$Chứng minh A=(1996^{1995^{1994^{...^{2^{1}}}}} -1)$ $\vdots 75$ Tức là A vừa $\vdots 25$ và A vừa $\vdots 3$.Dễ thấy $(1995^{1994^{...^{2^{1}}}})$ $\vdots 5$ (vì $1995$ có tận cùng $= 5$, mũ $1994^{{1993}^{{1992}^{{...}^{1}}}}$ hiển nhiên $\in N$. Do vậy, 5 mũ n $(n \in N)$ sẽ chia hết cho 5. @^^@)=> Ta đặt $(1995^{1994^{...^{2^{1}}}})$ là 5i ($i \in N$) (*Đặt 5i vì $5$ nhân với 1 số $i$ bất kì đều chia hết cho 5 :D)Có: $1996^{5i} = (96 + 1900)^{5i}$Từ nhị thức newton: với: tức là tổ hợp chập k của n phần tử. ( $C\frac{k}{n}$ ) (* Mình chịu, chả biết viết chỗ tổ hợp C như nào -_-'. Mình dùng tạm thẻ (\frac), dĩ nhiên chỗ đó ko có cái gạch ở giữa, hihi :P)Thay $(96+1900)^{5i}$ vào $(x+a)^n$ ta được:$(96+1900)^{5i}$ $=96^i$ $+ (........)$(* Mình chịu ko viết đc công thức trên -_-'. Tóm lại mình sẽ giải thích chỗ $(........)$ 1 cách dễ hiểu nhất như sau:khi thay hết vào ta có: $n=5i, x=96, a=1900$, chỗ $k=O$ mình chuyển thành $i=1$, vì $i=0$ mình đã để riêng ra ngoài rồi, chính là $96^i + ...$ đó )Dễ thấy cái cụm $(........)$ này $\vdots$ $100$ vì loằng ngoằng 1 đống số $\in N$ đằng trước nhân với $1900$ mà $1900$ hiển nhiên $\vdots$ $100$.=> Ta đặt cả cụm $(........)$ này $=100m (m\in N)$(*Đặt 100m vì $100$ nhân với 1 số $n $bất kì đều chia hết cho 100 :D)Tóm lại, giờ ta sẽ được:$1996^{5i}= 96^{5i} + 100m$$1996^{5i}= 8153726976^{i} + 100m$Nhận thấy,$76^i$luôn có tận cùng$=76$$100m$ luôn có tận cùng $=00$=> $1996^{5i} $ luôn có tận cùng $=76$=> $(1996^{5i} -1) $ luôn có tận cùng $=75$=> A $\vdots 25 $ (1)(Còn nữa)

