Bài toán 1: Tìm m để phương trình (PT) sau có nghiệm duy nhất: √x+√2−x=m(1)
Lời giải
• Điều kiện cần. Trong PT (1) vai trò của x và 2–x là như nhau. Vì vậy nếu PT (1) có nghiệm là x0 thì 2–x0 cũng là nghiệm của nó. Giả sử PT (1) có nghiệm duy nhất là x0 thì x0=2−x0⇔x0=1. Thay vào (1) ta được m=2.
• Điều kiện đủ. Ta xét m=2 thì PT(1) có dạng √x+√2−x=2(2)
Cách 1. Điều kiện 0≤x≤2(∗)
Bình phương hai vế của PT(2) rồi rút gọn được
√x(2−x)=1⇔(x−1)2=0⇔x=1 (thỏa mãn (∗)).
Cách 2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
(√x+√2−x)2≤2(x+2−x)=4⇒√x+√2−x≤2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2–x⇔x=1. Suy ra PT(2) có nghiệm duy nhất x=1.
Kết luận. Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=1.
Bài toán 2. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
{a(x2+1)+|x|=yx2+y2=1 (I)
Lời giải
• Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0). Do (x0;y0) là nghiệm của hệ (I) nên suy ra (−x0,y0) cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra x0=−x0⇔x0=0
Thay vào hệ (I), ta được {a=yy2=1
Suy ra a=−1 hoặc a=1.
• Điều kiện đủ.
a) Nếu a=−1 thì hệ (I) có dạng
{|x|=x2+1+yx2+y2=1 (II)
⇔{|x|=x2+1+yx2+(|x|−x2−1)2=1
Xét PT x2+(|x|−x2−1)2=1⇔|x|.f(x)=0, trong đó f(x)=x2|x|+4x2−2|x|−2
Ta thấy f(0)=−2,f(1)=1⟹f(0).f(1)<0⟹f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
Do đó hệ (II) có ít nhất hai nghiệm nên a=−1 không là giá trị cần tìm.
b) Nếu a=1 thì hệ (I) có dạng
{|x|+x2=y−1x2+y2=1 (III)
Từ y–1=|x|+x2 suy ra y≥1, từ x2+y2=1 suy ra y≤1 . Vậy ta có y=1.
Thay y=1 vào hệ (III) ta được {|x|+x2=0x2=0
Vậy (x;y)=(0;1) là nghiệm duy nhất của hệ (III).
Kết luận. Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a=1.
Bài toán 3. Tìm sao a cho với mọi giá trị của b hệ phương trình sau có nghiệm :
{(a−1)x5+y5=11+(a+1)bxy4=a2 (IV)
Lời giải
• Điều kiện cần.
Giả sử hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b suy ra với b=0 hệ (IV) cũng có nghiệm :
{(a−1)x5+y5=11=a2
Suy ra a=−1 hoặc a=1.
• Điều kiện đủ. .
a) Với a=1 thì hệ (IV) có dạng {y5=1bx=0
Hệ này ít nhất có (x;y)=(0;1) là nghiệm với mọi giá trị của b.
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
a) Với a=−1 thì hệ (IV) có dạng {−2x5+y5=11=1
Hệ này ít nhất có (x;y)=(0;1) là nghiệm với mọi giá trị của b.
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
Kết luận. Với a=−1 hoặc a=1 thì hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
Bài toán 4. Tìm m để hai phương trình sau tương đương
{x2+(m2−5m+6)x=0(3)x2+2(m−3)x+m2−7m+12=0(4)
Lời giải
Điều kiện cần. gỉa sử PT(3) và PT(4) tương đương với nhau. Vì phương trình (3) luôn có nghiệm x=0 nên PT(4) cũng phải có nghiệm x=0. Vì vậy, ta phải có m2–7m+12=0⇔m=3 hoặc m=4.
Điều kiện đủ.
a) Nếu m=3 thì PT (3) và (4) đều có dạng x2=0 suy ra với m=3 thì PT(3) tương đương PT(4)
b) Nếu m=4 thì PT(3) và PT(4) đều có dạng x2+2x=0. Suy ra với m=4 thì PT(3) tương đương với PT(4).
Kết luận. PT (3) tương đương với PT(4) khi và chỉ khi m=3 hoặc m=4.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm a để các phương trình và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
a) √x−−5+√9−x=a
b) √3+x+√6−x−√(3+x)(6−x)=a
c) {√x+1+√y+2=ax+y=3a
Bài 2. Tìm a để với mọi giá trị của b hệ phương trình sau có nghiệm
{a(x2+y2)+x+y=by−x=b
Bài 3. Tìm m để hai phương trình sau tương đương
{(1+m2)x2−2(m2−1)x+m2−3=0x2+(m−1)x+m2−7m+1=0
|