16}}} dx$
$K = \int\limits_1^9 {\frac{{\sqrt x }}{{x - 16}}} dx = \int\limits_1^9 {\frac{{x - 16 + 16}}{{\sqrt x (x - 16)}}} dx = \int\limits_1^9 {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx + \int\limits_1^9 {\frac{{16}}{{\sqrt x (x - 16)}}} dx$ $ = 2\sqrt x\begin{cases}9 \\ 1 \end{cases} + \int\limits_1^9 {\frac{{16}}{{\sqrt x (x - 16)}}} dx$
Đặt $t = \sqrt x \Rightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{\sqrt x }}$ $ \Rightarrow K = 4 + \int\limits_1^3 {\frac{{32}}{{{t^2} - 16}}} dt = 4 + \int\limits_1^3 {(\frac{4}{{t - 4}}} - \frac{4}{{t + 4}})dt $ $= 4 + 4ln\left| {\frac{{t - 4}}{{t + 4}}} \right|\begin{cases}3 \\ 1 \end{cases} = 4 + 4ln\frac{5}{{21}}$
Vậy \[I = 6\ln 7 - 2\ln 15 - 4 - 8ln\frac{5}{{21}}\] |
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân lượng giác
|
|
|
|
$I = \int\limits_0^\pi {\frac{{x(co{s^3}x + cosx + sinx)dx}}{{1 + co{s^2}x}}} = \int\limits_0^\pi {xcosx} dx + \int\limits_0^\pi {\frac{{xsinx}}{{1 + co{s^2}x}}} dx$ * Tính ${I_1} = \int\limits_0^\pi {xcosx} dx$ Đặt $\begin{cases}u=x \\ dv=cosxdx \end{cases}$ ta tính được ${I_1} = - 2$. * Tính ${I_2} = \int\limits_0^\pi {\frac{{xsinx}}{{1 + co{s^2}x}}} dx$ Đặt $t = \pi - x \Rightarrow {I_2} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin t}}{{1 + co{s^2}t}}} dt$ Đặt $\cos t = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{any}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{{\pi ^2}}}{4}$ Vậy \[I = - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{4}\] |
|
|
|
giải đáp
|
Giai dum
|
|
|
|
\[I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} }}} = \int\limits_{ - 1}^0 {(\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} )dx} = \left[ {\frac{2}{3}{{(x + 2)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\begin{cases}0 \\ -1 \end{cases} = \frac{4}{3}(\sqrt 2 - 1)\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Nguyên hàm thi đại học 2013
|
|
|
|
$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2 - sinx}}{{2 + cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{sinx}}{{2 + cosx}}} dx$ * Tính $J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx$ Ta có: \[2 + \cos x = 2 + 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 1 = {\cos ^2}\frac{x}{2}(2 + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}) = {\cos ^2}\frac{x}{2}({\tan ^2}\frac{x}{2} + 3)\]
$ \Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}({{\tan }^2}\frac{x}{2} + 3)}}} dx$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$ $\Rightarrow J = \int\limits_0^1 {\frac{{4dt}}{{{t^2} + 3}}} $
Đặt $t = \sqrt 3 \tan u \Rightarrow dt = \sqrt 3 ({\tan ^2}u + 1)du$ $\Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{4\sqrt 3 ({{\tan }^2}u + 1)du}}{{3{{\tan }^2}u + 3}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {du} = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{9}$
* Tính $K = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{sinx}}{{2 + cosx}}} dx$ Đặt $v = 2 + \cos x \Rightarrow - dv = \sin {\rm{x}}dx$ $\Rightarrow K = \int\limits_2^3 {\frac{{dv}}{v}} = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$
Vậy \[I = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{9} - \ln \frac{3}{2}\] |
|
|
|
giải đáp
|
mong moi nguoi giup minh bai nay
|
|
|
|
* Do $B \in BD$ nên $B(b;12-2b)$. $\overrightarrow {MB} = (b - 5;11 - 2b)$
$\overrightarrow {NB} = (b - 9;9 - b)$
$\overrightarrow {MB} \bot \overrightarrow {NB} \Leftrightarrow (b - 5)(b - 9) + (11 - 2b)(9 - 2b) = 0$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} b = \frac{24}{5} (loại) \\ b = 6 \end{gathered} \right.$ $\Rightarrow B(6;0)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {MB} = (1; - 1),\overrightarrow {NB} = (3; - 3)$
