Đặt: $w = \frac{{z + i}}{{z + 1}} + \frac{{\overline z + i}}{{\overline z + 1}}$ $z = x + yi(x,y \in R) \Rightarrow z.\overline z = {x^2} + {y^2},z + \overline z = 2x$Ta có:$w = \frac{{(z + i)(\overline z + 1) + (z + 1)(\overline z + i)}}{{(z + 1)(\overline z + 1)}}$$w = \frac{{2z.\overline z + z + \overline z + (z + \overline z + 2)i}}{{z.\overline z + z + \overline z + 1}}$$w = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} + 2x}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}} + \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}}i$$w$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn: \[{(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}\]

Đặt: $z = x + yi(x,y \in R) \Rightarrow z.\overline z = {x^2} + {y^2},z + \overline z = 2x$ $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức z. $w = \frac{{z + i}}{{z + 1}} + \frac{{\overline z + i}}{{\overline z + 1}}$Điều kiện: $z \ne - 1 \Leftrightarrow M \ne ( - 1;0)$Ta có:$w = \frac{{(z + i)(\overline z + 1) + (z + 1)(\overline z + i)}}{{(z + 1)(\overline z + 1)}}$$w = \frac{{2z.\overline z + z + \overline z + (z + \overline z + 2)i}}{{z.\overline z + z + \overline z + 1}}$$w = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} + 2x}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}} + \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}}i$$w$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$So với điều kiện, ta được tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường tròn (C): ${(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$ bỏ đi điểm ${M_0} \ne ( - 1;0)$.

Bài 3:$\log \frac{{{x^2} + x + 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}} = {x^2} - 3x + 2$ $ \Leftrightarrow \log ({x^2} + x + 1) - \log (2{x^2} - 2x + 3) = (2{x^2} - 2x + 3) - ({x^2} + x + 1)$$ \Leftrightarrow \log ({x^2} + x + 1) + ({x^2} + x + 1) = \log (2{x^2} - 2x + 3) + (2{x^2} - 2x + 3)$Đặt $f(t) = \log t + t$Do ${x^2} + x + 1 > 0, 2{x^2} - 2x + 3 > 0 \forall x \in R$ nên ta xét $t \in (0; + \infty )$Ta có: $f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\forall t \in (0; + \infty )$Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$Suy ra: $f({x^2} + x + 1) = f(2{x^2} - 2x + 3)$ $\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 3 = {x^2} + x + 1$$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2$$\Leftrightarrow x = 1 \vee x = 2$

Bài 3:$\log \frac{{{x^2} + x + 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}} = {x^2} - 3x + 2$ $ \Leftrightarrow \log ({x^2} + x + 1) - \log (2{x^2} - 2x + 3) = (2{x^2} - 2x + 3) - ({x^2} + x + 1)$$ \Leftrightarrow \log ({x^2} + x + 1) + ({x^2} + x + 1) = \log (2{x^2} - 2x + 3) + (2{x^2} - 2x + 3)$Đặt $f(t) = \log t + t$Do ${x^2} + x + 1 > 0, 2{x^2} - 2x + 3 > 0 \forall x \in R$ nên ta xét $t \in (0; + \infty )$Ta có: $f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 1 > 0\forall t \in (0; + \infty )$Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$Suy ra: $f({x^2} + x + 1) = f(2{x^2} - 2x + 3)$ $\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 3 = {x^2} + x + 1$$ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2$$\Leftrightarrow x = 1 \vee x = 2$

$\frac{\sin 3x-cosx}{\cos 2x}=\frac{\sqrt{2}(tan^2x+2tanx-1) }{1-tanx^{2}}$ (1)Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos2x \ne 0 \\ tanx \ne \pm 1 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{cases}$ ($k \in Z$)Nhân tử và mẫu của VP cho ${co{s^2}x}$, ta được:\[(1) \Leftrightarrow \frac{{sin3x - cosx}}{{cos2x}} = \frac{{\sqrt 2 (si{n^2}x + 2sinxcosx - co{s^2}x)}}{{co{s^2}x - si{n^2}x}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{sin3x - cosx}}{{cos2x}} = \frac{{\sqrt 2 (2sin2x - cos2x)}}{{cos2x}}\]\[ \Leftrightarrow sin3x - cosx = \sqrt 2 (2sin2x - cos2x)\]\[ \Leftrightarrow cos(\frac{\pi }{2} - 3x) - cosx = 2sin(2x - \frac{\pi }{4})\]\[ \Leftrightarrow - 2sin(\frac{\pi }{4} - x)sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = - 2sin(\frac{\pi }{4} - 2x)\]\[ \Leftrightarrow sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = 0 \vee sin(\frac{\pi }{4} - x) = 1\]$*sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in Z)$$*sin(\frac{\pi }{4} - x) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} - k\pi (k \in Z)$So với điều kiện, ta suy ra nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in Z)$

