Công thức tổng quát : f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′
Phương pháp :
+ Tính đạo hàm cấp 1,2,3,⋯ từ đó suy ra công thức tổng quát của đạo hàm cấp n.
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức tổng quát tren đúng.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=cosx.
Lời giải :
Ta có : y′=−sinx=cos(x+π2)
y″
y'''=\sin x=\cos \left ( x+\frac{3\pi}{2} \right )
\cdots
Dự đoán : y^{\displaystyle (n)}=\cos \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right ) với n \in \mathbb{N}.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1 : y'=\cos \left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=-\sin x\Rightarrow công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k : y^{\displaystyle (k)}=\cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y^{\displaystyle (k+1)}=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right )
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y^{\displaystyle (k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[ { \cos \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )} \right]^\prime=-\sin \left ( x+\frac{k\pi}{2} \right )=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right ).
Vậy y^{\displaystyle (k+1)}=\cos \left ( x+\frac{(k+1)\pi}{2} \right ) luôn đúng.
Do đó : y^{\displaystyle (n)}=\cos \left ( x+\frac{n\pi}{2} \right ) với n \in \mathbb{N}.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = \frac{1}{x+1}.
Lời giải :
Ta có : y'=-\frac{1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2}
y''=2(x+1)^{-3}
y'''=-2.3(x+1)^{-4}
\cdots
Dự
đoán : y^{\displaystyle
(n)}=(-1)^n.n!.(x+1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}} với n \in \mathbb{N}.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1 : y'=-\frac{1}{(x+1)^2}=-(x+1)^{-2} \Rightarrow công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k : y^{\displaystyle (k)}=(-1)^k.k!.(x+1)^{-(k+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^k.k!}{(x+1)^{k+1}}
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y^{\displaystyle
(k+1)}(x)=\left[ {y^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[
{(-1)^k.k!.(x+1)^{-(k+1)} }
\right]^\prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x+1)^{-(k+1)-1}
=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}}.
Vậy y^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x+1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2}} luôn đúng.
Do
đó : y^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x+1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x+1)^{n+1}} với n \in \mathbb{N}.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}.
Lời giải :
Phân tích : y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3}.
\Leftrightarrow 2x+1=(a+b)x-3a-b
Cân bằng hệ số hai vế ta được :
\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=2 \\ -3a-b=1
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-\frac{3}{2} \\ b=\frac{7}{2}
\end{cases}
\Rightarrow y = \frac{2x+1}{x^2-4x+3}=-\frac{3}{2}.\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}.\frac{b}{x-3}
Đặt y_1=\frac{1}{x-1} và y_2=\frac{1}{x-3}.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y_1.
Ta có : y'_1=-\frac{1}{(x-1)^2}=-(x-1)^{-2}
y''_1=2(x-1)^{-3}
y'''_1=-2.3(x-1)^{-4}
\cdots
Dự
đoán : y_1^{\displaystyle
(n)}=(-1)^n.n!.(x-1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x-1)^{n+1}} với n \in \mathbb{N}.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1 : y'_1=-\frac{1}{(x-1)^2}=-(x-1)^{-2} \Rightarrow công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k : y_1^{\displaystyle (k)}=(-1)^k.k!.(x-1)^{-(k+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^k.k!}{(x-1)^{k+1}}
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y_1^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y_1^{\displaystyle
(k+1)}(x)=\left[ {y_1^{\displaystyle (k)}(x)} \right]^\prime=\left[
{(-1)^k.k!.(x-1)^{-(k+1)} }
\right]^\prime=-(-1)^k.k!(k+1)(x-1)^{-(k+1)-1}
=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}.
Vậy y_1^{\displaystyle (k+1)}=(-1)^{k+1}.(k+1)!.(x-1)^{-(k+2)}=\displaystyle \frac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x-1)^{k+2}} luôn đúng.
Do
đó : y_1^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x-1)^{-(n+1)}=\displaystyle
\frac{(-1)^n.n!}{(x-1)^{n+1}} với n \in \mathbb{N}.
Tính tương tự như trên ta cũng được :
y_2^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.(x-3)^{-(n+1)}=\displaystyle \frac{(-1)^n.n!}{(x-3)^{n+1}}
Vậy
y^{\displaystyle (n)}=-\frac{3}{2}.y_1^{\displaystyle (n)}+\frac{7}{2}.y_2^{\displaystyle (n)}
y^{\displaystyle (n)}=(-1)^n.n!.\left[ {-\frac{3}{2}. \frac{1}{(x-1)^{n+1}}+\frac{7}{2}. \frac{1}{(x-3)^{n+1}}} \right]
Bài tập tự giải :
1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau :
a. y=\sin x
b. y=\frac{1}{2-x}
c. y=e^x+e^{-x}
d. y=\lg x
2. Chứng minh rằng hàm số y=e^{-x^2} thỏa mãn hệ thức :
y^{\displaystyle (n)}+2xy^{\displaystyle (n-1)}+2(n-1)y^{\displaystyle (n-2)}=0
|