BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


Các phương pháp biện luận phương trình vô tỉ:
1.    Phương pháp biến đổi tương đương
2.    Phương pháp đặt ẩn phụ
3.    Phương pháp Bất đẳng thức
4.    Phương pháp hàm số và đồ thị
5.    Phương pháp điều kiện cần và đủ

1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.


Phương pháp:
- Với các dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {g\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in D} \\
  {f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của $f\left( {x,m} \right) \geqslant 0$ và $g\left( {x,m} \right) \geqslant 0$, thí vụ với phương trình
$\sqrt {x - m}  = \sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - m \geqslant 0} \\
  {x - m = {x^2} - 2mx + 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant m} \\
  {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3 + m = 0}
\end{array}} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Dạng 2: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = g\left( {x,m} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) = {g^2}\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu  ý rằng: Không cần đặt điều kiện $g\left( x \right) \geqslant 0$
Dạng 3: Phương trình :$\sqrt[{}]{{f\left( {x,m} \right)}} + \sqrt {g\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {h\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) + g\left( {x,m} \right) + 2\sqrt {f\left( {x,m} \right)g\left( {x,m} \right)}  = h\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) $ \geqslant 0$

Ví dụ 1:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  - x = m$    $\left( 1 \right)$
Giải
:
Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x + m \geqslant 0} \\
  {{x^2} - 1 = {{\left( {x + m} \right)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant  - m} \\
  {2mx =  - {m^2} - 1}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(2)}
\end{array}$  (I)
Với m =0
Khi đó (2) vô nghiệm $ \Rightarrow $ (1) vô nghiệm
Với m$ \ne 0$
Khi đó (I) có nghiệm $ \Leftrightarrow $(2) có nghiệm thỏa mãn$x \geqslant  - m$
$ \Leftrightarrow  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} \geqslant  - m \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m \geqslant 1} \\
  { - 1 \leqslant m < 0}
\end{array}} \right.$
Kết luận :
- Với $m \geqslant 1$ hoặc $ - 1 \leqslant m < 0$, phương trình có nghiệm $x =  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}$
- Với $m <  - 1$hoặc $0 \leqslant m < 1$, phương trình vô nghiệm.

2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.


Phương pháp:

Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:
* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:
$t = \sqrt {{x^2} - 2x + 5}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}  \geqslant 2$
* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:
$t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $
Khi đó:
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} \leqslant \left( {3 + x + 6 - x} \right)\left( {1 + 1} \right) = 18 \Rightarrow t \leqslant 3\sqrt 2 $
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \geqslant 9 \Rightarrow t \geqslant 3\sqrt 2 $
Vậy điều kiện cho ẩn phụ là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
    - Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía dưới.

Ví dụ
2.
Cho phương trình:  $\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = m$
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {3 + x \geqslant 0} \\
  {6 - x \geqslant 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow  - 3 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $. Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ bằng cách:
Xét hàm số $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt[{}]{{6 - x}}$
* Miền xác định D= $\left[ { - 3,6} \right]$
* Đạo hàm:
$t' = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt[{}]{{6 - x}}}}$
$t' = 0 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 + x}  = \sqrt[{}]{{6 - x}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$
Ta có bảng biến thiên và rút ra điều kiện của t là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
Suy ra : $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \frac{{{t^2} - 9}}{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
$t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 9 + 2m$=0
a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:
${t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 1} \\
  {t = 3}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array}$
Với t = 3, thay vào (2) được:
$\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x =  - 3} \\
  {x = 6}
\end{array}} \right.$
Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5
b. Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow (3)$có ít nhất một nghiệm $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(3)} \\
  {(3)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow f\left( 3 \right).f\left( {3\sqrt 2 } \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2  - 9}}{2} \leqslant m \leqslant 3$