$\frac{\sin 3x-cosx}{\cos 2x}=\frac{\sqrt{2}(tan^2x+2tanx-1) }{1-tanx^{2}}$ (1)Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \ne 0 \\ \cos2x \ne 0 \\ tanx \ne \pm 1 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow $ $\begin{cases} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2} \end{cases}$ ($k \in Z$)Nhân tử và mẫu của VP cho ${co{s^2}x}$, ta được:\[(1) \Leftrightarrow \frac{{sin3x - cosx}}{{cos2x}} = \frac{{\sqrt 2 (si{n^2}x + 2sinxcosx - co{s^2}x)}}{{co{s^2}x - si{n^2}x}}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{sin3x - cosx}}{{cos2x}} = \frac{{\sqrt 2 (2sin2x - cos2x)}}{{cos2x}}\]\[ \Leftrightarrow sin3x - cosx = \sqrt 2 (2sin2x - cos2x)\]\[ \Leftrightarrow cos(\frac{\pi }{2} - 3x) - cosx = 2sin(2x - \frac{\pi }{4})\]\[ \Leftrightarrow - 2sin(\frac{\pi }{4} - x)sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = - 2sin(\frac{\pi }{4} - 2x)\]\[ \Leftrightarrow sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = 0 \vee sin(\frac{\pi }{4} - x) = 1\]$*sin(\frac{\pi }{4} - 2x) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in Z)$$*sin(\frac{\pi }{4} - x) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} - k2\pi (k \in Z)$So với điều kiện, ta suy ra nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in Z)$

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} $Đặt $x = \tan t,t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$$\Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$$\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} = \sqrt {{{(1 + {{\tan }^2}t)}^3}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}} } \right)^3} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}$ (do $t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$)$\Rightarrow I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}}}} = \int {\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{{(1 - {{\sin }^2}t){\rm{cos}}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt$\[ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} {\rm{cos}}tdt\]Đặt $u = \sin t \Rightarrow du = \cos tdt$$ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{u^2}}} - 1)} du = - \frac{1}{u} - u + c = - \frac{1}{{\sin t}} - \sin t+c$

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} $Đặt $x = \tan t,t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$$\Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$$\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} = \sqrt {{{(1 + {{\tan }^2}t)}^3}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}} } \right)^3} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}$ (do $t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$)$\Rightarrow I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}}}} = \int {\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{{(1 - {{\sin }^2}t){\rm{cos}}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt$\[ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} {\rm{cos}}tdt\]Đặt $u = \sin t \Rightarrow du = \cos tdt$$ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{u^2}}} - 1)} du = - \frac{1}{u} - u + c$Ta có:$x = \tan t = \frac{{\sin t}}{{\cos t}} = \frac{u}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}$$ \Rightarrow {x^2}(1 - {u^2}) = {u^2}$$\Rightarrow u = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$Vậy: $$I = - \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} - \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + c$$

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} $Đặt $x = \tan t,t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$$\Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$$\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} = \sqrt {{{(1 + {{\tan }^2}t)}^3}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}} } \right)^3} = \frac{1}{{\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t} \right|}}$$\Rightarrow I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}\frac{1}{{\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t} \right|}}}}} = \int {\frac{{\left| {{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t} \right|}}{{{{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{{(1 - {{\sin }^2}t)\left| {{\rm{cos}}t} \right|}}{{{{\sin }^2}t}}} dt$\[ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} \left| {{\rm{cos}}t} \right|dt\]$*t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \Rightarrow I = - \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} {\rm{cos}}tdt$$*t \in (0;\frac{\pi }{2}) \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} {\rm{cos}}tdt$Với mỗi trường hợp, đặt tiếp $u = \sin t$ là xong.

