TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ CÓ MẪU LÀ ĐA THỨC BẬC CAO


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu các cách tính tích phân  $\int\limits_\alpha ^\beta  {\frac{{R\left( x \right)}}{{Q(x)}}dx} $ với Q(x) có bậc cao hơn 3.

Lưu ý: Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân thì ta có cách giải ngắn gọn hơn.

Ví dụ 1.
Tính các tích phân sau .
a. $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}}} $                b. $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 3} \right)}}dx\quad } $
Giải
a. $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}}} $ . Nếu theo cách phân tích bằng đồng nhất hệ số hai tử số thì ta có :
$f(x) = \frac{1}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{{B{x^3} + C{x^2} + Dx + E}}{{{x^4} + 1}} \\= \frac{{A\left( {{x^4} + 1} \right) + x\left( {B{x^3} + C{x^2} + Dx + E} \right)}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}} $
$ \Leftrightarrow f(x) = \frac{{\left( {A + B} \right){x^4} + C{x^3} + D{x^2} + {\text{Ex + A}}}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  A + B = 0  \\
  C = 0,D = 0  \\
  E = 0  \\
  A = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = 1  \\
  B =  - 1  \\
  C = 0,D = 0,  \\
  E = 0  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow f(x) = \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}$
Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn .
Vì x và ${x^3}$ cách nhau 3 bậc , mặt khác $x \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow x \ne 0$. Cho nên ta nhân tử và mẫu với ${x^3} \ne 0$. Khi đó $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{x^4}\left( {{x^4} + 1} \right)}}$. Mặt khác $d\left( {{x^4}} \right) = 4{x^3}dx \Leftrightarrow dt = 4{x^3}dx\quad \left( {t = {x^4}} \right)$, cho nên :
$f(x)dx = \frac{1}{3}\frac{{3{x^3}dx}}{{{x^4}\left( {{x^4} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\frac{{dt}}{{t\left( {t + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{t + 1}}} \right) = f(t)$. Bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều .
b. $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 3} \right)}}dx\quad } $
Nhận xét :
* Nếu theo phương pháp chung thì ta làm như sau :
- $f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x - 1}} + \frac{D}{{x + 3}}$
- Sau đó quy đồng mẫu số , đồng nhất hệ số hai tử số , ta có : $A = \frac{1}{2},B = \frac{3}{8},C =  - D = \frac{5}{{32}}$
Do vậy : $I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {\frac{1}{{2{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \frac{3}{{8{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{5}{{32\left( {x - 1} \right)}} - \frac{5}{{32\left( {x + 3} \right)}}} \right)dx} $
$ = \left[ { - \frac{1}{{8{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \frac{3}{{8\left( {x - 1} \right)}} + \frac{5}{{32}}\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{5}{{32}}\ln \left| {x + 3} \right|} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{1}{2}} \\
  0
\end{array} = } \right.\frac{5}{{32}}\ln \frac{1}{{28}}$

Ví dụ 2.
Tính các tích phân sau :
a. $\int\limits_2^3 {\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^6} - 1}}dx} $            b. $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} $            c. $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {1 + {x^4}} \right)}}} $
 d. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx} $        e. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + 3{x^2} + 1}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx} $        f. $\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\frac{{{{\left( {x - {x^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{{x^4}}}dx} $
Giải
a. $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^6} - 1}}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + 2}}{{\left[ {{{\left( {{x^3}} \right)}^2} - 1} \right]}}} \right)dx}  = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx + \int\limits_2^3 {\left( {\frac{{{x^2}}}{{\left[ {{{\left( {{x^3}} \right)}^2} - 1} \right]}} + \frac{1}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{{{x^3} + 1}}} \right)} } dx$
Tính J : J= artanx$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  2
\end{array}} \right. = {\text{artan3 - artan2}}$.
