PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp giải phương trình vô tỉ
bằng cách chuyển về hệ phương trình và giải quyết bài toán trên các hệ phương
trình này. Các phương pháp bao gồm:
1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
2. Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
3. Dạng hệ gần đối xứng
1. Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Phương pháp:
Đặt $u = \alpha \left( x \right),v = \beta \left( x \right)$ và tìm mối
quan hệ giữa $\alpha \left( x \right)$ và $\beta \left( x \right)$ từ đó tìm
được hệ theo u,v
Bài 1:
Giải phương trình: $x\sqrt[3]{{35 - {x^3}}}\left( {x + \sqrt[3]{{35 - {x^3}}}}
\right) = 30$
Giải:
Đặt $y = \sqrt[3]{{35 - {x^3}}} \Rightarrow {x^3} + {y^3} = 35$
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
xy(x + y) = 30 \\
{x^3} + {y^3} = 35 \\
\end{array} \right.$, giải hệ này ta tìm được $(x;y) = (2;3) \vee (x;y) =
(3;2)$.
Tức là nghiệm của phương trình là $x \in \{ 2;3\} $
Bài 2:
Giải phương trình: $\sqrt {\sqrt 2 - 1 - x} + \sqrt[4]{x} =
\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
Giải:
Điều kiện: $0 \leqslant x \leqslant \sqrt 2 - 1$
Đặt $\left\{ \begin{array}
\sqrt {\sqrt 2 - 1 - x} = u \\
\sqrt[4]{x} = v \\
\end{array} \right. \Rightarrow 0 \leqslant u \leqslant \sqrt {\sqrt
2 - 1} ,0 \leqslant v \leqslant \sqrt[4]{{\sqrt 2 - 1}}$
Ta đưa về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
u + v = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} \\
{u^2} + {v^4} = \sqrt 2 - 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
u = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - v \\
{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - v} \right)^2} + {v^4} = \sqrt 2
- 1 \\
\end{array} \right.$
Giải phương trình thứ 2: ${({v^2} + 1)^2} - {\left( {v +
\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)^2} = 0$, từ đó tìm ra $v$ rồi thay vào tìm
nghiệm của phương trình.
Bài 3:
Giải phương trình sau: $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } = 6$
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant 1$
Đặt $a = \sqrt {x - 1} ,\,\,b = \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } (a \geqslant 0,b
\geqslant 0)$ thì ta đưa về hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
{a^2} + b = 5 \\
{b^2} - a = 5 \\
\end{array} \right. \to (a + b)(a - b + 1) = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0
\Rightarrow a = b - 1$
Vậy $\sqrt {x - 1} + 1 = \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} } \Leftrightarrow
\sqrt {x - 1} = 5 - x \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$
Bài 4.
Giải phương trình: $\frac{{6 - 2x}}{{\sqrt {5 - x} }} + \frac{{6 + 2x}}{{\sqrt
{5 + x} }} = \frac{8}{3}$
Giải:
Điều kiện: $ - 5 < x < 5$
Đặt $u = \sqrt {5 - x} ,v = \sqrt {5 - y} \,\,\left( {0 < u,v < \sqrt
{10} } \right)$.
Khi đó ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}
{u^2} + {v^2} = 10 \\
- \frac{4}{u} - \frac{4}{v} + 2(u + z) = \frac{8}{3} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{(u + v)^2} = 10 + 2uv \\
(u + v)\left( {1 - \frac{2}{{uv}}} \right) = \frac{4}{3} \\
\end{array} \right.$
2. Xây dựng phương trình vô tỉ từ
hệ đối xứng loại II
Phương pháp:
Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về
hệ đối xứng loại II
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : $\left\{ \begin{array}
{\left( {x + 1} \right)^2} = y + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
(1) \\
{\left( {y + 1} \right)^2} = x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \\
\end{array} \right.$ việc giải hệ này thì đơn giản
Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt $y = f\left( x
\right)$sao cho (2) luôn đúng , $y = \sqrt {x + 2} - 1$, khi đó ta
có phương trình : ${\left( {x + 1} \right)^2} = (\sqrt {x + 2} - 1) + 1
\Leftrightarrow {x^2} + 2x = \sqrt {x + 2} $
Vậy để giải phương trình : ${x^2} + 2x = \sqrt {x + 2} $ ta đặt lại
như trên và đưa về hệ
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : $\left\{ \begin{array}
{\left( {\alpha x + \beta } \right)^2} = ay + b \\
{\left( {\alpha y + \beta } \right)^2} = ax + b \\
\end{array} \right.$, ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau :
đặt $\alpha y + \beta = \sqrt {ax + b} $, khi đó ta có phương trình :
${\left( {\alpha x + \beta } \right)^2} = \frac{a}{\alpha }\sqrt {ax + b}
+ b - \frac{\beta }{\alpha }$
Tương tự cho bậc cao hơn : ${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} =
\frac{a}{\alpha }\sqrt[n]{{ax + b}} + b - \frac{\beta }{\alpha }$
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng:
${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} = p\sqrt[n]{{a'x + b'}} + \gamma
$ và đặt $\alpha y + \beta = \sqrt[n]{{ax + b}}$ để đưa về hệ , chú
ý về dấu của $\alpha $
Việc chọn $\alpha ;\beta $ thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng
${\left( {\alpha x + \beta } \right)^n} = p\sqrt[n]{{a'x + b'}} + \gamma $ là
chọn được.
