A.    TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$ Vectơ pháp tuyến của mp $(P)$:  $\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{n} \perp (P)$.
$2.$ Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ : hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  $(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  có giá cùng song song với $(P)$.
$3.$ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  và cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ :  $\overrightarrow{n}=\left[ {\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right]$
$4.$ Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M_0(x_0,y_0,z_0)$  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ :
         $(P): A(x-x_0)+b(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Phương trình mặt phẳng dạng tổng quát $(P) : Ax+By+Cz+D=0$  thì có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ .
$5.$ Phương trình mặt phẳng đi qua $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ :
          $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
$6.$ Phương trình các mặt phẳng tọa độ: $(Oyz): x = 0; (Oxz): y = 0; (Oxy): z = 0$.
$7.$ Khoảng cách từ $M_0(x_0,y_0,z_0)$ đến $(P) : Ax+By+Cz+D=0$
           d$(M;(P))=\frac{\left| {Ax_0+By_0+Cz_0+D} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
$8.$ Góc giữa hai mặt phẳng:  $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q) : A'x+B'y+C'z+D'=0$
          $\cos \left ((P), (Q) \right )=\frac{\left| {AA'+BB'+CC'} \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}$

Nhận xét : Muốn viết phương trình mặt phẳng thì có hai phương pháp chính
Phương pháp $1$. Xác định $1$ điểm mà mặt phẳng đi qua và $1$ vectơ pháp tuyến.
Phương pháp $2$. Xác định $1$ vectơ pháp tuyến và tham số $D$ trong phương trình dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$.

B.   CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng I.
Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1), B(–1;1;3) $ và mặt phẳng
$(P): x –3y + 2z –5 = 0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A, B$ và vuông
góc với mặt phẳng $(P).$
 Lời giải :
mp$ (Q)$ đi qua $A, B$ nên $\overrightarrow{AB}=(-3,-3,2)$ là một vec chỉ phương (VTCP) của mp$(Q)$.
Mặt khác mp$(Q)$ vuông góc với mp$(P) \Rightarrow $ vec pháp tuyến (VTPT)  $\overrightarrow{n_P}$ của $(P)$ cũng là một VTCP của $(Q)$
Như vậy, VTPT của $(Q) : \overrightarrow{n_Q}=\left[ {\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{AB}} \right]=(0;-8;-12)$
Hiển nhiên thấy $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(0;-8;-12)$ nên
$(Q) : 0(x-2)-8(y-4)-12(z-1)=0$
$(Q) : 2y + 3z -11 = 0$ .
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm
$A(2;1;3),B(1;-2;1)$ và song song với đường thẳng $d :\begin{cases}x=-1+t \\ y=2t\\z=-3-2t \end{cases}  (t \in \mathbb{R})$.
Lời giải :
mp$ (P)$ đi qua $A, B$ nên $\overrightarrow{BA}=(1,3,2)$ là một VTCP của mp$(P)$.
Mặt khác mp$(P)$ song song với đường thẳng $d \Rightarrow $ VTCP  $\overrightarrow{u_d}$ của $(d)$ cũng là một VTCP của $(P)$
Như vậy, VTPT của $(Q) : \overrightarrow{n_Q}=\left[ {\overrightarrow{BA},\overrightarrow{u_d}} \right]=(-10;4;-1)$
Hiển nhiên thấy $(Q)$ đi qua $B(1;-2;1)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(-10;4;-1)$ nên
$(P) : -10(x-1)+4(y+2)-1(z-1)=0$
$(P) : 10x - 4y + z -19 = 0$ .

