Đặt: $z = x + yi(x,y \in R) \Rightarrow z.\overline z = {x^2} + {y^2},z + \overline z = 2x$ $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức z.
$w = \frac{{z + i}}{{z + 1}} + \frac{{\overline z + i}}{{\overline z + 1}}$
Điều kiện: $z \ne - 1 \Leftrightarrow M \ne ( - 1;0)$
Ta có:
$w = \frac{{(z + i)(\overline z + 1) + (z + 1)(\overline z + i)}}{{(z + 1)(\overline z + 1)}}$
$w = \frac{{2z.\overline z + z + \overline z + (z + \overline z + 2)i}}{{z.\overline z + z + \overline z + 1}}$
$w = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} + 2x}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}} + \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 1}}i$
$w$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$
So với điều kiện, ta được tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường tròn (C): ${(x + \frac{1}{2})^2} + {y^2} = \frac{1}{4}$ bỏ đi điểm ${M_0} \ne ( - 1;0)$.