BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


Các phương pháp biện luận phương trình vô tỉ:
1.    Phương pháp biến đổi tương đương
2.    Phương pháp đặt ẩn phụ
3.    Phương pháp Bất đẳng thức
4.    Phương pháp hàm số và đồ thị
5.    Phương pháp điều kiện cần và đủ

1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.


Phương pháp:
- Với các dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {g\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in D} \\
  {f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của $f\left( {x,m} \right) \geqslant 0$ và $g\left( {x,m} \right) \geqslant 0$, thí vụ với phương trình
$\sqrt {x - m}  = \sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - m \geqslant 0} \\
  {x - m = {x^2} - 2mx + 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant m} \\
  {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3 + m = 0}
\end{array}} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Dạng 2: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = g\left( {x,m} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) = {g^2}\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu  ý rằng: Không cần đặt điều kiện $g\left( x \right) \geqslant 0$
Dạng 3: Phương trình :$\sqrt[{}]{{f\left( {x,m} \right)}} + \sqrt {g\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {h\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) + g\left( {x,m} \right) + 2\sqrt {f\left( {x,m} \right)g\left( {x,m} \right)}  = h\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) $ \geqslant 0$

Ví dụ 1:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  - x = m$    $\left( 1 \right)$
Giải
:
Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x + m \geqslant 0} \\
  {{x^2} - 1 = {{\left( {x + m} \right)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant  - m} \\
  {2mx =  - {m^2} - 1}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(2)}
\end{array}$  (I)
Với m =0
Khi đó (2) vô nghiệm $ \Rightarrow $ (1) vô nghiệm
Với m$ \ne 0$
Khi đó (I) có nghiệm $ \Leftrightarrow $(2) có nghiệm thỏa mãn$x \geqslant  - m$
$ \Leftrightarrow  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} \geqslant  - m \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m \geqslant 1} \\
  { - 1 \leqslant m < 0}
\end{array}} \right.$
Kết luận :
- Với $m \geqslant 1$ hoặc $ - 1 \leqslant m < 0$, phương trình có nghiệm $x =  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}$
- Với $m <  - 1$hoặc $0 \leqslant m < 1$, phương trình vô nghiệm.

2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.


Phương pháp:

Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:
* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:
$t = \sqrt {{x^2} - 2x + 5}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}  \geqslant 2$
* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:
$t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $
Khi đó:
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} \leqslant \left( {3 + x + 6 - x} \right)\left( {1 + 1} \right) = 18 \Rightarrow t \leqslant 3\sqrt 2 $
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \geqslant 9 \Rightarrow t \geqslant 3\sqrt 2 $
Vậy điều kiện cho ẩn phụ là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
    - Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía dưới.

Ví dụ
2.
Cho phương trình:  $\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = m$
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {3 + x \geqslant 0} \\
  {6 - x \geqslant 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow  - 3 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $. Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ bằng cách:
Xét hàm số $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt[{}]{{6 - x}}$
* Miền xác định D= $\left[ { - 3,6} \right]$
* Đạo hàm:
$t' = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt[{}]{{6 - x}}}}$
$t' = 0 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 + x}  = \sqrt[{}]{{6 - x}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$
Ta có bảng biến thiên và rút ra điều kiện của t là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
Suy ra : $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \frac{{{t^2} - 9}}{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
$t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 9 + 2m$=0
a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:
${t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 1} \\
  {t = 3}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array}$
Với t = 3, thay vào (2) được:
$\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x =  - 3} \\
  {x = 6}
\end{array}} \right.$
Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5
b. Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow (3)$có ít nhất một nghiệm $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(3)} \\
  {(3)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow f\left( 3 \right).f\left( {3\sqrt 2 } \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2  - 9}}{2} \leqslant m \leqslant 3$