Dạng II: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
 Ví dụ $3.$
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + y + z = 0$ và cách điểm $M(1; 2; –1)$ một khoảng bằng $\sqrt 2$.
Lời giải :
Phương trình mp$(P)$ đi qua $O(0,0,0)$ nên có dạng : $Ax+By+Cz=0                (A^2+B^2+C^2 \ne 0)$.
Vì $(P) \perp (Q)$ nên $\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}=0\Leftrightarrow 1.A+1.B+1.C=0\Leftrightarrow C=-A-B           (1)$
d$(M,(P)) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{\left| {A +2B -C} \right|}{\sqrt{A^2+ B^2+ C^2}}=\sqrt 2 \Leftrightarrow (A + 2B -C)^2 = 2(A^2 + B^2 +C^2)           (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được: $(2A + 3B )^2 = 2(2A^2 + 2B^2 +2AB) \Leftrightarrow 8AB + 5B^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}B=0        (3)\\ 8A+5B=0       (4) \end{matrix}} \right.$
Từ $(3): B = 0, C = –A$. Chọn $A = 1, C = –1 \Rightarrow (P): x - z = 0$
Từ $(4): 8A + 5B = 0$. Chọn $ A = 5, B = –8 \Rightarrow C = 3\Rightarrow (P): 5x - 8y + 3z = 0$ .
 Ví dụ $4.$ (Đại học Khối $D-2010$)
Trong không gian toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + y + z − 3 = 0$ và $(Q): x − y + z − 1 = 0$. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ sao cho khoảng cách từ $O $ đến $(R)$ bằng $\sqrt 2.$
Lời giải :
Ta có vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ lần lượt là
$\overrightarrow{n_P}= (1; 1; 1) $ và $\overrightarrow{n_Q}= (1; − 1; 1)$, suy ra:
$\left[ {\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}} \right]= (2; 0; −2) $ là vectơ pháp tuyến của $(R)$.
Mặt phẳng $(R)$ có phương trình dạng $x − z + D = 0. $
Ta có d$(O,(R)) = \frac{|D|}{\sqrt 2}$, suy ra: $\frac{|D|}{\sqrt 2}=  2 \Leftrightarrow D = 2\sqrt 2 $  hoặc $D = −2 \sqrt 2 .$
Vậy phương trình mặt phẳng $(R): x − z + 2\sqrt 2 = 0$  hoặc $ x − z − 2\sqrt 2 = 0.$

Dạng III: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
 Ví dụ $5.$
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{1}$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + 2 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với $d$ và trục $Ox$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
Lời giải :
$(S)$ có tâm $I(1; 1; 2),$ bán kính $R = 2$.
$d$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;2;1)$ .
$\begin{cases}(P) \parallel d \\(P) \parallel Ox \end{cases} \Rightarrow (P) $ có VTPT $\overrightarrow{n} = \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}} \right] = (0;1;-2)$. Trong đó $\overrightarrow{u}=(1,0,0)$ là VTCP của trục $Ox$.
Suy ra PT của $(P)$ có dạng: $y - 2z + D = 0$ .
$(P)$ tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow $ d$(I,(P)) = R \Leftrightarrow \frac{\left| {1-4+D} \right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=2\Leftrightarrow |D-3|=2\sqrt 5\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} D=3+2\sqrt 5\\ D=3-2\sqrt 5\end{matrix}} \right.$
Vậy
$(P): y - 2z + 3+2\sqrt 5 = 0 $  hoặc   $(P): y - 2z + 3 - 2\sqrt 5 = 0$ .

Dạng IV: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
 Ví dụ $6.$
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $(d): \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}$ và tạo với mặt phẳng $(P) : 2x - 2y - z +1 = 0$ một góc $60^\circ$. Tìm tọa độ giao điểm $M$ của mặt phẳng $(Q)$ với trục $Oz.$
Lời giải :
$(d)$ qua điểm $A(1;0;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (1;-1;-2)$
$(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_P} = (2;-2;-1) .$
Giao điểm $M(0;0;m)$ cho $\overrightarrow{AM} = (-1;0;m)$
$(Q)$ có VTPT $\overrightarrow{n_Q} =\left[ {\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u}} \right]= (m;m - 2;1)$
$(Q)$ và $(P): 2x - 2y - z +1 = 0 $ tạo thành góc $60^\circ$ nên :
$|\cos (\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_P})|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2m^2-4m+5}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2m^2-4m+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}m=2 - \sqrt 2\\ m=2 + \sqrt 2 \end{matrix}} \right.$
Kết luận : $M(0;0;2 - \sqrt 2)$ hay $M(0;0;2 + \sqrt 2)$.

C. CÁC BÀI TOÁN QUA CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Bài $1$. (Đại học Khối $B-2010$)
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm $A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$, trong đó $b, c$ dương và mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0.$ Xác định $b$ và $c$, biết mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{1}{3}$.
Hướng dẫn :
Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P): y − z + 1 = 0$, suy ra: $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0        (1)$
Ta có: d$(O, (ABC)) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\displaystyle{1+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}}= \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=8         (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, do $b, c > 0$ suy ra $b = c =\frac{1}{2} $.
Bài $2$. (Đại học Khối $B-2009$)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1)$ và $D(0;3;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ sao cho khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$.
Hướng dẫn :
Trường hợp $1 : (P) \parallel  CD$. Ta có : $\overrightarrow{AB}= (-3;-1;2),\overrightarrow{CD} =(-2;4;0)$
$\Rightarrow (P)$  có VTPT $\overrightarrow{n}= ( -8; -4; -14)$ hay $\overrightarrow{n}=(4;2;7)$
$\Rightarrow (P) :4(x- 1)+ 2(y- 2) +7(z -1)= 0\Leftrightarrow 4x+ 2y +7z -15= 0$
Trường hợp $2:  (P) $ qua $I(1;1;1)$ là trung điểm $CD$
Ta có $\overrightarrow{AB}= ( 3; 1;2), \overrightarrow{AI}= (0; 1;0)$
$\Rightarrow (P)$  có VTPT $\overrightarrow{n}= ( 2;0;3)$
$(P) :2(x -1) +3(z-1)= 0\Leftrightarrow 2x +3z- 5= 0$

D. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
$1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho $2$ đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2 )$ có phương trình:
$(d_1) : \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}, (d_2) : \frac{x-4}{6}=\frac{y-1}{9}=\frac{z-3}{3}$.
Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $(d_1 )$ và $(d_2 )$.
$2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ và
mặt phẳng $(P): x + z - 3 = 0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(3;1;-1)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S).$
$3.$ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm $A(1;2;3) , B(0;-1;2) ,C(1;1;1) $. Viết phương trình mặt phẳng $ (P) $ đi qua $A$ và gốc tọa độ $O$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ .
$4.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 5x - 2y + 5z -1 = 0$ và $(Q) : x - 4y - 8z +12 = 0 $. Lập phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $M$ trùng với gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc $45^\circ.$

Thẻ

Lượt xem

51409
Chat chit và chém gió
  • Saori Hara: có lẻ nào 10/24/2014 10:41:17 PM
  • tuanthanh31121997: hehe 10/24/2014 10:41:32 PM
  • conyeumeobeo: Saori Hara: f(x)=F(y)+1 thì có lý big_grin có lý hưn 10/24/2014 10:41:59 PM
  • conyeumeobeo: nhưng làm thử đi 10/24/2014 10:42:06 PM
  • Saori Hara: có đúng đâu mà làm 10/24/2014 10:42:52 PM
  • tuanthanh31121997: hả big grin la gì 10/24/2014 10:43:29 PM
  • Saori Hara: ông kia bị atsm đó mà 10/24/2014 10:43:36 PM
  • tuanthanh31121997: t nói cho hay đó 10/24/2014 10:43:57 PM
  • conyeumeobeo: coppy nhầm thôi 10/24/2014 10:44:18 PM
  • conyeumeobeo: mà có ra cái vẹo gì dâu 10/24/2014 10:44:41 PM
  • tuanthanh31121997: thi nói cho hay chư đã đặt bút lam đâu 10/24/2014 10:44:56 PM
  • conyeumeobeo: làm tôi xem nào 10/24/2014 10:45:16 PM
  • Saori Hara: cách của ông sai rồi 10/24/2014 10:45:22 PM
  • conyeumeobeo: toàn nói không à 10/24/2014 10:45:22 PM
  • tuanthanh31121997: viết lại cái đề đi 10/24/2014 10:45:30 PM
  • tuanthanh31121997: thi ai nói đúng đâu 10/24/2014 10:45:39 PM
  • Saori Hara: he 10/24/2014 10:45:48 PM
  • quakhuvaanh5602: ssssssssssssssssssss 10/24/2014 10:47:49 PM
  • quakhuvaanh5602: ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 10/24/2014 10:48:00 PM
  • conyeumeobeo: 2X^3=2Y^3 +1 và 2X+căn (2-X+Y-X^2-Y^3)=1 10/24/2014 10:48:03 PM
  • tuanthanh31121997: nhác làm quá 10/24/2014 10:50:51 PM
  • tuanthanh31121997: ko biêt làm crying 10/24/2014 10:51:01 PM
  • conyeumeobeo: ai ra chưa 10/24/2014 10:52:17 PM
  • tuanthanh31121997: chưa 10/24/2014 10:52:24 PM
  • peridot4.9.98: giải mình hộ bài hình 11 với 10/24/2014 10:53:14 PM
  • tuanthanh31121997: hinh hình không gian hả 10/24/2014 10:53:39 PM
  • conyeumeobeo: khó vồn ra ấy 10/24/2014 10:56:13 PM
  • tuanthanh31121997: ờ chưa có hướng 10/24/2014 10:58:14 PM
  • conyeumeobeo: thế mà nãy chém như thật 10/24/2014 11:00:08 PM
  • tuanthanh31121997: đã nói là nói cho hay mà 10/24/2014 11:02:58 PM
  • tuanthanh31121997: có thánh mà mơi đọc đề phát làm đk luôn 10/24/2014 11:03:35 PM
  • peridot4.9.98: mình hơi ngu cái phần hai mặt phẳng vuông góc 10/24/2014 11:08:12 PM
