CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về:
1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Phần 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Bài 1.

Giải các phương trình
a. ${x^{2011}} + x = 2$                b. ${x^2} + \sqrt {x - 1}  = 5$
Lời giải:
a. Đặt $f(x) = {x^{2011}} + x \Rightarrow f'(x) = 2011{x^{2010}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 2$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện $x \geqslant 1$ và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt $f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 1} $ với x > 1
$ \Rightarrow f'(x) = 2x + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} > 0,x > 1$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(2) = 5$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2.
Giải phương trình $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  = 4$    (1)
Lời giải
Điều kiện của phương trình $\frac{{7 - \sqrt {41} }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{7 + \sqrt {41} }}{2}$   (*)
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 = 0$
Xét $g(x) = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \frac{{1 + \frac{7}{{2\sqrt {x + 3} }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } }} > 0,\forall x \in (*)$
$ \Rightarrow $ g(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: g(1) = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài 3.
Giải các phương trình sau $\sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} = 4 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x = 4$
Xét $f(x) = \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x \Rightarrow f'(x) = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty } \right)$
Mặt khác: $f(1) = 4$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: $S = \left\{ 1 \right\}$

Bài 4.
Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Phương trình (1) được viết lại $\sqrt[3]{{x + 1 + 1}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Xét $f(t) = \sqrt[3]{{t + 1}} + \sqrt[3]{t} \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(t + 1)}^2}}}}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x + 1) = f(2{x^2}) \Rightarrow x + 1 = 2{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right.$

Bài 5.
Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1$
Xét $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 1 \Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: $f(2) = 0$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6.
Giải phương trình ${9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {3^x} > 0$
Phương trình trở thành ${t^2} + 2(x - 2)t + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(lo{\text{ai}})  \\
  t = 5 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0$
Xét $f(x) = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'(x) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7.
Giải phương trình $\sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16}  = 14$
Lời giải
Điều kiện của phương trình $x \geqslant 5$. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét $f(x) = \sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 5} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0,\forall x > 5$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $(5; + \infty )$
Mặt khác: $f(9) = 14$ nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8.
Giải phương trình $ - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {(x - 1)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - 2x + 1  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - x - (x - 1)  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {2^{x - 1}} + x - 1 = {2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\
\end{array} $
Xét $f(t) = {2^t} + t \Rightarrow f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x - 1) = f({x^2} - x) \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 9.
Giải phương trình ${25^x} - 2(3 - x){5^x} + 2x - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {5^x} > 0$. Phương trình trở thành ${t^2} - 2(3 - x)t + 2x - 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(l)  \\
  t = 7 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} + 2x - 7 = 0$
Xét $f(x) = {5^x} + 2x - 7 \Rightarrow f'(x) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 10.
Giải phương trình ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{x}) = {\log _7}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x \Leftrightarrow x = {7^t}$
Phương trình (1) trở thành ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{{{7^t}}}) = t \Leftrightarrow 1 + {7^{\frac{t}{3}}} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} = 1$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}.\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t}.\ln \frac{{\sqrt[3]{7}}}{3} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên $t = 3 \Leftrightarrow x = 343$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 11.
Giải phương trình ${\log _5}x = {\log _7}(x + 2)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x > 0$
Đặt $t = {\log _5}x \Leftrightarrow x = {5^t}$
Phương trình trở thành $t = {\log _7}({5^t} + 2) \Leftrightarrow {5^t} + 2 = {7^t} \Leftrightarrow {5^t} - {7^t} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 = 0$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}.\ln \frac{5}{7} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t}.\ln \frac{1}{7} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm nghịch biến trên R $ \Rightarrow $ phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phần 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài 1.

Giải bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  < 2\sqrt 3  + \sqrt {4 - x} $
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Bất phương trình được viết lại thành $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}  < 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} > 0,\forall x \in ( - 2;4)$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x) < f(1) \Leftrightarrow x < 1$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x < 1$

Bài 2.
Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant  - 2$
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = \sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 9} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3.
Giải bất phương trình ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13$
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant  - 2$
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = {3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 4} }}{3^{\sqrt {x + 4} }}.\ln 3 + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }}{2^{\sqrt {2x + 4} }}.\ln 2 > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có $x > 0$ là nghiệm của bất phương trình