Ví dụ
3.
Cho phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4(x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  = m$
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\frac{{x + 1}}{{x - 3}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x \leqslant  - 1}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $, suy ra $(x - 3)(x + 1) = {t^2}$
Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} + 4t - m = 0$
a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:
Với $t =  - 3$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 12 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {13} }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {13} } \right.} \right.} \right.$ $ $
Với $t =  - 1 \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 1$
    $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt 5 }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 5 } \right.} \right.} \right.$
Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1-$\sqrt {13} $ và x = 1-$\sqrt 5 $
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Phương trình (1) có nghiệm $ \Rightarrow $ (2) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ $\Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow 4 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant  - 4$
Giả sử khi đó (2) có nghiệm là ${t_0}$ thì ${t_0} = (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $
Với ${t_0} = 0 \Rightarrow x =  - 1$
Với  $t_0^{} > 0$ suy ra
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 > 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t_0}^2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt {4 + {t^2}_0} $
Với ${t_0} < 0$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {4 - {t^2}_0} $
Tóm lại: với m $ \geqslant $ 4 phương trình (1) có nghiệm.

3. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1:

Tìm m để phương trình có nghiệm:
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x - 1}  = m$
Giải:
Ta có:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét
${\rm A}\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);{\rm B}\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và điểm M(x; o)
Ta có
AB = 1
Với mọi điểm M thì $\left| {{\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M}} \right| < {\rm A}{\rm B} = 1$
Mà ${\rm A}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
    $\begin{array}
  {\rm B}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}   \\
   \Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M} = m  \\
\end{array} $
Do đó phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow \left| m \right| < 1$
$ \Leftrightarrow  - 1 < m < 1$

Ví dụ 2:
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = a$
Giải:
ĐK: $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Phương trình đã cho tương đương với.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x).(4 - x)}  = a$
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:
$\begin{array}
  \sqrt {2 + {x_0}}  + \sqrt {4 - {x_0}}  - \sqrt {(2 + {x_0}).(4 - {x_0})}  = a  \\
   \Leftrightarrow \sqrt {2 + (2 - {x_0})}  + \sqrt {4 - (2 - {x_0})}  - \sqrt {2 + (2 - {x_0})(4 - (2 - {x_0})}  = a  \\
\end{array} $
Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 $ \Leftrightarrow $ x0 =1
Khi đó $a = 2\sqrt 3  - 3$
Điều kiện đủ: với $a = 2\sqrt 3  - 3$, ta có phương trình
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$  (*)
Áp dụng bất đẳng thức: ${\left( {a + b} \right)^2} \leqslant 2({a^2} + {b^2})$ có:
$\begin{array}
  {\left( {\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x} } \right)^2} \leqslant 2(2 + x + 4 - x) = 12  \\
   \Rightarrow \sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  \leqslant \sqrt {12}  = 2\sqrt 3   \\
\end{array} $
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có
$\begin{array}
  \frac{{(2 + x) + (4 - x)}}{2} \geqslant \sqrt {(2 + x)(4 - x)}   \\
   \Rightarrow  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  \geqslant  - 3  \\
\end{array} $
Vậy $\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$    (1)
Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { - 2 \leqslant x \leqslant 4} \\
  {\sqrt {2 + x}  = \sqrt {4 - x} } \\
  {2 + x = 4 - x}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 3  - 3} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 3:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = m$    (*)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0
Ta có: $\sqrt[4]{{{x_0}}} + \sqrt[4]{{1 - {x_0}}} + \sqrt {{x_0}}  + \sqrt {1 - {x_0}}  = m$
$ \Rightarrow x = 1 - {x_0}$  cũng là nghiệm của phương trình (*)
Vì là nghiệm duy nhất nên ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$
Thay vào (*) ta được $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$  vào (*) ta được:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$    (1)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:
$\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  \leqslant 2$ (Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$)
$ \Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$
Vậy (1) $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{2}$
Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$

4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Nếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có thể lựa chọn phương pháp hàm số để giải. Cụ thể:

Bài toán 3:

Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình:
f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
    (C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)
Tìm miền xác định D.
Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0
Bước 3: Kết luận:
Phương trình có nghiệm: $ \Leftrightarrow {\min _{x \in D}}f(x,m) \leqslant g(m) \leqslant {\max _{x \in D}}f(x,m)$
Phương trình có k nghiệm phân biệt: $ \Leftrightarrow (d)$cắt (C ) tại điểm k phân biệt
Phương trình vô nghiệm : $ \Leftrightarrow (d) \cap (C) = \varphi $

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình :
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  = m$                  (1)  có nghiệm.
Giải
:
Xét hàm số y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1} $
Miền xác định: D1= R
Đạo hàm:
$y' = \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}$
$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} = 0$
$ \Leftrightarrow (2x - 1)\sqrt {{x^2} + x + 1}  = (2x + 1)\sqrt {{x^2} - x + 1} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2x - 1)(2x + 1) > 0} \\
  {{{(2x - 1)}^2}({x^2} + x + 1) = {{(2x + 1)}^2}({x^2} - x + 1)}
\end{array}} \right.$   (vn)
Mặc khác y’ (0)$ \Rightarrow $ y’>0 $\forall $x nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1$
Từ đó ta có bảng biến thiên và rút ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1

Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán sau:

Bài toán 4:
Sử dụng phương pháp đồ thị giải  phương trình :
                   f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {y = f(x,m)} \\
  {y = g(x,m)}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {({C_1})} \\
  {({C_2})}
\end{array}$
Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được kết luận về nghiệm của phương trình.

Lưu ý: Thông thường nếu (C1) là phương trình đường thẳng thì (C1) có thể là phương trình đường tròn, Elíp, Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2¬) đều là phương trình đường tròn).

Ví dụ 2:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  $\sqrt {1 - {x^2}}  = x - m$
Giải:
Đặt $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, điều kiện y$ \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ :
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{x^2} + {y^2} = 1} \\
  {x - y} \\
  {y \geqslant 0}
\end{array} = m} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)} \\
  {}
\end{array}$
Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C) có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {O(0,0)} \\
  {R = 1}
\end{array}} \right.$
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:
    * A(1,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m = 1$ & B(-1,0) $ \in $(d) $ \Leftrightarrow $m=-1
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )
    $ \Leftrightarrow d(O,(d) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - \sqrt 2 } \\
  {m = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
    - Với $m <  - \sqrt 2 $hoặc m > 1 thì (C )$ \cap (d) = \varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm
    - Với $m =  - \sqrt 2 $ hoặc -1< m < 1 thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất.
    - Với $ - \sqrt 2  < m \leqslant  - 1$ thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ {A,B} \right\}$ $ \Leftrightarrow (1)$có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường tròn (C ) có tâm I$ \ne $O

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và biến đổi tương đương, như sau:
Phương pháp lượng giác hóa
    Đặt x = sin  với $\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    Cost = sint-m$ \Leftrightarrow $sint-cost = m
    $ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{{4)}} = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$              (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{3\pi }}{4} \leqslant t - \frac{\pi }{4} \leqslant \frac{\pi }{4}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng ($\Delta ):y = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 3:
Biện luận theo số nghiệm của phương trình $\sqrt {12 - 3{x^2}} $= $x - m$              (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {12 - 3{x^2}} $, điều kiện $y \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$  (với y$ \geqslant 0$)
Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc O
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:
    * A (2,0) $ \in $ (d)$ \Leftrightarrow m = 2$ & B(-2,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m =  - 2$
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2 = C2)
    $ \Rightarrow 1.4 - {( - 1)^2}.12 = {m^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - 4} \\
  {m = 4}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) $ \cap $(d) $ $=$\varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm.
- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất
- Với -4 < m $ \leqslant $ -2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
 Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E) có tâm I$ \ne O$.