$Chứng minh A=(1996^{1995^{1994^{...^{2^{1}}}}} -1)$ $\vdots 75$ Tức là A vừa $\vdots 25$ và A vừa $\vdots 3$.Dễ thấy $(1995^{1994^{...^{2^{1}}}})$ $\vdots 5$ (vì $1995$ có tận cùng $= 5$, mũ $1994^{{1993}^{{1992}^{{...}^{1}}}}$ hiển nhiên $\in N$. Do vậy, 5 mũ n $(n \in N)$ sẽ chia hết cho 5. @^^@)=> Ta đặt $(1995^{1994^{...^{2^{1}}}})$ là 5i ($i \in N$) (*Đặt 5i vì $5$ nhân với 1 số $i$ bất kì đều chia hết cho 5 :D)Có: $1996^{5i} = (96 + 1900)^{5i}$Từ nhị thức newton: với: tức là tổ hợp chập k của n phần tử. ( $C\frac{k}{n}$ ) (* Mình chịu, chả biết viết chỗ tổ hợp C như nào -_-'. Mình dùng tạm thẻ (\frac), dĩ nhiên chỗ đó ko có cái gạch ở giữa, hihi :P)Thay $(96+1900)^{5i}$ vào $(x+a)^n$ ta được:$(96+1900)^{5i}$ $=96^i$ $+ (........)$(* Mình chịu ko viết đc công thức trên -_-'. Tóm lại mình sẽ giải thích chỗ $(........)$ 1 cách dễ hiểu nhất như sau:khi thay hết vào ta có: $n=5i, x=96, a=1900$, chỗ $k=O$ mình chuyển thành $i=1$, vì $i=0$ mình đã để riêng ra ngoài rồi, chính là $96^i + ...$ đó )Dễ thấy cái cụm $(........)$ này $\vdots$ $100$ vì loằng ngoằng 1 đống số $\in N$ đằng trước nhân với $1900$ mà $1900$ hiển nhiên $\vdots$ $100$.=> Ta đặt cả cụm $(........)$ này $=100m (m\in N)$(*Đặt 100m vì $100$ nhân với 1 số $m $bất kì đều chia hết cho 100 :D)Tóm lại, giờ ta sẽ được:$1996^{5i}= 96^{5i} + 100m$$1996^{5i}=8153726976^{i} + 100m$(*1996^(5i)= 8153726976^i + 100m)Nhận thấy, $76^i$ luôn có tận cùng $=76$$100m$ luôn có tận cùng $=00$=> $1996^{5i}$ luôn có tận cùng $=76$=> $(1996^{5i} -1)$ luôn có tận cùng $=75$=> A $\vdots 25$ (1)Đặt $(1995^x) = (1995^{1994^{...^{1}}})$Xét$(1995^x) $thấy$(1+9+9+5=24) \vdots 3$=>$(1995^x) \vdots 3 $Đặt$(1995^x) = 3p(p \in N)$(*Đặt 3p vì$3$ nhân với 1 số $p$ bất kì đều chia hết cho 3 :D) ...ta có:$1996^{3p} -1$$=7952095936^p -1$$=2^6.124251499^p -1$$=(2^6-1)(124251499^p-1)$Nhận thấy $(2^6-1) \vdots 3$, $(124251499^p-1)$ hiển nhiên $\in N$=> $(1996^{3p} -1)$ $\vdots 3$=> A $\vdots 3$ (2)Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm :D

Ví dụ tham khảo nè :D....Cho tam giác với và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .Bài giảiTrung điểm của AB là: Ta có phương trình đường trung trực của AB là: Trung điểm của BC là: Ta có phương trình đường trung trực của BC là: Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là nghiệm của hệ:

Ví dụ tham khảo nè :D:D $....$Cho tam giác với và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác .Bài giảiTrung điểm của AB là: Ta có phương trình đường trung trực của AB là: Trung điểm của BC là: Ta có phương trình đường trung trực của BC là: Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là nghiệm của hệ:

f)SA $\bot$ BCAB $\bot$ BC=> mp(SAB) $\bot$ BC=> SB $\bot$ BC=> g(SBC) = $90^{o}$Theo pytago ta có:$SC^{2} = SB^{2} + BC^{2}$$SC^{2} = 4a^{2} + a^{2} = 5a^{2}$$SC = a\sqrt{5}$Hạ CN $\bot$ SOSẽ CM được SN là hình chiếu của SC trên mp(SBD)=> g(SC,mp(SBD) = g(NSC) = g(OSC)=> sin g(OSC) = $\frac {NC}{SC}$ = $\frac {NC}{a\sqrt{5}}$ (*Chú ý: NC là đường vuông góc với SO chứ không bằng OC nhé ! Các bạn tính NC rồi tự suy ra góc(OSC) nhé :D Hoặc có thể dùng cách khác nếu dùng sin không tính được :D)=> g(OSC) = $\approx ....^{o}$

f)SA $\bot$ BCAB $\bot$ BC=> mp(SAB) $\bot$ BC=> SB $\bot$ BC=> g(SBC) = $90^{o}$Theo pytago ta có:$SC^{2} = SB^{2} + BC^{2}$$SC^{2} = 4a^{2} + a^{2} = 5a^{2}$$SC = a\sqrt{5}$Hạ CN $\bot$ SOSẽ CM được SN là hình chiếu của SC trên mp(SBD)=> g(SC,mp(SBD) = g(NSC) = g(OSC)=> tan g(OSC) = $\frac {NC}{SC}$ = $\frac {NC}{a\sqrt{5}}$ (*Chú ý: NC là đường vuông góc với SO chứ không bằng OC nhé ! Bạn tính NC rồi tự suy ra góc(OSC) nhé :D Hoặc có thể dùng cách khác nếu dùng tan không tính ra được :D)=> g(OSC) = $\approx ....^{o}$

