PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng cách chuyển về hệ phương trình và giải quyết bài toán trên các hệ phương trình này. Các phương pháp bao gồm:
1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
2.  Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
3. Dạng hệ gần đối xứng

1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Phương pháp:

Đặt $u = \alpha \left( x \right),v = \beta \left( x \right)$  và tìm mối quan hệ giữa $\alpha \left( x \right)$ và $\beta \left( x \right)$ từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1:
Giải phương trình: $x\sqrt[3]{{35 - {x^3}}}\left( {x + \sqrt[3]{{35 - {x^3}}}} \right) = 30$
Giải:
Đặt $y = \sqrt[3]{{35 - {x^3}}} \Rightarrow {x^3} + {y^3} = 35$
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  xy(x + y) = 30  \\
  {x^3} + {y^3} = 35  \\
\end{array}  \right.$, giải hệ này ta tìm được $(x;y) = (2;3) \vee (x;y) = (3;2)$.
Tức là nghiệm của phương trình là $x \in \{ 2;3\} $

Bài 2:
Giải phương trình: $\sqrt {\sqrt 2  - 1 - x}  + \sqrt[4]{x} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
Giải:
Điều kiện: $0 \leqslant x \leqslant \sqrt 2  - 1$
Đặt  $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {\sqrt 2  - 1 - x}  = u  \\
  \sqrt[4]{x} = v  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow 0 \leqslant u \leqslant \sqrt {\sqrt 2  - 1} ,0 \leqslant v \leqslant \sqrt[4]{{\sqrt 2  - 1}}$
Ta đưa về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  u + v = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}  \\
  {u^2} + {v^4} = \sqrt 2  - 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  u = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - v  \\
  {\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - v} \right)^2} + {v^4} = \sqrt 2  - 1  \\
\end{array}  \right.$
Giải phương trình thứ  2: ${({v^2} + 1)^2} - {\left( {v + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)^2} = 0$, từ đó tìm ra $v$ rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.

Bài 3:
Giải phương trình sau: $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} }  = 6$
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant 1$
Đặt $a = \sqrt {x - 1} ,\,\,b = \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } (a \geqslant 0,b \geqslant 0)$ thì ta đưa về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  {a^2} + b = 5  \\
  {b^2} - a = 5  \\
\end{array}  \right. \to (a + b)(a - b + 1) = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0 \Rightarrow a = b - 1$
Vậy $\sqrt {x - 1}  + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} }  \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 5 - x \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$

Bài 4.
Giải phương trình: $\frac{{6 - 2x}}{{\sqrt {5 - x} }} + \frac{{6 + 2x}}{{\sqrt {5 + x} }} = \frac{8}{3}$
Giải:
Điều kiện: $ - 5 < x < 5$
Đặt $u = \sqrt {5 - x} ,v = \sqrt {5 - y} \,\,\left( {0 < u,v < \sqrt {10} } \right)$.
Khi đó ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}
  {u^2} + {v^2} = 10  \\
   - \frac{4}{u} - \frac{4}{v} + 2(u + z) = \frac{8}{3}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {(u + v)^2} = 10 + 2uv  \\
  (u + v)\left( {1 - \frac{2}{{uv}}} \right) = \frac{4}{3}  \\
\end{array}  \right.$

2.  Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
Phương pháp:

