Viết lại:
$y(2cos x+3)=sin x +cos x$
$\Leftrightarrow sin x + (1-2y) cos x=3y$
Điều kiện phương trình này có nghiệm là
$1^2+(1-2y)^2\geqslant 9y^2$
$\Leftrightarrow \frac{-2-\sqrt{14}}{5}\leq y\leq\frac{-2+\sqrt{14}}{5}$

Điều kiện đầu tiên để biểu thức nguyên là: $x\geq 0$
Đặt $A=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$
Dể thấy:
*Với $x=0$ thì $A=0$
*Với $x=1$ thì $A=1$
*Với $x=2;3;4$ thì A không là giá trị nguyên!
Xét $x>4$
Thấy rõ $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3$
Mà $\sqrt{x}>2$; $x-3>1$ do cả hai vế bất đẳng thức dương nên nếu nhân ại ta có: $\sqrt{x}(x-3)>2$
Suy ra: $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3>5$
Do tử thức và mẩu thức là hai số dương, nên để $A$ nguyên thì tử phải lớn hơn hoặc bằng mẩu, tức:
$\sqrt{x}\geq x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3$ Suy ra $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3\leq 0$
Điều này không xảy ra vì: $\sqrt{x}>2$; $x-4>0$ Suy ra $\sqrt{x}(x-4)+3>3$ tức $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3> 3$
Vậy để A nguyên thì: $x=0$ hoặc $x=1$

Với mọi $x$ dương ta luôn có:
$x+(x+1)\geq 2\sqrt{x(x+1)}$ (BĐT Cô si)
Do dấu bằng ở không xảy ra nên ta luôn có:
$x+(x+1)> 2\sqrt{x(x+1)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x+(x+1)}<\frac{1}{2\sqrt{x(x+1)}}$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+(x+1)}<\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x(x+1)}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
(Do $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}>0$)
Áp dụng điều trên:
$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}<\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}<\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{4}}$
.....
$\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{1}{10}-\frac{1}{2\sqrt{24}}$
Cộng theo vế :
$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}<\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$