$BA:x + y - 6 = 0$
$BC:x - y - 6 = 0$
* Do $A \in BA,C \in BC,D \in BD$ nên $A(a;6 - a),C(c;c - 6),D(d;12 - 2d)$. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có: $\begin{cases} 2{x_I} = a + c = 6 + d (1) \\ 2{y_I} = - a + c = 12 - 2d (2) \end{cases}$
Rút d từ (1) thế vào (2) suy ra: $a = 24 - 3c$ (3) * $\overrightarrow {BA} = (a - 6,6 - a) \Leftrightarrow BA = \left| {a - 6} \right|\sqrt 2 $ $\overrightarrow {BC} = (c - 6,c - 6) \Leftrightarrow BC = \left| {c - 6} \right|\sqrt 2 $
${S_{ABCD}} = BA.BC = 2\left| {(a - 6)(c - 6)} \right| = 6$
$ \Leftrightarrow (18 - 3c)(c - 6) = 3$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} (18-3c)(c-6)=3 \\ (18-3c)(c-6)=-3 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} c=5 \\ c=7 \end{gathered} \right.$
* Với $c=5$, ta được: $C(5; - 1),A(9; - 3),D(8; - 4)$ $DA:x - y - 12 = 0$
$DC:x + y - 4 = 0$
* Với $c=7$, ta được: $C(7;1),A(3;3),D(4;4)$ $DA:x - y = 0$
$DC:x + y - 8 = 0$
|
|
|
|
giải đáp
|
giai gium mk
|
|
|
|
$1 - 2\cos 2x - \sqrt 3 \sin x + \cos x = 0$ $\Leftrightarrow 1 - 2(2{\cos ^2}x - 1) + \cos x - \sqrt 3 \sin x = 0$
$ \Leftrightarrow - 4{\cos ^2}x + \cos x + 3 - \sqrt 3 \sin x = 0$
$\Leftrightarrow (1 - \cos x)(4\cos x + 3) - \sqrt 3 \sin x = 0$
$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\frac{x}{2}(4\cos x + 3) - 2\sqrt 3 \sin \frac{x}{2}c{\rm{os}}\frac{x}{2} = 0$$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} 2\sin \frac{x}{2} = 0 (1) \\ \sin \frac{x}{2}(4\cos x + 3) - \sqrt 3 c{\rm{os}}\frac{x}{2} = 0 (2) \end{gathered} \right.$ $(1) \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)$
$(2) \Leftrightarrow 4\cos x\sin \frac{x}{2} + 3\sin \frac{x}{2} - \sqrt 3 c{\rm{os}}\frac{x}{2} = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin \frac{{3x}}{2} - 2\sin \frac{x}{2} + 3\sin \frac{x}{2} - \sqrt 3 c{\rm{os}}\frac{x}{2} = 0$
$ \Leftrightarrow \sin \frac{{3x}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}c{\rm{os}}\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin \frac{x}{2}$
$ \Leftrightarrow \sin \frac{{3x}}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{3} - \frac{x}{2} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{x}{2} + k2\pi \end{gathered} \right.$
$\Leftrightarrow \left [ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{gathered} \right.$ $(k \in Z)$ |
|
|
|
giải đáp
|
ai giải câu này cái
|
|
|
|
Bài 1: $4.cos^4x - cos2x - \frac{cos4x}{2} + cos\frac{3x}{4} = \frac{7}{2}$ (1)
Ta có: $4{\cos ^4}x = {(2{\cos ^2}x)^2} = {(1 + c{\rm{os}}2x)^2} = 1 + 2\cos 2x + \frac{{1 + c{\rm{os}}4x}}{2} = \frac{3}{2} + 2\cos 2x + \frac{{c{\rm{os}}4x}}{2}$
$(1) \Leftrightarrow \frac{3}{2} + \cos 2x + c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = \frac{7}{2}$
$\Leftrightarrow \cos 2x + c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = 2$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}c{\rm{os}}2x = 1 \\ c{\rm{os}}\frac{{3x}}{4} = 1 \end{cases}$
$ \Leftrightarrow \begin{cases}2x = m2\pi \\ \frac{{3x}}{4} = n2\pi \end{cases} $ ($m,n \in Z$)
$ \Leftrightarrow x = k8\pi (k \in Z)$
|
|
|
|
giải đáp
|
Oxy hay
|
|
|
|
Bài 2.Dễ thấy ${d_1} \bot {d_2}$ và ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A(-2;1)$. Gọi d là đường thẳng qua I và cắt ${d_1},{d_2}$ tại B, C. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d. Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2} - I{H^2}}} \ge \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{18}}\] \[Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow H \equiv I\]
Vậy d là đường thẳng qua I và vuông góc với AI. Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng d: $x - y - 3 = 0$.
