CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về:
1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Phần 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Bài 1.

Giải các phương trình
a. ${x^{2011}} + x = 2$                b. ${x^2} + \sqrt {x - 1}  = 5$
Lời giải:
a. Đặt $f(x) = {x^{2011}} + x \Rightarrow f'(x) = 2011{x^{2010}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 2$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện $x \geqslant 1$ và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt $f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 1} $ với x > 1
$ \Rightarrow f'(x) = 2x + \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} > 0,x > 1$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: $f(2) = 5$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2.
Giải phương trình $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  = 4$    (1)
Lời giải
Điều kiện của phương trình $\frac{{7 - \sqrt {41} }}{2} \leqslant x \leqslant \frac{{7 + \sqrt {41} }}{2}$   (*)
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 = 0$
Xét $g(x) = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {x + \sqrt {7x + 2} }  - 4 \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 3} }} + \frac{{1 + \frac{7}{{2\sqrt {x + 3} }}}}{{2\sqrt {x + \sqrt {7x + 2} } }} > 0,\forall x \in (*)$
$ \Rightarrow $ g(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: g(1) = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài 3.
Giải các phương trình sau $\sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} = 4 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện: $x \geqslant \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x = 4$
Xét $f(x) = \sqrt {5{x^3} - 1}  + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x \Rightarrow f'(x) = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}}} + 1 > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty } \right)$
Mặt khác: $f(1) = 4$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: $S = \left\{ 1 \right\}$

Bài 4.
Giải phương trình $\sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Phương trình (1) được viết lại $\sqrt[3]{{x + 1 + 1}} + \sqrt[3]{{x + 1}} = \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + \sqrt[3]{{2{x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Xét $f(t) = \sqrt[3]{{t + 1}} + \sqrt[3]{t} \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(t + 1)}^2}}}}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}} > 0$
$ \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x + 1) = f(2{x^2}) \Rightarrow x + 1 = 2{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right.$

Bài 5.
Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = {5^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1$
Xét $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} - 1 \Rightarrow f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: $f(2) = 0$ nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6.
Giải phương trình ${9^x} + 2(x - 2){3^x} + 2x - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {3^x} > 0$
Phương trình trở thành ${t^2} + 2(x - 2)t + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(lo{\text{ai}})  \\
  t = 5 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} = 5 - 2x \Leftrightarrow {3^x} + 2x - 5 = 0$
Xét $f(x) = {3^x} + 2x - 5 \Rightarrow f'(x) = {3^x}\ln 3 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7.
Giải phương trình $\sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16}  = 14$
Lời giải
Điều kiện của phương trình $x \geqslant 5$. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét $f(x) = \sqrt x  + \sqrt {x - 5}  + \sqrt {x + 7}  + \sqrt {x + 16} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 5} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0,\forall x > 5$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $(5; + \infty )$
Mặt khác: $f(9) = 14$ nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8.
Giải phương trình $ - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {(x - 1)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - 2x + 1  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  - {2^{{x^2} - x}} + {2^{x - 1}} = {x^2} - x - (x - 1)  \\
  \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {2^{x - 1}} + x - 1 = {2^{{x^2} - x}} + {x^2} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\
\end{array} $
Xét $f(t) = {2^t} + t \Rightarrow f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x - 1) = f({x^2} - x) \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 9.
Giải phương trình ${25^x} - 2(3 - x){5^x} + 2x - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Đặt $t = {5^x} > 0$. Phương trình trở thành ${t^2} - 2(3 - x)t + 2x - 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(l)  \\
  t = 7 - 2x  \\
\end{array}  \right.$
Với $t = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} = 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} + 2x - 7 = 0$
Xét $f(x) = {5^x} + 2x - 7 \Rightarrow f'(x) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 10.
Giải phương trình ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{x}) = {\log _7}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x \Leftrightarrow x = {7^t}$
Phương trình (1) trở thành ${\log _2}(1 + \sqrt[3]{{{7^t}}}) = t \Leftrightarrow 1 + {7^{\frac{t}{3}}} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} = 1$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}.\ln \frac{1}{2} + {\left( {\frac{{\sqrt[3]{7}}}{3}} \right)^t}.\ln \frac{{\sqrt[3]{7}}}{3} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên $t = 3 \Leftrightarrow x = 343$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 11.
Giải phương trình ${\log _5}x = {\log _7}(x + 2)$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x > 0$
Đặt $t = {\log _5}x \Leftrightarrow x = {5^t}$
Phương trình trở thành $t = {\log _7}({5^t} + 2) \Leftrightarrow {5^t} + 2 = {7^t} \Leftrightarrow {5^t} - {7^t} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 = 0$
Xét $f(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t}.\ln \frac{5}{7} + 2{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t}.\ln \frac{1}{7} < 0,\forall t$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm nghịch biến trên R $ \Rightarrow $ phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: $f(1) = 0$ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phần 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài 1.