Bài 4.
Giải bất phương trình ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x >  - 1$
Xét
$\begin{array}
  f(x) = {\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  = \frac{1}{2}{\log _2}(x + 1) + \frac{1}{2}{\log _3}(x + 9)  \\
   \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2(x + 1)\ln 2}} + \frac{1}{{2(x + 9)\ln 3}} > 0,\forall x >  - 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 1; + \infty )$
Ta có: ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Rightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5.
Giải bất phương trình sau $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 181 - 14x$  (1)
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant \frac{6}{7}$
(1)$ \Leftrightarrow $ $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  - 181 + 14x < 0$
Đặt $t = $$\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  \Rightarrow {t^2} = 14x + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} $      $(t \geqslant 0)$
Phương trình trở thành : ${t^2} + t - 182 < 0 \Leftrightarrow  - 14 < t < 13$  kết hợp điều kiện $(t \geqslant 0)$   
ta được $0 \leqslant t \leqslant 13 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  < 13$  (2); điều kiện $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Xét hàm $f(x) = \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {7x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {7x - 6} }} > 0\;\;;\forall x \in (\frac{6}{7}; + \infty )$  hàm số đồng biến trên $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Mặt khác $f(6) = 13$  nên $f(x) < 13 \Leftrightarrow x < 6$  vậy nghiệm của bất phương trình là  $\frac{6}{7} \leqslant x \leqslant 6$  hay  $x \in \left[ {\frac{6}{7}.6} \right)$

Bài 6.
Giải bất phương trình ${\log _7}x > {\log _3}(2 + \sqrt x )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x$
Phương trình (1) trở thành $t > {\log _3}\left( {2 + \sqrt {{7^t}} } \right) \Leftrightarrow 2 + {7^{\frac{t}{2}}} - {3^t} < 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0$
Xét $f(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t}\ln \frac{{\sqrt 7 }}{3} < 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f(2) = 0 nên $2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0 \Leftrightarrow f(t) < f(2) \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _7}x > 2 \Leftrightarrow x > 49$

Bài 7.
Giải bất phương trình $8{x^3} + 2x < (x + 2)\sqrt {x + 1} $
Lời giải:
Điều kiện $x \geqslant  - 1$
$\begin{array}
  (*) \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < (x + 1 + 1)\sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < {(\sqrt {x + 1} )^3} + \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f(2x) < f(\sqrt {x + 1} ),\,\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  4{x^2} < x + 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy bất phương trình có nghiệm $ - 1 \leqslant x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}$

Phần 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài 1.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}   \\
  {x^2} + {y^2} = 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải:
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}  \Leftrightarrow {x^3} + x = {(\sqrt {y + 1} )^3} + \sqrt {y + 1}   \\
   \Leftrightarrow f(x) = f(\sqrt {y + 1} ),\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
   \Leftrightarrow x = \sqrt {y + 1}   \\
\end{array} $
Thay $x = \sqrt {y + 1} $ vào (2) ta có: $y + 1 + {y^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  y = 0 \Rightarrow x = 1  \\
  y =  - 1 \Rightarrow x = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} - 3y = {y^3} - 3{\text{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(1)}}  \\
  {\text{2}}{{\text{x}}^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {x^3} + 3x = {y^3} + 3y$
Xét $f(t) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: ${x^3} + 3x = {y^3} + 3y \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau: $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2{x^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x =  \pm 2  \\
\end{array}  \right.$
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)

Bài 3.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
  \sqrt {y + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $ - 3 \leqslant x,y \leqslant 10$
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình $\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y} $
Xét hàm số $f(t) = \sqrt {t + 3}  - \sqrt {10 - t}  \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {10 - t} }} > 0,\forall t \in ( - 3;10)$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
$\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y}  \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 1  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Bài 4.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $x \ne 0,y \ne 0$
Xét  hàm số $f(t) = t - \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 0 \right\}$
Mặt khác: $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  {x^3} - 2x + 1 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1,x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm $x = y = 1,x = y = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Phần 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình
Bài 1.
Tìm m để phương trình $m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0$ có nghiệm $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]$
Lời giải:
$m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0 \Leftrightarrow m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) - ({x^2} - 2x) \leqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \geqslant 0 \Rightarrow t' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]$
$(*) \Rightarrow m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow {t^2} - m\left( {t + 1} \right) - 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}$
Xét $f(t) = \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}},1 \leqslant t \leqslant 2 \Rightarrow f'(t) = \frac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,1 \leqslant t \leqslant 2$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi $m \leqslant \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant x \leqslant 2} f(x) = f(1) =  - \frac{1}{2}$

Bài 2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm $x(x - 1) + 4(x - 1)\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Lời giải:
Điều kiện của phương trình $x \leqslant 0 \vee x \geqslant 1$
Với điều kiện trên thì $(*) \Leftrightarrow x(x - 1) + 4\sqrt {x(x - 1)}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$
Đặt $t = \sqrt {x(x - 1)} $, $t \geqslant 0$
Phương trình (**) trở thành ${t^2} + 4t - m = 0$ có nghiệm $t \geqslant 0$
Điều kiện trên được thỏa khi $m \geqslant  - 4$