$I = \int {\frac{{dx}}{{{x^2}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} $Đặt $x = \tan t,t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$$\Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$$\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} = \sqrt {{{(1 + {{\tan }^2}t)}^3}} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}} } \right)^3} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}$ (do $t \in ( - \frac{\pi }{2};0) \cup (0;\frac{\pi }{2})$)$\Rightarrow I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}}}} = \int {\frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^3}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt = \int {\frac{{(1 - {{\sin }^2}t){\rm{cos}}t}}{{{{\sin }^2}t}}} dt$\[ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1)} {\rm{cos}}tdt\]Đặt $u = \sin t \Rightarrow du = \cos tdt$$ \Rightarrow I = \int {(\frac{1}{{{u^2}}} - 1)} du = - \frac{1}{u} - u + c = - \frac{1}{{\sin t}} - \sin t+c$

${\log _4}x + {\log _4}(x - 2) = 2 - {\log _4}2$ (1)Điều kiện: $x \ge 2$(1) $ \Leftrightarrow {\log _4}x(x - 2) = {\log _4}16 - {\log _4}2$$\Leftrightarrow {\log _4}x(x - 2) = {\log _4}8$$\Leftrightarrow x(x - 2) = 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0$$ \Leftrightarrow x = 4$ (loại nghiệm $x=-2$)

${\log _4}x + {\log _4}(x - 2) = 2 - {\log _4}2$ (1)Điều kiện: $x > 2$(1) $ \Leftrightarrow {\log _4}x(x - 2) = {\log _4}16 - {\log _4}2$$\Leftrightarrow {\log _4}x(x - 2) = {\log _4}8$$\Leftrightarrow x(x - 2) = 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0$$ \Leftrightarrow x = 4$ (loại nghiệm $x=-2$)

Ta có: $2x+1+\sqrt {4x + 1} = \frac{1}{2}(4x + 2 + 2\sqrt {4x + 1} ) = \frac{1}{2}{(\sqrt {4x + 1} + 1)^2}$$\Leftrightarrow I= \int\limits_2^6 {\frac{{dx}}{{2x + 1 + \sqrt {4x + 1} }}} = 2\int\limits_2^6 {\frac{{dx}}{{{{(\sqrt {4x + 1} + 1)}^2}}}} $Đặt $t = \sqrt {4x + 1} + 1 \Leftrightarrow {(t - 1)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}(t - 1)dt = dx$\[x = 6 \Rightarrow t = 6\]\[x = 2 \Rightarrow t = 4\]$ \Rightarrow I = \int\limits_3^5 {\frac{{(t - 1)dt}}{{{t^2}}}} = \int\limits_3^5 {(\frac{1}{t}} - \frac{1}{{{t^2}}})dt = \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{{12}}$

Ta có: $2x+1+\sqrt {4x + 1} = \frac{1}{2}(4x + 2 + 2\sqrt {4x + 1} ) = \frac{1}{2}{(\sqrt {4x + 1} + 1)^2}$$\Leftrightarrow I= \int\limits_2^6 {\frac{{dx}}{{2x + 1 + \sqrt {4x + 1} }}} = 2\int\limits_2^6 {\frac{{dx}}{{{{(\sqrt {4x + 1} + 1)}^2}}}} $Đặt $t = \sqrt {4x + 1} + 1 \Leftrightarrow {(t - 1)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}(t - 1)dt = dx$\[x = 6 \Rightarrow t = 6\]\[x = 2 \Rightarrow t = 4\]$ \Rightarrow I = \int\limits_4^6 {\frac{{(t - 1)dt}}{{{t^2}}}} = \int\limits_4^6 {(\frac{1}{t}} - \frac{1}{{{t^2}}})dt = \ln \frac{3}{2} - \frac{1}{{12}}$

$(C):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}$Ta có: $y' = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$* Giao điểm của hai tiệm cận: $I( - 1;2)$* $M \in (C) \Rightarrow M(m;2 - \frac{3}{{m + 1}}),m \ne - 1$$\overrightarrow {IM} = (m + 1; - \frac{3}{{m + 1}}) \Rightarrow \overrightarrow n = (\frac{3}{{m + 1}};m + 1)$Phương trình đường thẳng IM: $\frac{3}{{m + 1}}(x + 1) + (m + 1)(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}(x + 1) + 2$Suy ra hệ số góc của đường thẳng IM: ${k_1} = \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}$* Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: ${k_2} = y'(m) = \frac{3}{{{{(m + 1)}^2}}}$* Theo đề bài, ta có:${k_1}.{k_2} = - 9 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}.\frac{3}{{{{(m + 1)}^2}}} = - 9$$ \Leftrightarrow {(m + 1)^4} = 1 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = - 2$