$y=\frac{x^2-3x+5}{x-2}$Điều kiện: $x\neq2$$y'=(\frac{x^2-3x+5}{x-2})'$$y'=\frac{(x^2-3x+5)'(x-2)-(x^2-3x+5)(x-2)'}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+5)}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(x^2-4x+1)}{(x-2)^{2}}$Vì $(x-2)^{2} \geq 0 \forall x$Để $y' \geq 0$ => $x^2-4x+1 \geq 0$(*Cách xét dấu: trong trái ngoài cùng) $-\infty$ $2-\sqrt{3}$ $2+\sqrt{3}$ $+\infty$ $y'$ + $0$ - $0$ +=> Vậy để $y' \geq 0$ => x thuộc ($-\infty$; $2-\sqrt{3}$] $\cup$ [$2+\sqrt{3}$; $+\infty$]

$y=\frac{x^2-3x+5}{x-2}$Điều kiện: $x\neq2$$y'=(\frac{x^2-3x+5}{x-2})'$$y'=\frac{(x^2-3x+5)'(x-2)-(x^2-3x+5)(x-2)'}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+5)}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(x^2-4x+1)}{(x-2)^{2}}$Vì $(x-2)^{2} \geq 0 \forall x$Để $y' \geq 0$ => $x^2-4x+1 \geq 0$(*Cách xét dấu: trong trái ngoài cùng) $-\infty$ $2-\sqrt{3}$ $2+\sqrt{3}$ $+\infty$ $y'$ $+$ $0$ $ -$ $0$ $+$=> Vậy để $y' \geq 0$ => x thuộc ($-\infty$; $2-\sqrt{3}$] $\cup$ [$2+\sqrt{3}$; $+\infty$]

$y=\frac{x^2-3x+5}{x-2}$Điều kiện: $x\neq2$$y'=(\frac{x^2-3x+5}{x-2})'$$y'=\frac{(x^2-3x+5)'(x-2)-(x^2-3x+5)(x-2)'}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+5)}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(x^2-4x+1)}{(x-2)^{2}}$Vì $(x-2)^{2} \geq 0 \forall x$Để $y' \geq 0$ => $x^2-4x+1 \geq 0$(*Cách xét dấu: trong trái ngoài cùng) $-\infty$ $2-\sqrt{3}$ $2+\sqrt{3}$ $+\infty$ $y'$ + $0$ - $0$ +=> Vậy để $y' \geq 0$ => x thuộc ($-\infty$; $2-\sqrt{3}$] $\cup$ [$2+\sqrt{3}$; $+\infty$]

$y=\frac{x^2-3x+5}{x-2}$Điều kiện: $x\neq2$$y'=(\frac{x^2-3x+5}{x-2})'$$y'=\frac{(x^2-3x+5)'(x-2)-(x^2-3x+5)(x-2)'}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+5)}{(x-2)^{2}}$$y'=\frac{(x^2-4x+1)}{(x-2)^{2}}$Vì $(x-2)^{2} \geq 0 \forall x$Để $y' \geq 0$ => $x^2-4x+1 \geq 0$(*Cách xét dấu: trong trái ngoài cùng) $-\infty$ $2-\sqrt{3}$ $2+\sqrt{3}$ $+\infty$ $y'$ + $0$ - $0$ +=> Vậy để $y' \geq 0$ => x thuộc ($-\infty$; $2-\sqrt{3}$] $\cup$ [$2+\sqrt{3}$; $+\infty$]