A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ta xét các phương trình-bất phương trình cơ bản sau : 1. af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x). 2. af(x)=b=alogba⇔f(x)=logab. 3. af(x)=bg(x)⇔f(x)=g(x)logab. 4. af(x)>ag(x)(1) + Nếu a>1 thì (1)⇔f(x)>g(x) + Nếu 0<a<1 thì (1)⇔f(x)<g(x) Cách nói khác, (1)⇔{a>0(a−1)(f(x)−g(x))>0 Để giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Phương pháp đưa về cùng cơ số : Ví dụ 1. Giải phương trình 2x+1.5x=2.102x+5 Lời giải : Phương trình đã cho ⇔2.2x.5x=2.102x+5⇔10x=102x+5⇔x=2x+5⇔x=−5.
Ví dụ 2. Giải phương trình 3x+1+3x+2+3x+3=9.5x+5x+1+5x+2 Lời giải : Phương
trình đã cho ⇔3x.(3+32+33)=5x.(9+5+52)⇔3x.39=5x.39⇔(35)x=1⇔x=0.
Ví dụ 3. Giải phương trình (2+√3)3x+1=(2−√3)5x+8 Lời giải : Nhận thấy rằng (2+√3)(2−√3)=1⇒2−√3=(2+√3)−1 Phương
trình đã cho ⇔(2+√3)3x+1=(2+√3)−5x−8⇔3x+1=−5x−8⇔x=−98.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 3√x2−2x≥(13)x−|x−1| Lời giải : Điều kiện : x≤0 hoặc x≥2. Khi đó bất phương trình tương đương 3√x2−2x≥3|x−1|−x⇔√x2−2x≥|x−1|−x(1) Nếu x≤0 thì |x−1|=1−x, khi đó (1)⇔√x2−2x≥1−2x⇔x2−2x≥1−4x+4x2⇔3x2−2x+1≤0. Đây là điều vô lý vì, 3x2−2x+1=3(x−13)2+23>0,∀x. Nếu x≥2 thì |x−1|=x−1, khi đó (1)⇔√x2−2x≥−1 đây là điều luôn đúng. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=[2,+∞).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình (x2+12)2x2+x+1≥(x2+12)1−x Lời giải : Vì x2+12>0 nên ta có các trường hợp sau * x2+12=1⇔x=±1√2 *{x2+12>12x2+x+1≥1−x⇔{|x|>1√22x2+2x≥0⇔[x≤−1x>1√2 *{x2+12<12x2+x+1≤1−x⇔{|x|<1√22x2+2x≤0⇔−1√2<x≤0. Vậy
tập nghiệm của bất phương trình là S=(−∞,−1]∪[−1√2,0]∪[1√2,+∞).
Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau : 1. 2x.3x−1.5x−2=12. Đáp số : x=2. 2. 3x+1+5x+2≥3x+2+5x+1 Đáp số : x≥log53310 3. (√5−2)x−1x+1≤(√5+2)x−1 Đáp số : [x≥1−2≤x≤−1
II. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình (4+√15)x+(4−√15)x=62 Lời giải : Nhận xét rằng :
(4+√15).(4−√15)=1⇒4−√15=14+√15⇒(4−√15)x=1(4+√15)x Đặt t=(4+√15)x(t>0) Phương trình đã cho ⇔t+1t=62⇔t2−62t+1=0. Phương trình này có hai nghiệm t=31±8√15=(4±√15)2 Với t=(4+√15)2 thì x=2. Với t=(4−√15)2=(4+√15)−2 thì x=−2.
Ví dụ 2. Giải phương trình 125x+50x=23x+1 Lời giải : Phương trình đã cho ⇔53x+52x.2x=2.23x. Chia hai vế của PT này cho 23x>0 ta được PT ⇔(52)3x+(52)2x−2=0 Đặt t=(52)x,t>0. Ta có : t3+t2−2=0⇔(t−1)(t2+2t+2)=0⇔t=1⇔x=0. Vậy PT có nghiệm x=0.
Ví dụ 3. Giải phương trình 2x2−5x+6+21−x2=2.26−5x+1 Lời giải : Đặt u=2x2−5x+6,v=21−x2(u,v>0). Khi đó u.v=27−5x=2.26−5x PT
đã cho trở thành u+v=uv+1⇔(u−1)(v−1)=0⇔[u=1v=1 Với u=1 thì 2x2−5x+6=1⇔x2−5x+6=0⇔[x=2x=3 Với v=1 thì 21−x2=1⇔1−x2=0⇔[x=−1x=1 Vậy PT có bốn nghiệm x=−1,x=1,x=2,x=3.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2.3x−2x+23x−2x≤1(1) Lời giải : Điều
kiện x≠0. Chia cả tử và mẫu cho 2x, ta được
(1)⇔2.(32)x−4(32)x−1≤1(2) Đặt t=(32)x,0<t≠1. Khi đó BPT (2) tương đương với 2t−4t−1−1≤0⇔t−3t−1≤0⇔1<t≤3⇔1<(32)x≤3⇔0<x≤log323 Vậy BPT có nghiệm 0<x≤log323.
