a) 2 tam giác vuông AEB và AFC có góc A chung nên chúng đồng dạngVậy $\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$ Vậy $\Delta AEF\sim ABC$ (ĐPCM) b) Giả sử AO cắt đường tròn tại D (Khác A)AO là đường kính của đường tròn nên các tam giác ADB và ADC vuông tại B và C hayDB vuông góc với AB, DC vuông góc với ACVậy DB song song với CF, DC song song với BEsuy ra HBDC là hình bình hànhVậy A' là trung điểm của HD vậy OA' là đường trung bình của $\Delta ADH$ hay $OA'=\frac{AH}{2}$

a) 2 tam giác vuông AEB và AFC có góc A chung nên chúng đồng dạngVậy AE/AF}=AB/AC => AEF đồng dạng với ABC (ĐPCM) b) Giả sử AO cắt đường tròn tại D (Khác A)AO là đường kính của đường tròn nên các tam giác ADB và ADC vuông tại B và C hayDB vuông góc với AB, DC vuông góc với ACVậy DB song song với CF, DC song song với BEsuy ra HBDC là hình bình hànhVậy A' là trung điểm của HD vậy OA' là đường trung bình của $\Delta ADH$ hay $OA'=\frac{AH}{2}$

quy nạp toán 11

cho u_n xác định bởi u1= căn 2, u_n=u_n -1 + 2012^2013 với mọi n >=1. Thành lập và chứng minh công thức số hạng tổng quát

Quy nạp toán học

quy nạp toán 11

cho $u_n$ xác định bởi $u_1= \sqrt{2}$, $u_n=u_{n -1}+2012^{2013}$ với mọi $n \geq1$. Thành lập và chứng minh công thức số hạng tổng quát

Quy nạp toán học

Gọi 15 số đó là $u_1,u_1+d,...,u_1+14d$Ta có $u_1 ^{3}+(u_1+14d)^3=302094$ (1)Và $u_1+(u_1+d)+...+(u_1+14d)=15u_1+105d=585$ (2)(2) => $u_1=\frac{585-105d}{15}=39-7d$Thay vào (1) thì $(39-7d)^3+(39-7d+14d)^3=(39-7d)^3+(39+7d)^3=302094$ Hay $11466(d-4)(d+4)=0$Dãy số tăng nên lấy $d=4$ Vậy $u_1=39-7.4=11$

A.Gọi 15 số đó là $u_1,u_1+d,...,u_1+14d$Ta có $u_1 ^{3}+(u_1+14d)^3=302094$ (1)Và $u_1+(u_1+d)+...+(u_1+14d)=15u_1+105d=585$ (2)(2) => $u_1=\frac{585-105d}{15}=39-7d$Thay vào (1) thì $(39-7d)^3+(39-7d+14d)^3=(39-7d)^3+(39+7d)^3=302094$ Hay $11466(d-4)(d+4)=0$Dãy số tăng nên lấy $d=4$ Vậy $u_1=39-7.4=11$

Ta có $k^2+2k+1=(k+1)^2$Áp dụng điều này $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})...(1+\frac{1}{n^2+2n})=\frac{2^2}{1.3}\frac{3^2}{2.4}...\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$ $=\frac{2.(n+1)}{(n+2)}$

Bài 1)Ta có $k^2+2k+1=(k+1)^2$Áp dụng điều này $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})...(1+\frac{1}{n^2+2n})=\frac{2^2}{1.3}\frac{3^2}{2.4}...\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$ $=\frac{2.(n+1)}{(n+2)}$

Bài 3. Gọi $u$ là $u_1$Số hạng tổng quát có dạng $u_k=u+(k-1)d$Suy ra $S_n=nu+(1+2+...+(n-1))d=nu+\frac{(n-1)nd}{2}$Theo giả thiết, a có $S_1=u=3.a^2+1=4$Vậy$S_n=4n+\frac{(n-1)nd}{2}=3n^2+n$Vậy$\frac{(n-1)nd}{2}=3n(n-1)$Suy ra$d=6$Suy ra$u_1=4,d=6$