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
Ta  xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : $\left\{ \begin{array}
  {\left( {x + 1} \right)^2} = y + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)  \\
  {\left( {y + 1} \right)^2} = x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)  \\
\end{array}  \right.$ việc giải hệ này thì  đơn giản
Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt $y = f\left( x \right)$sao cho (2)  luôn đúng , $y = \sqrt {x + 2}  - 1$, khi đó ta có phương trình : ${\left( {x + 1} \right)^2} = (\sqrt {x + 2}  - 1) + 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \sqrt {x + 2} $
Vậy để giải phương trình : ${x^2} + 2x = \sqrt {x + 2} $   ta đặt lại như trên và đưa về hệ
Bằng cách tương tự  xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : $\left\{ \begin{array}
  {\left( {\alpha x + \beta } \right)^2} = ay + b  \\
  {\left( {\alpha y + \beta } \right)^2} = ax + b  \\
\end{array}  \right.$, ta sẽ xây dựng được phương trình  dạng sau : đặt $\alpha y + \beta  = \sqrt {ax + b} $, khi đó ta có phương trình : ${\left( {\alpha x + \beta } \right)^2} = \frac{a}{\alpha }\sqrt {ax + b}  + b - \frac{\beta }{\alpha }$
Tương tự cho bậc cao hơn : ${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} = \frac{a}{\alpha }\sqrt[n]{{ax + b}} + b - \frac{\beta }{\alpha }$
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng: ${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} = p\sqrt[n]{{a'x + b'}} + \gamma $  và đặt $\alpha y + \beta  = \sqrt[n]{{ax + b}}$ để đưa về hệ , chú ý về dấu của $\alpha $
Việc chọn $\alpha ;\beta $  thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng ${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} = p\sqrt[n]{{a'x + b'}} + \gamma $ là chọn được.

Bài 1:
Giải phương trình: ${x^2} - 2x = 2\sqrt {2x - 1} $
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{2}$
Ta có phương trình được viết lại là: ${(x - 1)^2} - 1 = 2\sqrt {2x - 1} $
Đặt $y - 1 = \sqrt {2x - 1} $ thì ta đưa về hệ sau: $\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 2x = 2(y - 1)  \\
  {y^2} - 2y = 2(x - 1)  \\
\end{array}  \right.$
Trừ  hai vế của phương trình ta được $(x - y)(x + y) = 0$
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: $x = 2 + \sqrt 2 $

Bài 2:
Giải phương trình: $2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} $
Giải:
Điều kiện $x \geqslant  - \frac{5}{4}$
Ta biến đổi phương trình như sau: $4{x^2} - 12x - 2 = 2\sqrt {4x + 5}  \Leftrightarrow {(2x - 3)^2} = 2\sqrt {4x + 5}  + 11$
Đặt $2y - 3 = \sqrt {4x + 5} $ ta được hệ phương trình sau:$\left\{ \begin{array}
  {(2x - 3)^2} = 4y + 5  \\
  {(2y - 3)^2} = 4x + 5  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow (x - y)(x + y - 1) = 0$
Với $x = y \Rightarrow 2x - 3 = \sqrt {4x + 5}  \Rightarrow x = 2 + \sqrt 3 $
Với $x + y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 - x \to x = 1 - \sqrt 2 $
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $\{ 1 - \sqrt 2 ;\,\,1 + \sqrt 3 \} $

