Áp dụng bất đẳng thức CBS ta được:$A^2=(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^2}}+...+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{1+c^2})^2\leq (a+b+c).(\frac{a}{1+a^2}+...+\frac{c}{1+c^2})$Bây giờ ta xét : B=$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}$Ta có BĐT sau đây:$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{8}$Chứng minh chỉ cần quy đồng ta được:$3a^3+\sqrt{3}a^2-5a+\sqrt{3}\geq0$$\Leftrightarrow (3a+\sqrt{3})(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2\geq 0$(Đúng với mọi a>0)Dấu =xảy ra khi $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.Tương tự rồi cộng lại ta được $B\leq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3\sqrt{3}}{8}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}$.(Do $a+b+c\leq \sqrt{3}$)Từ đó $A^2\leq \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D.C$

Áp dụng bất đẳng thức CBS ta được:$A^2=(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^2}}+...+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{1+c^2})^2\leq (a+b+c).(\frac{a}{1+a^2}+...+\frac{c}{1+c^2})$Bây giờ ta xét : B=$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}$Ta có BĐT sau đây:$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{8}$Chứng minh chỉ cần quy đồng ta được:$3a^3+\sqrt{3}a^2-5a+\sqrt{3}\geq0$$\Leftrightarrow (3a+3\sqrt{3})(a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2\geq 0$(Đúng với mọi a>0)Dấu =xảy ra khi $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.Tương tự rồi cộng lại ta được $B\leq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3\sqrt{3}}{8}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}$.(Do $a+b+c\leq \sqrt{3}$)Từ đó $A^2\leq \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D.C$