Bài 3.
Tìm m để phương trình $2\sqrt {(x + 2)(4 - x)}  + {x^2} = 2x - m$ có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Đặt $t = \sqrt {(x + 2)(4 - x)} \,\,\,(0 \leqslant t \leqslant 3) \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x = {t^2} - 8$
Phương trình trở thành $2t = {t^2} - 8 - m$
$ \Leftrightarrow g(t) = {t^2} - 2t - 8 = m$
Phương trình có nghiệm khi $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t)$
Ta có: $g'(t) = 2t - 2$
$g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vẽ bảng biến thiên ta có
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \Leftrightarrow g(1) \leqslant m \leqslant g(3) \Leftrightarrow  - 9 \leqslant m \leqslant  - 5$

Chat chit và chém gió
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: L 6/2/2019 10:11:49 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: L 6/2/2019 10:11:49 PM
  • Bé Xíu: ghi đầy đủ 6/2/2019 10:12:00 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: rolling_on_the_floor thăng e ngâu 6/2/2019 10:12:02 PM
  • Bé Xíu: ui mẹ ui 6/2/2019 10:12:22 PM
  • Bé Xíu: vừa nhìn thấy con thằn lằn, giật thột 6/2/2019 10:12:32 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: bắt ăn đi cj 6/2/2019 10:12:46 PM
  • Bé Xíu: đến con gián cj cx sợ 6/2/2019 10:13:13 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: cj ơi cj thấy ng ấy của e đâu ko 6/2/2019 10:13:15 PM
  • Bé Xíu: ko e 6/2/2019 10:13:26 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: chạy đâu rồi ko biết nữa 6/2/2019 10:13:44 PM
  • Bé Xíu: Dũng chạy luôn r 6/2/2019 10:13:53 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: e đang kiếm ng của e 6/2/2019 10:14:25 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: kệ nó đi 6/2/2019 10:14:31 PM
  • ThỏConBốiRối: em làm việc nháu xíu @@ 6/2/2019 10:14:35 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: thôi thấy rồi 6/2/2019 10:15:02 PM
  • ThỏConBốiRối: 2 anh chị hợp nhau nhỉ :v 6/2/2019 10:15:04 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: ai vs ai? 6/2/2019 10:15:13 PM
  • Bé Xíu: laughing 6/2/2019 10:15:18 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:15:44 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @min là ai thế? 6/2/2019 10:16:01 PM
  • Minsoft: admin 6/2/2019 10:16:11 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:16:12 PM
  • ThỏConBốiRối: chị với anh =0) 6/2/2019 10:16:26 PM
  • ThỏConBốiRối: anh với chị rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:16:29 PM
  • Bé Xíu: anh chị nào e 6/2/2019 10:16:35 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @@ 6/2/2019 10:17:17 PM
  • ThỏConBốiRối: chị với anh đó rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:17:25 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @min là admin à 6/2/2019 10:17:31 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: kệ 1 6/2/2019 10:17:33 PM
  • Bé Xíu: có lẽ chết 6/2/2019 10:17:36 PM
  • Bé Xíu: cj vs nó hợp nhau cái j 6/2/2019 10:17:42 PM
  • ThỏConBốiRối: cứ gặp nhau là cãi nhau rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:18:07 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:18:17 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: chưa đập là may 6/2/2019 10:18:52 PM
  • ThỏConBốiRối: đập đi em hốt xác rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:19:18 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:21:40 PM
  • ThỏConBốiRối: tản cư đi hết rồi -_- 6/2/2019 10:26:49 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: thằng đồng chí t đâu rồi 6/2/2019 10:30:59 PM
  • ThỏConBốiRối: ra đi ra đi vì Tổ quốc rồi ạ rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:38:38 PM
  • Kiệt2003: hú hú hú mn 6/4/2019 8:25:50 PM