3. Dạng hệ gần đối xứng
Phương pháp:

Ta xt hệ sau : $\left\{ \begin{array}
  {(2x - 3)^2} = 2y + x + 1  \\
  {(2y - 3)^2} = 3x + 1  \\
\end{array}  \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)$  đây không phải là hệ đối xứng loại 2  nhưng  chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bài 1:
Giải phương trình: $4{x^2} + 5 - 13x + \sqrt {3x + 1}  = 0$
Nhận xét :
Nếu chúng  ta nhóm như những phương trình trước :${\left( {2x - \frac{{13}}{4}} \right)^2} = \sqrt {3x + 1}  - \frac{{33}}{4}$
Đặt $2y - \frac{{13}}{4} = \sqrt {3x + 1} $   thì chúng ta không thu được hệ  phương trình mà chúng ta có thể giải được.
Để thu được hệ (1)  ta đặt : $\alpha y + \beta  = \sqrt {3x + 1} $  , chọn $\alpha ,\beta $  sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
 Ta có hệ : $\left\{ \begin{array}
  {\left( {\alpha y + \beta } \right)^2} = 3x + 1  \\
  4{x^2} - 13x + 5 =  - \alpha y - \beta   \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {\alpha ^2}{y^2} + 2\alpha \beta y - 3x + {\beta ^2} - 1 = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)  \\
  4{x^2} - 13x + \alpha y + 5 + \beta  = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)  \\
\end{array}  \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (*)$
Để giải hệ trên thì   ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn của chúng ta
là có nghiệm $x = y$
Nên ta phải có : $\frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \frac{{2\alpha \beta  - 3}}{{\alpha  - 13}} = \frac{{{\beta ^2} - 1}}{{5 + \beta }}$, ta chọn được ngay $\alpha  =  - 2;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \beta  = 3$
Ta có lời giải như sau :
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant  - \frac{1}{3}$,
Đặt $\sqrt {3x + 1}  =  - (2y - 3),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (y \leqslant \frac{3}{2})$
Ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  {(2x - 3)^2} = 2y + x + 1  \\
  {(2y - 3)^2} = 3x + 1  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow (x - y)(2x + 2y - 5) = 0$
Với $x = y \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}$
Với $2x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 + \sqrt {73} }}{8}$
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: $\left\{ {\frac{{15 - \sqrt {97} }}{8};\frac{{11 + \sqrt {73} }}{8}} \right\}$
Chú ý:  khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay $\alpha ;\beta $ bằng  cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau: ${(2x - 3)^2} =  - \sqrt {3x + 1}  + x + 4$
khi đó đặt $\sqrt {3x + 1}  =  - 2y + 3$  , nếu đặt $2y - 3 = \sqrt {3x + 1} $  thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của $\alpha $  cùng dấu với dấu trước căn.
  
Một cách tổng quát:
Xét hệ: $\left\{ \begin{array}
  f(x) = A.x + B.y + m{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)  \\
  f(y) = A'.x + m'{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)  \\
\end{array}  \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} $  để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và  m=m’, 
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược $y = g\left( x \right)$ thay vào (1)  ta được phương trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
Giải phương trình sau:      $\sqrt {{x^3} - {x^2} - 1}  + \sqrt {{x^3} - {x^2} + 2}  = 3$        (1)
Giải:
Với điều kiện:
${x^3} - {x^2} - 1 \geqslant 0 \Rightarrow {x^3} - {x^2} + 2 > 0$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = \sqrt {{x^3} - {x^2} - 1} } \\
  {v = \sqrt {{x^3} - {x^2} + 2} }
\end{array}} \right.$ Với v > u ≥ 0
Phương trình (1) trở thành u + v = 0
Ta có hệ phương trình
$\begin{array}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = 3} \\
  {{v^2} - {u^2} = 3}
\end{array}} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = 3} \\
  {(v + u)(v - u) = 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = 3} \\
  {v - u = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = 1} \\
  {v = 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {{x^3} + {x^2} - 1}  = 1} \\
  {\sqrt {{x^3} + {x^2} + 2}  = 2}
\end{array}} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^3} + {x^2} - 1 = 1} \\
  {{x^3} + {x^2} + 2 = 4}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 2x + 2) = 0  \\
   \Leftrightarrow x = 1(do{x^2} + 2x + 2 > 0)  \\
\end{array} $
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 2:
Giải phương trình sau:      $\sqrt[4]{{18 + 5x}} + \sqrt[4]{{64 - 5x}} = 4$
Giải:
Với điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {18 + 5x \geqslant 0} \\
  {64 - 5x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x \geqslant  - \frac{{18}}{5}} \\
  {x \leqslant \frac{{64}}{5}}
\end{array} \Leftrightarrow  - \frac{{18}}{5} \leqslant x \leqslant \frac{{64}}{5}} \right.} \right.$            (*)
Đặt $u = \sqrt[4]{{18 + 5x}},v = \sqrt[4]{{64 - 5x}}$, với u ≥ 0, v  ≥ 0
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{u^4} = 18 + 5x} \\
  {{v^4} = 64 - 5x}
\end{array}} \right.$
Phương trình đã cho tương đương với hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = 4} \\
  {{u^4} + {v^4} = 82} \\
  {v \geqslant 0,v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = 4} \\
  {{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^2} - 2{{(uv)}^2} = 82} \\
  {v \geqslant 0,v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:
$\begin{array}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = 4} \\
  {{{\left( {{S^2} - 2P} \right)}^2} - 2{P^2} = 82} \\
  {P \geqslant 0,S \geqslant 0}
\end{array}} \right.  \\
   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = 4} \\
  {{p^2} - 32P + 87 = 0} \\
  {P \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = 4} \\
  {P = 3 \vee P = 29} \\
  {P \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.  \\
\end{array} $
(1)    Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:
${y^2} - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y = 1} \\
  {y = 3}
\end{array}} \right.$
Do đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = 1} \\
  {v = 3}
\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = 3} \\
  {v = 1}
\end{array}} \right.} \right.$
Suy ra$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt[4]{{18 + 5x}} = 1} \\
  {\sqrt[4]{{64 - 5x}} = 3}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt[4]{{18 + 5x}} = 3} \\
  {\sqrt[4]{{64 - 5x}} = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {18 + 5x = 1} \\
  {64 - 5x = 81}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {18 + 5x = 81} \\
  {64 - 5x = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow x =  - \frac{{17}}{5} \vee x = \frac{{63}}{5}$ thoả (*)
(2)    Với S = 4, P = 29 $ \Rightarrow $ không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x_1} =  - \frac{{17}}{5}} \\
  {{x_2} = \frac{{63}}{5}}
\end{array}} \right.$