Bài 3. Gọi $u$ là $u_1$Số hạng tổng quát có dạng $u_k=u+(k-1)d$Suy ra $S_n=nu+(1+2+...+(n-1))d=nu+\frac{(n-1)nd}{2}$Theo giả thiết, a có $S_1=u=3.1^2+1=4$Vậy$S_n=4n+\frac{(n-1)nd}{2}=3n^2+n$Vậy$\frac{(n-1)nd}{2}=3n(n-1)$Suy ra$d=6$Suy ra$u_1=4,d=6$

Gọi 3 cố tạo thành cấp số cộng là $u-d,u,u+d$ suy ra 3 cố cần tìm là $u-d-1,u-6,u+d-3$Theo giả thiết thì $u-d-1+u-6+u+d-3=26 \Rightarrow u=12$ Suy ra 3 số cần tìm là $11-d,6,9+d$ 3 số này tạo thành một CSN nên $(11-d)(9+d)=36$$\Rightarrow 63+2d-d^2=0 \begin{cases}d=9 \\ d=-7 \end{cases}$ Cả 2 trường hợp này đề cho ta dãy $2,6,18$

Bài 3Gọi 3 cố tạo thành cấp số cộng là $u-d,u,u+d$ suy ra 3 cố cần tìm là $u-d-1,u-6,u+d-3$Theo giả thiết thì $u-d-1+u-6+u+d-3=26 \Rightarrow u=12$ Suy ra 3 số cần tìm là $11-d,6,9+d$ 3 số này tạo thành một CSN nên $(11-d)(9+d)=36$$\Rightarrow 63+2d-d^2=0 \begin{cases}d=9 \\ d=-7 \end{cases}$ Cả 2 trường hợp này đề cho ta dãy $2,6,18$

Phương trình $2t^2-5t+m=0$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệtsuy ra $5^2-8m>0 \Leftrightarrow m<\frac{25}{8}$ và $m>0$ (1)Với đk này, gọi 2 nghiệm của phương trình (*) là $t_1,t_2$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$ Gọi a là nghiệm dương bé nhất của phương trình ban đầu: khi ấy -a cũng là 1 nghiệm của pt đó, do 4 nghiệm này tạo thành cấp số cộng nên công sai là 2a, vậy 2 nghiệm còn lại của pt ban đầu là -3a và 3a. Vậy pt (*) có 2 nghiệm là $a^2$ và $9a^2$Ta suy ra $\begin{cases}5/2=10a^2 \\ m/2=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow 2m/25=9/100 \Leftrightarrow m=9/8$ (thỏa mãn đk (1))Thay $m=9/8$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là: $-3/2,-1/2.1/2.3/2$

Phương trình $2t^2-5t+m=0$ (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệtsuy ra $5^2-8m>0 \Leftrightarrow m<\frac{25}{8}$ và $m>0$ (1)Với đk này, gọi 2 nghiệm của phương trình (*) là $t_1,t_2$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là $\sqrt{t_1},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_2},-\sqrt{t_2}$ Gọi a là nghiệm dương bé nhất của phương trình ban đầu: khi ấy -a cũng là 1 nghiệm của pt đó, do 4 nghiệm này tạo thành cấp số cộng nên công sai là 2a, vậy 2 nghiệm còn lại của pt ban đầu là -3a và 3a. Vậy pt (*) có 2 nghiệm là $t_1=a^2$và$t_2=9a^2$Theo dl viet, ta suy ra $\begin{cases}t_1+t_2=5/2=10a^2 \\ t_1.t_2=m/2=9a^4 \end{cases} \Leftrightarrow 2m/25=9/100 \Leftrightarrow m=9/8 $(thỏa mãn đk (1))Thay$m=9/8$thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm là:$-3/2,-1/2.1/2.3/2$

Gọi $u_1$ và $d$ là số bé nhất trong 4 số và công sai của CSC nàykhi đó theo giả thuyết $\begin{cases}u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)+(u_1+3d)=u_1+6d=10 (1) \\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2+(u_1+3d)^2=70 (2) \end{cases}$ Từ (1) $\Rightarrow u_1=10-6d$ Thay vào (2) ta được: $(10-6d)^2+(10-6d+d)^2+(10-6d+2d)^2+(10-6d+3d)^2=70$Có 2 nghiệm là: $90/43+(1/43)\sqrt{1005}, 90/43-(1/43)\sqrt{1005}$Từ đó bạn tìm được $u_1$ . Bạn xem lại đề xem nhé, thế này thì lẻ quá

