A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Với c là hằng số, ta có :
lim. Tổng quát \lim \frac{c}{n^k}=0 (k \ge 1).
2. Với q là số thực thỏa mãn |q|<1 thì \lim q^n=0.
3. Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (xem định lý 1, SGK).
4. Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực (\lim u_n=\pm \infty).
\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=+\infty \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=0
\left.\begin{matrix}\lim u_n=a \\\lim v_n=0\\v_n>0 \forall n \ge 0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow \lim \frac{u_n}{v_n}=\text{(dấu của a)}\times \infty.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giới hạn dãy số u_n=\frac{f(n)}{g(n)}, trong đó f(n), g(n) là các đa thức ẩn số n.
Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy u_n, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Ví dụ 1.
Tính L_1=\lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2}
Lời giải :
Khi n \to \infty thì n \ne 0 nên chia cả tử và mẫu của \lim\frac{3n^3-7n+1}{4n^3-3n^2+2} cho n^3 ta được:
L_1=\lim \frac{\displaystyle{\frac{3n^3}{n^3}-\frac{7n}{n^3}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{\frac{4n^3}{n^3}-\frac{3n^2}{n^3}+\frac{2}{n^3}}}=\lim
\frac{\displaystyle{3-\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}}}{\displaystyle{4-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^3}}}=\frac{3+0+0}{4+0+0}=\frac{3}{4}
Ghi chú : \lim \frac{7}{n^2}=\lim \frac{1}{n^3}=\lim \frac{3}{n}=\lim \frac{2}{n^3}=0
Ví dụ 2.
Tính L_2=\lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n}
Lời giải :
Khi n \to \infty thì n \ne 0 nên chia cả tử và mẫu của \lim\frac{3n^7-8n^6+3}{5n^8+n^3+2n} cho n^8, là số mũ cao nhất của n có trong giới hạn trên, ta được:
L_2=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{3n^7}{n^8}-\frac{8n^6}{n^8}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{\frac{5n^8}{n^8}+\frac{n^3}{n^8}+\frac{2n}{n^8}}}=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{3}{n^8}}}{\displaystyle{5+\frac{1}{n^5}+\frac{2}{n^7}}}=\frac{0+0+0}{5+0+0}=0
Bài tập áp dụng :
Tính
L_3=\lim\frac{4n^8+12n-1}{n^2+5n^6-6n^8}
L_4=\lim\frac{-3n^5+2n+4}{n^2+4n+3}
Hướng dẫn:
Đáp số : L_3=-\frac{2}{3}.
L_4=-\infty.
Dạng 2. Giới hạn dãy số u_n=\frac{f(n)}{g(n)}, trong đó f(n), g(n) là các biểu thức chứa căn.
Cách giải :
Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao
nhất trong dãy u_n, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Quy ước :
Biểu thức \sqrt{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0} có bậc \frac{k}{2}.
Biểu thức \sqrt[3]{a_kx^k+a_{x-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0} có bậc \frac{k}{3}.
Ví dụ 1.
Tính L_1=\lim\frac{n+\sqrt{n^2+2n+3}}{3-\sqrt{2n^2+1}}
Lời giải :
Nhận xét :
\sqrt{n^2+2n+3} có bậc \frac{2}{2}=1; n có bậc 1 nên bậc cao nhất của n trong n+\sqrt{n^2+2n+3} là 1.
\sqrt{2n^2+1} có bậc \frac{2}{2}=1; nên bậc cao nhất của n trong 3-\sqrt{2n^2+1} là 1.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho n^1=n=\sqrt{n^2} để tính.
Ta có :
L_1=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{n}{n}-\frac{\sqrt{n^2+2n+3}}{n}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}-\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n}}}=\lim
\frac{\displaystyle{1+\sqrt{\frac{n^2+2n+3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{\frac{2n^2+1}{n^2}}}}=\lim\frac{\displaystyle{1+\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}}}{\displaystyle{\frac{3}{n}+\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}}}=\frac{1+\sqrt{1+0+0}}{0-\sqrt{2+0}}=-\sqrt
2
Ví dụ 2.
Tính L_2=\lim\frac{2n+\sqrt{n^3+3n+2}}{1+n\sqrt{3n+4}}
Lời giải :
Nhận xét :
\sqrt{n^3+3n+2} có bậc \frac{3}{2}=1,5; 2n có bậc 1 nên bậc cao nhất của n trong 2n+\sqrt{n^3+3n+2} là 1,5.
n\sqrt{3n+4}=\sqrt{3n^3+4n^2} có bậc \frac{3}{2}=1; nên bậc cao nhất của n trong 1+n\sqrt{3n+4} là 1,5.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho \sqrt{n^3} để tính.
