$.$ Ta có: $A+ B+C =\pi$ $A+ B+C =\pi$$VT = (\sin A + \sin B) + \sin C$$=2.\sin \frac {A+B}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac{C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* Áp dụng CT biến tổng thành tích và CT nhân đôi. )$=2.\cos \frac {C}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac {C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* $\sin \frac {A+B}{2} = \sin (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \cos \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \sin \frac {C}{2})$$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \cos \frac {A+B}{2})$ (* $\cos \frac {A+B}{2} = \cos (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \sin \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(2.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2})$$= 4.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2} \cos \frac {C}{2}$$= VP$ => Đpcm

$.$ Ta có: $A+ B+C =\pi$ $A+ B+C =\pi$$VT = (\sin A + \sin B) + \sin C$$=2.\sin \frac {A+B}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac{C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* Áp dụng CT biến tổng thành tích và CT nhân đôi. )$=2.\cos \frac {C}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac {C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* $\sin \frac {A+B}{2} = \sin (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \cos \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \sin \frac {C}{2})$$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \cos \frac {A+B}{2})$ (* $\cos \frac {A+B}{2} = \cos (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \sin \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(2.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2})$$= 4.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2} \cos \frac {C}{2}$$= VP$ => Đpcm

$.$ Ta có: $A+ B+C =\pi$ $A+ B+C =\pi$$VT = (\sin A + \sin B) + \sin C$$=2.\sin \frac {A+B}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac{C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* Áp dụng CT biến tổng thành tích và CT nhân đôi. )$=2.\cos \frac {C}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac {C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* $\sin \frac {A+B}{2} = \sin (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \cos \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \sin \frac {C}{2})$$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \cos \frac {A+B}{2})$ (* $\cos \frac {A+B}{2} = \cos (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \sin \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(2.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2})$$= 4.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2} \cos \frac {C}{2}$$= VP$ => Đpcm

$.$ Ta có: $A+ B+C =\pi$ $A+ B+C =\pi$$VT = (\sin A + \sin B) + \sin C$$=2.\sin \frac {A+B}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac{C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* Áp dụng CT biến tổng thành tích và CT nhân đôi. )$=2.\cos \frac {C}{2}.\cos \frac {A-B}{2} + 2.\sin \frac {C}{2}.\cos \frac {C}{2}$ (* $\sin \frac {A+B}{2} = \sin (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \cos \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \sin \frac {C}{2})$$=2.\cos \frac {C}{2}.(\cos \frac {A-B}{2} + \cos \frac {A+B}{2})$ (* $\cos \frac {A+B}{2} = \cos (\frac {\pi}{2} - \frac {C}{2}) = \sin \frac {C}{2}$)$=2.\cos \frac {C}{2}.(2.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2})$$= 4.\cos \frac {A}{2} \cos \frac {B}{2} \cos \frac {C}{2}$$= VP$ => Đpcm

*Bạn không cần làm dài vậy đâu :D Mình chỉ ghi chi tiết cho bạn hiểu thôi :D Nếu vẫn chưa hiểu thì giở công thức đọc lại nha :)$y=(2+\sin^2 2x)^3$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.(2+\sin^2 2x)'$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.(\sin 2x)'$ (*Lưu ý chỗ này là $(\sin 2x)'$ vẫn được tính là $(\sin u)'$ chứ ko phải $(\sin x)'$ nhé!)$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.(2x)'.\cos 2x$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.2.\cos 2x$ (*dùng công thức $\sin a.\cos b$, có nhân với $\frac {1}{2}$ thì mình triệt tiêu vào một con $2$ trong bài luôn rồi :D)$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2.\sin4x$ (*khi đó, $\sin 0 = 0$ nên chỉ còn $\sin4x$)$y'=6.\sin 4x.(2+sin^2 2x)$

*Bạn không cần làm dài vậy đâu :D Mình chỉ ghi chi tiết cho bạn hiểu thôi :D Nếu vẫn chưa hiểu thì giở công thức đọc lại nha :)$y=(2+\sin^2 2x)^3$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.(2+\sin^2 2x)'$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.(\sin 2x)'$ (*Lưu ý chỗ này là $(\sin 2x)'$ vẫn được tính là $(\sin u)'$ chứ ko phải $(\sin x)'$ nhé!)$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.(2x)'.\cos 2x$$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2\sin 2x.2.\cos 2x$ (*dùng công thức $\sin a.\cos b$, có nhân với $\frac {1}{2}$ thì mình triệt tiêu vào một con $2$ trong bài luôn rồi :D)$y'=3(2+\sin^2 2x)^2.2.\sin4x$ (*khi đó, $\sin 0 = 0$ nên chỉ còn $\sin4x$)$y'=6.\sin 4x.(2+sin^2 2x)^2$

