CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về:
1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Phần 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Bài 1.

Giải các phương trình
a. ${x^{2011}} + x = 2$                b. ${x^2} + \sqrt {x - 1}  = 5$
Lời giải:
a. Đặt $f(x) = {x^{2011}} + x \Rightarrow f'(x) = 2011{x^{2010}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 2$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện $x \geqslant 1$ và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt $f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 1} $ với x > 1
$ \Rightarrow f'(x) = 2x + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} > 0,x > 1$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(2) = 5$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2.
Giải phương trình $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  = 4$    (1)
Lời giải
Điều kiện của phương trình $\frac{{7 - \sqrt {41} }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{7 + \sqrt {41} }}{2}$   (*)
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 = 0$
Xét $g(x) = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \frac{{1 + \frac{7}{{2\sqrt {x + 3} }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } }} > 0,\forall x \in (*)$
$ \Rightarrow $ g(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: g(1) = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài 3.
Giải các phương trình sau $\sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} = 4 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x = 4$
Xét $f(x) = \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x \Rightarrow f'(x) = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty } \right)$
Mặt khác: $f(1) = 4$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: $S = \left\{ 1 \right\}$

Bài 4.
Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Phương trình (1) được viết lại $\sqrt[3]{{x + 1 + 1}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Xét $f(t) = \sqrt[3]{{t + 1}} + \sqrt[3]{t} \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(t + 1)}^2}}}}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x + 1) = f(2{x^2}) \Rightarrow x + 1 = 2{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right.$

Bài 5.
Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1$
Xét $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 1 \Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: $f(2) = 0$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6.
Giải phương trình ${9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {3^x} > 0$
Phương trình trở thành ${t^2} + 2(x - 2)t + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(lo{\text{ai}})  \\
  t = 5 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0$
Xét $f(x) = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'(x) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7.
Giải phương trình $\sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16}  = 14$
Lời giải
Điều kiện của phương trình $x \geqslant 5$. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét $f(x) = \sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 5} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0,\forall x > 5$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $(5; + \infty )$
Mặt khác: $f(9) = 14$ nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8.
Giải phương trình $ - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {(x - 1)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - 2x + 1  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - x - (x - 1)  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {2^{x - 1}} + x - 1 = {2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\
\end{array} $
Xét $f(t) = {2^t} + t \Rightarrow f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x - 1) = f({x^2} - x) \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 9.
Giải phương trình ${25^x} - 2(3 - x){5^x} + 2x - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {5^x} > 0$. Phương trình trở thành ${t^2} - 2(3 - x)t + 2x - 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(l)  \\
  t = 7 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} + 2x - 7 = 0$
Xét $f(x) = {5^x} + 2x - 7 \Rightarrow f'(x) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 10.
Giải phương trình ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{x}) = {\log _7}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x \Leftrightarrow x = {7^t}$
Phương trình (1) trở thành ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{{{7^t}}}) = t \Leftrightarrow 1 + {7^{\frac{t}{3}}} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} = 1$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}.\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t}.\ln \frac{{\sqrt[3]{7}}}{3} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên $t = 3 \Leftrightarrow x = 343$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 11.
Giải phương trình ${\log _5}x = {\log _7}(x + 2)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x > 0$
Đặt $t = {\log _5}x \Leftrightarrow x = {5^t}$
Phương trình trở thành $t = {\log _7}({5^t} + 2) \Leftrightarrow {5^t} + 2 = {7^t} \Leftrightarrow {5^t} - {7^t} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 = 0$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}.\ln \frac{5}{7} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t}.\ln \frac{1}{7} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm nghịch biến trên R $ \Rightarrow $ phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phần 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài 1.

Giải bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  < 2\sqrt 3  + \sqrt {4 - x} $
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Bất phương trình được viết lại thành $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}  < 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} > 0,\forall x \in ( - 2;4)$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x) < f(1) \Leftrightarrow x < 1$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x < 1$

Bài 2.
Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant  - 2$
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = \sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 9} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3.
Giải bất phương trình ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13$
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant  - 2$
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = {3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 4} }}{3^{\sqrt {x + 4} }}.\ln 3 + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }}{2^{\sqrt {2x + 4} }}.\ln 2 > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có $x > 0$ là nghiệm của bất phương trình