Giải bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  < 2\sqrt 3  + \sqrt {4 - x} $
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Bất phương trình được viết lại thành $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x}  < 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16}  - \sqrt {4 - x} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} > 0,\forall x \in ( - 2;4)$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f(x) < f(1) \Leftrightarrow x < 1$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $ - 2 \leqslant x < 1$

Bài 2.
Giải bất phương trình $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x \geqslant  - 2$
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = \sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 9} }} + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: $\sqrt {x + 9}  + \sqrt {2x + 4}  > 5 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3.
Giải bất phương trình ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13$
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant  - 2$
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét $f(x) = {3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 4} }}{3^{\sqrt {x + 4} }}.\ln 3 + \frac{1}{{\sqrt {2x + 4} }}{2^{\sqrt {2x + 4} }}.\ln 2 > 0,\forall x >  - 2$
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 2; + \infty )$
Mặt khác: ${3^{\sqrt {x + 4} }} + {2^{\sqrt {2x + 4} }} > 13 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Leftrightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có $x > 0$ là nghiệm của bất phương trình

Bài 4.
Giải bất phương trình ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $x >  - 1$
Xét
$\begin{array}
  f(x) = {\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  = \frac{1}{2}{\log _2}(x + 1) + \frac{1}{2}{\log _3}(x + 9)  \\
   \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2(x + 1)\ln 2}} + \frac{1}{{2(x + 9)\ln 3}} > 0,\forall x >  - 1  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ f(x) là hàm số đồng biến trên $( - 1; + \infty )$
Ta có: ${\log _2}\sqrt {x + 1}  + {\log _3}\sqrt {x + 9}  > 1 \Leftrightarrow f(x) > f(0) \Rightarrow x > 0$
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5.
Giải bất phương trình sau $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  < 181 - 14x$  (1)
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình $x \geqslant \frac{6}{7}$
(1)$ \Leftrightarrow $ $\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42}  - 181 + 14x < 0$
Đặt $t = $$\sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  \Rightarrow {t^2} = 14x + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} $      $(t \geqslant 0)$
Phương trình trở thành : ${t^2} + t - 182 < 0 \Leftrightarrow  - 14 < t < 13$  kết hợp điều kiện $(t \geqslant 0)$   
ta được $0 \leqslant t \leqslant 13 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6}  < 13$  (2); điều kiện $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Xét hàm $f(x) = \sqrt {7x + 7}  + \sqrt {7x - 6} $
$ \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {7x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {7x - 6} }} > 0\;\;;\forall x \in (\frac{6}{7}; + \infty )$  hàm số đồng biến trên $x \in \left[ {\frac{6}{7}; + \infty } \right)$
Mặt khác $f(6) = 13$  nên $f(x) < 13 \Leftrightarrow x < 6$  vậy nghiệm của bất phương trình là  $\frac{6}{7} \leqslant x \leqslant 6$  hay  $x \in \left[ {\frac{6}{7}.6} \right)$