Gọi $u_1$ và $d$ là số bé nhất trong 4 số và công sai của CSC nàykhi đó theo giả thuyết $\begin{cases}u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)+(u_1+3d)=4u_1+6d=10 (1) \\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2+(u_1+3d)^2=70 (2) \end{cases}$Từ (1)$\Rightarrow u_1=(10-6d)/4$Thay vào (2) ta được:$((10-6d)/4)^2+((10-6d)/4+d)^2+((10-6d)/4+2d)^2+((10-6d)/4+3d)^2=70$$\Leftrightarrow 5(d-3)(d+3)=0$Có 2 nghiệm là: 3 và -3Suy ra $u_1=(10-6.3)/4=-2$ hoặc $u_1=(10+6.3)/4=7$

xét hàm $f(x)=x+x^2+x^3+...+x^{2010}=x(1+x+x^2+...+x^{2009})=x.\frac{x^{2010}-1}{x-1}$ Ta có $f'(x)=1+2x+3x^2+....+2010.x^{2009}$Nhưng ta cũng có $f'(x)={\frac {2011\,{x}^{2010}-1}{x-1}}-{\frac {x\cdot ({x}^{2010}-1)}{ \left( x-1 \right) ^{2}}}$Vậy $D=f'(3)=\frac{2011.3^{2010}-1}{2}-\frac{3.(3^{2011}-1)}{4}$

xét hàm $f(x)=x+x^2+x^3+...+x^{2010}=x(1+x+x^2+...+x^{2009})=x.\frac{x^{2010}-1}{x-1}$ Ta có $f'(x)=1+2x+3x^2+....+2010.x^{2009}$Nhưng ta cũng có $f'(x)={\frac {2011\,{x}^{2010}-1}{x-1}}-{\frac {x\cdot ({x}^{2010}-1)}{ \left( x-1 \right) ^{2}}}$Vậy $D=f'(3)=\frac{2011.3^{2010}-1}{2}-\frac{3.(3^{2010}-1)}{4}$

Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=cTa có các công thức quen thuộc$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$Tương tự thì$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$ Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{\frac{a+b+c}{2}4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)

Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=cTa có các công thức quen thuộc$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$Tương tự thì$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$ Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{(a+b+c)4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)

gọi công thức tổng quát của cấp só cộng là $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$khi đó:$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}$chứng minh:$ S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d $$S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$$ 2S_n=n(a_1+a_n)$$ S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$. (1)$ S_n=\frac{n( 2a_1 + (n-1)d)}{2}$ (2)Trở lại bài:1.$S_{m}=S_{n},\forall m,n$Theo công thức (1) thì $a_{n}=a_{m}, \forall m,n $ Mà $S_{1}=S_2$ nên $a_1=a_1+a_2=2a_1$nên $a_1=0$Vậy $S_k=0,\forall k $ (ĐPCM)

gọi công thức tổng quát của cấp số cộng là $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ (*)khi đó:$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}$chứng minh:$S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d$$S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n$$2S_n=n(a_1+a_n)$$S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}$. (1)$S_n=\frac{n( 2a_1 + (n-1)d)}{2}$ (2)Trở lại bài:1.$S_{m}=S_{n},\forall m,n$Theo công thức (1) thì $a_{n}=a_{m}, \forall m,n$ Mà $S_{1}=S_2$ nên $a_1=a_1+a_2=2a_1$nên $a_1=0$Vậy $S_k=0,\forall k$ (ĐPCM)2.$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$ Kết hợp với (1)Ta suy ra $\frac{a_1+a_m}{a_1+a_n}=\frac{m}{n}$ Suy ra $na_m-ma_n=(m-n)a_1$ Kết hợp với (*) suy ra $na_1-ma_1+d(n(m-1)-m(n-1))=(m-n)a_1$Vậy $a_1=2d$Thay vào công thức (*) ta có : $a_n=(2n-1)a_1$ Từ đó $\frac{a_n}{a_m}=\frac{2n-1}{2m-1}$ (ĐPCM)

