A.    TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1$.  Phương trình mặt cầu tâm $I(a; b; c),$ bán kính $R$:
$S(I; R) :(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2             (1) $
 Trong không gian Oxyz phương trình $x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0$ là phương trình mặt cầu khi: $A^2+B^2+C^2-D>0$ . Khi đó mặt cầu có:
Tâm $I(-A;-B;-C) $.
Bán kính $R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}$ .
$2.$ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu $(S): (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ và mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ .
Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$
d=d$(I;(P))=\frac{\left| {Aa+Bb+Cc+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ . Khi đó, nếu:
•  $d>R$   : mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$  không có điểm chung.
•  $d=R$   : mặt phẳng $(P)$  tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại $H.$
-    Điểm $H$ được gọi là tiếp điểm.
-    Mặt phẳng $(P)$  được gọi là tiếp diện.
•  $d<R$   : mặt phẳng $(P)$  cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn.

B.  CÁC DẠNG TOÁN
Dạng $1$: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính
Ví dụ $1.$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I(1;-2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục Oy.
Lời giải :
Gọi $M$ là hình chiếu của $I(1;-2;3)$ lên Oy, ta có: $M(0;-2;0) $.
$\overrightarrow{IM} = (-1;0;-3)\Rightarrow R = IM = \sqrt {10} $ là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là $(x -1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 10$.
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
$d : \frac{x+5}{2}=\frac{y-7}{-1}=\frac{z}{1} $ và điểm $M(4;1;6)$ . Đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$, có tâm $M$, tại hai điểm $A, B$ sao cho $AB = 6$ .
Viết phương trình của mặt cầu $(S)$.
Lời giải :
$d$ đi qua $N(-5;7;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;-1;1) ; \overrightarrow{MN} = (-9;6;-6)$
Gọi $H$ là chân đường vuông góc vẽ từ $M$đến đường thẳng $d \Rightarrow MH = $d$(M,d) =\frac{\left| {[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u}]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}= \sqrt 3$.
Bán kính mặt cầu $(S):$
$R^2 =MH^2+ \left ( \frac{AB}{2} \right )^2=12$
$\Rightarrow $ PT mặt cầu $(S): (x - 4)^2 + (y -1)^2 + (z - 6)^2 = 12.$
 Bài tập áp dụng
 
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1} $ và mặt phẳng $(P): 2x + y –2z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên $d$, tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ và đi qua điểm $A(2; –1; 0).$
Hướng dẫn :
Gọi $I$ là tâm của $(S) \Rightarrow I(1+ t;t –2;t)$. Ta có d$(I, (P)) = AI \Leftrightarrow t=1; t=\frac{7}{13}$.
Vậy: $(S) : (x –2)^2 + (y +1)^2 + (z –1)^2 = 1$

Dạng $2$: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình.
Ví dụ $1.$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $3$ điểm $A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1)$. Lập phương trình của mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B, C$ và có tâm nằm trên mặt phẳng $(P): x + y – 2z +4 = 0.$
Lời giải :
PT mặt cầu $(S)$ có dạng: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$
$(S)$ qua $A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0$
$(S)$ qua $B: 2b + 8c – d – 17 = 0$
$(S)$ qua $C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0$
Tâm $I \in (P): a + b – 2c + 4 = 0$
Giải ra ta được: $a = 1, b = –1, c = 2, d = –3$.
Vậy $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0$
 Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’ $ có tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O, B(1; 2; 0)$ và tam giác $ABC$ có diện tích bằng $5.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CC’$. Biết rằng điểm $A'(0; 0; 2)$ và điểm $C$ có tung độ dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'C'M.$
Lời giải :
Ta có: $AB = \sqrt 5$ và $S_{ABC}= 5$ nên $AC = 2 \sqrt 5 .$
Vì $AA' \perp (ABC)$ và $A, B \in (Oxy)$ nên $C \in (Oxy).$
Gọi $C(x; y;0) . \overrightarrow{AB} = (1;2;0), \overrightarrow{AC} = (x; y;0)$
Ta có:
 $\begin{cases} AB \perp AC \\ AC = 2 \sqrt 5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+2y=0 \\ x^2+y^2=20 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{cases}x=-4 \\ y=2 \end{cases}\\ \begin{cases}x=4 \\ y=-2 \end{cases}  \end{matrix}\right.$. Vì $y_C > 0$ nên $C(–4; 2; 0)$
Do $\overrightarrow{CC'}= \overrightarrow{AA'}
\Rightarrow C'=(–4; 2; 2), \overrightarrow{BB'}= \overrightarrow{AA'}\Rightarrow B'=(1; 2; 2)$ và $M$ là trung điểm $CC'$ nên $M(–4; 2; 1).$
PT mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B’, C’$ và $M$ có dạng: $(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$
$\begin{cases}A(0;0;0) \in (S) \\B'(1;2;2) \in (S) \\C'(-4;2;2) \in (S) \\M(-4;2;1) \in (S) \end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2};b=-\frac{3}{2};c=-\frac{3}{2};d=0$
(thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ )
Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(S) : x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 3y - 3z = 0 .$
 Bài tập áp dụng
 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2; 1; 0), B(1; 1; 3),
C(2;–1; 3), D(1;–1; 0)$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD.$
Hướng dẫn :
Ta tính được $AB = CD = \sqrt{10}, AC = BD = \sqrt{13}, AD = BC = \sqrt{5} $. Vậy tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó $ABCD$ là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm $G$ của tứ diện này.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có tâm là $G\left (\frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right ) $, bán kính là $R =GA =\frac{\sqrt{14}}{2}$
Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm $I$ của mặt cầu thoả điều kiện: $IA = IB = IC = ID$