Bài 6.
Giải bất phương trình ${\log _7}x > {\log _3}(2 + \sqrt x )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt $t = {\log _7}x$
Phương trình (1) trở thành $t > {\log _3}\left( {2 + \sqrt {{7^t}} } \right) \Leftrightarrow 2 + {7^{\frac{t}{2}}} - {3^t} < 0 \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0$
Xét $f(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 \Rightarrow f'(t) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t}\ln \frac{{\sqrt 7 }}{3} < 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f(2) = 0 nên $2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^t} + {\left( {\frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)^t} - 1 < 0 \Leftrightarrow f(t) < f(2) \Rightarrow t > 2 \Leftrightarrow {\log _7}x > 2 \Leftrightarrow x > 49$

Bài 7.
Giải bất phương trình $8{x^3} + 2x < (x + 2)\sqrt {x + 1} $
Lời giải:
Điều kiện $x \geqslant  - 1$
$\begin{array}
  (*) \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < (x + 1 + 1)\sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < {(\sqrt {x + 1} )^3} + \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f(2x) < f(\sqrt {x + 1} ),\,\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1}   \\
  \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  4{x^2} < x + 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x < 0  \\
  \left\{ \begin{array}
  x \geqslant 0  \\
  0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy bất phương trình có nghiệm $ - 1 \leqslant x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}$

Phần 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài 1.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}   \\
  {x^2} + {y^2} = 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải:
$\begin{array}
  (1) \Leftrightarrow {x^3} + x = (y + 2)\sqrt {y + 1}  \Leftrightarrow {x^3} + x = {(\sqrt {y + 1} )^3} + \sqrt {y + 1}   \\
   \Leftrightarrow f(x) = f(\sqrt {y + 1} ),\,\,f(t) = {t^3} + t  \\
   \Leftrightarrow x = \sqrt {y + 1}   \\
\end{array} $
Thay $x = \sqrt {y + 1} $ vào (2) ta có: $y + 1 + {y^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  y = 0 \Rightarrow x = 1  \\
  y =  - 1 \Rightarrow x = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  {x^3} - 3y = {y^3} - 3{\text{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{(1)}}  \\
  {\text{2}}{{\text{x}}^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
$(1) \Leftrightarrow {x^3} + 3x = {y^3} + 3y$
Xét $f(t) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'(t) = 3{t^2} + 3 > 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: ${x^3} + 3x = {y^3} + 3y \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau: $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2{x^2} - {y^2} = 4  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x =  \pm 2  \\
\end{array}  \right.$
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)

Bài 3.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
  \sqrt {y + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $ - 3 \leqslant x,y \leqslant 10$
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình $\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y} $
Xét hàm số $f(t) = \sqrt {t + 3}  - \sqrt {10 - t}  \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {t + 3} }} + \frac{1}{{2\sqrt {10 - t} }} > 0,\forall t \in ( - 3;10)$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
$\sqrt {x + 3}  - \sqrt {10 - x}  = \sqrt {y + 3}  - \sqrt {10 - y}  \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - y}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 1  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Bài 4.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình $x \ne 0,y \ne 0$
Xét  hàm số $f(t) = t - \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 + \frac{1}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 0 \right\}$
Mặt khác: $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \Leftrightarrow f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Ta được hệ phương trình như sau $\left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  2y = {x^3} + 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  {x^3} - 2x + 1 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = y  \\
  x = 1,x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}  \\
\end{array}  \right.$
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm $x = y = 1,x = y = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Phần 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình
Bài 1.
Tìm m để phương trình $m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0$ có nghiệm $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]$
Lời giải:
$m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) + x(2 - x) \leqslant 0 \Leftrightarrow m(\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1) - ({x^2} - 2x) \leqslant 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \geqslant 0 \Rightarrow t' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]$
$(*) \Rightarrow m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow {t^2} - m\left( {t + 1} \right) - 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}$
Xét $f(t) = \frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}},1 \leqslant t \leqslant 2 \Rightarrow f'(t) = \frac{{{t^2} + 2t + 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,1 \leqslant t \leqslant 2$
$ \Rightarrow $ f(t) là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi $m \leqslant \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant x \leqslant 2} f(x) = f(1) =  - \frac{1}{2}$