Bài 4.
Giải bất phương trình ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x >  - 1$
Xét
$\begin{array}
  f(x) = {\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  = \frac{1}{2}{\log _2}(x + 1) + \frac{1}{2}{\log _3}(x + 9)  \\
   \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2(x + 1)\ln 2}} + \frac{1}{{2(x + 9)\ln 3}} > 0,\forall x >  - 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 1; + \infty )$
Ta có: ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Rightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5.
Giải bất phương trình sau $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 181 - 14x$  (1)
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant \frac{6}{7}$
(1)$ \Leftrightarrow $ $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  - 181 + 14x < 0$
Đặt $t = $$\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  \Rightarrow {t^2} = 14x + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} $      $(t \geqslant 0)$
Phương trình trở thành : ${t^2} + t - 182 < 0 \Leftrightarrow  - 14 < t < 13$  kết hợp điều kiện $(t \geqslant 0)$   
ta được $0 \leqslant t \leqslant 13 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  < 13$  (2); điều kiện $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Xét hàm $f(x) = \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {7x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {7x - 6} }} > 0\;\;;\forall x \in (\frac{6}{7}; + \infty )$  hàm số đồng biến trên $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Mặt khác $f(6) = 13$  nên $f(x) < 13 \Leftrightarrow x < 6$  vậy nghiệm của bất phương trình là  $\frac{6}{7} \leqslant x \leqslant 6$  hay  $x \in \left[ {\frac{6}{7}.6} \right)$

Bài 6.
Giải bất phương trình ${\log _7}x > {\log _3}(2 + \sqrt x )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x$
Phương trình (1) trở thành $t > {\log _3}\left( {2 + \sqrt {{7^t}} } \right) \Leftrightarrow 2 + {7^{\frac{t}{2}}} - {3^t} < 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0$
Xét $f(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t}\ln \frac{{\sqrt 7 }}{3} < 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f(2) = 0 nên $2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0 \Leftrightarrow f(t) < f(2) \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _7}x > 2 \Leftrightarrow x > 49$

Bài 7.
Giải bất phương trình $8{x^3} + 2x < (x + 2)\sqrt {x + 1} $
Lời giải:
Điều kiện $x \geqslant  - 1$
$\begin{array}
  (*) \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < (x + 1 + 1)\sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < {(\sqrt {x + 1} )^3} + \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f(2x) < f(\sqrt {x + 1} ),\,\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  4{x^2} < x + 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy bất phương trình có nghiệm $ - 1 \leqslant x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}$

Phần 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài 1.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}   \\
  {x^2} + {y^2} = 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải:
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}  \Leftrightarrow {x^3} + x = {(\sqrt {y + 1} )^3} + \sqrt {y + 1}   \\
   \Leftrightarrow f(x) = f(\sqrt {y + 1} ),\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
   \Leftrightarrow x = \sqrt {y + 1}   \\
\end{array} $
Thay $x = \sqrt {y + 1} $ vào (2) ta có: $y + 1 + {y^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  y = 0 \Rightarrow x = 1  \\
  y =  - 1 \Rightarrow x = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} - 3y = {y^3} - 3{\text{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(1)}}  \\
  {\text{2}}{{\text{x}}^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {x^3} + 3x = {y^3} + 3y$
Xét $f(t) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: ${x^3} + 3x = {y^3} + 3y \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau: $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2{x^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x =  \pm 2  \\
\end{array}  \right.$
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)

Bài 3.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
  \sqrt {y + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $ - 3 \leqslant x,y \leqslant 10$
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình $\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y} $
Xét hàm số $f(t) = \sqrt {t + 3}  - \sqrt {10 - t}  \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {10 - t} }} > 0,\forall t \in ( - 3;10)$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
$\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y}  \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 1  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Bài 4.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $x \ne 0,y \ne 0$
Xét  hàm số $f(t) = t - \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 0 \right\}$
Mặt khác: $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  {x^3} - 2x + 1 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1,x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm $x = y = 1,x = y = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Phần 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình
Bài 1.
Tìm m để phương trình $m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0$ có nghiệm $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]$
Lời giải:
$m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0 \Leftrightarrow m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) - ({x^2} - 2x) \leqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \geqslant 0 \Rightarrow t' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]$
$(*) \Rightarrow m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow {t^2} - m\left( {t + 1} \right) - 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}$
Xét $f(t) = \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}},1 \leqslant t \leqslant 2 \Rightarrow f'(t) = \frac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,1 \leqslant t \leqslant 2$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi $m \leqslant \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant x \leqslant 2} f(x) = f(1) =  - \frac{1}{2}$

Bài 2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm $x(x - 1) + 4(x - 1)\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Lời giải:
Điều kiện của phương trình $x \leqslant 0 \vee x \geqslant 1$
Với điều kiện trên thì $(*) \Leftrightarrow x(x - 1) + 4\sqrt {x(x - 1)}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$
Đặt $t = \sqrt {x(x - 1)} $, $t \geqslant 0$
Phương trình (**) trở thành ${t^2} + 4t - m = 0$ có nghiệm $t \geqslant 0$
Điều kiện trên được thỏa khi $m \geqslant  - 4$