$(C):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}$Ta có: $y' = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$* Giao điểm của hai tiệm cận: $I( - 1;2)$* $M \in (C) \Rightarrow M(m;2 - \frac{3}{{m + 1}}),m \ne - 1$$\overrightarrow {IM} = (m + 1; - \frac{3}{{m + 1}}) \Rightarrow \overrightarrow n = (\frac{3}{{m + 1}};m + 1)$Phương trình đường thẳng IM: $\frac{3}{{m + 1}}(x + 1) + (m + 1)(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}(x + 1) + 2$Suy ra hệ số góc của đường thẳng IM: ${k_1} = \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}$* Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: ${k_2} = y'(m) = \frac{3}{{{{(m + 1)}^2}}}$* Theo đề bài, ta có:${k_1}.{k_2} = - 9 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{{{(m + 1)}^2}}}.\frac{3}{{{{(m + 1)}^2}}} = - 9$$ \Leftrightarrow {(m + 1)^4} = 1 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = - 2$Vậy có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán: $M(0; - 1),M( - 2;5)$

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $*A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $*A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $*A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $*A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

Mình tính nguyên hàm, bạn tự thế cận nhé!Tính $I= \int {\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}}} dx$Ta có: $\frac{{\cos (x - \frac{\pi }{4})}}{{4 - 3\cos x}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x + \cos x}}{{4 - 3\cos x}} $ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( { - \frac{1}{3} + \frac{4}{3}.\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} \right)$$ \Rightarrow I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx - \frac{{\sqrt 2 }}{6}\int {dx} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$* Tính $*A = \int {\frac{{\sin x}}{{4 - 3\cos x}}} dx$: đặt $t = 4 - 3\cos x$* Tính $B = \int {\frac{1}{{4 - 3\cos x}}} dx$$4 - 3\cos x = 4({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2}) - 3({\cos ^2}\frac{x}{2} - {\sin ^2}\frac{x}{2}) = 7{\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = {\cos ^2}\frac{x}{2}(7{\tan ^2}\frac{x}{2} + 1)$$\Rightarrow B = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}(7{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1)}}} dx$Đặt $t = \tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$$\Rightarrow B = \int {\frac{{2dt}}{{7{t^2} + 1}}} $Tới đây đặt tiếp $t = \frac{{\tan u}}{{\sqrt 7 }}$ là xong.

$B = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{xln(x + 2)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx$Lưu ý: $y = - \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow y' = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$Đặt:$u = ln(x + 2) \Rightarrow du = \frac{1}{{x + 2}}dx$$dv = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} \Leftarrow v = - \sqrt {4 - {x^2}} $$B = - \sqrt {4 - {x^2}} ln(x + 2) + \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{x + 2}}} dx = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{x + 2}}} dx$Đặt $x = 2\sin t,t \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$$dx = 2\cos tdt$$B = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}{{2\sin t + 2}}.2} \cos tdt = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{2{{\cos }^2}t}}{{\sin t + 1}}} dt$$= - 2\ln 2 + 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {(1 - \sin t)} dt = - 2\ln 2 + 2 - \sqrt 3 + \frac{\pi }{3}$

$B = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{xln(x + 2)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} dx$Lưu ý: $y = - \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow y' = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$Đặt:$u = ln(x + 2) \Rightarrow du = \frac{1}{{x + 2}}dx$$dv = \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} \Leftarrow v = - \sqrt {4 - {x^2}} $$B = - \sqrt {4 - {x^2}} ln(x + 2)\begin{cases}0 \\ -1 \end{cases} + \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{x + 2}}} dx = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{x + 2}}} dx$Đặt $x = 2\sin t,t \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$$dx = 2\cos tdt$$B = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}{{2\sin t + 2}}.2} \cos tdt = - 2\ln 2 + \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{2{{\cos }^2}t}}{{\sin t + 1}}} dt$$= - 2\ln 2 + 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {(1 - \sin t)} dt = - 2\ln 2 + 2 - \sqrt 3 + \frac{\pi }{3}$