Bài 2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm $x(x - 1) + 4(x - 1)\sqrt {\frac{x}{{x - 1}}}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Lời giải:
Điều kiện của phương trình $x \leqslant 0 \vee x \geqslant 1$
Với điều kiện trên thì $(*) \Leftrightarrow x(x - 1) + 4\sqrt {x(x - 1)}  = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$
Đặt $t = \sqrt {x(x - 1)} $, $t \geqslant 0$
Phương trình (**) trở thành ${t^2} + 4t - m = 0$ có nghiệm $t \geqslant 0$
Điều kiện trên được thỏa khi $m \geqslant  - 4$

Bài 3.
Tìm m để phương trình $2\sqrt {(x + 2)(4 - x)}  + {x^2} = 2x - m$ có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Đặt $t = \sqrt {(x + 2)(4 - x)} \,\,\,(0 \leqslant t \leqslant 3) \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x = {t^2} - 8$
Phương trình trở thành $2t = {t^2} - 8 - m$
$ \Leftrightarrow g(t) = {t^2} - 2t - 8 = m$
Phương trình có nghiệm khi $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t)$
Ta có: $g'(t) = 2t - 2$
$g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Vẽ bảng biến thiên ta có
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \leqslant m \leqslant \mathop {\operatorname{m} a{\text{x}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} g(t) \Leftrightarrow g(1) \leqslant m \leqslant g(3) \Leftrightarrow  - 9 \leqslant m \leqslant  - 5$