Bài 3.
Tìm m để phương trình $2\sqrt {(x + 2)(4 - x)}  + {x^2} = 2x - m$ có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Đặt $t = \sqrt {(x + 2)(4 - x)} \,\,\,(0 \leqslant t \leqslant 3) \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x = {t^2} - 8$
Phương trình trở thành $2t = {t^2} - 8 - m$
$ \Leftrightarrow g(t) = {t^2} - 2t - 8 = m$
Phương trình có nghiệm khi $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t)$
Ta có: $g'(t) = 2t - 2$
$g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vẽ bảng biến thiên ta có
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \Leftrightarrow g(1) \leqslant m \leqslant g(3) \Leftrightarrow  - 9 \leqslant m \leqslant  - 5$

Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜSadღ: kệ 2/17/2018 9:52:51 PM
  • ๖ۣۜSadღ: t mun nghe thử 2/17/2018 9:52:55 PM
  • ๖ۣۜCold: chậc 2/17/2018 9:53:00 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ô bit ns tiếng ngoài bắc k 2/17/2018 9:53:03 PM
  • ๖ۣۜSadღ: viết đc cơ mà 2/17/2018 9:53:09 PM
  • ๖ۣۜCold: viế dc 2/17/2018 9:53:18 PM
  • ๖ۣۜCold: ns ko dc 2/17/2018 9:53:22 PM
  • ๖ۣۜSadღ: winking thế kệ 2 ph 2/17/2018 9:53:31 PM
  • ๖ۣۜCold: là s 2/17/2018 9:55:36 PM
  • ๖ۣۜSadღ: 2 ph thôii 2/17/2018 9:56:01 PM
  • ๖ۣۜSadღ: pleasssss 2/17/2018 9:56:07 PM
  • ๖ۣۜCold: chậc 2/17/2018 9:56:56 PM
  • ๖ۣۜCold: để coi thử 2/17/2018 9:57:00 PM
  • ๖ۣۜCold: mai t cũng đi chơi vs lớp 2/17/2018 9:57:11 PM
  • ๖ۣۜCold: có gì sớm sớm 2/17/2018 9:57:22 PM
  • ๖ۣۜSadღ: thế ak 2/17/2018 9:59:29 PM
  • ๖ۣۜSadღ: sg rồi 2/17/2018 9:59:30 PM
  • ๖ۣۜSadღ: lũ banjt chưa có thông tin j~~~ 2/17/2018 9:59:37 PM
  • ๖ۣۜCold: thôi t out đây 2/17/2018 9:59:55 PM
  • ๖ۣۜCold: mai call 2/17/2018 10:00:14 PM
  • ๖ۣۜCold: sớm tý nha bà 2/17/2018 10:00:14 PM
  • ๖ۣۜCold: 7h :v 2/17/2018 10:00:30 PM
  • ๖ۣۜSadღ: ngủ ak 2/17/2018 10:00:51 PM
  • ๖ۣۜCold: lượn lát r ngủ 2/17/2018 10:01:02 PM
  • ๖ۣۜCold: 7h nhé 2/17/2018 10:01:12 PM
  • ๖ۣۜCold: 8h tụi t đi r 2/17/2018 10:01:21 PM
  • ๖ۣۜSadღ: uk 2/17/2018 10:01:39 PM
  • ๖ۣۜCold: yep 2/17/2018 10:01:47 PM
  • ๖ۣۜSadღ: big_grin 2/17/2018 10:01:47 PM
  • ๖ۣۜSadღ: Bye ô 2/17/2018 10:01:50 PM
  • ๖ۣۜSadღ: tí nnmm 2/17/2018 10:01:53 PM
  • ๖ۣۜCold: à mà call video à 2/17/2018 10:01:56 PM
  • ๖ۣۜCold: hay call thường 2/17/2018 10:02:06 PM
  • ๖ۣۜCold: bên face ế 2/17/2018 10:02:46 PM
  • ๖ۣۜSadღ: video nhìn mẹt lun big_grin 2/17/2018 10:02:51 PM
  • ๖ۣۜCold: yep 2/17/2018 10:03:02 PM
  • ๖ۣۜCold: thôi bye bà 2/17/2018 10:03:06 PM
  • ๖ۣۜCold: lát ngủ ngon 2/17/2018 10:03:09 PM
  • ๖ۣۜSadღ: wave 2/17/2018 10:03:18 PM
  • ๖ۣۜSadღ: hề hề big_grin 2/17/2018 10:03:18 PM
  • phuong19: coffee 2/17/2018 10:27:16 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: có ai? 2/17/2018 10:32:27 PM
  • phuong19:2/17/2018 10:33:53 PM
  • haquang: hello mn 2/17/2018 10:58:20 PM
  • haquang: có ai k ạ 2/17/2018 10:58:27 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: Happy new year !!! <3 <3 <3 2/18/2018 2:34:06 PM
  • KTT: / 2/18/2018 8:44:51 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): straight_face 2/18/2018 9:55:22 PM
  • Nero: peace_sign 2/18/2018 9:58:03 PM
  • hoangtranhophi: cho tam giác ABC cân tại A có diện tích bằng 2 .phương trình tổng quát AB: x-y=0 ; tọađộ trung điểm BC là M(2,1). Tìm tọa độ của các đỉnh A,B,C 2/19/2018 2:34:34 PM
  • Gia Kiệt : . 2/19/2018 8:08:38 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): . 2/19/2018 8:29:12 PM