  • peridot4.9.98: khổ 10/24/2014 11:08:14 PM
  • tuanthanh31121997: đọc đề đi 10/24/2014 11:08:23 PM
  • conyeumeobeo: làm đi 10/24/2014 11:08:54 PM
  • conyeumeobeo: hộ cái 10/24/2014 11:08:57 PM
  • tuanthanh31121997: khoan nha dự là ông viết đề sai 10/24/2014 11:09:36 PM
  • Con Gái MAFIA: Anh tìm nỗi nhớ….Anh tìm quá khứ. Nhớ lắm kí ức anh và em.... Trả lại anh yêu thương ấy, xin người hãy về nơi đây. Bàn tay yếu ớt cố níu em ở lại…. Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao... Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao. Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Anh sẽ mãi nhớ thật nhiều những thứ thuộc về em Trong tim này vẫn mãi yêu người riêng em ... Uh ohhhh ... Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! 10/24/2014 11:10:06 PM
  • tuanthanh31121997: cái đoạn trong căn ấy phải y^2 chư ko phải y^3 10/24/2014 11:10:31 PM
  • peridot4.9.98: Cho hình chóp SABCD.ABCD là hình vuông tâm O.(SAD) và (SAB) vuông góc với đáy. Gọi anphal là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SC tại I. 10/24/2014 11:11:06 PM
  • peridot4.9.98: a,Xác định giao điểm K của anphal với SO b, chứng minh (SAD) vuông góc với (SAO), BD// anphal c, xác định giao tuyến của (SBD) với anphal 10/24/2014 11:11:32 PM
  • conyeumeobeo: tuanthanh31121997 không sai đâu 10/24/2014 11:11:45 PM
  • tuanthanh31121997: conyeumeobeo ơi t biết lam rồi 10/24/2014 11:11:50 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:12:04 PM
  • conyeumeobeo: nói nge đi 10/24/2014 11:12:11 PM
  • tuanthanh31121997: pt 2 nà chuyển 2x sang ben kia xong bình phương lên 10/24/2014 11:12:33 PM
  • tuanthanh31121997: bài này chỉ có cách đó thôi 10/24/2014 11:12:52 PM
  • conyeumeobeo: nhưng bình phương lên kinh khủng lắm 10/24/2014 11:13:37 PM
  • tuanthanh31121997: ko khủng đâu chỉ mũ 2 mà t binh phương đi 10/24/2014 11:14:03 PM
  • tuanthanh31121997: chuyển 2x sang bên kia là đk 10/24/2014 11:14:12 PM
  • tuanthanh31121997: mà lấy đề ở đâu đây 10/24/2014 11:14:24 PM
  • conyeumeobeo: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121107/giup-cau-nay-nua-nha 10/24/2014 11:14:32 PM
  • conyeumeobeo: đây chứ đâu 10/24/2014 11:14:44 PM
  • tuanthanh31121997: để t bp lên cho ma xem 10/24/2014 11:15:56 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:16:09 PM
  • tuanthanh31121997: ông viết đề sai kìa 10/24/2014 11:16:22 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:16:52 PM
  • Con Gái MAFIA: Anh tìm nỗi nhớ….Anh tìm quá khứ. Nhớ lắm kí ức anh và em.... Trả lại anh yêu thương ấy, xin người hãy về nơi đây. Bàn tay yếu ớt cố níu em ở lại…. Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao... Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Những giọt nước mắt…Lăn dài trên mi. Cứ thế anh biết phải làm sao. Tình yêu trong em đã mất,phai dần đi theo gió bay. Còn lại chi nơi đây cô đơn riêng anh …. Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! Anh sẽ mãi nhớ thật nhiều những thứ thuộc về em Trong tim này vẫn mãi yêu người riêng em ... Uh ohhhh ... Em đi xa quá … Em đi xa anh quá .. Có biết không nơi đây anh vẫn đứng đợi một giấc mơ. Anh chờ đợi một cơn mưa,sẽ xóa sạch giọt nước mắt. Ngồi trong đêm bơ vơ anh thấy đau em có biết không???? Em ơi anh nhớ ... Em ơi anh rất nhớ .. Từng câu nói ánh mắt của em giờ này ở nơi đâu. Chắc ai đó sẽ sớm quay lại thôi ... Chắc ai đó sẽ sớm quay về thôi ... Cầm bông hoa trên tay nước mắt rơi .. Anh nhớ em ! 10/24/2014 11:16:56 PM