Thẻ

Lượt xem

28287
Chat chit và chém gió
  • Min: thôi ko lằng nhằng,ngủ đi e,ko mệt 7/28/2014 11:59:04 PM
  • Min: happy 7/28/2014 11:59:05 PM
  • Windy: vâng 7/28/2014 11:59:08 PM
  • Min: *ôm em* 7/28/2014 11:59:13 PM
  • Windy: e sẽ í hí hí c nhiều đórolling_on_the_floor 7/28/2014 11:59:21 PM
  • Min: con vái mẹ. ngủ nhanh ko ăn đập giờ 7/28/2014 11:59:34 PM
  • Windy: *ôm c* 7/28/2014 11:59:39 PM
  • Windy: kiss 7/28/2014 11:59:49 PM
  • Min: khiếp 7/28/2014 11:59:54 PM
  • Min: ôm thôi 7/28/2014 11:59:57 PM
  • Windy: tongue 7/29/2014 12:00:00 AM
  • Min: ko đc hôn hít j cả 7/29/2014 12:00:02 AM
  • Min: tongue 7/29/2014 12:00:04 AM
  • Windy: wave 7/29/2014 12:00:04 AM
  • Min: ngủ ngoan nào wave 7/29/2014 12:00:16 AM
  • Windy: chị ngủ ngon 7/29/2014 12:00:16 AM
  • Windy: m.n ngủ ngon 7/29/2014 12:00:21 AM
  • Windy: happy 7/29/2014 12:00:25 AM
  • Min: *con bé mặt dày,đuổi mãi k ngủ* rolling_on_the_floor 7/29/2014 12:00:30 AM
  • Windy: hứ 7/29/2014 12:00:37 AM
  • Min: tongue 7/29/2014 12:00:40 AM
  • Windy: ngủ đây r 7/29/2014 12:00:41 AM
  • Windy: mà sao hnay e toàn bị đuổi thế nhờ 7/29/2014 12:00:55 AM
  • Min: ngủ thì đừng rep. rep là c khỏi ngủ luôn 7/29/2014 12:00:59 AM
  • Windy: lần này 7/29/2014 12:01:00 AM
  • Min: happy 7/29/2014 12:01:01 AM
  • Windy: ngủ thật 7/29/2014 12:01:06 AM
  • Min: ừ thế thôi 7/29/2014 12:01:06 AM
  • Min: thức vs c 7/29/2014 12:01:08 AM
  • Min: ko cho ngủ nữa nhá 7/29/2014 12:01:13 AM
  • Windy: thôi thôi 7/29/2014 12:01:18 AM
  • Windy: e ngủ 7/29/2014 12:01:21 AM
  • Min: -_- 7/29/2014 12:01:43 AM
  • Min: nhanh 7/29/2014 12:01:44 AM
  • jea¤¤student: ngủ chua 7/29/2014 12:02:27 AM
  • Min: chắc gió ngủ r 7/29/2014 12:02:39 AM
  • jea¤¤student: u 7/29/2014 12:03:17 AM
  • Min: Q ngủ chưa 7/29/2014 12:03:35 AM
  • jea¤¤student: Quỳnh ơi 7/29/2014 12:03:54 AM
  • jea¤¤student: ai bik dc 7/29/2014 12:04:01 AM
  • Min: ừ 7/29/2014 12:04:09 AM
  • jea¤¤student: ( 7/29/2014 12:05:08 AM
  • Min: ? 7/29/2014 12:05:26 AM
  • Min: cái j kia 7/29/2014 12:05:28 AM
  • jea¤¤student: thui 7/29/2014 12:06:22 AM
  • jea¤¤student: ng phụ tình 7/29/2014 12:06:33 AM
  • jea¤¤student: ngủ đi 7/29/2014 12:06:39 AM
  • jea¤¤student: sad 7/29/2014 12:06:42 AM
  • Min: ntn gọi là phụ tình? 7/29/2014 12:07:01 AM
  • jea¤¤student: ko biet 7/29/2014 12:07:55 AM
  • jea¤¤student: sad 7/29/2014 12:08:03 AM
  • Min: container,xe tải....vv đi ngoài đg nhiều lắm 7/29/2014 12:08:36 AM
  • Min: hãy còn ồn,chưa ngủ đc big_grin 7/29/2014 12:08:56 AM
  • jea¤¤student: v thi 7/29/2014 12:09:59 AM
  • jea¤¤student: qua quan 7/29/2014 12:10:06 AM
  • jea¤¤student: cf 7/29/2014 12:10:09 AM