|
|
|
|
giải đáp
|
Oxy hay
|
|
|
|
Bài 2. Dễ thấy ${d_1} \bot {d_2}$ và ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A(-2;1)$. Đường thẳng d qua I và có vtpt là $\overrightarrow n = (a;b)$ nên d có phương trình: \[a(x - 1) + b(y + 2) = 0\] Do tam giác ABC vuông tại A nên $\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}}$ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: $$d(A;d) = \frac{{\left| { - 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{\sqrt {{3^2} + {3^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {18} $$
\[ \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}} \ge \frac{1}{{18}}\]
Vậy: \[Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 3}} = \frac{b}{3} \Leftrightarrow a = - b \Leftrightarrow d:x - y - 3 = 0\]
|
|
|
|
giải đáp
|
Tích phân
|
|
|
|
$I = \int\limits_{ - 2}^2 {({x^5} + {x^2})} \sqrt {4 - {x^2}} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {{x^5}} \sqrt {4 - {x^2}} dx + \int\limits_{ - 2}^2 {{x^2}} \sqrt {4 - {x^2}} dx$ *** Ta tính ${I_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {{x^5}} \sqrt {4 - {x^2}} dx$ Đặt $t = - x \Rightarrow dt = - dx$ \[{I_1} = - \int\limits_{ - 2}^2 {{t^5}} \sqrt {4 - {t^2}} dt = - {I_1} \Rightarrow {I_1} = 0.\]
*** Ta tính ${I_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {{x^2}} \sqrt {4 - {x^2}} dx$ Đặt $x = 2\sin u,u \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ $dx = 2\cos udu$
\[{I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {4{{\sin }^2}u} .2\cos u.2\cos udu = 16\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}u} .{\cos ^2}udu = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}2u} du\]
\[ = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(1 - c{\rm{os4u}})} du = 2(u - \frac{1}{4}\sin 4u)\begin{cases}{\frac{\pi }{2}} \\ { - \frac{\pi }{2}} \end{cases} = 2\pi .\]
Vậy \[I = {I_1} + {I_2} = 2\pi .\] |
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình
|
|
|
|
Bài 2: ${x^2} - 3x + 1 = - tan\frac{\pi }{6}\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} $
$ \Leftrightarrow \sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} = - \sqrt 3 ({x^2} - 3x + 1)$
$ \Leftrightarrow \begin{cases} {x^2} - 3x + 1 \le 0 (1)\\ {x^4} + {x^2} + 1 = 3({x^4} + 9{x^2} + 1 - 6{x^3} + 2{x^2} - 6x) (2)\end{cases}$
$(1) \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le x \le \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$
$(2) \Leftrightarrow 2{x^4} - 18{x^3} + 32{x^2} - 18x + 2 = 0$
Do $x=0$ không là nghiệm nên $(2) \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 9(x + \frac{1}{x}) + 16 = 0$ Đặt $t = x + \frac{1}{x}$
$(2) \Leftrightarrow {t^2} - 2 - 9t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 7 \vee t = 2$
$*t = 7 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}$ (loại)
$*t = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$. |
|