PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ chính:
1. Đặt ẩn phụ thông thường
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Phương pháp thứ 4 sẽ được tách riêng ra một chuyên đề riêng: “Chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình”

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Phương pháp:

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng  ta có thể đặt $t = f\left( x \right)$  và chú ý điều kiện của $t$nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến $t$quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo $t$ thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn $t = f\left( x \right)$  thường là những phương trình dễ .

Bài 1:
Giải phương trình: $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} }  + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 2$
Giải:
Đk: $x \geqslant 1$
Nhận xét. $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } .\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 1$
Đặt $t = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } $ thì phương trình có dạng: $t + \frac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow t = 1$
Thay vào  tìm được $x = 1$

Bài 2:
 Giải phương trình: $2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} $
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant  - \frac{4}{5}$
Đặt $t = \sqrt {4x + 5} (t \geqslant 0)$ thì $x = \frac{{{t^2} - 5}}{4}$. Thay vào ta có phương trình sau:
$2.\frac{{{t^4} - 10{t^2} + 25}}{{16}} - \frac{6}{4}({t^2} - 5) - 1 = t \Leftrightarrow {t^4} - 22{t^2} - 8t + 27 = 0$
$ \Leftrightarrow ({t^2} + 2t - 7)({t^2} - 2t - 11) = 0$
Ta tìm được bốn nghiệm là: ${t_{1,2}} =  - 1 \pm 2\sqrt 2 ;\,\,{t_{3,4}} = 1 \pm 2\sqrt 3 $
Do $t \geqslant 0$ nên  chỉ nhận các gái trị ${t_1} =  - 1 + 2\sqrt 2 ,{t_3} = 1 + 2\sqrt 3 $
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: $x = 1 - \sqrt 2 {\text{ va{\o} }}x = 2 + \sqrt 3 $
Cách khác: Ta có  thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2{x^2} - 6x - 1 \geqslant 0$
Ta được: ${x^2}{(x - 3)^2} - {(x - 1)^2} = 0$, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : $2y - 3 = \sqrt {4x + 5} $   và đưa về hệ đối xứng  

Bài  3:

Giải phương trình: $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} }  = 6$
Giải:
Điều kiện: $1 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $y = \sqrt {x - 1} (y \geqslant 0)$ thì phương trình trở thành: ${y^2} + \sqrt {y + 5}  = 5 \Leftrightarrow {y^4} - 10{y^2} - y + 20 = 0$( với $y \leqslant \sqrt 5 )$$ \Leftrightarrow ({y^2} + y - 4)({y^2} - y - 5) = 0$$ \Leftrightarrow y = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}{\text{(loa\"i i)}},\,\,y = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}$
Từ đó ta tìm được các giá trị của $x = \frac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$

Bài 4:
Giải phương trình  sau :$x = \left( {2004 + \sqrt x } \right){\left( {1 - \sqrt {1 - \sqrt x } } \right)^2}$
Giải:
ĐK $0 \leqslant x \leqslant 1$
Đặt $y = \sqrt {1 - \sqrt x } $  pttt$ \Leftrightarrow 2{\left( {1 - y} \right)^2}\left( {{y^2} + y - 1002} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Bài 5:
Giải phương trình : ${x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 3x + 1$
Giải:
Điều kiện: $ - 1 \leqslant x < 0$
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:$x + 2\sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 3 + \frac{1}{x}$
Đặt $t = x - \frac{1}{x}$, ta giải được.