Bài 1:
Giải phương trình: ${x^2} - 2x = 2\sqrt {2x - 1} $
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{2}$
Ta có phương trình được viết lại là: ${(x - 1)^2} - 1 = 2\sqrt {2x - 1} $
Đặt $y - 1 = \sqrt {2x - 1} $ thì ta đưa về hệ sau: $\left\{ \begin{array}
{x^2} - 2x = 2(y - 1) \\
{y^2} - 2y = 2(x - 1) \\
\end{array} \right.$
Trừ hai vế của phương trình ta được $(x - y)(x + y) = 0$
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: $x = 2 + \sqrt 2 $
Bài 2:
Giải phương trình: $2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} $
Giải:
Điều kiện $x \geqslant - \frac{5}{4}$
Ta biến đổi phương trình như sau: $4{x^2} - 12x - 2 = 2\sqrt {4x + 5}
\Leftrightarrow {(2x - 3)^2} = 2\sqrt {4x + 5} + 11$
Đặt $2y - 3 = \sqrt {4x + 5} $ ta được hệ phương trình sau:$\left\{
\begin{array}
{(2x - 3)^2} = 4y + 5 \\
{(2y - 3)^2} = 4x + 5 \\
\end{array} \right. \Rightarrow (x - y)(x + y - 1) = 0$
Với $x = y \Rightarrow 2x - 3 = \sqrt {4x + 5} \Rightarrow x = 2 + \sqrt
3 $
Với $x + y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 - x \to x = 1 - \sqrt 2 $
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $\{ 1 - \sqrt 2 ;\,\,1 + \sqrt 3 \} $
3. Dạng hệ gần đối xứng
Phương pháp:
Ta xt hệ sau : $\left\{ \begin{array}
{(2x - 3)^2} = 2y + x + 1 \\
{(2y - 3)^2} = 3x + 1 \\
\end{array} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)$ đây không phải là hệ
đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này
chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Bài 1:
Giải phương trình: $4{x^2} + 5 - 13x + \sqrt {3x + 1} = 0$
Nhận xét :
Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :${\left( {2x -
\frac{{13}}{4}} \right)^2} = \sqrt {3x + 1} - \frac{{33}}{4}$
Đặt $2y - \frac{{13}}{4} = \sqrt {3x + 1} $ thì chúng ta không thu
được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt : $\alpha y + \beta = \sqrt {3x + 1}
$ , chọn $\alpha ,\beta $ sao cho hệ chúng ta có thể giải được ,
(đối xứng hoặc gần đối xứng )
Ta có hệ : $\left\{ \begin{array}
{\left( {\alpha y + \beta } \right)^2} = 3x + 1 \\
4{x^2} - 13x + 5 = - \alpha y - \beta \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{\alpha ^2}{y^2} + 2\alpha \beta y - 3x + {\beta ^2} - 1 = 0{\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} (1) \\
4{x^2} - 13x + \alpha y + 5 + \beta = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \\
\end{array} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} (*)$
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn
của chúng ta
là có nghiệm $x = y$
Nên ta phải có : $\frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \frac{{2\alpha \beta -
3}}{{\alpha - 13}} = \frac{{{\beta ^2} - 1}}{{5 + \beta }}$, ta chọn được
ngay $\alpha = - 2;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
\beta = 3$
Ta có lời giải như sau :
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant - \frac{1}{3}$,
Đặt $\sqrt {3x + 1} = - (2y - 3),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (y \leqslant
\frac{3}{2})$
Ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
{(2x - 3)^2} = 2y + x + 1 \\
{(2y - 3)^2} = 3x + 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow (x - y)(2x + 2y - 5) = 0$
Với $x = y \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}$
Với $2x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 + \sqrt {73} }}{8}$
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: $\left\{ {\frac{{15 - \sqrt {97}
}}{8};\frac{{11 + \sqrt {73} }}{8}} \right\}$
Chú ý: khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay $\alpha ;\beta $
bằng cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau: ${(2x - 3)^2} = - \sqrt {3x + 1}
+ x + 4$
khi đó đặt $\sqrt {3x + 1} = - 2y + 3$ , nếu đặt $2y - 3 =
\sqrt {3x + 1} $ thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy
dấu của $\alpha $ cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát:
Xét hệ: $\left\{ \begin{array}
f(x) = A.x + B.y + m{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
(1) \\
f(y) = A'.x + m'{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2) \\
\end{array} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern
1pt} $ để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’,
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược $y = g\left( x \right)$ thay vào (1) ta
được phương trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được
và hơn nữa hệ phải giải được.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
Giải phương trình sau: $\sqrt {{x^3} - {x^2}
- 1} + \sqrt {{x^3} - {x^2} + 2} = 3$
(1)
Giải:
Với điều kiện:
${x^3} - {x^2} - 1 \geqslant 0 \Rightarrow {x^3} - {x^2} + 2 > 0$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = \sqrt {{x^3} - {x^2} - 1} } \\
{v = \sqrt {{x^3} - {x^2} + 2} }
\end{array}} \right.$ Với v > u ≥ 0
Phương trình (1) trở thành u + v = 0
Ta có hệ phương trình
$\begin{array}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 3} \\
{{v^2} - {u^2} = 3}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 3} \\
{(v + u)(v - u) = 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 3} \\
{v - u = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 1} \\
{v = 2}
\end{array}} \right.} \right.} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {{x^3} + {x^2} - 1} = 1} \\
{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 2} = 2}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^3} + {x^2} - 1 = 1} \\
{{x^3} + {x^2} + 2 = 4}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \\
\Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + 2x + 2) = 0 \\
\Leftrightarrow x = 1(do{x^2} + 2x + 2 > 0) \\
\end{array} $
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
Bài 2:
Giải phương trình sau: $\sqrt[4]{{18 + 5x}} +
\sqrt[4]{{64 - 5x}} = 4$
Giải:
Với điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{18 + 5x \geqslant 0} \\
{64 - 5x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant - \frac{{18}}{5}} \\
{x \leqslant \frac{{64}}{5}}
\end{array} \Leftrightarrow - \frac{{18}}{5} \leqslant x \leqslant
\frac{{64}}{5}} \right.} \right.$
(*)
Đặt $u = \sqrt[4]{{18 + 5x}},v = \sqrt[4]{{64 - 5x}}$, với u ≥ 0, v ≥ 0
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u^4} = 18 + 5x} \\
{{v^4} = 64 - 5x}
\end{array}} \right.$
Phương trình đã cho tương đương với hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 4} \\
{{u^4} + {v^4} = 82} \\
{v \geqslant 0,v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = 4} \\
{{{\left( {{u^2} + {v^2}} \right)}^2} - 2{{(uv)}^2} = 82} \\
{v \geqslant 0,v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right.$
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:
$\begin{array}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 4} \\
{{{\left( {{S^2} - 2P} \right)}^2} - 2{P^2} = 82} \\
{P \geqslant 0,S \geqslant 0}
\end{array}} \right. \\
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 4} \\
{{p^2} - 32P + 87 = 0} \\
{P \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 4} \\
{P = 3 \vee P = 29} \\
{P \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right. \\
\end{array} $
(1) Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:
${y^2} - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 1} \\
{y = 3}
\end{array}} \right.$
Do đó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 1} \\
{v = 3}
\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 3} \\
{v = 1}
\end{array}} \right.} \right.$
Suy ra$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[4]{{18 + 5x}} = 1} \\
{\sqrt[4]{{64 - 5x}} = 3}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[4]{{18 + 5x}} = 3} \\
{\sqrt[4]{{64 - 5x}} = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{18 + 5x = 1} \\
{64 - 5x = 81}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{18 + 5x = 81} \\
{64 - 5x = 1}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow x = - \frac{{17}}{5} \vee x = \frac{{63}}{5}$ thoả (*)
(2) Với S = 4, P = 29 $ \Rightarrow $ không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = - \frac{{17}}{5}} \\
{{x_2} = \frac{{63}}{5}}
\end{array}} \right.$
Bài 3:
Giải phương trình sau: $\sqrt[5]{{a + x}} +
\sqrt[5]{{a - x}} = \sqrt[5]{{2a}}$
Giải:
Đặt $u = \sqrt[5]{{a + x}}$ và $v = \sqrt[5]{{a - x}}$, phương trình đã cho
tương đương với hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{{u^5} + {v^5} = 2a}
