a)  Vì $-1 \leq  \cos (x+\frac{\pi}{3} ) \leq  1$ nên  $-3 \leq  3 \cos (x+\frac{\pi}{2} ) \leq  3$
                                                         $\Rightarrow  -3+2 \leq  y \leq  3+2$   hay  $-1 \leq  y \leq  5$
     Vậy tập giá trị của hàm số là $[-1; 5]$.
b) $-1 \leq  \sin 2x \leq  1      \Rightarrow   1 \leq  y \leq  \sqrt{5} $.
     Vậy tập giá trị của hàm số   $y= \sqrt{3+ 2 \sin 2x} $   là  $[1; \sqrt{5} ] $.

c) Ta lưu ý rằng  $\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $  lớn nhất khi  $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$  nhỏ nhất và  $\frac{1}{\sin ^4 x+ \cos ^4 x}$  nhỏ nhất khi  $\sin ^4 x+ \cos ^4 x$  lớn nhất.  Do đó ta phải tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\sin^4 x + \cos ^4 x   \Leftrightarrow   A= (\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin^2 \cos^2 x= 1-\frac{1}{2} \sin^2 2x. $
$0 \leq  \sin^2 2x \leq  1     \Rightarrow  -\frac{1}{2} \leq  -\frac{1}{2} \sin^2 2x \leq  0  $
                                       $\Rightarrow          \frac{1}{2} \leq  A \leq  1       \Rightarrow    1 \leq  y \leq  2 $
Vậy GTLN của $y$ là $2$ và GTNN của  $y$  là $1$. Do đó tập giá trị của hàm số  $y=\frac{1}{\sin^4 x + \cos ^4 x} $ là  $[1;2]$
d) $0 \leq  1+ \cos x \leq  2  \Rightarrow    0 \leq  \sqrt{1+\cos x} \leq  \sqrt{2}  $
                                              $\Rightarrow  -3 \leq  \sqrt{1+ \cos x} -3 \leq  \sqrt{2} -3$
Vậy tập giá trị của hàm số  $y=\sqrt{1+ \cos x}-3 $  là  $[-3; \sqrt{2}-3 ]$

Tìm các giới hạn sau:

a)$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{5x}  $                                   b)$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan {3x}}{\sin{5x}}  $                                    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos ^2x}{x\sin{2x}}  $