Bài 3:
Giải phương trình sau:      $\sqrt[5]{{a + x}} + \sqrt[5]{{a - x}} = \sqrt[5]{{2a}}$
Giải:
Đặt $u = \sqrt[5]{{a + x}}$ và $v = \sqrt[5]{{a - x}}$, phương trình đã cho tương đương với hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {{u^5} + {v^5} = 2a}
\end{array}} \right.$            (*)
Ta có: ${u^5} + {v^5} = (u + v)({u^4} - {u^3}.v + {u^2}.{v^2} - u.{v^3} + {v^4}$
$\begin{array}
   = (u + v)\left( {{u^4} + {v^4} - u.v({u^2} + {v^2}) + {u^2}.{v^2}} \right)  \\
   = (u + v)\left\{ {{{\left[ {({u^2} + {v^2}) - 2u.v} \right]}^2} - 2{u^2}.{v^2} - u.v({u^2} + {v^2}) + 2{u^2}.{v^2} + {u^2}.{v^2}} \right\}  \\
\end{array} $
Đặt     S = u + v
P = u.v
Ta có: ${u^5} + {v^5} = S\left[ {{{\left( {{S^2} - 2P} \right)}^2} - P{S^2} + {P^2}} \right]$
Do đó ta có: (*)
$\begin{array}
   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {S({S^4} - 5P{S^2} + 5{P^2}) = 2a}
\end{array}} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {{S^5} - 5P{S^3} + 5P{S^3} = 2a}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {5{P^2}S - 5P{S^3} = 0}
\end{array}} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {P = 0 \vee P = {S^2}}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
(1)    Với $S = \sqrt[5]{{2a}},P = 0$
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u + v = \sqrt[5]{{2a}}} \\
  {u.v = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = 0} \\
  {v = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array}} \right.} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {v = 0} \\
  {u = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array}} \right.$
Do dó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt[5]{{a + x}} = 0} \\
  {\sqrt[5]{{a - x}} = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt[5]{{a + x}} = 0} \\
  {\sqrt[5]{{a + x}} = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array} \Leftrightarrow x =  - a \vee x = a} \right.$
(2)    Với $S = \sqrt[5]{{2a}},P = {S^2}$
Ta có ${S^2} - 4P = {S^2} - 4{S^2}$< 0. vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x_1} =  - a} \\
  {{x_2} = a}
\end{array}} \right.$