Ví dụ
3.
Cho phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4(x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  = m$
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\frac{{x + 1}}{{x - 3}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x \leqslant  - 1}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $, suy ra $(x - 3)(x + 1) = {t^2}$
Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} + 4t - m = 0$
a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:
Với $t =  - 3$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 12 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {13} }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {13} } \right.} \right.} \right.$ $ $
Với $t =  - 1 \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 1$
    $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt 5 }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 5 } \right.} \right.} \right.$
Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1-$\sqrt {13} $ và x = 1-$\sqrt 5 $
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Phương trình (1) có nghiệm $ \Rightarrow $ (2) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ $\Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow 4 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant  - 4$
Giả sử khi đó (2) có nghiệm là ${t_0}$ thì ${t_0} = (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $
Với ${t_0} = 0 \Rightarrow x =  - 1$
Với  $t_0^{} > 0$ suy ra
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 > 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t_0}^2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt {4 + {t^2}_0} $
Với ${t_0} < 0$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {4 - {t^2}_0} $
Tóm lại: với m $ \geqslant $ 4 phương trình (1) có nghiệm.

3. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1:

Tìm m để phương trình có nghiệm:
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x - 1}  = m$
Giải:
Ta có:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét
${\rm A}\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);{\rm B}\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và điểm M(x; o)
Ta có
AB = 1
Với mọi điểm M thì $\left| {{\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M}} \right| < {\rm A}{\rm B} = 1$
Mà ${\rm A}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
    $\begin{array}
  {\rm B}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}   \\
   \Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M} = m  \\
\end{array} $
Do đó phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow \left| m \right| < 1$
$ \Leftrightarrow  - 1 < m < 1$

Ví dụ 2:
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = a$
Giải:
ĐK: $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Phương trình đã cho tương đương với.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x).(4 - x)}  = a$
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:
$\begin{array}
  \sqrt {2 + {x_0}}  + \sqrt {4 - {x_0}}  - \sqrt {(2 + {x_0}).(4 - {x_0})}  = a  \\
   \Leftrightarrow \sqrt {2 + (2 - {x_0})}  + \sqrt {4 - (2 - {x_0})}  - \sqrt {2 + (2 - {x_0})(4 - (2 - {x_0})}  = a  \\
\end{array} $
Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 $ \Leftrightarrow $ x0 =1
Khi đó $a = 2\sqrt 3  - 3$
Điều kiện đủ: với $a = 2\sqrt 3  - 3$, ta có phương trình
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$  (*)
Áp dụng bất đẳng thức: ${\left( {a + b} \right)^2} \leqslant 2({a^2} + {b^2})$ có:
$\begin{array}
  {\left( {\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x} } \right)^2} \leqslant 2(2 + x + 4 - x) = 12  \\
   \Rightarrow \sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  \leqslant \sqrt {12}  = 2\sqrt 3   \\
\end{array} $
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có
$\begin{array}
  \frac{{(2 + x) + (4 - x)}}{2} \geqslant \sqrt {(2 + x)(4 - x)}   \\
   \Rightarrow  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  \geqslant  - 3  \\
\end{array} $
Vậy $\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$    (1)
Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { - 2 \leqslant x \leqslant 4} \\
  {\sqrt {2 + x}  = \sqrt {4 - x} } \\
  {2 + x = 4 - x}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 3  - 3} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 3:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = m$    (*)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0
Ta có: $\sqrt[4]{{{x_0}}} + \sqrt[4]{{1 - {x_0}}} + \sqrt {{x_0}}  + \sqrt {1 - {x_0}}  = m$
$ \Rightarrow x = 1 - {x_0}$  cũng là nghiệm của phương trình (*)
Vì là nghiệm duy nhất nên ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$
Thay vào (*) ta được $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$  vào (*) ta được:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$    (1)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:
$\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  \leqslant 2$ (Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$)
$ \Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$
Vậy (1) $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{2}$
Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$

4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Nếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có thể lựa chọn phương pháp hàm số để giải. Cụ thể:

Bài toán 3:

Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình:
f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
    (C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)
Tìm miền xác định D.
Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0
Bước 3: Kết luận:
Phương trình có nghiệm: $ \Leftrightarrow {\min _{x \in D}}f(x,m) \leqslant g(m) \leqslant {\max _{x \in D}}f(x,m)$
Phương trình có k nghiệm phân biệt: $ \Leftrightarrow (d)$cắt (C ) tại điểm k phân biệt
Phương trình vô nghiệm : $ \Leftrightarrow (d) \cap (C) = \varphi $

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình :
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  = m$                  (1)  có nghiệm.
Giải
:
Xét hàm số y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1} $
Miền xác định: D1= R
Đạo hàm:
$y' = \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}$
$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} = 0$
$ \Leftrightarrow (2x - 1)\sqrt {{x^2} + x + 1}  = (2x + 1)\sqrt {{x^2} - x + 1} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2x - 1)(2x + 1) > 0} \\
  {{{(2x - 1)}^2}({x^2} + x + 1) = {{(2x + 1)}^2}({x^2} - x + 1)}
\end{array}} \right.$   (vn)
Mặc khác y’ (0)$ \Rightarrow $ y’>0 $\forall $x nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1$
Từ đó ta có bảng biến thiên và rút ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1

Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán sau:

Bài toán 4:
Sử dụng phương pháp đồ thị giải  phương trình :
                   f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {y = f(x,m)} \\
  {y = g(x,m)}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {({C_1})} \\
  {({C_2})}
\end{array}$
Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được kết luận về nghiệm của phương trình.

Lưu ý: Thông thường nếu (C1) là phương trình đường thẳng thì (C1) có thể là phương trình đường tròn, Elíp, Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2¬) đều là phương trình đường tròn).

Ví dụ 2:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  $\sqrt {1 - {x^2}}  = x - m$
Giải:
Đặt $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, điều kiện y$ \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ :
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{x^2} + {y^2} = 1} \\
  {x - y} \\
  {y \geqslant 0}
\end{array} = m} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)} \\
  {}
\end{array}$
Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C) có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {O(0,0)} \\
  {R = 1}
\end{array}} \right.$
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:
    * A(1,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m = 1$ & B(-1,0) $ \in $(d) $ \Leftrightarrow $m=-1
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )
    $ \Leftrightarrow d(O,(d) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - \sqrt 2 } \\
  {m = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
    - Với $m <  - \sqrt 2 $hoặc m > 1 thì (C )$ \cap (d) = \varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm
    - Với $m =  - \sqrt 2 $ hoặc -1< m < 1 thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất.
    - Với $ - \sqrt 2  < m \leqslant  - 1$ thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ {A,B} \right\}$ $ \Leftrightarrow (1)$có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường tròn (C ) có tâm I$ \ne $O

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và biến đổi tương đương, như sau:
Phương pháp lượng giác hóa
    Đặt x = sin  với $\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    Cost = sint-m$ \Leftrightarrow $sint-cost = m
    $ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{{4)}} = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$              (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{3\pi }}{4} \leqslant t - \frac{\pi }{4} \leqslant \frac{\pi }{4}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng ($\Delta ):y = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 3:
Biện luận theo số nghiệm của phương trình $\sqrt {12 - 3{x^2}} $= $x - m$              (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {12 - 3{x^2}} $, điều kiện $y \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$  (với y$ \geqslant 0$)
Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc O
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:
    * A (2,0) $ \in $ (d)$ \Leftrightarrow m = 2$ & B(-2,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m =  - 2$
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2 = C2)
    $ \Rightarrow 1.4 - {( - 1)^2}.12 = {m^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - 4} \\
  {m = 4}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) $ \cap $(d) $ $=$\varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm.
- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất
- Với -4 < m $ \leqslant $ -2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
 Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E) có tâm I$ \ne O$.

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương pháp biến đổi tương đương như sau:
Phương pháp lượng giác hóa:
Đặt x = 2sint với $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    $2\sqrt 3 $ cost = 2sint - m$ \Leftrightarrow $2sint - 2$\sqrt 3 $cost = m
$ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{3}) = \frac{m}{4}$         (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{5\pi }}{6} \leqslant t - \frac{\pi }{3} \leqslant \frac{\pi }{6}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y =$\frac{m}{4}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 4:
Biện luận theo m số nghiệp của phương trình  $\sqrt {{x^2} - 9}  = x - m$    (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 3} $, điều kiện y $ \geqslant $ 0
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$   (Với y $ \geqslant $ 0)
Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là:
•    A (3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = 3
•    B (-3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = -3
Vậy:
- Với -3 < m $ \leqslant 0$ hoặc m > 3 thì (H)$ \cap $(d) = $\varphi $ $ \Leftrightarrow (1)$vô nghiệm.
- Với m$ \leqslant $-3 hoặc 0$ \leqslant m \leqslant 3$ thì (H) $ \cap $(d) =$\left\{ A \right\}$ $ \Leftrightarrow $ $(1)$ có nghiệm duy nhất
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol (H) có tâm I$ \ne $O

Ví dụ 5:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  = (2m + 1)x + {m^2} + m + 1$   với x$ \geqslant $ -m
Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
    ${x^2} - 1 + \sqrt {{x^2} - 1}  = {(x + m)^2} + x + m$
Xét hàm số f(t) = t2 + t với  t $ \geqslant 0$ là hàm đồng biến
Khi đó:
    (2) $ \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right) = f(x + m) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m$
Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.

5. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bài toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.

Phương pháp:
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm điều kiện tham số để.
1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.
2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác.
Khi đó ta thực hiện theo các bước.
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.
Bước 2:  Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
    $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = m$                     (1)
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là x = x0  $ \Rightarrow $2- x0 cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1
Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Với m = 4, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 4$                      (2)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được:
    $\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  \leqslant 2$ & $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} \leqslant 2$
Do đó:
    (2) $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 2} \\
  {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} = 2}
\end{array}} \right.$
    $ \Leftrightarrow $x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.


Ví dụ 2:
Cho 2 phương trình:
    $(x + 5)(2 - x) = 3m\sqrt {{x^2} + 3x + m - 1} $
    ${x^4} + {6^3} + 9{x^2} - 16 = 0$
Tìm m để (1) và (2) tương đương
Giải:
${({x^2} + 3x)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4)({x^2} + 3x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.$
Điều kiện cần:
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:
$(1) \Leftrightarrow 6 = 3m\sqrt {m + 3}  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {4 = {m^2}(m + 3)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {{m^3} + 3{m^2} - 4 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {(m - 1)({m^2} + 4m + 4) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.$
Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.
Điều kiện đủ
Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
    $ - {x^2} - 3x + 10 = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $                        (3)
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3x} $, điều kiện $t \geqslant 0$
Khi đó:
    (3) $ \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 5} \\
  {t = 2}
\end{array}\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.
Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 3:
Cho phương trình và bất phương trình:
    $\sqrt {x - 1 + 2m\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2m\sqrt {x - 2} }  = 2$                          (1)
    $\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| \leqslant {x^2} + 2x + 5$
Tìm m để (1) và (2) tương đương                                             (2)
Giải:

Điều kiện cần
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:
 (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {2 + 2m}  + \sqrt {2 - 2m}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {4 - 4{m^2}}  = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1$
Vậy m = $ \pm $1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:
Điều kiện đủ:   Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} }  = 2 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {1 - \sqrt {x - 2} } \right| = \left| {\left( {\sqrt {x - 2}  + 1} \right) + \left( {1 - \sqrt {x - 2} } \right)} \right|$
$ \Leftrightarrow (\sqrt {x - 2}  + 1)(1 - \sqrt {x - 2)}  \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - (x - 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 3$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình).
* Vậy với m = $ \pm $ 1 thì (1) và (2) tương đương.
 

Thẻ

Lượt xem

23611
Chat chit và chém gió
  • tran85295: xong tìm tới đoạn sò 8/18/2017 12:52:17 AM
  • tran85295: chỉnh 1000 về 0 8/18/2017 12:52:23 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: lattop thì f12 ở đâu nhỉ 8/18/2017 12:52:37 AM
  • tran85295: ko có F12 á 8/18/2017 12:52:58 AM
  • tran85295: Ctrl+Shift+I xem 8/18/2017 12:53:10 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: có nhầm 8/18/2017 12:53:10 AM
  • tran85295: tự mò hay để a chỉ luôn :v 8/18/2017 12:54:21 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: chỉ đi,k mò ra 8/18/2017 12:55:52 AM
  • Kanton: . 8/18/2017 12:58:03 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: a ơi 8/18/2017 1:02:29 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: chỉnh về 69 r bấm v=cái j để nó chấp nhận 8/18/2017 1:02:42 AM
  • tran85295: chỉnh xong ấn ra ngoài thôi 8/18/2017 1:06:11 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: nó đang treo sò 5k mà mình chỉnh lại thành 69 đc k a? 8/18/2017 1:07:51 AM
  • tran85295: được 8/18/2017 1:08:24 AM
  • tran85295: treo âm cũng dc 8/18/2017 1:08:28 AM
  • tran85295: mà mỉnh ko sửa được của nó 8/18/2017 1:08:55 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: đù,e đổi v mà bấm tải lại trang lại như thg 8/18/2017 1:09:06 AM
  • tran85295: khi nào trả lời ấy r chỉnh 8/18/2017 1:09:37 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: rolling_on_the_floorđù,đc r 8/18/2017 1:11:53 AM
  • cos^2(T): . 8/18/2017 1:28:27 AM
  • Tuyết Linh: .. 8/18/2017 1:31:09 AM
  • cos^2(T): big_hug 8/18/2017 1:31:37 AM
  • Lost: coffee 8/18/2017 1:35:31 AM
  • cos^2(T): chào a P 8/18/2017 1:36:27 AM
  • Lost: chào Thảo 8/18/2017 1:37:59 AM
  • Lost: sr, a ko để ý 8/18/2017 1:38:12 AM
  • cos^2(T): no_talking 8/18/2017 1:38:44 AM
  • Lost: :3 8/18/2017 1:39:41 AM
  • Tuyết Linh: chưa đi hk à? 8/18/2017 1:42:17 AM
  • Tuyết Linh: hi Thảo 8/18/2017 1:42:19 AM
  • Lost: chào Lan 8/18/2017 1:42:25 AM
  • cos^2(T): ko 8/18/2017 1:42:27 AM
  • cos^2(T): e nghỉ full ngày 8/18/2017 1:42:31 AM
  • Tuyết Linh: ừm 8/18/2017 1:42:51 AM
  • Tuyết Linh: cj hỏi aP 8/18/2017 1:42:57 AM
  • cos^2(T): lần sau 8/18/2017 1:43:06 AM
  • Tuyết Linh: hả? 8/18/2017 1:43:09 AM
  • cos^2(T): điền tên của ng` cần hỏi vào ! 8/18/2017 1:43:13 AM
  • Tuyết Linh: laughing 8/18/2017 1:43:19 AM
  • Lost: phì :3 8/18/2017 1:43:40 AM
  • Lost: bữa nay nghỉ lí 8/18/2017 1:43:46 AM
  • Lost: nên lát 5h t ms đi 8/18/2017 1:43:54 AM
  • Lost: nhầm, ms học 8/18/2017 1:44:00 AM
  • Tuyết Linh: ừm 8/18/2017 1:44:00 AM
  • Tuyết Linh: lát 4 h đi chs r 8/18/2017 1:44:03 AM
  • Tuyết Linh: chắc nch đc tí thôi 8/18/2017 1:44:09 AM
  • cos^2(T): ng` thì đi chs - ng` thì đi hok 8/18/2017 1:44:56 AM
  • Tuyết Linh: đi ko 8/18/2017 1:45:29 AM
  • Tuyết Linh: chị qua rủ đi 8/18/2017 1:45:32 AM
  • Tuyết Linh: tranh thủ làm nhiệm vụ e giao 8/18/2017 1:45:41 AM
  • Tuyết Linh: winking 8/18/2017 1:45:43 AM
  • cos^2(T): =='' 8/18/2017 1:45:57 AM
  • cos^2(T): thật à ? 8/18/2017 1:46:00 AM
  • Tuyết Linh: thật 8/18/2017 1:46:03 AM
  • Tuyết Linh: đùa e đâu 8/18/2017 1:46:06 AM
  • cos^2(T): cj qa xin phép a2 e hộ e 8/18/2017 1:46:10 AM
  • cos^2(T): e sẽ sẵn sàng đi cùng vs cj 8/18/2017 1:46:16 AM
  • Tuyết Linh: thôi, cj sợ a2 e rồi 8/18/2017 1:46:51 AM
  • cos^2(T): sad 8/18/2017 1:46:57 AM
  • cos^2(T): cj2 sợ a2 e 8/18/2017 1:47:00 AM
  • Tuyết Linh: ừm 8/18/2017 1:47:05 AM
  • cos^2(T): thì e đi vs cj kiểu j ... 8/18/2017 1:47:05 AM
  • Tuyết Linh: chém tan nát, h mà xin cho e 8/18/2017 1:47:14 AM
  • Tuyết Linh: cj cx k giữ nổi thân cj 8/18/2017 1:47:20 AM
  • cos^2(T): rolling_on_the_floor ý cj là 8/18/2017 1:47:26 AM
  • cos^2(T): cj đi bỏ lại e một mk` chứ j 8/18/2017 1:47:34 AM
  • Tuyết Linh: không e 8/18/2017 1:47:43 AM
  • Tuyết Linh: đi làm nhiệm vụ vô cùng cao cả cho e còn j 8/18/2017 1:47:51 AM
  • Tuyết Linh: e ở nhà ngóng tin thôi 8/18/2017 1:47:58 AM
  • ๖ۣۜDevilღ: hello 8/18/2017 1:48:00 AM
  • Tuyết Linh: hi 8/18/2017 1:48:07 AM
  • Lost: lm nhiệm vụ ? 8/18/2017 1:48:11 AM
  • Lost: chào Devil 8/18/2017 1:48:20 AM
  • Tuyết Linh: big_grin 8/18/2017 1:48:22 AM
  • Lost: confused 8/18/2017 1:48:29 AM
  • ๖ۣۜDevilღ: big_grin 8/18/2017 1:48:30 AM
  • Tuyết Linh: đi kiếm cháu cho nó bồng 8/18/2017 1:48:36 AM
  • cos^2(T): rolling_on_the_floor 8/18/2017 1:48:41 AM
  • cos^2(T): ngóng tin ? 8/18/2017 1:48:54 AM
  • Lost: what ? 8/18/2017 1:48:56 AM
  • cos^2(T): ứ thik 8/18/2017 1:48:58 AM
  • Tuyết Linh: big_grin 8/18/2017 1:50:13 AM
  • Tuyết Linh: Phúc,: happy 8/18/2017 1:50:25 AM
  • Lost: ? 8/18/2017 1:50:32 AM
  • Tuyết Linh: Thảo 8/18/2017 1:52:47 AM
  • Tuyết Linh: chị đi nha 8/18/2017 1:52:52 AM
  • Lost: bye wave 8/18/2017 1:53:12 AM
  • cos^2(T): bb cj 8/18/2017 1:53:27 AM
  • Lost: thôi t cũng chào 2ng, out đây 8/18/2017 1:58:40 AM
  • Efforts: Dạo này thấy mn chăm giải bài ghê cơ 8/18/2017 2:02:49 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: laughingchăm giải nhưng lm sao nhiều dv = chú đc 8/18/2017 2:04:34 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: dạo này Tùng chăm quá laughing 8/18/2017 2:05:10 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: bài nào cũng chơi rolling_on_the_floor 8/18/2017 2:05:14 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinlm toàn bài dễ chẳng chăm 8/18/2017 2:06:39 AM
  • ๖ۣۜDämonღ: bài 12 cũng làm rolling_on_the_floor 8/18/2017 2:07:32 AM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: laughing 8/18/2017 2:07:45 AM
  • Phiêu (Eker): hi 8/18/2017 2:08:19 AM
  • Kanton: . 8/18/2017 2:29:35 AM
  • Cửu Thiên Vũ: Chấm chấm chấm 8/18/2017 2:49:35 AM
  • Kanton: ... 8/18/2017 3:38:39 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Lỗi
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Lục Diệp Tử
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • Hoàng Yến
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • White
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • -
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • sin^2 (B)
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Tuyết Linh
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • cos^2(T)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Băng
  • Lost
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • Nguyễn Thành Long
  • benganxd2509