  • 111222: laughing 2/19/2018 8:33:14 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: ! 2/19/2018 8:33:22 PM
  • 111222: chán nhỉ 2/19/2018 8:34:50 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: ukm tết trên này chắn lắm 2/19/2018 8:35:18 PM
  • 111222: uk k một ai 2/19/2018 8:35:29 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: có nè 2/19/2018 8:36:36 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: 2 ng! 2/19/2018 8:36:39 PM
  • 111222: ak uk có m và t 2/19/2018 8:38:57 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: straight_face mà u là ai? 2/19/2018 8:39:46 PM
  • 111222: :0 2/19/2018 8:46:55 PM
  • 111222: m k biết t đâu 2/19/2018 8:47:03 PM
  • abcdef1234: quên thôi 2/19/2018 8:48:11 PM
  • haquang: hello mn 2/19/2018 8:51:09 PM
  • abcdef1234: chào Hà 2/19/2018 8:52:48 PM
  • haquang: abcdef1234 laf ai aj 2/19/2018 8:57:24 PM
  • haquang: là ai ạ 2/19/2018 8:57:36 PM
  • abcdef1234: là người quen 2/19/2018 8:58:56 PM
  • haquang: tên j ạ 2/19/2018 8:59:58 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: tên này nè! 2/19/2018 9:01:51 PM
  • haquang: thì ra là a lúc đầu e nghĩ là girl 2/19/2018 9:05:22 PM
  • abcdef1234: straight_face 2/19/2018 9:07:37 PM
  • abcdef1234: tết vui chứ e 2/19/2018 9:07:53 PM
  • haquang: vui aj 2/19/2018 9:08:48 PM
  • abcdef1234: nhiều tiền lì xì ko? 2/19/2018 9:09:58 PM
  • haquang: dạ cx bình thg ạ 2/19/2018 9:11:31 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): . 2/19/2018 9:11:59 PM
  • abcdef1234: chắc dăm chục triệu nhỉ 2/19/2018 9:12:03 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST):2/19/2018 9:12:26 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): đâu hết r 2/19/2018 9:13:14 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): nãy đông vui lắm mak 2/19/2018 9:13:21 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): . 2/19/2018 9:17:53 PM
  • haquang: hello atr 2/19/2018 9:25:32 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: đông khỉ 2/19/2018 9:25:53 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: đc 2 hay 3 đứa 2/19/2018 9:26:00 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: đông méo j 2/19/2018 9:26:03 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): còn đông hơn mấy bữa trc 2/19/2018 9:26:25 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: straight_face 2/19/2018 9:26:55 PM
  • haquang: chẳng đông j cả h ở đây chán lắm a 2/19/2018 9:27:17 PM
  • haquang: vào za nc đi atr 2/19/2018 9:27:31 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): đang ở đó đó e 2/19/2018 9:29:09 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): chán 2/19/2018 9:29:12 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: za là j? 2/19/2018 9:29:19 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): zalo 2/19/2018 9:29:37 PM
  • ๖ۣۜCrush(๖ۣۜST): tự hiểu đi 2/19/2018 9:29:42 PM
  • :(( cố quên sao ko quên đc!: à 2/19/2018 9:29:46 PM
  • eeeee: rolling_on_the_floor 2/19/2018 9:32:08 PM
  • eeeee: at_wits_endmoney_eyesaliencoffeethinkingbig_gringood_lucklaughinghiro 2/19/2018 9:33:01 PM
  • abcdef1234: ai kia 2/19/2018 9:34:51 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • KTT
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Quỳnh Aka
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Linh (~miu~)
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • naxinhdep
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • admin
  • skud2003
  • Zidane