Chat chit và chém gió
  • Thanh Nga: Nghỉ muộn nhỉlaughing cố lên mấy năm nữa là đc nghỉ sớm 1/19/2019 10:32:17 PM
  • Kiệt2003: Há vâng ạ 1/19/2019 10:34:41 PM
  • lucia: hi 1/20/2019 7:28:58 AM
  • lucia: dũng ơi thấy thì oline nhé 1/20/2019 7:29:17 AM
  • laitridung2004: có ai biết bổ đề hay tiên đề nào về số nghiệm của đa thức không, chỉ mình với 1/20/2019 7:36:30 AM
  • lucia: hi 1/20/2019 8:31:07 AM
  • lucia: dũng ơi 1/20/2019 8:31:26 AM
  • laitridung2004: hú? 1/20/2019 1:30:07 PM
  • laitridung2004: có ai xem Vn á không ^_^ 1/20/2019 8:29:59 PM
  • Kiệt2003: Hú mn 1/20/2019 8:55:20 PM
  • laitridung2004: hi :v 1/20/2019 8:55:48 PM
  • laitridung2004: ông có xem VN đá không :v 1/20/2019 8:55:57 PM
  • Kiệt2003: Có à 1/20/2019 8:57:39 PM
  • laitridung2004: hay nhỉ? 1/20/2019 8:57:59 PM
  • Kiệt2003: Hay phết đó 1/20/2019 8:59:51 PM
  • laitridung2004: thấy Minh Vương sút là tui biết không có kq rồi :v 1/20/2019 9:00:48 PM
  • Kiệt2003: Hí mặt bơ phờ quá 1/20/2019 9:01:09 PM
  • Kiệt2003: Bị thủ môn đoán hướng bóng rồi 1/20/2019 9:01:30 PM
  • laitridung2004: cơ mà đơn giản quá 1/20/2019 9:01:38 PM
  • laitridung2004: mà quả Lâm đẩy đẹp thật 1/20/2019 9:01:48 PM
  • Kiệt2003: Công nhận 1/20/2019 9:02:05 PM
  • laitridung2004: tui thấy người có công lớn nhất là Phượng với Hoàng 1/20/2019 9:02:38 PM
  • laitridung2004: Phượng ở hàng công thì mình đá mạnh, ép sân nó 1/20/2019 9:02:53 PM
  • Kiệt2003: Um 1/20/2019 9:03:08 PM
  • laitridung2004: Mà Hoàng thủ chắc mà tgia tấn công cx hay 1/20/2019 9:03:11 PM
  • Kiệt2003: Hí ai cũng có công mà 1/20/2019 9:03:43 PM
  • laitridung2004: chuẩn :v 1/20/2019 9:03:57 PM
  • laitridung2004: ông đoán trận Thái Lan như nào? 1/20/2019 9:04:12 PM
  • Kiệt2003: Hnay vn đá hay mà 1/20/2019 9:04:19 PM
  • Kiệt2003: Thái thì có thể đó 1/20/2019 9:05:00 PM
  • laitridung2004: tui thấy Trung Quốc đá hay hơn 1/20/2019 9:05:09 PM
  • laitridung2004: hơi lo cho đại diện còn lại của ĐNA 1/20/2019 9:05:20 PM
  • Kiệt2003: Ừm bị đi gần hết rùi 1/20/2019 9:06:13 PM
  • laitridung2004: có 3 người thôi mà :v 1/20/2019 9:06:37 PM
  • laitridung2004: 1 thằng đi từ vòng đầu rồi :v 1/20/2019 9:06:58 PM
  • laitridung2004: Thái Lan mà thắng thì hay quá 1/20/2019 9:08:01 PM
  • Kiệt2003: Um 1/20/2019 9:08:39 PM
  • laitridung2004: mà ông học chuyên gì thế? 1/20/2019 9:09:19 PM
  • Kiệt2003: Toán ,lý ,anh 1/20/2019 9:10:02 PM
  • Kiệt2003: Hoá nữa 1/20/2019 9:10:07 PM
  • laitridung2004: chuyên tận 4 môn á :v 1/20/2019 9:10:53 PM
  • Kiệt2003: Um 1/20/2019 9:11:03 PM
  • Kiệt2003: Đg phải học hết 1/20/2019 9:11:11 PM
  • laitridung2004: thế ông môn nào giỏi nhất 1/20/2019 9:11:28 PM
  • Kiệt2003: Chắc là toán à 1/20/2019 9:11:45 PM
  • laitridung2004: giống tui :v 1/20/2019 9:11:56 PM
  • laitridung2004: mà ông thấy Sinh như nào? 1/20/2019 9:12:05 PM
  • laitridung2004: tui thấy nó giống Toán sao ấy 1/20/2019 9:12:18 PM
  • Kiệt2003: Haiz tui học kém sinh lắm 1/20/2019 9:13:35 PM
  • Linh Lê Thùy: ... 1/20/2019 9:13:56 PM
  • laitridung2004: từ năm lớp 9 hả? 1/20/2019 9:13:57 PM
  • Kiệt2003: Um 1/20/2019 9:15:44 PM
  • Kiệt2003: Hi linh nhá 1/20/2019 9:15:49 PM