Ta có$f(1)=f(1.1)=f(1).f(1)$Vì $f(1)\in N^*$ nên $f(1)=1$$f(4)=f(2.2)=f(2).f(2)=4$ta chứng minh $f(n)=n, \forall n\in N^*$$n=1$ thì kết quả này đúngXét $n>4$ Giả sử ĐCCM đúng với mọi số nhỏ hơn n+)Nếu $n$ là hợp số,,đặt $n=h.k$ với $h,k<n$Theo giả thuyết quy nạp thì $f(h)=h,f(k)=k$Ta có $f(n)=f(h.k)=f(h).f(k)=h.k=n$ (1)+) Nếu n là số nguyên tố, do $n>4$ nên $n+1$ là số chẵn ,Đặt $n+1=2m$, do $n>4$ nên $m<n$Theo gt quy nạp thì $f(m)=m$Ta suy ra $f(n+1)=f(2.m)=f(2).f(m)=2.m=n+1$Ta suy ra $n-1=f(n-1)<f(n)<f(n+1)=n+1$Vì vậy $f(n)=n$ (2)Từ (1) và (2) ta suy ra ĐCCM

Ta có$f(1)=f(1.1)=f(1).f(1)$Vì $f(1)\in N^*$ nên $f(1)=1$$f(4)=f(2.2)=f(2).f(2)=4$$2=f(2)<f(3)<f(4)=4$ nên $f(3)=3$ta chứng minh $f(n)=n, \forall n\in N^*$$n=1$ thì kết quả này đúngXét $n>4$ Giả sử ĐCCM đúng với mọi số nhỏ hơn n+)Nếu $n$ là hợp số,,đặt $n=h.k$ với $h,k<n$Theo giả thuyết quy nạp thì $f(h)=h,f(k)=k$Ta có $f(n)=f(h.k)=f(h).f(k)=h.k=n$ (1)+) Nếu n là số nguyên tố, do $n>4$ nên $n+1$ là số chẵn ,Đặt $n+1=2m$, do $n>4$ nên $m<n$Theo gt quy nạp thì $f(m)=m$Ta suy ra $f(n+1)=f(2.m)=f(2).f(m)=2.m=n+1$Ta suy ra $n-1=f(n-1)<f(n)<f(n+1)=n+1$Vì vậy $f(n)=n$ (2)Từ (1) và (2) ta suy ra ĐCCM

Dựa vào $x-y=2$Ta có: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ( Hằng đẳng thức đáng nhớ)$=2(x^2+xy+y^2)$ (Do $x-y=2$)Còn $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$Như thế ta biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=2.2.(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=4(x^2+xy+y^2)-3(x^2+2xy+y^2)$$=4x^2+4xy+4y^2-3x^2-y^2-6xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$ (Do x-y=2)

Dựa vào $x-y=2$Ta có: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ( Hằng đẳng thức đáng nhớ)$=2(x^2+xy+y^2)$ (Do $x-y=2$)Còn $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$Như thế ta biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=2.2.(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=4(x^2+xy+y^2)-3(x^2+2xy+y^2)$$=4x^2+4xy+4y^2-3x^2-3y^2-6xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$ (Do x-y=2)

Dựa vào $x-y=2$Ta có: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ( Hằng đẳng thức đáng nhớ)$=2(x^2+xy+y^2)$ (Do $x-y=2$)Còn $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$Như thế ta biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=2.2.(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=4x^2+4xy+4y^2-3x^2-y^2-6xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$ (Do x-y=2)

Dựa vào $x-y=2$Ta có: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ( Hằng đẳng thức đáng nhớ)$=2(x^2+xy+y^2)$ (Do $x-y=2$)Còn $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$Như thế ta biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=2.2.(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=4(x^2+xy+y^2)-3(x^2+2xy+y^2)$$=4x^2+4xy+4y^2-3x^2-y^2-6xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$ (Do x-y=2)

Dựa vào $x-y=2$Biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=4(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$

Dựa vào $x-y=2$Ta có: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ ( Hằng đẳng thức đáng nhớ)$=2(x^2+xy+y^2)$ (Do $x-y=2$)Còn $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$Như thế ta biến đổi như sau $2(x^{3} - y^{3}) - 3(x + y)^{2}$ $= 2(x-y)(x^2+xy+y^2)-3(x+y)^2$ $=2.2.(x^2+xy+y^2)-3(x^2+y^2+2xy)=4x^2+4xy+4y^2-3x^2-y^2-6xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=2^2=4$ (Do x-y=2)