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương pháp biến đổi tương đương như sau:
Phương pháp lượng giác hóa:
Đặt x = 2sint với $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    $2\sqrt 3 $ cost = 2sint - m$ \Leftrightarrow $2sint - 2$\sqrt 3 $cost = m
$ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{3}) = \frac{m}{4}$         (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{5\pi }}{6} \leqslant t - \frac{\pi }{3} \leqslant \frac{\pi }{6}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y =$\frac{m}{4}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 4:
Biện luận theo m số nghiệp của phương trình  $\sqrt {{x^2} - 9}  = x - m$    (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 3} $, điều kiện y $ \geqslant $ 0
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$   (Với y $ \geqslant $ 0)
Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là:
•    A (3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = 3
•    B (-3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = -3
Vậy:
- Với -3 < m $ \leqslant 0$ hoặc m > 3 thì (H)$ \cap $(d) = $\varphi $ $ \Leftrightarrow (1)$vô nghiệm.
- Với m$ \leqslant $-3 hoặc 0$ \leqslant m \leqslant 3$ thì (H) $ \cap $(d) =$\left\{ A \right\}$ $ \Leftrightarrow $ $(1)$ có nghiệm duy nhất
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol (H) có tâm I$ \ne $O

Ví dụ 5:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  = (2m + 1)x + {m^2} + m + 1$   với x$ \geqslant $ -m
Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
    ${x^2} - 1 + \sqrt {{x^2} - 1}  = {(x + m)^2} + x + m$
Xét hàm số f(t) = t2 + t với  t $ \geqslant 0$ là hàm đồng biến
Khi đó:
    (2) $ \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right) = f(x + m) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m$
Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.

5. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bài toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.

Phương pháp:
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm điều kiện tham số để.
1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.
2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác.
Khi đó ta thực hiện theo các bước.
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.
Bước 2:  Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
    $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = m$                     (1)
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là x = x0  $ \Rightarrow $2- x0 cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1
Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Với m = 4, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 4$                      (2)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được:
    $\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  \leqslant 2$ & $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} \leqslant 2$
Do đó:
    (2) $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 2} \\
  {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} = 2}
\end{array}} \right.$
    $ \Leftrightarrow $x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.


Ví dụ 2:
Cho 2 phương trình:
    $(x + 5)(2 - x) = 3m\sqrt {{x^2} + 3x + m - 1} $
    ${x^4} + {6^3} + 9{x^2} - 16 = 0$
Tìm m để (1) và (2) tương đương
Giải:
${({x^2} + 3x)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4)({x^2} + 3x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.$
Điều kiện cần:
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:
$(1) \Leftrightarrow 6 = 3m\sqrt {m + 3}  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {4 = {m^2}(m + 3)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {{m^3} + 3{m^2} - 4 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {(m - 1)({m^2} + 4m + 4) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.$
Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.
Điều kiện đủ
Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
    $ - {x^2} - 3x + 10 = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $                        (3)
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3x} $, điều kiện $t \geqslant 0$
Khi đó:
    (3) $ \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 5} \\
  {t = 2}
\end{array}\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.
Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 3:
Cho phương trình và bất phương trình:
    $\sqrt {x - 1 + 2m\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2m\sqrt {x - 2} }  = 2$                          (1)
    $\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| \leqslant {x^2} + 2x + 5$
Tìm m để (1) và (2) tương đương                                             (2)
Giải:

Điều kiện cần
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:
 (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {2 + 2m}  + \sqrt {2 - 2m}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {4 - 4{m^2}}  = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1$
Vậy m = $ \pm $1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:
Điều kiện đủ:   Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} }  = 2 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {1 - \sqrt {x - 2} } \right| = \left| {\left( {\sqrt {x - 2}  + 1} \right) + \left( {1 - \sqrt {x - 2} } \right)} \right|$
$ \Leftrightarrow (\sqrt {x - 2}  + 1)(1 - \sqrt {x - 2)}  \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - (x - 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 3$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình).
* Vậy với m = $ \pm $ 1 thì (1) và (2) tương đương.
 