Tính K . Đặt $t = {x^3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dt = 3{x^2}dx,x = 2 \to t = 8;x = 3 \to t = 27  \\
  g(x)dx = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 1}}dx = \frac{1}{3}\frac{{dt}}{{\left( {{t^2} - 1} \right)}} = \frac{1}{3}\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt  \\
\end{array}  \right.$
Do đó : K=$\int\limits_2^3 {g(x)dx}  = \frac{1}{6}\int\limits_8^{27} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt}  = \frac{1}{6}\left( {\ln \left| {t - 1} \right| - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {27} \\
  8
\end{array} = \frac{1}{6}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {27} \\
  8
\end{array} = } \right.} \right.\frac{1}{6}\ln \frac{{117}}{{98}}$
Tính E=$\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^3} - 1}}dx}  = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}dx} $
Ta có : $h(x) = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
$ = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}} \right)$
Vậy : $I = \frac{1}{3}\int\limits_2^3 {\frac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}}dx}  - \frac{1}{2}\int\limits_2^3 {\frac{{\left( {2x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}dx - \int\limits_2^3 {\frac{1}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}dx} } $
$ = \frac{1}{3}\ln \left( {{x^3} - 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  2
\end{array} - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  2
\end{array} - F = \frac{1}{3}\ln \frac{{28}}{9} - \frac{1}{2}\ln \frac{{13}}{6} - F} \right.} \right.\quad \left( 2 \right)$
Tính F: Đặt : $x + \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan t \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dx = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt  \\
  x = 2 \to \tan t = \frac{5}{{\sqrt 3 }} \to t = a;x = 3 \to \tan t = \frac{{10}}{{\sqrt 3 }} \to t = b  \\
\end{array}  \right.$
Do đó F=$\int\limits_a^b {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)}} = \int\limits_a^b {dt}  = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  b \\
  a
\end{array} = b - a\quad \left( {\operatorname{t} {\text{ant = }}\frac{{\text{5}}}{{\sqrt {\text{3}} }} \to t = a = {\text{artan}}\frac{{\text{5}}}{{\sqrt {\text{3}} }};b = {\text{artan}}\frac{{{\text{10}}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right)} \right.} $
Thay vào (2) ta có kết quả .
b. $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}dx = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2} - {x^2}}}dx} }  = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}dx} $
Ta có : $\frac{1}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{{\text{Ax + B}}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} - x + 1}}$
$ = \frac{{\left( {A + C} \right){x^3} + \left( {B - A + C + D} \right){x^2} + \left( {A - B + C + D} \right)x + \left( {B + D} \right)}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}$
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : $\left\{ \begin{array}
  A + C = 0  \\
  B - A + C + D = 0  \\
  A - B + C + D = 0  \\
  B + D = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A =  - C  \\
  1 - 2C = 0  \\
   - B + D = 0  \\
  B + D = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A =  - \frac{1}{2}  \\
  C = \frac{1}{2}  \\
  D = \frac{1}{2}  \\
  B = \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\frac{{1 - x}}{{{x^2} + x + 1}}dx + \int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}dx} } } \right) = \frac{1}{2}\left( {J + K} \right)\left( 1 \right)$
Tính J=$\int\limits_1^2 {\frac{{ - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}  =  - \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1 - 3}}{{{x^2} + x + 1}}dx} $
$ =  - \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}  + \frac{3}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}dx}  =  - \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + x + 1} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} + E\quad \left( 2 \right)} \right.$
Tính E =$\frac{3}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}dx} $, (đặt : $x + \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan t$)
Tính K
$K = \int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x - 1 + 3}}{{{x^2} - x + 1}}dx} \\ = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}dx}  + \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}dx = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - x + 1} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} + F\quad \left( 2 \right)} \right.} $
Tính F=$\frac{3}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}dx} $, (đặt $x - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan t$)
c. $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {1 + {x^4}} \right)}}}  = \frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\frac{{3{x^3}}}{{{x^4}\left( {1 + {x^4}} \right)}}dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{{d\left( {{x^4}} \right)}}{{{x^4}}} - \frac{{d\left( {{x^4}} \right)}}{{1 + {x^4}}}} \right) = \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^4}}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{1}{3}\ln \frac{{32}}{{17}}} \right.} $
d. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}2xdx} \quad \left( 1 \right)$. Đặt : $t = 1 + {x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} = t - 1;dt = 2xdx  \\
  x = 0 \to t = 1,x = 1 \to t = 2  \\