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 52x−10−3√x−2−4.5x−5<51+3√x−2 Lời giải : Đặt u=5x−5>0,v=53√x−2>0. BPT trở thành u2v−4v<5v(1) Do v>0 nên (1)⇔u2−4uv<5v2⇔u2−4uv−5v2<0⇔(u+v)(u−5v)<0 ⇔u−5v<0⇔u<5v⇔5x−5<51+3√x−2⇔x−5<1+3√x−2⇔x−6<3√x−2 BPT trên tương đương với hai hệ sau (I){x−2≥0x−6<0⇔2≤x<6 (II){x−6≥09(x−2)>(x−6)2⇔{x≥6x2−21x+54<0⇔{x≥63<x<18⇔6≤x<18 Vậy BPT có nghiệm là : 2≤x<18.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình, bất phương trình sau : 1. (8+3√7)tanx+(8−3√7)tanx=16 Hướng dẫn : Đặt t=(8+3√7)tanx với chú ý (8+3√7).(8−3√7)=1 2. 3.49x+2.14x−4x=0 Hướng dẫn : Chia cả hai vế của PT cho 4x>0. 3. Tìm nghiệm x<1 của phương trình 32x−1+3x−1(3x−7)−x+2=0 Hướng
dẫn : Đặt t=3x−1 và thu được PT chứa t và x. Coi PT này là PT
bậc hai theo t, tham số x và tìm được [t=13t=−x+2. 4. 32x−8.3x+√x+4−9.9√x+4>0 Hướng dẫn : Chia hai vế của BPT cho 9√x+4 và đặt t=3x−√x+4.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giải các bài tập dạng này ta thường sử dụng một trong ba tính chất sau. Giả sử y=f(x) là hàm số liên tục và có đạo hàm trên tập xác định của nó. Tính chất 1.
Nếu hàm số y=f(x) đồng biến (f′(x)>0) hoặc nghịch biến
(f′(x)<0) trong khoảng (a,b) thì phương trình f(x)=k,(k∈R) có không quá một nghiệm thực trong khoảng (a,b). Tính chất 2.
Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trong khoảng (a,b) và hàm số y=g(x)
nghịch biến trong khoảng (a,b). Do đó nếu tồn tại x0∈(a,b)
để f(x0)=g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của PT f(x)=g(x). Tính chất 3. Nếu hàm số y=f(x) đồng biến (f′(x)>0) hoặc nghịch biến (f′(x)<0) trong khoảng (a,b) thì f(u)=f(v)⇔u=v với mọi u,v∈(a,b). Ví dụ 1. Giải phương trình 3x+1=3−x Lời giải : Điều kiện x<3. Nhận xét : * Vế trái f(x)=3x+1 có f′(x)=3x+1ln3>0∀x∈R nên nó là hàm đồng biến trên R. Vế phải g(x)=3−x có f′(x)=−10∀x∈R nên nó là hàm đồng biến trên R. * x=0 là nghiệm duy nhất của PT. Thật vậy, Với x>0 thì 3x+1>3>3−x Với x<0 thì 3x+1<3<3−x. Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x=0.
Ví dụ 2. Giải phương trình 1+8x2=3x Lời giải : Chia hai vế của PT cho 3x>0, ta được (13)x+(√83)x=1. Nhận xét rằng vế trái f(x)=(13)x+(√83)x là hàm nghịch biến trên R vì 0<13,√83<1. Nhận thấy x=2 là nghiệm của PT. Với x>2
thì (13)x+(√83)x<(13)2+(√83)2=1 Với x<2 thì (13)x+(√83)x>(13)2+(√83)2=1 Vậy PT có nghiệm duy nhất x=2.
Ví dụ 3. Giải phương trình 2x−1+2x2−x=(x−1)2 Lời giải : PT đã cho ⇔2x−1+(x−1)=2x2−x+(x2−x). Đặt u=x−1,v=x2−x. PT có dạng 2u+u=2v+v(1). Xét
hàm số f(t)=2t+t có f′(t)=2tln2+1>0∀x∈R nên hàm số này đồng biến và liên tục trên R. PT (1)⇔f(u)=f(v)⇔u=v⇔x2−x=x−1⇔x2−2x+1=0⇔x=1. Vậy PT có nghiệm duy nhất x=1.
Bài tập tương tự : Giải các phương trình sau : 1. 3x=3−log5x Đáp số : x=1. 2. 1+3x2=2x Đáp số : x=2. 3. 4x+2=log3(x+1) Đáp số : x=2.
|