Thẻ

Lượt xem

26467
Chat chit và chém gió
  • Thanh Nga: nhanh ngay và lun đi cháu 2/20/2018 10:00:12 PM
  • ๖ۣۜCold: à 2/20/2018 10:00:12 PM
  • ๖ۣۜCold: thím ngủ ngon 2/20/2018 10:00:21 PM
  • ๖ۣۜCold: hết 2/20/2018 10:00:24 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: Thêm mấy người vk ck con cháu a c e nx cho nhà cửa đông vui. 2/20/2018 10:00:31 PM
  • Thanh Nga: đúng là cháu trai 2/20/2018 10:00:48 PM
  • Thanh Nga: k coa tâm j hết 2/20/2018 10:00:54 PM
  • Thanh Nga: sad 2/20/2018 10:00:57 PM
  • Thanh Nga: broken_heart 2/20/2018 10:01:01 PM
  • ๖ۣۜCold: hề hề 2/20/2018 10:01:01 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: < 2/20/2018 10:01:18 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: 33 2/20/2018 10:01:20 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: <3 2/20/2018 10:01:22 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: M 2/20/2018 10:01:26 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: N 2/20/2018 10:01:28 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: N 2/20/2018 10:01:28 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: G 2/20/2018 10:01:29 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ:2/20/2018 10:01:30 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: N 2/20/2018 10:01:31 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: G 2/20/2018 10:01:32 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: ON 2/20/2018 10:01:33 PM
  • ๖ۣۜCold: mà hình như off hết r nhỉ 2/20/2018 10:01:36 PM
  • Ƹ̴Ӂ̴ƷCửuVĩThiênHồPhiPhiƸ̴Ӂ̴Ʒ: . 2/20/2018 10:01:44 PM
  • Thanh Nga: còn đấy 2/20/2018 10:01:50 PM
  • ๖ۣۜCold: bye cháu gái của thím vs thím 2/20/2018 10:01:52 PM
  • Thanh Nga: mải nt vs zai 2/20/2018 10:01:54 PM
  • Thanh Nga: k ai nt rolling_on_the_floor 2/20/2018 10:02:03 PM
  • Thanh Nga: thui thím đi ngủ đây 2/20/2018 10:02:10 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): ... 2 ơi 2/20/2018 10:02:12 PM
  • Thanh Nga: lát 2 cháu nnmđ 2/20/2018 10:02:15 PM
  • Thanh Nga: e gái nnmđ 2/20/2018 10:02:20 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): khoan đi broken_heart 2/20/2018 10:02:22 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): Phi Phi là nữ à @@ 2/20/2018 10:02:31 PM
  • ๖ۣۜCold: yep 2/20/2018 10:02:42 PM
  • Thanh Nga: gt linh hoạt 2/20/2018 10:02:44 PM
  • Thanh Nga: happy 2/20/2018 10:02:46 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): @@ nữ ... thật à 2/20/2018 10:02:54 PM
  • Thanh Nga: k 2/20/2018 10:02:59 PM
  • ๖ۣۜCold: kêu phi phi thấy sao sao thinking 2/20/2018 10:03:05 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): chết cha ... đắc tội @@ cùng giới cj e mà bảo giới tính t3 nãy h @@ 2/20/2018 10:03:10 PM
  • Thanh Nga: phi trong hoàng phi 2/20/2018 10:03:16 PM
  • ๖ۣۜCold: còn phi kia là bay à 2/20/2018 10:03:27 PM
  • Thanh Nga: phi kiêm tiểu phi 2/20/2018 10:03:36 PM
  • ๖ۣۜCold: hay phi kia nằm trong hành phi 2/20/2018 10:03:37 PM
  • Thanh Nga: k phải bay 2/20/2018 10:03:39 PM
  • Thanh Nga: @@ 2/20/2018 10:03:42 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): chéc phi tiêu 2/20/2018 10:03:44 PM
  • Thanh Nga: thui để lần sau ns típ 2/20/2018 10:03:52 PM
  • ๖ۣۜCold: bye thím 2/20/2018 10:04:02 PM
  • Thanh Nga: mai gặp lại sau 2/20/2018 10:04:06 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): bye 2 2/20/2018 10:04:08 PM
  • ๖ۣۜCold: now i'm alone coffee 2/20/2018 10:05:07 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): sao con cô đơn ? 2/20/2018 10:05:54 PM
  • ๖ۣۜCold: à thì hết ng nch 2/20/2018 10:06:18 PM
  • Linh Linh (~miu~): ==' 2/20/2018 10:06:21 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): 2 ae nch vs nhau đi 2/20/2018 10:06:32 PM
  • ๖ۣۜCold: chào eg 2/20/2018 10:06:35 PM
  • ๖ۣۜCold: e ngủ à thảo 2/20/2018 10:06:47 PM
  • ๖ۣۜCold: à quên 2/20/2018 10:06:51 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): e chưa 2/20/2018 10:07:03 PM
  • Linh Linh (~miu~): trời có bão 2/20/2018 10:07:06 PM
  • ๖ۣۜCold: còn việc đại sự 2/20/2018 10:07:10 PM
  • Linh Linh (~miu~): ==' 2/20/2018 10:07:12 PM
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS): bận xử lí nỗi con eg đã ms ngủ laughing 2/20/2018 10:07:14 PM
  • Linh Linh (~miu~): hj atr 2/20/2018 10:07:17 PM
  • ๖ۣۜCold: yep 2/20/2018 10:07:24 PM
  • ๖ۣۜCold: xử đi, goodluck :3 2/20/2018 10:07:39 PM
  • Linh Linh (~miu~): hả eg gây j vs cj2 ==' 2/20/2018 10:07:39 PM
  • ๖ۣۜCold: a cũng treo máy đây 2/20/2018 10:08:46 PM
  • ๖ۣۜCold: hề hề 2/20/2018 10:09:01 PM
  • ๖ۣۜCold: bye eg 2/20/2018 10:09:06 PM
  • nguoidensau2k2: kiss 2/20/2018 10:26:31 PM
  • haquang: hello mn 2/20/2018 10:27:47 PM
  • haquang: có ai k ạ 2/20/2018 10:28:05 PM
  • nguoidensau2k2: hello 2/20/2018 10:28:14 PM
  • haquang: chào a 2/20/2018 10:28:27 PM
  • nguoidensau2k2: vào zalo di 2/20/2018 10:28:37 PM
  • haquang: máy e atr đg chs 2/20/2018 10:28:53 PM
  • nguoidensau2k2:2/20/2018 10:29:01 PM
  • haquang: có chuyện j ạ 2/20/2018 10:29:21 PM
  • nguoidensau2k2: à ko 2/20/2018 10:29:27 PM
  • nguoidensau2k2: định hỏi cái n 2/20/2018 10:29:41 PM
  • haquang: e đg rất buồn 2/20/2018 10:29:49 PM
  • nguoidensau2k2: anh biết vì sao 2/20/2018 10:30:06 PM
  • haquang: sao a bt đc ạ 2/20/2018 10:30:53 PM
  • nguoidensau2k2: ko nói dc 2/20/2018 10:31:44 PM
  • haquang: e bt rồi 2/20/2018 10:31:59 PM
  • nguoidensau2k2: ai 2/20/2018 10:32:03 PM
  • haquang: vì chắc nhà e vs bé tiên bt chuyện này 2/20/2018 10:32:21 PM
  • haquang: tiên đúng k ạ 2/20/2018 10:32:36 PM
  • nguoidensau2k2: ukm 2/20/2018 10:32:41 PM
  • nguoidensau2k2: sao rồi 2/20/2018 10:33:21 PM
  • haquang: e siêu đúng hơm hee_hee 2/20/2018 10:33:35 PM
  • nguoidensau2k2:2/20/2018 10:33:41 PM
  • nguoidensau2k2: ib di 2/20/2018 10:33:43 PM
  • haquang: dạ 2/20/2018 10:33:49 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: straight_face 2/20/2018 10:34:50 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: chậc có lẽ chẳng còn ai! 2/20/2018 10:35:56 PM
  • haquang: chào a M 2/20/2018 10:38:05 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: chào e Hà 2/20/2018 10:41:55 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • KTT
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Quỳnh Aka
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Linh (~miu~)
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • naxinhdep
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • admin
  • skud2003
  • Zidane