Điều kiện của bất phương trình là $x<-1\vee x>1$.Trường hợp $x<-1$. Khi đó bất phương trình vô nghiệm vì nó có vế trái nhận giá trị âm.Trường hợp $x>1$. Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho và ta được $x\left ( \sqrt{x^2-1}+1 \right )>\frac{3\sqrt{5}}{2}$ $\Leftrightarrow 2.\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}>3\sqrt{5}.\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}$ $(1)$.Đặt $u=\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}$ với $1<u\leq \sqrt{2}$. Khi đó ta có $\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}=\frac{u^2-1}{2}$. Từ đó bất phương trình $(1)$ trở thành $2u>3\sqrt{5}.\frac{u^2-1}{2}$, $\Leftrightarrow 3\sqrt{5}u^2-4u-3\sqrt{5}<0$.Giải bất phương trình này và nhận nghiệm $u$ thỏa mãn $1<u\leq \sqrt{2}$thì được$1<u<\frac{3}{\sqrt{5}}$. Với kết quả trên, ta có $1<\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}<\frac{3}{\sqrt{5}}$ $(2)$. Vì $\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}>1,\forall x>1$ nên ta có $(2)\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\ \frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}<\frac{3}{\sqrt{5}}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\ \sqrt{5}\sqrt{x^2-1}<3x-\sqrt{5}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\5(x^2-1)<(3x-\sqrt{5})^2\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\4x^2-6\sqrt{5}x+10>0\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\x&gt;\sqrt{5}\vee x&lt;\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow x&gt;\sqrt{5}\vee 1<x&lt;\frac{\sqrt{5}}{2}$.Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left ( 1;\frac{\sqrt{5}}{2}\right )\cup \left ( \sqrt{5};+\infty \right )$.

Điều kiện của bất phương trình là $x<-1\vee x>1$.Trường hợp $x<-1$. Khi đó bất phương trình vô nghiệm vì nó có vế trái nhận giá trị âm.Trường hợp $x>1$. Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho và ta được $x\left ( \sqrt{x^2-1}+1 \right )>\frac{3\sqrt{5}}{2}$ $\Leftrightarrow 2.\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}>3\sqrt{5}.\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}$ $(1)$.Đặt $u=\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}$ với $1$2u>3\sqrt{5}.\frac{u^2-1}{2}$,$\Leftrightarrow 3\sqrt{5}u^2-4u-3\sqrt{5}<0$.Giải bất phương trình này và nhận nghiệm$u$thỏa mãn$1Với kết quả trên, ta có $1<\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}<\frac{3}{\sqrt{5}}$ $(2)$. Vì $\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}>1,\forall x>1$ nên ta có $(2)\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\ \frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x}<\frac{3}{\sqrt{5}}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\ \sqrt{5}\sqrt{x^2-1}<3x-\sqrt{5}\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\5(x^2-1)<(3x-\sqrt{5})^2\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\4x^2-6\sqrt{5}x+10>0\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}x>1 \\x&lt;\frac{\sqrt{5}}{2}\vee x&gt;\sqrt{5}\end{cases}$ $\Leftrightarrow 1<x&lt;\frac{\sqrt{5}}{2}\vee x&gt;\sqrt{5}$Vậy, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là$S=\left ( 1;\frac{\sqrt{5}}{2}\right )\cup \left ( \sqrt{5};+\infty \right )$.

Điều kiện của phương trình là $x\geq-1$.Có thể thấy $x=-1$ hoặc $x=3$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Các trường hợp còn lại của $x$ được xét như sau.Trường hợp $x\in (-1;3)$. Khi đó $0<x+1<4$. Từ đó suy ra $\sqrt{\frac{2}{x+1}+2\sqrt{\frac{2}{(x+1)^3}+4\sqrt{\frac{1}{(x+1)^7}}}}>\sqrt{\frac{2}{4}+2\sqrt{\frac{2}{4^3}+4\sqrt{\frac{1}{4^7}}}}=1$,hay $\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1)}}}>1$.Kết quả trên cho thấy các giá trị của $x\in(-1;3)$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Trường hợp $x\in (3;+\infty )$. Khi đó $x+1>4$. Từ đó suy ra $\sqrt{\frac{2}{x+1}+2\sqrt{\frac{2}{(x+1)^3}+4\sqrt{\frac{1}{(x+1)^7}}}}<\sqrt{\frac{2}{4}+2\sqrt{\frac{2}{4^3}+4\sqrt{\frac{1}{4^7}}}}=1$,hay $\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1)}}}<1$.Kết quả trên cho thấy các giá trị của $x\in(3;+\infty )$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Thành thử, phương trình đã cho có hai nghiệm, đó là $x=-1$ hoặc $x=3$.

Điều kiện của phương trình là $x\geq-1$.Có thể thấy $x=-1$ hoặc $x=3$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Các trường hợp còn lại của $x$ được xét như sau.Trường hợp $x\in (-1;3)$. Khi đó $0$\sqrt{\frac{2}{x+1}+2\sqrt{\frac{2}{(x+1)^3}+4\sqrt{\frac{1}{(x+1)^7}}}}>\sqrt{\frac{2}{4}+2\sqrt{\frac{2}{4^3}+4\sqrt{\frac{1}{4^7}}}}=1$,hay$\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1)}}}>x+1$.Kết quả trên cho thấy các giá trị của$x\in(-1;3)$không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Trường hợp$x\in (3;+\infty )$. Khi đó$x+1>4$. Từ đó suy ra$\sqrt{\frac{2}{x+1}+2\sqrt{\frac{2}{(x+1)^3}+4\sqrt{\frac{1}{(x+1)^7}}}}<\sqrt{\frac{2}{4}+2\sqrt{\frac{2}{4^3}+4\sqrt{\frac{1}{4^7}}}}=1$,hay$\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1)}}}<x+1$.Kết quả trên cho thấy các giá trị của$x\in(3;+\infty )$không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Thành thử, phương trình đã cho có hai nghiệm, đó là$x=-1$hoặc$x=3$.