\end{array}  \right.$
Do đó $I = \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^3}}}dt}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{{{t^3}}}} \right)dt}  = \left( { - \frac{1}{t} + \frac{1}{{4{t^2}}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{{13}}{{16}}} \right.$
e. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4} + 3{x^2} + 1}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} + \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx}  = J + K\left( 1 \right)$
Tính J : Bằng cách đặt $x = \tan t \Rightarrow J = \frac{\pi }{4}$
Tính K=$\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}} \right)dx}  = E + F\left( 2 \right)$
Tính E : Bằng cách đặt $\begin{array}
  x = \tan t \leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  dx = \frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt  \\
  x = 0 \to t = 0;x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
\end{array} $
Vậy : $E = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}^2}dx = \frac{1}{2}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \right)}^2}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt = } \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{4}}}t}}}}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}tdt} $
$ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + c{\text{os2t}}} \right)dt}  = \frac{1}{4}\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{4}} \\
  0
\end{array} = \frac{1}{4}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\pi  + 2}}{{16}}} \right.$
Tính F. Tương tự như tính E ;
Bằng cách đặt $\begin{array}
  x = \tan t \leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  dx = \frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt  \\
  x = 0 \to t = 0;x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
\end{array} $
Vậy : $F = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}^3}dx = \frac{1}{2}} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}} \right)}^3}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt = } \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{6}}}t}}}}\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{4}}}tdt} $
$ = \frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {1 + c{\text{os2t}}} \right)}^2}dt}  = \frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + 2c{\text{os}}2t + \frac{{1 + c{\text{os4t}}}}{2}} \right)} dt\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{4}} \\
  0
\end{array} = } \right.$
$\frac{1}{{16}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + 4\cos 2t + c{\text{os4t}}} \right)dt = } \frac{1}{{16}}\left( {3t + 2\sin 2t + \frac{1}{4}\sin 4t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{4}} \\
  0
\end{array} = \frac{1}{{16}}\left( {3\frac{\pi }{4} + 2} \right) = \frac{{3\pi  + 8}}{{64}}} \right.$
f. $\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\frac{{{{\left( {x - {x^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{{x^4}}}dx}  = \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{{x - {x^3}}}{{{x^3}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^3}}}dx}  = \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{{dx}}{x}} $
Đặt : $t = \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right) \Rightarrow t + 1 = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  dt =  - \frac{{dx}}{x}  \\
  x = \frac{1}{3} \to t = 8;x = 1 \to t = 0  \\
\end{array}  \right.$
Khi đó $I =  - \int\limits_8^0 {{t^{\frac{1}{3}}}\left( {t + 1} \right)dt}  = \int\limits_0^8 {\left( {{t^{\frac{4}{3}}} + {t^{\frac{1}{3}}}} \right)dt}  = \left( {\frac{3}{7}{t^{\frac{7}{3}}} + \frac{3}{4}{t^{\frac{4}{3}}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  8 \\
  0
\end{array} = \frac{3}{7}{{.2}^7} + \frac{3}{4}{{.2}^4} = 16\left( {\frac{{24}}{7} + \frac{3}{4}} \right) = \frac{{468}}{7}} \right.$

Ví dụ 3.
Tính các tích phân sau
a.$\int\limits_1^{{e^{\frac{1}{{p + 2}}}}} {\frac{{{x^{\frac{p}{2}}}}}{{{x^{p + 2}} + 1}}dx} $                b. $\int\limits_0^a {\frac{{{x^3}dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} $
   c. $\int\limits_0^1 {{e^{x + {e^x}}}dx} $                    d. $\int\limits_0^{2a} {x\sqrt {2ax - {x^2}} dx} $
Giải
a. $\int\limits_1^{{e^{\frac{1}{{p + 2}}}}} {\frac{{{x^{\frac{p}{2}}}}}{{{x^{p + 2}} + 1}}dx} $ :  Ta có : $f(x)dx = \frac{{{x^{\frac{p}{2}}}dx}}{{{{\left( {{x^{\frac{{p + 2}}{2}}}} \right)}^2} + 1}}$.
- Đặt : $t = {x^{\frac{{p + 2}}{2}}} = {x^{\frac{p}{2} + 1}} \Rightarrow \left[ \begin{array}
  dt = {x^{\frac{p}{2}}}dx  \\
  x = 1 \to t = 1;x = {e^{\frac{1}{{p + 2}}}} \to t = \sqrt e   \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow I = \int\limits_1^{\sqrt e } {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} $   
- Đặt : $t = \tan u \Rightarrow \left[ \begin{array}
  dt = \frac{{du}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}u}}  \\
  t = 1 \to u = \frac{\pi }{4},t = {e^{\frac{1}{2}}} \to u = {u_1}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{{u_1}} {\frac{{du}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}u\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{{u_1}} {du = \frac{\pi }{4} - {u_1}} } $
- Từ : $\tan u = \sqrt e  \Rightarrow u = {u_1} = {\text{artan}}\sqrt {\text{e}}  \Leftrightarrow I = \frac{\pi }{4} - {\text{artan}}\sqrt {\text{e}} $
b. $\int\limits_0^a {\frac{{{x^3}dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} $.