  • Linh Lê Thùy: hình như ở đây ko có ng e cần gặp thì p ==' 1/20/2019 9:16:18 PM
  • laitridung2004: mình nhờ tí bạn ơi :v 1/20/2019 9:16:28 PM
  • Kiệt2003: Hí linh ơi 1/20/2019 9:16:42 PM
  • Linh Lê Thùy: nhờ j v bạn :v 1/20/2019 9:16:47 PM
  • laitridung2004: bạn quên chưa cho mình biết về bổ đề số nghiệm của phương trình á :v 1/20/2019 9:16:50 PM
  • Linh Lê Thùy: mk ngại gửi lém :v 1/20/2019 9:17:09 PM
  • Kiệt2003:1/20/2019 9:17:16 PM
  • laitridung2004: hì :v 1/20/2019 9:17:21 PM
  • laitridung2004: cơ mà tên là gì để mình tìm :v 1/20/2019 9:17:41 PM
  • Linh Lê Thùy: tìm j bạn :v 1/20/2019 9:17:55 PM
  • laitridung2004: tìm bổ đề đấy á :v 1/20/2019 9:18:03 PM
  • Linh Lê Thùy: bổ đề ấy bạn ko tìm đc đâu :v 1/20/2019 9:18:28 PM
  • laitridung2004: tự sáng chế à :v 1/20/2019 9:18:36 PM
  • Linh Lê Thùy: thầy mk ko lấy trên mạng :v 1/20/2019 9:18:41 PM
  • laitridung2004: ... 1/20/2019 9:18:53 PM
  • laitridung2004: không biết nói sao luôn @@ 1/20/2019 9:19:05 PM
  • laitridung2004: mà bạn ghi cho mình công thức chính thôi cũng được 1/20/2019 9:19:21 PM
  • Linh Lê Thùy: hok chuyên toán thì chủ yếu mk học hình nh hơn đại nên bổ đề rất ít :v 1/20/2019 9:19:48 PM
  • laitridung2004: mình dốt đặc hình nên chỉ chăm học số thôi à :v 1/20/2019 9:20:25 PM
  • ๖ۣۜAlone: straight_face 1/20/2019 9:20:37 PM
  • Linh Lê Thùy: học hình dễ hơn bn ơi 1/20/2019 9:20:41 PM
  • laitridung2004: mình thấy hình nó cứ khó như nào ấy 1/20/2019 9:21:01 PM
  • laitridung2004: mình nhìn cái hình xong chẳng biết làm như nào @@ 1/20/2019 9:21:10 PM
  • Linh Lê Thùy: đại khó hơn mà 1/20/2019 9:21:14 PM
  • laitridung2004: mình thấy đại dễ hơn mà :v 1/20/2019 9:22:12 PM
  • laitridung2004: chắc do hồi lớp 8 thấy giỏi hình nên lơ là xong năm nay nát :v 1/20/2019 9:22:28 PM
  • Linh Lê Thùy: đại nh công thức nhớ ko nổi :v 1/20/2019 9:22:39 PM
  • laitridung2004: có mỗi bđt là phải nhớ nhiều thôi mà ^_^ 1/20/2019 9:23:26 PM
  • Linh Lê Thùy: nhưng hok ko vào 1/20/2019 9:23:36 PM
  • laitridung2004: mình học hình cũng thế @@ 1/20/2019 9:23:45 PM
  • Linh Lê Thùy: vs lại thi hình điểm cao mà 1/20/2019 9:23:50 PM
  • laitridung2004: tâm 4- 8 điểm thì phải 1/20/2019 9:24:00 PM
  • Linh Lê Thùy: uk cao vậy hok hình lấy đc điểm nh hơn 1/20/2019 9:24:20 PM
  • laitridung2004: mà học chắc đại được tận 12 điểm mà :v 1/20/2019 9:24:34 PM
  • laitridung2004: Mong đề thi vào 10 năm nay hình dễ để mình thoát nạn 1/20/2019 9:25:01 PM
  • Linh Lê Thùy: 12 điểm có lấy chọn vẹn đc ko? 1/20/2019 9:25:17 PM
  • laitridung2004:1/20/2019 9:25:36 PM
  • laitridung2004: có lần đi thi mình được tận 14 điểm đại á 1/20/2019 9:25:46 PM
  • laitridung2004: mà chẳng được điểm hình nào -_- 1/20/2019 9:25:52 PM
  • Linh Lê Thùy: lần khác ns chx nhé off ây 1/20/2019 9:26:27 PM
  • laitridung2004:1/20/2019 9:26:33 PM
  • laitridung2004: chào :v 1/20/2019 9:26:35 PM
  • laitridung2004:1/21/2019 12:09:05 PM
  • lucia: hi 1/21/2019 8:26:12 PM
  • lucia: dũng ơi 1/21/2019 8:26:39 PM
  • laitridung2004: hú hú 1/21/2019 9:35:09 PM
  • quantran2112002: hello 1/22/2019 9:45:54 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp