VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Quan tâm

Đưa vào sổ tay

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

$1$ . Phương trình mặt cầu tâm

$I(a; b; c),$ bán kính

$R$ :

$S(I; R) :(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 (1)$
Trong không gian Oxyz phương trình

$x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0$ là phương trình mặt cầu khi:

$A^2+B^2+C^2-D>0$ . Khi đó mặt cầu có:
Tâm

$I(-A;-B;-C)$ .
Bán kính

$R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$ .

$2.$ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu

$(S): (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ và mặt phẳng

$(P): Ax+By+Cz+D=0$ .
Tính khoảng cách từ tâm

$I$ đến mặt phẳng

$(P)$
d=d

$(I;(P))=\frac{\left| {Aa+Bb+Cc+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ . Khi đó, nếu:
•

$d>R$ : mặt cầu

$(S)$ và mặt phẳng

$(P)$ không có điểm chung.
•

$d=R$ : mặt phẳng

$(P)$ tiếp xúc mặt cầu

$(S)$ tại

$H.$
- Điểm

$H$ được gọi là tiếp điểm.
- Mặt phẳng

$(P)$ được gọi là tiếp diện.
•

$d<R$ : mặt phẳng

$(P)$ cắt mặt cầu

$(S)$ theo giao tuyến là đường tròn.

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng $1$ : Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

$I(1;-2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm

$I$ và tiếp xúc với trục Oy.
Lời giải :
Gọi

$M$ là hình chiếu của

$I(1;-2;3)$ lên Oy, ta có:

$M(0;-2;0)$ .

$\overrightarrow{IM} = (-1;0;-3)\Rightarrow R = IM = \sqrt {10}$ là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là

$(x -1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 10$ .
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

$d : \frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-1}=\frac{z}{1}$ và điểm

$M(4;1;6)$ . Đường thẳng

$d$ cắt mặt cầu

$(S)$ , có tâm

$M$ , tại hai điểm

$A, B$ sao cho

$AB = 6$ .
Viết phương trình của mặt cầu

$(S)$ .
Lời giải :

$d$ đi qua

$N(-5;7;0)$ và có VTCP

$\overrightarrow{u} = (2;-1;1) ; \overrightarrow{MN} = (-9;6;-6)$
Gọi

$H$ là chân đường vuông góc vẽ từ

$M$ đến đường thẳng

$d \Rightarrow MH =$ d

$(M,d) =\frac{\left| {[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u}]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}= \sqrt 3$ .
Bán kính mặt cầu

$(S):$

$R^2 =MH^2+ \left ( \frac{AB}{2} \right )^2=12$

$\Rightarrow$ PT mặt cầu

$(S): (x - 4)^2 + (y -1)^2 + (z - 6)^2 = 12.$
Bài tập áp dụng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

$d : \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng

$(P): 2x + y –2z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt cầu

$(S)$ có tâm nằm trên

$d$ , tiếp xúc với mặt phẳng

$(P)$ và đi qua điểm

$A(2; –1; 0).$
Hướng dẫn :
Gọi

$I$ là tâm của

$(S) \Rightarrow I(1+ t;t –2;t)$ . Ta có d

$(I, (P)) = AI \Leftrightarrow t=1; t=\frac{7}{13}$ .
Vậy:

$(S) : (x –2)^2 + (y +1)^2 + (z –1)^2 = 1$

Dạng $2$ : Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình.
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

$3$ điểm

$A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1)$ . Lập phương trình của mặt cầu

$(S)$ đi qua

$A, B, C$ và có tâm nằm trên mặt phẳng

$(P): x + y – 2z +4 = 0.$
Lời giải :
PT mặt cầu

$(S)$ có dạng:

$x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$

$(S)$ qua

$A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0$

$(S)$ qua

$B: 2b + 8c – d – 17 = 0$

$(S)$ qua

$C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0$
Tâm

$I \in (P): a + b – 2c + 4 = 0$
Giải ra ta được:

$a = 1, b = –1, c = 2, d = –3$ .
Vậy

$(S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A’B’C’$ có tam giác

$ABC$ vuông tại

$A,$ đỉnh

$A$ trùng với gốc tọa độ

$O, B(1; 2; 0)$ và tam giác

$ABC$ có diện tích bằng

$5.$ Gọi

$M$ là trung điểm của

$CC’$ . Biết rằng điểm

$A'(0; 0; 2)$ và điểm

$C$ có tung độ dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$AB'C'M.$
Lời giải :
Ta có:

$AB = \sqrt 5$ và

$S_{ABC}= 5$ nên

$AC = 2 \sqrt 5 .$
Vì

$AA' \perp (ABC)$ và

$A, B \in (Oxy)$ nên

$C \in (Oxy).$
Gọi

$C(x; y;0) . \overrightarrow{AB} = (1;2;0), \overrightarrow{AC} = (x; y;0)$
Ta có:

$\begin{cases} AB \perp AC \\ AC = 2 \sqrt 5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+2y=0 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{cases}x=-4 \\ y=2 \end{cases}\\ \begin{cases}x=4 \\ y=-2 \end{cases} \end{matrix}\right.$ . Vì

$y_C > 0$ nên

$C(–4; 2; 0)$
Do

$\overrightarrow{CC'}= \overrightarrow{AA'} \Rightarrow C'=(–4; 2; 2), \overrightarrow{BB'}= \overrightarrow{AA'}\Rightarrow B'=(1; 2; 2)$ và

$M$ là trung điểm

$CC'$ nên

$M(–4; 2; 1).$
PT mặt cầu

$(S)$ đi qua

$A, B’, C’$ và

$M$ có dạng:

$(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$

$\begin{cases}A(0;0;0) \in (S) \\B'(1;2;2) \in (S) \\C'(-4;2;2) \in (S) \\M(-4;2;1) \in (S) \end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2};b=-\frac{3}{2};c=-\frac{3}{2};d=0$
(thoả mãn

$a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ )
Vậy phương trình mặt cầu

$(S)$ là:

$(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 3y - 3z = 0 .$
Bài tập áp dụng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện

$ABCD$ với

$A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0)$ . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD.$
Hướng dẫn :
Ta tính được

$AB = CD = \sqrt{10}, AC = BD = \sqrt{13}, AD = BC = \sqrt{5}$ . Vậy tứ diện

$ABCD$ có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó

$ABCD$ là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm

$G$ của tứ diện này.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD$ có tâm là

$G\left (\frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right )$ , bán kính là