Ta có :
L_2=\lim
\frac{\displaystyle{\frac{2n}{\sqrt{n^3}}+\frac{\sqrt{n^3+3n+2}}{\sqrt{n^3}}}}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n^3}}+\frac{n\sqrt{3n+4}}{\sqrt{n^3}}}}=\lim
\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{n^2}{n^3}}+\sqrt{\frac{n^3+3n+2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{\frac{3n^3+4n^2}{n^3}}}}=\lim\frac{\displaystyle{2\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}}}{\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{n^3}}+\sqrt{3+\frac{4}{n}}}}=\frac{2.\sqrt
0+\sqrt{1+0+0}}{\sqrt 0+\sqrt{3+0}}=\frac{1}{\sqrt 3}
Bài tập áp dụng :
Tính
L_3=\lim\frac{n\sqrt{n^2+n+1}}{3n^2-2n+12}
L_4=\lim\frac{\sqrt[3]{-3n^7+2n+1}}{n^2+3n+7}
Hướng dẫn:
Đáp số : L_3=0.
L_4=-\infty.
Dạng 3. Giới hạn dãy số u_n=\sqrt{f(n)}\pm \sqrt{g(n)}, trong đó f(n), g(n) là các đa thức ẩn số n.
Cách giải :
Sử dụng các phép biến đổi liên hợp như sau :
\sqrt{f(n)}- \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}+\sqrt{g(n)}}
\sqrt{f(n)}+ \sqrt{g(n)}=\frac{f(n)-g(n)}{\sqrt{f(n)}-\sqrt{g(n)}}
Khi đó ta đưa được về dạng 2.
Ví dụ 1.
Tính L_1=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )
Lời giải :
L_1=\lim\left
( \sqrt{n^2+n+3}-n \right )=\lim \frac{(n^2+n+3)-n^2}{
\sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim \frac{n+3}{ \sqrt{n^2+n+3}+n}=\lim
\frac{\displaystyle{1+\frac{3}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}+1}}
=\frac{1}{2}
Ví dụ 2.
Tính L_2=\lim\left ( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )
Lời giải :
L_2=\lim\left
( \sqrt{3n^2+2n+1}+n\sqrt 3 \right )=\lim \frac{(3n^2+2n+1)-3n^2}{
\sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt 3}=\lim \frac{2n+1}{ \sqrt{3n^2+2n+1}-n\sqrt
3}=\lim
\frac{\displaystyle{2+\frac{1}{n}}}{\displaystyle{\sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt
3}}
Vì \lim\left (2+\frac{1}{n} \right )=2 và \lim\left ( \sqrt{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}-\sqrt 3 \right )=0^+
Suy ra L_2=+\infty
Bài tập áp dụng
Tính
L_3=\lim\left ( \sqrt{4n^2+n+2}-2n \right )
L_4=\lim\left ( \sqrt{n^2+n+7}+n \right )
Hướng dẫn:
Đáp số : L_3=\frac{1}{4}.
L_4=+\infty.
Dạng 4. Giới hạn dãy số có chứa số mũ là n.
Cách giải :
Chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất và sử dụng giới hạn cơ bản
\lim q^n=0 nếu |q|<1.
Ví dụ 1.
Tính L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa 2^n, 3^n thì 3^n có cơ số bằng 3 là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
L_1=\lim\frac{2^n+4.3^n}{5-7.3^n}=\lim\frac{\displaystyle{\frac{2^n}{3^n}+4.\frac{3^n}{3^n}}}{\displaystyle{5.\frac{1^n}{3^n}-7.\frac{3^n}{3^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left
(\frac{2}{3} \right )^n+4}}{\displaystyle{\left (5.\frac{1}{3} \right
)^n-7}}=-\frac{4}{7}
Chú ý rằng vì \left| {\frac{2}{3}}
\right|<1; \left| {\frac{1}{3}} \right|<1 nên \lim\left
(\frac{2}{3} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{3} \right )^n=0
Ví dụ 2.
Tính L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa 2^n, 3^n,4^n thì 4^n có cơ số bằng 4 là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
L_2=\lim\frac{3.2^n+4}{4.3^n-5.4^n}=\lim\frac{\displaystyle{3.\frac{2^n}{4^n}+4.\frac{1^n}{4^n}}}{\displaystyle{4.\frac{3^n}{4^n}-5.\frac{4^n}{4^n}}}=\lim\frac{\displaystyle{\left
(3.\frac{1}{2} \right )^n+4.\left
(\frac{1}{4} \right )^n}}{\displaystyle{4.\left (\frac{3}{4} \right
)^n-5}}=\frac{3.0+4.0}{4.0-5}=0
Chú ý rằng vì \left| {\frac{1}{2}}
\right|<1; \left| {\frac{3}{4}} \right|<1 nên \lim\left
(\frac{1}{2} \right )^n=\lim\left (\frac{3}{4} \right )^n=\lim\left (\frac{1}{4} \right )^n=0
Bài tập áp dụng
Tính
L_3=\lim\frac{2+5^n}{4^n-6.5^n}
L_4=\lim\frac{3.2^n-5.7^n}{4^n+3.5^n}
Hướng dẫn:
Đáp số : L_3=-\frac{1}{6}.
L_4=-\infty.
|