  • jea¤¤student: choi 7/29/2014 12:10:16 AM
  • Min: ko biết chơi 7/29/2014 12:10:25 AM
  • Min: ngồi nhà nghe nhạc thích hơn 7/29/2014 12:11:09 AM
  • jea¤¤student: uong cf ma cjoi j 7/29/2014 12:11:48 AM
  • Min:7/29/2014 12:13:00 AM
  • Min: tg bảo qua quán chơi cf rolling_on_the_floor ôi mình bị điên 7/29/2014 12:13:17 AM
  • Min: uống cf bị đau đầu,dại gì happy 7/29/2014 12:13:31 AM
  • jea¤¤student: choi cf la choi j 7/29/2014 12:14:43 AM
  • jea¤¤student: ?? 7/29/2014 12:14:44 AM
  • jea¤¤student: laughing 7/29/2014 12:14:46 AM
  • Min: ko biết đc 7/29/2014 12:14:59 AM
  • Min: chúc vui 7/29/2014 12:29:00 AM
  • Min: 1:23 big_grin 7/29/2014 1:22:58 AM
  • Min: __________________1:23____________________ 7/29/2014 1:23:14 AM
  • Min: chào buổi sáng____________2:00_______________________ 7/29/2014 1:59:59 AM
  • leanh35: đã phát hiện ra một lỗi sai laughing 7/29/2014 9:34:04 AM
  • Onchay01: gg 7/29/2014 9:41:22 AM
  • Đỗ Đức Vỹ: lỗi sai gì thế ^^ 7/29/2014 11:25:00 AM
  • hieugiapbat: co ai ko 7/29/2014 3:13:27 PM
  • hieugiapbat: ai giai ho voi 7/29/2014 4:21:15 PM
  • hieugiapbat: huhu giup voi 7/29/2014 4:26:24 PM
  • hieugiapbat: aco ai ko 7/29/2014 4:37:33 PM
  • hieugiapbat: alo 7/29/2014 5:15:45 PM
  • hieugiapbat: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126303/toan-hoc 7/29/2014 5:16:23 PM
  • leanh35: laughing 7/29/2014 5:36:48 PM
  • leanh35: có thưởng thì đưa lỗi sai , còn ko thì thôi laughing 7/29/2014 5:37:05 PM
  • leanh35: Mà đùa thôi , chứ ai làm nhận ra tự sửa vậy hee_hee 7/29/2014 5:37:53 PM
  • hieugiapbat: giup tui 7/29/2014 5:38:30 PM
  • leanh35: Muốn chém gió thôi , ko muốn học laughing 7/29/2014 5:38:33 PM
  • hieugiapbat: giup đi 7/29/2014 5:38:41 PM
  • leanh35: đc gì laughing 7/29/2014 5:38:54 PM
  • hieugiapbat: tùy 7/29/2014 5:39:01 PM
  • leanh35: nói nghe xem hee_hee 7/29/2014 5:39:09 PM
  • hieugiapbat: ai bk đc 7/29/2014 5:39:16 PM
  • hieugiapbat: hộ cái 7/29/2014 5:39:24 PM
  • leanh35: rolling_on_the_floor xem lòng thành của chú 7/29/2014 5:39:29 PM
  • hieugiapbat: can gấp lắm 7/29/2014 5:39:33 PM
  • hieugiapbat: 9kon trau 7/29/2014 5:39:41 PM
  • hieugiapbat: 9 kon ga 7/29/2014 5:39:45 PM
  • hieugiapbat: 9 ngua 7/29/2014 5:39:49 PM
  • hieugiapbat: oke 7/29/2014 5:39:52 PM
  • hieugiapbat: big_grin 7/29/2014 5:40:10 PM
  • hieugiapbat: di ban 7/29/2014 5:40:17 PM
  • leanh35: tôi ko thích ăn gà trâu ngựa laughing 7/29/2014 5:40:40 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • hieugiapbat
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Rainy
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • leanh35