  • Kiệt2003: có ai k 6/4/2019 8:25:55 PM
  • Kiệt2003: hú hú 6/4/2019 8:25:56 PM
  • nguyencongluc82: hello 6/5/2019 11:08:40 PM
  • nguyencongluc82: Địt mẹ 6/5/2019 11:08:51 PM
  • nguyencongluc82: địt lồn 6/5/2019 11:09:56 PM
  • nguyencongluc82: ơ ghi được nè 6/5/2019 11:10:01 PM
  • nguyencongluc82: lồn , cặc 6/5/2019 11:10:09 PM
  • nguyencongluc82: Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước 6/5/2019 11:10:49 PM
  • nguyencongluc82: Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước 6/5/2019 11:10:53 PM
  • nguyencongluc82: link xvideo.com 6/5/2019 11:11:08 PM
  • ThỏConBốiRối: uầy 6/7/2019 8:00:43 PM
  • ThỏConBốiRối: lâu lắm mới thấy anh Kiệt 6/7/2019 8:00:48 PM
  • nguyentuyethoa9b: ơ .__. 6/7/2019 8:35:20 PM
  • Minsoft: big_grin 6/7/2019 9:31:46 PM
  • Go: big_grin 6/8/2019 10:45:56 AM
  • nguyenhnam6626: ban nao chi minh cach tinh xac suat cai 6/9/2019 9:51:53 AM
  • nguyenhnam6626: cach tren kho hieu wa~ 6/9/2019 9:52:14 AM
  • nguyenhnam6626: nail_biting 6/9/2019 9:52:24 AM
  • Minsoft: chào các cháu big_grin 6/10/2019 4:18:29 PM
  • Ruanyu Jian: big_grin 6/12/2019 3:40:04 PM
  • ๖ۣۜNắng(M): này 6/12/2019 3:42:26 PM
  • ๖ۣۜNắng(M): haz thôi bỏ đi 6/12/2019 3:43:03 PM
  • Ruanyu Jian: ơ 6/12/2019 3:47:40 PM
  • Ruanyu Jian: sao thế 6/12/2019 3:47:42 PM
  • Effort: Lâu k vào chẳng còn ai quen 6/13/2019 12:13:09 AM
  • 111aze: Làm thế nào để đăng ảnh vào được nhỉ? 6/15/2019 11:40:41 PM
  • 111aze: Còn ai sống không? 6/16/2019 7:15:44 PM
  • Thanh Nga: chấm chấm chấm 6/16/2019 8:11:58 PM
  • Thanh Nga: hỏi chấm happy 6/16/2019 8:12:02 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: fuck 6/16/2019 8:13:11 PM
  • Thanh Nga: ???? TÙNG 6/16/2019 8:14:39 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinhi c 6/16/2019 8:16:11 PM
  • Thanh Nga: chào em laughing) còn tưởng cb chửi nhau đến nơi rrolling_on_the_floor) 6/16/2019 8:16:58 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinc lớn r còn lên đây lm chi 6/16/2019 8:17:36 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) xem cn ai sống k thôi rolling_on_the_floor 6/16/2019 8:18:59 PM
  • Thanh Nga: e ns z thì thôi, cj lại off hôm khác lên chs tiếp 6/16/2019 8:19:23 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinhi 6/16/2019 8:21:57 PM
  • 111aze: ¬_¬ 6/16/2019 9:36:33 PM
  • Kiệt2003: hú hú mn 6/17/2019 8:22:20 AM
  • Thiên Bình: A N Y O N E A L I V E ? 6/17/2019 3:50:12 PM
  • Thiên Bình: surprise 6/17/2019 7:02:20 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:03 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:03 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:06 PM
  • admin123: Let x=asinθ⟹dx=acosθ dθ ∫a0x2a2−x2−−−−−−√ dx=∫π/20a2sin2θ(acosθwinking(acosθ dθwinking =a4∫π/20sin2θcos2θ dθ =a44∫π/20(2sinθcosθwinking2 dθ =a44∫π/20sin22θ dθ =a44∫π/201−cos4θ2 dθ =a48∫π/20(1−cos4θwinking dθ =a48(π2−0)=πa416 6/17/2019 8:57:35 PM
  • Thiên Bình: aaaaaaaa 6/17/2019 8:59:26 PM
  • admin123: ∫a0x2a2−x2−−−−−−√ dx=∫π/20a2sin2θ(acosθwinking(acosθ dθwinking =a4∫π/20sin2θcos2θ dθ =a44∫π/20(2sinθcosθwinking2 dθ =a44∫π/20sin22θ dθ =a44∫π/201−cos4θ2 dθ =a48∫π/20(1−cos4θwinking dθ =a48(π2−0)=πa416 6/17/2019 9:00:48 PM
  • Thiên Bình: Everyone's dead sad 6/17/2019 9:00:57 PM
  • Thiên Bình: oh, still a person alive 6/17/2019 9:01:16 PM
  • Thiên Bình: but he's very stupid sad 6/17/2019 9:01:32 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • B҉ãO҉-t҉ố҉
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • ☆☆Lãnh Hoàng Băng Ngọc ☆☆
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜNắng(M)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp
  • thulively
  • btquyen11a2
  • giangbap0388
  • trung3152003
  • ★.29.★