Đặt : $x = {\text{atant}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  {\text{dx = a}}\frac{{{\text{dt}}}}{{{\text{co}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}};x = 0 \to t = 0,x = a \to t = \frac{\pi }{4}  \\
  f(x) = \frac{{{x^3}dx}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{a^3}{{\tan }^3}t}}{{{a^3}{{\left( {\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}a\frac{{{\text{dt}}}}{{{\text{co}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}} = a\cos t.{\tan ^3}tdt  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \int\limits_0^a {f(x)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {a\cos t.{{\tan }^3}tdt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {a\cos t.\frac{{{{\sin }^3}t}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{3}}}t}}dt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {a.\frac{{{{\sin }^3}t}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt = } a\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 - c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t} \right)\sin t}}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t}}dt} $
- Đặt : $c{\text{ost = u}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  du =  - \operatorname{s} {\text{intdt;t = }}\frac{\pi }{4} \to u = \frac{1}{{\sqrt 2 }};t = 0 \to u = 1  \\
  f(t)dt = \frac{{\left( {1 - {u^2}} \right)}}{{{u^2}}}\left( { - du} \right) = \left( {1 - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\left( {1 - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du = \left( {u + \frac{1}{u}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \\
  1
\end{array} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{2}{{\sqrt 2 }} - 2 = \frac{3}{{\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} - 2 = \frac{{3\sqrt 2  - 4}}{2}} \right.} $
c. $\int\limits_0^1 {{e^{x + {e^x}}}dx}  = \int\limits_0^1 {{e^x}{e^{{e^x}}}dx} $. Đặt : $t = {e^x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dt = {e^x}dx;x = 0 \to t = 1;x = 1 \to t = e  \\
  f(x)dx = {e^x}{e^{{e^x}}}dx = {e^t}dt  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \int\limits_0^1 {f(x)dx}  = \int\limits_1^e {{e^t}dt}  = {e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  e \\
  1
\end{array} = {e^e} - e} \right.$
d. $\int\limits_0^{2a} {x\sqrt {2ax - {x^2}} dx}  = \int\limits_0^{2a} {x\sqrt {{a^2} - {{\left( {x - a} \right)}^2}} dx} $
Đặt : $x - a = a.\sin t \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dx = a.c{\text{ostdt,x = 0}} \to {\text{t =  - }}\frac{\pi }{2}{\text{;x = 2a}} \to {\text{t = }}\frac{\pi }{2}  \\
  f(x)dx = \left( {a + a.\sin t} \right)\sqrt {{a^2}c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t} .a.c{\text{ostdt}}  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = {a^3}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin t} \right)c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}tdt}  = {a^3}\left[ {\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}tdt + \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}t\sin tdt} } } \right] = {a^3}\left[ {\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + c{\text{os2}}t}}{2}dt - \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{2}}}td\left( {c{\text{os}}t} \right)} } } \right]$
$ = {a^3}\left[ {\frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{2}} \\
  { - \frac{\pi }{2}}
\end{array} - \frac{1}{3}{\text{co}}{{\text{s}}^{\text{3}}}t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{2}} \\
  { - \frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.} \right.} \right] = {a^3}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] = {a^3}\frac{\pi }{2}$

Ví dụ 4.

Tính các tích phân sau
a. $\int\limits_2^3 {\frac{{dx}}{{{x^5} - {x^2}}}} $                    b. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^7}dx}}{{{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^2}}}} $
 c. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3} - 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} $                d. $\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^4}}}dx} $
Giải
a. $\int\limits_2^3 {\frac{{dx}}{{{x^5} - {x^2}}}}  = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}dx\quad \left( 1 \right)} $
Xét : $f(x) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{A}{{{x^2}}} + \frac{B}{x} + \frac{{Cx + D}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{E}{{x - 1}}$
$ = \frac{{A\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + Bx\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {Cx + D} \right){x^2}\left( {x - 1} \right) + E({x^2} + x + 1){x^2}}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
$ = \frac{{\left( {B + C + E} \right){x^4} + \left( {A + D - C + E} \right){x^3} + \left( {E - D} \right){x^2} - Bx - A}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$.
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
$\left\{ \begin{array}
  B + C + E = 0  \\
  A + D - C + E = 0  \\
  E - D = 0  \\
  B = 0  \\
  A =  - 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  C =  - E  \\
  E + E + E = 1  \\
  B = 0  \\
  E = D  \\
  A =  - 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  D = \frac{1}{3}  \\
  C =  - \frac{1}{3}  \\
  B = 0  \\
  E = \frac{1}{3}  \\
  A =  - 1  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow f(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{ - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{\frac{1}{3}}}{{x - 1}}$
Vậy : $I = \int\limits_2^3 {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{ - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{\frac{1}{3}}}{{x - 1}}} \right)dx}  = \int\limits_2^3 {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{3}\left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right) + \frac{1}{3}\frac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right)dx} $
$ = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{6}\ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + \frac{1}{3}\ln \left| {x - 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  2
\end{array} - \int\limits_2^3 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} } \right.\\ = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{6}\ln \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}{\text{arctan}}\frac{{{\text{2x + 1}}}}{{\sqrt 3 }}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  2
\end{array}} \right.$$ = \frac{1}{6} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {{\text{arctan}}\frac{{\text{7}}}{{\sqrt {\text{3}} }} - {\text{arctan}}\frac{{\text{5}}}{{\sqrt {\text{3}} }}} \right)$
b. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^7}dx}}{{{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^2}}}}  = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^2}}}3{x^3}dx\quad \left( 1 \right)} $.
Đặt : $t = 1 + {x^4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dt = 3{x^3}dx,x = 0 \to t = 1;x = 1 \to t = 2  \\
  f(x)dx = \frac{1}{3}\left( {\frac{{t - 1}}{{{t^2}}}} \right)dt = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \int\limits_0^2 {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| t \right| + \frac{1}{t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{1}{3}\left( {\ln 2 - \frac{1}{2}} \right)} \right.} $
c. $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3} - 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}2xdx} \quad \left( 1 \right)$
Đặt : $t = 1 + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2 = t - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dt = 2xdx;x = 0 \to t = 1;x = 1 \to t = 2  \\
  f(x)dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{{t - 3}}{{{t^2}}}} \right)dt = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{3}{{{t^2}}}} \right)dt  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \int\limits_1^2 {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{t} - \frac{3}{{{t^2}}}} \right)dt = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| t \right| + \frac{3}{t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {\ln 2 - \frac{3}{2}} \right)} \right.} $
d. $\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^4}}}dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^6}}}{x^2}dx} \quad \left( 1 \right)$.
Đặt : $t = \sqrt {1 + {x^3}}  \leftrightarrow {t^2} = 1 + {x^3} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  2tdt = 3{x^2}dx;x = 1 \to t = \sqrt 2 ,x = 2 \to t = 3  \\
  f(x)dx = \frac{1}{3}\frac{{\sqrt {1 + {x^3}} }}{{{x^6}}}3{x^2}dx = \frac{1}{3}\frac{t}{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}2tdt = \frac{2}{3}\frac{{{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}}}dt  \\
\end{array}  \right.$
Vậy : $I = \frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {{{\left( {\frac{1}{{t + 1}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)} \right)}^2}dt = \frac{2}{3}\left[ {\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{1}{4}{{\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t - 1}}} \right)}^2}} } \right]} $
$ = \frac{1}{6}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\left( {\frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} - \left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)} \right)dt} $
$ = \frac{1}{6}\left[ { - \frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t - 1}} - \ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  {\sqrt 2 }
\end{array} = \frac{1}{6}\left( {\frac{{ - 2t}}{{\left( {{t^2} - 1} \right)}} - \ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  3 \\
  {\sqrt 2 }
\end{array}} \right.} \right. = \frac{{8\sqrt 2  - 3}}{{24}} + \frac{1}{3}\ln \left( {2\sqrt 2  - 2} \right)$

Ví dụ 5.

Tính các tích phân sau :
a. $\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 9} }}} $                    b. $\int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} - x} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
 c. $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^5} - 2{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $                    d. $\int\limits_0^1 {\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} dx} $
Giải
a. $\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 9} }}}  = \int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{xdx}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}} \quad \left( 1 \right)$.
Đặt : $t = \sqrt {{x^2} + 9}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  {t^2} = {x^2} + 9 \leftrightarrow tdt = xdx,{x^2} = {t^2} - 9  \\
  x = \sqrt 7  \to t = 4,x = 4 \to t = 5  \\
\end{array}  \right.$. Do đó : $I = \int\limits_4^5 {\frac{{dt}}{{t\left( {{t^2} - 9} \right)}} = } \int\limits_4^5 {\frac{{dt}}{{t\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)}}} $
Ta có : $f(t) = \frac{1}{{t\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{{t - 3}} + \frac{C}{{t + 3}} = \frac{{A\left( {{t^2} - 9} \right) + Bt\left( {t + 3} \right) + C\left( {t - 3} \right)t}}{{t\left( {{t^2} - 9} \right)}}$
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có :
- Với x=0 : -9A=1 $ \to A =  - \frac{1}{9}$
- Với x=-3 : 9C=1 $ \to C = \frac{1}{9}$
- Với x=3 : 9B=1 $ \to B = \frac{1}{9}$
Vậy : $I = \frac{1}{9}\left[ {\int\limits_4^5 {\left( { - \frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 3}} + \frac{1}{{t + 3}}} \right)dt} } \right] = \frac{1}{9}\left[ {\ln \left( {{t^2} - 9} \right) - \ln t} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  5 \\
  4
\end{array} = \frac{1}{9}\ln \frac{{{t^2} - 9}}{t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  5 \\
  4
\end{array} = \frac{1}{9}\ln \frac{{144}}{{35}}} \right.} \right.$
Chú ý : Nếu theo phương pháp chung thì đặt : $x = 3\sin t \to dx = 3\cos tdt$.
Khi : $\left\{ \begin{array}
  x = \sqrt 7  \to \sqrt 7  = 3\sin t \leftrightarrow \sin t = \frac{{\sqrt 7 }}{3}  \\
  x = 4 \to 4 = 3\sin t \leftrightarrow \sin t = \frac{4}{3} > 1  \\
\end{array}  \right.$. Như vậy ta không sử dụng được phương pháp này được .
b. $\int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} - x} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx}  = J - K\quad \left( 1 \right)} $
* Để tính J :
Đặt : $x = \tan t \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  dx = \frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}t}}dt,x = 0 \to t = 0;x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}  \\
  f(x)dx = \frac{{{{\tan }^2}t.\frac{1}{{c{\text{o}}{{\text{s}}^2}t}}dt}}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} }} = \frac{{{{\tan }^2}t}}{{c{\text{ost}}}}dt  \\
\end{array}  \right.$. Tính tích phân này không đơn giản , vì vậy ta phải có cách khác .
- Từ : $g(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Rightarrow \int\limits_0^1 {g(x)dx = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} dx - \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} } } $
- Hai tích phân này đều tính được .
+/ Tính : $E = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} dx = } x\sqrt {{x^2} + 1} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array} - \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = } } \right.\sqrt 2  - \left( {\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 1} } dx - \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} } \right)$
$ = \sqrt 2  - E + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array}} \right. \Rightarrow 2E = \sqrt 2  + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow E = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)$
* Tính K=$\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \sqrt {{x^2} + 1} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array} = \sqrt 2  - 1} \right.} $; $\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  1 \\
  0
\end{array} = \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right.} $
Do vậy : I=$\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2}\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{2}\ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)$
c. $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^5} - 2{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx}  = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx - 2\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = J - K\left( 1 \right)} } $
