$x+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}+3\sqrt[3]{x^3-x^2}=\sqrt[3]{x}+3\sqrt[3]{x^3-2x^2+x}\space \space (1)$
$(1)\Leftrightarrow \left ( \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x} \right )\left[ {{{\left ( \sqrt[3]{x+1}-\frac{\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x}}{2} \right )}^{2}}+\frac{3{{( \sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x} )}^{2}}}{4}+1} \right]=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[3]{x}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{x}\space \space (2)$
$x=0$ là nghiệm của (2)
$x\neq 0$ chia hai vế của (2) cho $\sqrt[3]{x}$ ta được :
$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}}=1$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l} a=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}\\ b=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x}} \end{array} \right.$
Ta thu được : $\left\{ \begin{array}{l} a+b=1\\ a^3+b^3=2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=1-a\\ 3a^2-3a-1=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{3-\sqrt{21}}{6} \\ b=\frac{3+\sqrt{21}}{6} \end{array} \right.$ $\vee \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{3+\sqrt{21}}{6} \\ b=\frac{3-\sqrt{21}}{6} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{21}}{14} \vee x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$
Thử lại thấy : $x=0; x=\frac{3\sqrt{21}}{14}; x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$ thoả (1)
Vậy phương trình có ba nghiệm : $x=0; x=\frac{3\sqrt{21}}{14}; x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$
Bài toán được giải quyết.