3) Do chỉ có duy nhất 1mp // với SC đó là mp(HAKI)=> thiết diện chóp S.ABCD là tứ diện (HAKI) => Ta sẽ xét diện tích của mp(HAKI) :)
Có \begin{cases} BD \bot SA (Do SA \bot mp(ABCD)) \\ BD \bot AC (Do ABCD là hình vuông) \end{cases}
=> BD \bot mp(SAC)
Có \DeltaSAB = \DeltaSAD (cgc)
=> SB = SD. (3)
Do \DeltaSAD = \DeltaSAB nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng nhau tức AH = AK
=> \DeltaSAH = \DeltaSAK (vì có cạnh huyền và góc vuông bằng nhau)
=> SH=SK. (4)
Từ (3)(4)
=> \frac {SK}{SD}=\frac{SH}{SB}
Theo định lí Talet đảo ta có:
HK//BD
Mà BD \bot mp(SAC)
=> HK \bot mp(SAC)
=> HK \bot AI
=> Ta gọi AI cắt HK tại M.
Trong \DeltaABC có AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2
=> AC=a\sqrt{2}
Trong \Delta SAC có: \frac {1}{AI^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AC^2}
=> \frac {1}{AI^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{2a^2} = \frac {2+1}{2a^2}
=> AI= \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a
Trong \DeltaSAD có: \frac {1}{AK^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AD^1}
\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{a^2} =\frac {2}{a^2}
=> AK^2=\frac {a^2}{2}
Trong \Delta SAK có:
AK^2+SK^2=SA^2
\frac {a^2}{2} +SK^2=a^2
SK = \frac {a}{\sqrt{2}}
Trong \DeltaSAD có:
SD^2=SA^2+AD^2
=> SD^2=a^2+a^2=2a^2
=> SD=a\sqrt{2}
Trong \DeltaSBD có:
\frac {SK}{SD}=\frac {HK}{BD} (Talet)
=>\frac {\frac {a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}=\frac {HK}{a\sqrt{2}}
=>HK=\frac {a}{\sqrt{2}}
Có S_{HAKI}= S_{\Delta AHK} + S_{\Delta IHK}
=> S_{HAKI}= \frac {1}{2}AM.HK + \frac {1}{2}IM.HK
=> S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.(AM+IM)
=> S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.AI
=> S_{HAKI}= \frac {1}{2} \frac {a}{\sqrt{2}} \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a
=> S_{HAKI}= \frac {a^2}{2\sqrt{3}}