- Tính J: Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} = {t^2} - 1;xdx = tdt;x = 0 \to t = 1,x = \sqrt 3  \to t = 2  \\
  f(x)dx = \frac{{{x^4}xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}tdt}}{t} = \left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt  \\
\end{array}  \right.$
Suy ra : J=$\int\limits_1^2 {\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt = \left( {\frac{1}{5}{t^5} - \frac{2}{3}{t^3} + t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{{38}}{{15}}} \right.} $
- Tính K: Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} = {t^2} - 1;xdx = tdt;x = 0 \to t = 1,x = \sqrt 3  \to t = 2  \\
  f(x)dx = \frac{{{x^2}xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\left( {{t^2} - 1} \right)tdt}}{t} = \left( {{t^2} - 1} \right)dt  \\
\end{array}  \right.$
Suy ra : K= $\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 1} \right)dt = \left( {\frac{1}{3}{t^3} - t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  2 \\
  1
\end{array} = \frac{4}{3}} \right.} $
Vậy : I=$\frac{{28}}{{15}} + \frac{4}{3} = \frac{{48}}{{15}} = \frac{{16}}{5}$
d. $\int\limits_0^1 {\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} dx} $. Đặt : $x = \sin t \to \left\{ \begin{array}
  dx = c{\text{ostdt}}{\text{. x = 0}} \to {\text{t = 0;x = 1}} \to {\text{t = }}\frac{\pi }{2}  \\
  f(x)dx = \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} dx = \sqrt {c{\text{o}}{{\text{s}}^{\text{6}}}t} c{\text{ostdt = co}}{{\text{s}}^{\text{4}}}tdt  \\
\end{array}  \right.$
Do đó I=$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\frac{{1 - c{\text{os2t}}}}{2}} \right)}^2}dt = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - 2\cos 2t + \frac{{1 + c{\text{os4t}}}}{2}} \right)dt = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{3}{4} - \frac{1}{2}c{\text{os2t + }}\frac{1}{{\text{8}}}c{\text{os4t}}} \right)dt} } } $
            $ = \left( {\frac{3}{4}t - \frac{1}{4}\sin 2t + \frac{1}{{32}}\sin 4t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{\pi }{2}} \\
  0
\end{array} = \frac{{3\pi }}{8}} \right.$

Thẻ

Lượt xem

36256
Chat chit và chém gió
  • Jack Nguyễn: ko khó đâu 11/15/2018 9:40:25 PM
  • nighttrouble187 ☭: dễ hay khó vẫn phải học :3 11/15/2018 9:40:38 PM
  • Jack Nguyễn: dùng trí tưởng tượng ý 11/15/2018 9:40:38 PM
  • nighttrouble187 ☭: có học có hơn 11/15/2018 9:40:47 PM
  • Jack Nguyễn: cx đúng 11/15/2018 9:40:54 PM
  • nighttrouble187 ☭: chả đúng thì sao :v 11/15/2018 9:41:05 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của bạn mấy ? 11/15/2018 9:41:29 PM
  • Jack Nguyễn: mk đang ôn cho 5.5 11/15/2018 9:41:45 PM
  • Jack Nguyễn: hết lp 12 thì là 5.5 11/15/2018 9:41:57 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của mình được 7 rồi 11/15/2018 9:42:38 PM
  • hoangminhhero2003: likhl 11/15/2018 9:42:41 PM
  • Jack Nguyễn: ghê 11/15/2018 9:42:50 PM
  • Kiệt2003: hi minh 11/15/2018 9:42:51 PM
  • hoangminhhero2003: hi 11/15/2018 9:42:57 PM
  • Jack Nguyễn: hi new member 11/15/2018 9:43:04 PM
  • hoangminhhero2003: happy 11/15/2018 9:43:42 PM
  • nighttrouble187 ☭: i am signing. out , peace out 11/15/2018 9:43:59 PM
  • Kiệt2003: haiz 2 năm nữa thôi 11/15/2018 9:44:46 PM
  • Jack Nguyễn: try hard 11/15/2018 9:45:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: try harder , no pressure , no diamond 11/15/2018 9:45:36 PM
  • Jack Nguyễn: tưởng sign out 11/15/2018 9:45:53 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:46:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: thôi thì 𝓹𝓮𝓪𝓬𝓮 𝓸𝓾𝓽 :3 11/15/2018 9:46:35 PM
  • hoangminhhero2003: iop[; 11/15/2018 9:51:32 PM
  • hoangminhhero2003: tiếp đi 11/15/2018 9:57:48 PM
  • Rushia: Hết ng chưa 11/15/2018 9:58:53 PM
  • hoangminhhero2003: còn ai thì đ danh đi 11/15/2018 10:00:35 PM