Đặt $z=x+yi$ ($x,y \in R)$*\left| {\frac{{z + 1 - 2i}}{{\bar z + 3 + 4i}}} \right| = 1$$\Leftrightarrow \left| {z + 1 - 2i} \right| = \left| {\bar z + 3 + 4i} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {(x + 1) + (y - 2)i} \right| = \left| {(x + 3) + ( - y + 4)i} \right|$$ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x + 3)^2} + {( - y + 4)^2}$$ \Leftrightarrow x - y + 5 = 0$ (1)$*\frac{{z - 2i}}{{\bar z + i}} = \frac{{x + (y - 2)i}}{{x + ( - y + 1)i}} = \frac{{\left[ {x + (y - 2)i} \right]\left[ {x - ( - y + 1)i} \right]}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - {y^2} + 3y - 2}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}} + \frac{{2xy - 3x}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}}i$Để $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là số ảo thì ${x^2} - {y^2} + 3y - 2 = 0$ (2)* (1), (2) $\Rightarrow x = - \frac{{12}}{7},y = \frac{{23}}{7}$Vậy $z = - \frac{{12}}{7} + \frac{{23}}{7}i$

Đặt $z=x+yi$ ($x,y \in R$)$*\left| {\frac{{z + 1 - 2i}}{{\bar z + 3 + 4i}}} \right| = 1$$\Leftrightarrow \left| {z + 1 - 2i} \right| = \left| {\bar z + 3 + 4i} \right|$$ \Leftrightarrow \left| {(x + 1) + (y - 2)i} \right| = \left| {(x + 3) + ( - y + 4)i} \right|$$ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = {(x + 3)^2} + {( - y + 4)^2}$$ \Leftrightarrow x - y + 5 = 0$ (1)$*\frac{{z - 2i}}{{\bar z + i}} = \frac{{x + (y - 2)i}}{{x + ( - y + 1)i}} = \frac{{\left[ {x + (y - 2)i} \right]\left[ {x - ( - y + 1)i} \right]}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - {y^2} + 3y - 2}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}} + \frac{{2xy - 3x}}{{{x^2} + {{( - y + 1)}^2}}}i$Để $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ là số ảo thì ${x^2} - {y^2} + 3y - 2 = 0$ (2)* (1), (2) $\Rightarrow x = - \frac{{12}}{7},y = \frac{{23}}{7}$Vậy $z = - \frac{{12}}{7} + \frac{{23}}{7}i$

3/ $P = \int\limits_1^e {\frac{{1 + {x^2}lnx}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $= \int\limits_1^e {\frac{{x + {x^2}lnx - x + 1}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x - 1}}{{x + {x^2}lnx}}} \right)} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x - 1 - x\ln x}}{{x(1 + xlnx)}}} \right)} dx$ $= \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}} + \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= e + 1 - \int\limits_1^e {\frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}}dx} $ Tới đây đặt $t = 1 + x\ln x$ là xong.

3/ $P = \int\limits_1^e {\frac{{1 + {x^2}lnx}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $= \int\limits_1^e {\frac{{x + {x^2}lnx - x + 1}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x - 1}}{{x + {x^2}lnx}}} \right)} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x - 1 - x\ln x}}{{x(1 + xlnx)}}} \right)} dx$ $= \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{1 + \ln x}}{{1 + xlnx}} + \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= e + 1 - \int\limits_1^e {\frac{{1 + \ln x}}{{1 + xlnx}}dx} $ Tới đây đặt $t = 1 + x\ln x$ là xong.

1/ Hàm số dưới dấu tích phân không xác định tại $x = \frac{\pi }{3} \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$ nên tích phân không tồn tại. 3/ $P = \int\limits_1^e {\frac{{1 + {x^2}lnx}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $= \int\limits_1^e {\frac{{x + {x^2}lnx - x + 1}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x - 1}}{{x + {x^2}lnx}}} \right)} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x - 1 - x\ln x}}{{x(1 + xlnx)}}} \right)} dx$ $= \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}} + \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= e + 1 - \int\limits_1^e {\frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}}dx} $ Tới đây đặt $t = 1 + x\ln x$ là xong.

3/ $P = \int\limits_1^e {\frac{{1 + {x^2}lnx}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $= \int\limits_1^e {\frac{{x + {x^2}lnx - x + 1}}{{x + {x^2}lnx}}} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x - 1}}{{x + {x^2}lnx}}} \right)} dx$ $ = \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x - 1 - x\ln x}}{{x(1 + xlnx)}}} \right)} dx$ $= \int\limits_1^e {\left( {1 - \frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}} + \frac{1}{x}} \right)} dx$ $= e + 1 - \int\limits_1^e {\frac{{x + x\ln x}}{{1 + xlnx}}dx} $ Tới đây đặt $t = 1 + x\ln x$ là xong.