Bài 4:
Giải phương trình sau:      $\sqrt[4]{{x + 8}} - \sqrt[4]{{x - 8}} = 2$
Giải:
Đặt $u = \sqrt[4]{{x + 8}},v = \sqrt[4]{{x - 8}}$ với u > v ≥ 0
Với điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + 8 \geqslant 0} \\
  {x - 8 \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x \geqslant  - 8} \\
  {x \geqslant 8}
\end{array} \Leftrightarrow x \geqslant 8} \right.} \right.$        (*)
$ \Rightarrow {u^4} = x + 8,{v^4} = x - 8$
Phương trình đã cho $\sqrt[4]{{x + 8}} - \sqrt[4]{{x - 8}} = 2$    (1)
Tương đương với hệ
$\begin{array}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u - v = 2} \\
  {{u^4} + {v^4} = 16} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = v + 2} \\
  {(u - v)(u + v)({u^2} + {v^2}) = 16} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = v + 2} \\
  {2(2v + 2)(2{v^2} + 4v + 4) = 0} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = v + 2} \\
  {{u^3} + 3{v^2} + 4v + 2 = 2} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = v + 2} \\
  {v({v^2} + 3v + 4) = 0} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = v + 2} \\
  {v = 0} \\
  {u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {u = 2} \\
  {v = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt[4]{{x + 8}} = 2} \\
  {\sqrt[4]{{x - 8}} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + 8 = 16} \\
  {x - 8 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow x = 8} \right.} \right.} \right.  \\
\end{array} $

Bài 5:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} = 2$
Giải:
Điều kiện $2 - {x^2} > 0,x \ne 0 \Leftrightarrow 5\sqrt 2  < x < \sqrt 2 ,x \ne 0$
Đặt $y = \sqrt {2 - {x^2}} ,y > 0$. Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2(2)} \\
  {{x^2} + {y^2} = 2(3)} \\
  {y > 0}
\end{array}} \right.$        (*)
Từ (*)$ \Rightarrow 2{x^2}{y^2} - xy - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {xy = 1} \\
  {xy =  - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
a.    Xét xy = 1 so y > 0 nên x > 0
Ta có: $(2) \Rightarrow x + y = 2$
Ta có xy = 1 và x + y = 2 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 = 0 $ \Rightarrow x = 1$
b.    Xét xy = - $\frac{1}{2}$. Tương tự ta được x = $ - \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {1; - \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2}} \right\}$