  • Rushia: Chào 2k3happy 11/15/2018 10:01:08 PM
  • hoangminhhero2003: chảo 11/15/2018 10:02:08 PM
  • hoangminhhero2003: b bn tuổi 11/15/2018 10:02:26 PM
  • Rushia: E 17t z tính ra làm e rồihappy 11/15/2018 10:05:00 PM
  • Rushia: À mà k đc 17tlaughing 11/15/2018 10:05:35 PM
  • hoangminhhero2003: e 15 mà 11/15/2018 10:06:01 PM
  • Kiệt2003: chán cj nga quá 11/15/2018 10:07:08 PM
  • Kiệt2003: cj k nhớ tuổi của e sao 11/15/2018 10:07:20 PM
  • Rushia: Cj nhầm vs cái bạn trênlaughing) 11/15/2018 10:07:25 PM
  • Rushia: E hơn eg cj 2t 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Kiệt2003: hí hí 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Rushia: Nhớ chứlaughing) 11/15/2018 10:07:47 PM
  • Kiệt2003: eg nào của cj ạ 11/15/2018 10:07:50 PM
  • Rushia: E ruột 11/15/2018 10:07:55 PM
  • Kiệt2003: à vâng 11/15/2018 10:08:29 PM
  • Rushia: Nó vào nick of cj là chủ yếu chứ k vào đây mấyrolling_on_the_floor 11/15/2018 10:08:36 PM
  • Kiệt2003: thế ạ 11/15/2018 10:09:49 PM
  • Rushia: Ukm 11/15/2018 10:11:01 PM
  • Kiệt2003: pp cj nhá engur à 11/15/2018 10:11:44 PM
  • Kiệt2003: pp cj 11/15/2018 10:11:48 PM
  • Rushia: Ngủ sớm z ag 11/15/2018 10:11:55 PM
  • Rushia: E nn. Pp 11/15/2018 10:12:14 PM
  • Kiệt2003: cj ngủ ngon 11/15/2018 10:13:08 PM
  • nhatmicky: wave 11/15/2018 10:27:58 PM
  • nhatmicky: surprisesilly 11/15/2018 10:28:41 PM
  • Rushia: straight_face 11/15/2018 11:03:33 PM
  • laitridung2004: Thấy thì rep nhé Chi 11/15/2018 11:29:56 PM
  • laitridung2004: hú Chi ơi 11/16/2018 12:23:34 PM
  • laitridung2004:11/16/2018 6:13:52 PM
  • Kiệt2003: hi 11/16/2018 8:01:52 PM
  • laitridung2004: hi 11/16/2018 8:04:23 PM
  • Tuyết Nhi: ah kiệt ơi 11/16/2018 8:07:12 PM
  • Kiệt2003: hú linh 11/16/2018 8:07:33 PM
  • Tuyết Nhi: hj ah 11/16/2018 8:07:42 PM
  • Tuyết Nhi: ah ib e hs xíu nhé 11/16/2018 8:07:49 PM
  • Kiệt2003: hí lâu k gặp e nhỉ 11/16/2018 8:07:50 PM
  • Kiệt2003: ok e 11/16/2018 8:07:54 PM
  • Kiệt2003: e nt đi 11/16/2018 8:08:21 PM
  • Kiệt2003:11/16/2018 8:30:06 PM
  • Kiệt2003: linh ơi 11/16/2018 8:30:10 PM
  • Tuyết Nhi: dạ 11/16/2018 8:30:17 PM
  • ๖ۣۜBossღ: broken_heart 11/16/2018 9:47:19 PM
  • hoangduong: happy 11/16/2018 9:50:32 PM
  • laitridung2004: Chi oi rep ngay nhe 11/17/2018 12:05:06 PM
  • lethang30402: big_grin hi 11/17/2018 7:27:27 PM
  • laitridung2004:11/17/2018 8:26:24 PM
  • laitridung2004:11/17/2018 9:24:19 PM
  • ๖ۣۜDemonღ: hú hú 11/17/2018 9:33:39 PM
  • laitridung2004: bạn ơi 11/17/2018 9:34:07 PM
  • laitridung2004: giúp mình giải 1 bài toán 11/17/2018 9:34:12 PM
  • ๖ۣۜDemonღ: em cứ đăng lên đi 11/17/2018 9:35:12 PM
  • laitridung2004: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/140213/cuc-tri-hinh-hoc 11/17/2018 9:35:33 PM
  • ๖ۣۜDemonღ: B,C B' C' có nằm trên d hay không nữa chứ 11/17/2018 9:38:42 PM
  • laitridung2004: có ạ 11/17/2018 9:40:21 PM
  • laitridung2004:11/18/2018 7:30:35 AM
  • laitridung2004:11/18/2018 8:13:33 AM
  • lucia: Hi 11/18/2018 12:50:35 PM
  • lucia: Dũng ơi 11/18/2018 12:51:18 PM
  • lucia: crying 11/18/2018 12:51:37 PM
  • lucia: Anh đâu rồi 11/18/2018 12:51:59 PM
  • lucia: Ngày mai 12giờ45 nha 11/18/2018 12:53:21 PM
  • lucia: love_struck 11/18/2018 12:53:37 PM
  • lucia: Yêu anh 11/18/2018 12:54:01 PM
  • laitridung2004:11/18/2018 3:27:06 PM
  • laitridung2004: chờ Chi mãi ^_^ 11/18/2018 3:27:19 PM
  • Ngọc 2k4 : Hú mn 11/18/2018 9:44:03 PM
  • Ngọc 2k4 : Bùn nhẹ 11/18/2018 9:55:31 PM
  • Rushia: happy 11/18/2018 9:57:17 PM
  • laitridung2004:11/18/2018 10:03:32 PM
  • laitridung2004:11/19/2018 12:33:08 PM
  • laitridung2004:11/19/2018 12:47:05 PM
  • laitridung2004: Chi ơi nếu onl thì anh đi học đây ^_^ 11/19/2018 12:57:47 PM
  • laitridung2004: Chi ^_^ 11/19/2018 5:12:56 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Tuyết Nhi
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99