\end{array}} \right.$
(*)
Ta có: ${u^5} + {v^5} = (u + v)({u^4} - {u^3}.v + {u^2}.{v^2} - u.{v^3} +
{v^4}$
$\begin{array}
= (u + v)\left( {{u^4} + {v^4} - u.v({u^2} + {v^2}) + {u^2}.{v^2}}
\right) \\
= (u + v)\left\{ {{{\left[ {({u^2} + {v^2}) - 2u.v} \right]}^2} -
2{u^2}.{v^2} - u.v({u^2} + {v^2}) + 2{u^2}.{v^2} + {u^2}.{v^2}} \right\}
\\
\end{array} $
Đặt S = u + v
P = u.v
Ta có: ${u^5} + {v^5} = S\left[ {{{\left( {{S^2} - 2P} \right)}^2} - P{S^2} +
{P^2}} \right]$
Do đó ta có: (*)
$\begin{array}
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{S({S^4} - 5P{S^2} + 5{P^2}) = 2a}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{{S^5} - 5P{S^3} + 5P{S^3} = 2a}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{5{P^2}S - 5P{S^3} = 0}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{P = 0 \vee P = {S^2}}
\end{array}} \right. \\
\end{array} $
(1) Với $S = \sqrt[5]{{2a}},P = 0$
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u + v = \sqrt[5]{{2a}}} \\
{u.v = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 0} \\
{v = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array}} \right.} \right. \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{v = 0} \\
{u = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array}} \right.$
Do dó ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[5]{{a + x}} = 0} \\
{\sqrt[5]{{a - x}} = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array} \vee } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[5]{{a + x}} = 0} \\
{\sqrt[5]{{a + x}} = \sqrt[5]{{2a}}}
\end{array} \Leftrightarrow x = - a \vee x = a} \right.$
(2) Với $S = \sqrt[5]{{2a}},P = {S^2}$
Ta có ${S^2} - 4P = {S^2} - 4{S^2}$< 0. vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} = - a} \\
{{x_2} = a}
\end{array}} \right.$
Bài 4:
Giải phương trình sau: $\sqrt[4]{{x + 8}} -
\sqrt[4]{{x - 8}} = 2$
Giải:
Đặt $u = \sqrt[4]{{x + 8}},v = \sqrt[4]{{x - 8}}$ với u > v ≥ 0
Với điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 8 \geqslant 0} \\
{x - 8 \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \geqslant - 8} \\
{x \geqslant 8}
\end{array} \Leftrightarrow x \geqslant 8} \right.} \right.$
(*)
$ \Rightarrow {u^4} = x + 8,{v^4} = x - 8$
Phương trình đã cho $\sqrt[4]{{x + 8}} - \sqrt[4]{{x - 8}} =
2$ (1)
Tương đương với hệ
$\begin{array}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u - v = 2} \\
{{u^4} + {v^4} = 16} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v + 2} \\
{(u - v)(u + v)({u^2} + {v^2}) = 16} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v + 2} \\
{2(2v + 2)(2{v^2} + 4v + 4) = 0} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v + 2} \\
{{u^3} + 3{v^2} + 4v + 2 = 2} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v + 2} \\
{v({v^2} + 3v + 4) = 0} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right.} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = v + 2} \\
{v = 0} \\
{u > v \geqslant 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = 2} \\
{v = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt[4]{{x + 8}} = 2} \\
{\sqrt[4]{{x - 8}} = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 8 = 16} \\
{x - 8 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow x = 8} \right.} \right.} \right. \\
\end{array} $
Bài 5:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} = 2$
Giải:
Điều kiện $2 - {x^2} > 0,x \ne 0 \Leftrightarrow 5\sqrt 2 < x <
\sqrt 2 ,x \ne 0$
Đặt $y = \sqrt {2 - {x^2}} ,y > 0$. Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2(2)} \\
{{x^2} + {y^2} = 2(3)} \\
{y > 0}
\end{array}} \right.$ (*)
Từ (*)$ \Rightarrow 2{x^2}{y^2} - xy - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{xy = 1} \\
{xy = - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
a. Xét xy = 1 so y > 0 nên x > 0
Ta có: $(2) \Rightarrow x + y = 2$
Ta có xy = 1 và x + y = 2 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 = 0 $
\Rightarrow x = 1$
b. Xét xy = - $\frac{1}{2}$. Tương tự ta được x = $ -
\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}$
Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {1; - \frac{{\sqrt 3 +
1}}{2}} \right\}$