Thẻ

Lượt xem

9088
Chat chit và chém gió
  • nighttrouble187 ☭: 𝚌𝚑à𝚘 𝙹𝚊𝚌𝚔 𝚗𝚑é 11/15/2018 9:32:26 PM
  • Jack Nguyễn: trg bn cb thi chưa 11/15/2018 9:32:50 PM
  • Kiệt2003: à ra hai người này về vụ thi đai học 11/15/2018 9:33:27 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴄʜưᴀ ʙạɴ ơɪ ɢầɴ ᴛếᴛ ᴍớɪ ᴛʜɪ 11/15/2018 9:33:28 PM
  • Jack Nguyễn: :v 11/15/2018 9:33:43 PM
  • Jack Nguyễn: sướng vậy 11/15/2018 9:33:57 PM
  • Rushia: Nãy giờ họ ns 17t mà e k nhận ra sao K 11/15/2018 9:34:05 PM
  • Rushia: laughing) 11/15/2018 9:34:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ʙạɴ ᴛʜɪ ᴛʀườɴɢ ɢỉ ʜả ᴊᴀᴄᴋ 11/15/2018 9:34:16 PM
  • Jack Nguyễn: mk cx chưa biết 11/15/2018 9:34:32 PM
  • Jack Nguyễn: hiện h đang ôn ielts 11/15/2018 9:34:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): lé mắt hết r :3 11/15/2018 9:35:11 PM
  • nighttrouble187 ☭: mình định thi 𝔨𝔦𝔫𝔥 𝔱ế đạ𝔦 𝔥ọ𝔠 𝔮𝔲ố𝔠 𝔤𝔦𝔞 𝔥à 𝔫ộ𝔦 11/15/2018 9:35:43 PM
  • Jack Nguyễn: wowww 11/15/2018 9:36:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ ɴày 11/15/2018 9:36:32 PM
  • Rushia: Đh ktqdrolling_on_the_floor) 11/15/2018 9:36:35 PM
  • Rushia: Nhiều ng tài 11/15/2018 9:36:46 PM
  • Kiệt2003: haiz 11/15/2018 9:36:52 PM
  • Jack Nguyễn: me too 11/15/2018 9:37:12 PM
  • Jack Nguyễn: cho nhàn 11/15/2018 9:37:29 PM
  • nighttrouble187 ☭: căn bản ngu hoá 11/15/2018 9:37:40 PM
  • nighttrouble187 ☭: mù lý 11/15/2018 9:37:44 PM
  • nighttrouble187 ☭: học khối D 11/15/2018 9:37:55 PM
  • Jack Nguyễn: mk ko ngu hóa vs lý nhưng ban d cho dễ 11/15/2018 9:37:59 PM
  • nighttrouble187 ☭: có tiếng anh lợi hơn chúng nó 11/15/2018 9:38:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: học Văn cho nó yêu đời 11/15/2018 9:38:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: đâᴍ ʀᴀ ʟà ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ 11/15/2018 9:39:08 PM
  • nighttrouble187 ☭: đang học hình không gian -.- 11/15/2018 9:39:22 PM
  • Jack Nguyễn: dễ mà 11/15/2018 9:39:33 PM
  • Jack Nguyễn: ko khó đâu 11/15/2018 9:40:25 PM
  • nighttrouble187 ☭: dễ hay khó vẫn phải học :3 11/15/2018 9:40:38 PM
  • Jack Nguyễn: dùng trí tưởng tượng ý 11/15/2018 9:40:38 PM
  • nighttrouble187 ☭: có học có hơn 11/15/2018 9:40:47 PM
  • Jack Nguyễn: cx đúng 11/15/2018 9:40:54 PM
  • nighttrouble187 ☭: chả đúng thì sao :v 11/15/2018 9:41:05 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của bạn mấy ? 11/15/2018 9:41:29 PM
  • Jack Nguyễn: mk đang ôn cho 5.5 11/15/2018 9:41:45 PM
  • Jack Nguyễn: hết lp 12 thì là 5.5 11/15/2018 9:41:57 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của mình được 7 rồi 11/15/2018 9:42:38 PM
  • hoangminhhero2003: likhl 11/15/2018 9:42:41 PM
  • Jack Nguyễn: ghê 11/15/2018 9:42:50 PM
  • Kiệt2003: hi minh 11/15/2018 9:42:51 PM
  • hoangminhhero2003: hi 11/15/2018 9:42:57 PM
  • Jack Nguyễn: hi new member 11/15/2018 9:43:04 PM
  • hoangminhhero2003: happy 11/15/2018 9:43:42 PM
  • nighttrouble187 ☭: i am signing. out , peace out 11/15/2018 9:43:59 PM