3) Do chỉ có duy nhất 1mp // với SC đó là mp(HAKI)=> thiết diện chóp S.ABCD là tứ diện (HAKI) => Ta sẽ xét diện tích của mp(HAKI :)Có $\begin{cases} BD \bot SA (Do SA \bot mp(ABCD)) \\ BD \bot AC (Do ABCD là hình vuông) \end{cases}$=> $BD \bot mp(SAC)$Có $\Delta$SAB = $\Delta$SAD (cgc)=> SB = SD. (3)Do $\Delta$SAD = $\Delta$SAB nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng nhau tức $AH = AK$=> $\Delta$SAH = $\Delta$SAK (vì có cạnh huyền và góc vuông bằng nhau)=> $SH=SK$. (4)Từ (3)(4)=> $\frac {SK}{SD}=\frac{SH}{SB}$Theo định lí Talet đảo ta có:$HK//BD$Mà $BD \bot mp(SAC)$=> $HK \bot mp(SAC)$=> $HK \bot AI$=> Ta gọi AI cắt HK tại M.Trong $\Delta$ABC có $AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$=> $AC=a\sqrt{2}$Trong $\Delta$ SAC có: $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AC^2}$=> $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{2a^2}$$= \frac {2+1}{2a^2}$=> $AI= \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$Trong $\Delta$SAD có: $\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AD^1}$$\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{a^2} =\frac {2}{a^2}$=> $AK^2=\frac {a^2}{2}$Trong $\Delta$ SAK có:$AK^2+SK^2=SA^2$$\frac {a^2}{2} +SK^2=a^2$$SK = \frac {a}{\sqrt{2}}$Trong $\Delta$SAD có: $SD^2=SA^2+AD^2$=> $SD^2=a^2+a^2=2a^2$=> $SD=a\sqrt{2}$Trong $\Delta$SBD có:$\frac {SK}{SD}=\frac {HK}{BD}$ (Talet)=>$\frac {\frac {a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}=\frac {HK}{a\sqrt{2}}$=>$HK=\frac {a}{\sqrt{2}}$Có $S_{HAKI}= S_{\Delta AHK} + S_{\Delta IHK}$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}AM.HK + \frac {1}{2}IM.HK$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.(AM+IM)$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.AI$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2} \frac {a}{\sqrt{2}} \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$=> $S_{HAKI}= \frac {a^2}{2\sqrt{3}}$

3) Do chỉ có duy nhất 1mp // với SC đó là mp(HAKI)=> thiết diện chóp S.ABCD là tứ diện (HAKI) => Ta sẽ xét diện tích của mp(HAKI) :)Có $\begin{cases} BD \bot SA (Do SA \bot mp(ABCD)) \\ BD \bot AC (Do ABCD là hình vuông) \end{cases}$=> $BD \bot mp(SAC)$Có $\Delta$SAB = $\Delta$SAD (cgc)=> SB = SD. (3)Do $\Delta$SAD = $\Delta$SAB nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng nhau tức $AH = AK$=> $\Delta$SAH = $\Delta$SAK (vì có cạnh huyền và góc vuông bằng nhau)=> $SH=SK$. (4)Từ (3)(4)=> $\frac {SK}{SD}=\frac{SH}{SB}$Theo định lí Talet đảo ta có:$HK//BD$Mà $BD \bot mp(SAC)$=> $HK \bot mp(SAC)$=> $HK \bot AI$=> Ta gọi AI cắt HK tại M.Trong $\Delta$ABC có $AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2$=> $AC=a\sqrt{2}$Trong $\Delta$ SAC có: $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AC^2}$=> $\frac {1}{AI^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{2a^2}$$= \frac {2+1}{2a^2}$=> $AI= \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$Trong $\Delta$SAD có: $\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{SA^2}+\frac {1}{AD^1}$$\frac {1}{AK^2}=\frac {1}{a^2}+\frac {1}{a^2} =\frac {2}{a^2}$=> $AK^2=\frac {a^2}{2}$Trong $\Delta$ SAK có:$AK^2+SK^2=SA^2$$\frac {a^2}{2} +SK^2=a^2$$SK = \frac {a}{\sqrt{2}}$Trong $\Delta$SAD có: $SD^2=SA^2+AD^2$=> $SD^2=a^2+a^2=2a^2$=> $SD=a\sqrt{2}$Trong $\Delta$SBD có:$\frac {SK}{SD}=\frac {HK}{BD}$ (Talet)=>$\frac {\frac {a}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{2}}=\frac {HK}{a\sqrt{2}}$=>$HK=\frac {a}{\sqrt{2}}$Có $S_{HAKI}= S_{\Delta AHK} + S_{\Delta IHK}$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}AM.HK + \frac {1}{2}IM.HK$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.(AM+IM)$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2}HK.AI$=> $S_{HAKI}= \frac {1}{2} \frac {a}{\sqrt{2}} \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a$=> $S_{HAKI}= \frac {a^2}{2\sqrt{3}}$