  • Con Gái MAFIA: wave 10/24/2014 11:18:48 PM
  • minhkute141: big_grin từ hôm qa gặp e c văn thơ voãi nhe! 10/24/2014 11:19:32 PM
  • Saori Hara: perido 10/24/2014 11:23:41 PM
  • conyeumeobeo: làm ra chưa 10/24/2014 11:24:55 PM
  • tuanthanh31121997: cái đệch ông viêt sai đề kìa 10/24/2014 11:26:26 PM
  • tuanthanh31121997: 2x+căn(2-x+y-x^2-y^2) chư ko phải y^3 đâu 10/24/2014 11:27:07 PM
  • conyeumeobeo: Y^3 mà 10/24/2014 11:27:27 PM
  • tuanthanh31121997: xem lại đi 10/24/2014 11:27:34 PM
  • conyeumeobeo: làm xem được không 10/24/2014 11:27:44 PM
  • tuanthanh31121997: đối vs đo là y^2 thi đơn giản 10/24/2014 11:28:10 PM
  • tuanthanh31121997: {2x+2−x+y−x2−y2−−−−−−−−−−−−−−−√=12x3=2y3+1 10/24/2014 11:28:31 PM
  • tuanthanh31121997: đề cx sẽ như thê này nha 10/24/2014 11:29:16 PM
  • tuanthanh31121997: 2x^3=2Y^3+1 và 2x+căn (2-x+y-x^2-y^2)=1 10/24/2014 11:29:58 PM
  • tuanthanh31121997: chép nguyên đè nơi link ông gưi đó 10/24/2014 11:30:13 PM
  • tuanthanh31121997: đoạn pt2 ông chuyển 2x sang bên kia pt2 sẽ trở thành: căn( 2-x+y-x^2-y^2)=1-2x 10/24/2014 11:31:09 PM
  • tuanthanh31121997: binh phương lên sẽ đk 10/24/2014 11:31:18 PM
  • conyeumeobeo: có được gì đâu 10/24/2014 11:31:53 PM
  • tuanthanh31121997: đợi tí 10/24/2014 11:32:00 PM
  • tuanthanh31121997: t viết đã 10/24/2014 11:32:12 PM
  • peridot4.9.98: chờ gẫy cổ 10/24/2014 11:32:33 PM
  • tuanthanh31121997: tis aays ma 10/24/2014 11:33:17 PM
  • tuanthanh31121997: 5x^2-3x+y^2-y-1 10/24/2014 11:34:01 PM
  • tuanthanh31121997: bp lên sẽ đk như thê 10/24/2014 11:34:09 PM
  • tuanthanh31121997: pt1: 2X^3-2y^3-1=0 10/24/2014 11:34:39 PM
  • tuanthanh31121997: thê pt1 vào pt2 ta sẽ có 10/24/2014 11:34:51 PM
  • tuanthanh31121997: 5x^2-3x+y^2-y-1=2x^3-2Y^3-1 10/24/2014 11:35:41 PM
  • tuanthanh31121997: ê hỉu chưa 10/24/2014 11:36:20 PM
  • tuanthanh31121997: off rôi a thê thi thôi 10/24/2014 11:38:11 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:38:54 PM
  • tuanthanh31121997: có cân nói nưa ko?? 10/24/2014 11:39:04 PM
  • conyeumeobeo: không 10/24/2014 11:40:30 PM
  • conyeumeobeo: xong hàm số đúng không 10/24/2014 11:40:45 PM
  • tuanthanh31121997: ko hàm sô làm gì 10/24/2014 11:40:58 PM
  • conyeumeobeo: thế cuối cùng quan hệ x y là gì 10/24/2014 11:41:31 PM
  • tuanthanh31121997: x=y+1 10/24/2014 11:41:50 PM
  • tuanthanh31121997: đung như lúc đầu minh đoán hehe 10/24/2014 11:41:59 PM
  • tuanthanh31121997: phân tích cái pt đo ra 10/24/2014 11:42:09 PM
  • tuanthanh31121997: đk (x-y-1)(....) cái đằng sau lơn hơn 0 10/24/2014 11:42:38 PM
  • tuanthanh31121997: ok nha bạn 10/24/2014 11:43:34 PM
  • conyeumeobeo:10/24/2014 11:44:40 PM
  • tuanthanh31121997: laughing 10/24/2014 11:45:00 PM
  • tuanthanh31121997: lúc đầu bạn viêt sai đề nên bó tay hêheh 10/24/2014 11:45:35 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • jungyongmun.99
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203