  • Kiệt2003: haiz 2 năm nữa thôi 11/15/2018 9:44:46 PM
  • Jack Nguyễn: try hard 11/15/2018 9:45:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: try harder , no pressure , no diamond 11/15/2018 9:45:36 PM
  • Jack Nguyễn: tưởng sign out 11/15/2018 9:45:53 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:46:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: thôi thì 𝓹𝓮𝓪𝓬𝓮 𝓸𝓾𝓽 :3 11/15/2018 9:46:35 PM
  • hoangminhhero2003: iop[; 11/15/2018 9:51:32 PM
  • hoangminhhero2003: tiếp đi 11/15/2018 9:57:48 PM
  • Rushia: Hết ng chưa 11/15/2018 9:58:53 PM
  • hoangminhhero2003: còn ai thì đ danh đi 11/15/2018 10:00:35 PM
  • Rushia: Chào 2k3happy 11/15/2018 10:01:08 PM
  • hoangminhhero2003: chảo 11/15/2018 10:02:08 PM
  • hoangminhhero2003: b bn tuổi 11/15/2018 10:02:26 PM
  • Rushia: E 17t z tính ra làm e rồihappy 11/15/2018 10:05:00 PM
  • Rushia: À mà k đc 17tlaughing 11/15/2018 10:05:35 PM
  • hoangminhhero2003: e 15 mà 11/15/2018 10:06:01 PM
  • Kiệt2003: chán cj nga quá 11/15/2018 10:07:08 PM
  • Kiệt2003: cj k nhớ tuổi của e sao 11/15/2018 10:07:20 PM
  • Rushia: Cj nhầm vs cái bạn trênlaughing) 11/15/2018 10:07:25 PM
  • Rushia: E hơn eg cj 2t 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Kiệt2003: hí hí 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Rushia: Nhớ chứlaughing) 11/15/2018 10:07:47 PM
  • Kiệt2003: eg nào của cj ạ 11/15/2018 10:07:50 PM
  • Rushia: E ruột 11/15/2018 10:07:55 PM
  • Kiệt2003: à vâng 11/15/2018 10:08:29 PM
  • Rushia: Nó vào nick of cj là chủ yếu chứ k vào đây mấyrolling_on_the_floor 11/15/2018 10:08:36 PM
  • Kiệt2003: thế ạ 11/15/2018 10:09:49 PM
  • Rushia: Ukm 11/15/2018 10:11:01 PM
  • Kiệt2003: pp cj nhá engur à 11/15/2018 10:11:44 PM
  • Kiệt2003: pp cj 11/15/2018 10:11:48 PM
  • Rushia: Ngủ sớm z ag 11/15/2018 10:11:55 PM
  • Rushia: E nn. Pp 11/15/2018 10:12:14 PM
  • Kiệt2003: cj ngủ ngon 11/15/2018 10:13:08 PM
  • nhatmicky: wave 11/15/2018 10:27:58 PM
  • nhatmicky: surprisesilly 11/15/2018 10:28:41 PM
  • Rushia: straight_face 11/15/2018 11:03:33 PM
  • laitridung2004: Thấy thì rep nhé Chi 11/15/2018 11:29:56 PM
  • laitridung2004: hú Chi ơi 11/16/2018 12:23:34 PM
  • laitridung2004:11/16/2018 6:13:52 PM
  • Kiệt2003: hi 11/16/2018 8:01:52 PM
  • laitridung2004: hi 11/16/2018 8:04:23 PM
  • Tuyết Nhi: ah kiệt ơi 11/16/2018 8:07:12 PM
  • Kiệt2003: hú linh 11/16/2018 8:07:33 PM
  • Tuyết Nhi: hj ah 11/16/2018 8:07:42 PM
  • Tuyết Nhi: ah ib e hs xíu nhé 11/16/2018 8:07:49 PM
  • Kiệt2003: hí lâu k gặp e nhỉ 11/16/2018 8:07:50 PM
  • Kiệt2003: ok e 11/16/2018 8:07:54 PM
  • Kiệt2003: e nt đi 11/16/2018 8:08:21 PM
  • Kiệt2003:11/16/2018 8:30:06 PM
  • Kiệt2003: linh ơi 11/16/2018 8:30:10 PM
  • Tuyết Nhi: dạ 11/16/2018 8:30:17 PM
  • ๖ۣۜBossღ: broken_heart 11/16/2018 9:47:19 PM
  • hoangduong: happy 11/16/2018 9:50:32 PM
  • laitridung2004: Chi oi rep ngay nhe 11/17/2018 12:05:06 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lùn
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99