Bài 6:
Giải phương trình : ${x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1$
Giải: $x = 0$ không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} = 2$
Đặt t=$\sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}}$,  Ta có  : ${t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow $$t = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Nhận xét: đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải  quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với $t$ lại quá khó giải  

2.  Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.
Phương pháp:

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$   (1) bằng cách
Xét $v \ne 0$ phương trình trở thành  : ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta  = 0$
$v = 0$ thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
$a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
$\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Chúng ta hãy thay các biểu thức $A(x) , B(x)$  bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng: $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu  
               $\left\{ \begin{array}
  P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)  \\
  Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right)  \\
\end{array}  \right.$
Xuất phát từ đẳng thức :
              ${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
              ${x^4} + {x^2} + 1 = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - {x^2} = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
              ${x^4} + 1 = \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)$
              $4{x^4} + 1 = \left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {2{x^2} + 2x + 1} \right)$
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :
                        $4{x^2} - 2\sqrt 2 x + 4 = \sqrt {{x^4} + 1} $
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $a{t^2} + bt - c = 0$  giải  “ nghiệm đẹp”

Bài 1:
Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $
Giải:
Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,v = \sqrt {{x^2} - x + 1} $
phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  u = 2v  \\
  u = \frac{1}{2}v  \\
\end{array}  \right.$
Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$

Bài 3:  
Giải phương trình :$2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $
Giải:
Đk: $x \geqslant 1$
Nhận xét : Ta viết     $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đồng nhất thức  ta được  $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đặt $u = x - 1 \geqslant 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được:  $3u + 2v = 7\sqrt {uv}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  v = 9u  \\
  v = \frac{1}{4}u  \\
\end{array}  \right.$
Nghiệm :$x = 4 \pm \sqrt 6 $

Bài 4:
Giải phương trình :${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}}  - 6x = 0$
Giải:
Nhận xét : Đặt $y = \sqrt {x + 2} $ ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  x =  - 2y  \\
\end{array}  \right.$
Pt có  nghiệm :$x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $

b).Phương trình dạng:  $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

Bài 1:
Giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1}  = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $
Giải:
Ta đặt :$\left\{ \begin{array}
  u = {x^2}  \\
  v = \sqrt {{x^2} - 1}   \\
\end{array}  \right.$  khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $

Bài 2:
Giải phương trình : $\sqrt {{x^2} + 2x}  + \sqrt {2x - 1}  = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $
Giải
:
Đk $x \geqslant \frac{1}{2}$.  Bình phương 2 vế ta có : $\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)}  = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)}  = \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {2x - 1} \right)$
Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}
  u = {x^2} + 2x  \\
  v = 2x - 1  \\
\end{array}  \right.$  khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v  \\
  u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v  \\
\end{array}  \right.$
Do $u,v \geqslant 0$. $u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$

Bài 3: 

Giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9}  - \sqrt {{x^2} - x - 20}  = 5\sqrt {x + 1} $
Giải:
Đk $x \geqslant 5$. Chuyển vế bình phương ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} $
Nhận xét: Không tồn tại số $\alpha ,\beta $ để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt
$\left\{ \begin{array}
  u = {x^2} - x - 20  \\
  v = x + 1  \\
\end{array}  \right.$.
Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$
Ta viết lại phương trình:  $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $.
Đến đây bài toán được giải quyết .

3.  Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương pháp:

Từ những phương trình tích $\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  - x + 2} \right) = 0$,$\left( {\sqrt {2x + 3}  - x} \right)\left( {\sqrt {2x + 3}  - x + 2} \right) = 0$
Khai  triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bài 1:
Giải phương trình :${x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} $
Giải:
$t = \sqrt {{x^2} + 2} $ , ta có: ${t^2} - \left( {2 + x} \right)t - 3 + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 3  \\
  t = x - 1  \\
\end{array}  \right.$

Bài 2:
Giải phương trình : $\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  = {x^2} + 1$
Giải:
Đặt : $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} t \geqslant \sqrt 2 $
Khi đó phương trình trở thành : $\left( {x + 1} \right)t = {x^2} + 1$$ \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \left( {x + 1} \right)t = 0$
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t : ${x^2} - 2x + 3 - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 2  \\
  t = x - 1  \\
\end{array}  \right.$
Từ một phương trình đơn giản : $\left( {\sqrt {1 - x}  - 2\sqrt {1 + x} } \right)\left( {\sqrt {1 - x}  - 2 + \sqrt {1 + x} } \right) = 0$, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3:   
Giải phương trình : $4\sqrt {x + 1}  - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 - {x^2}} $
Giải:
Nhận xét : đặt $t = \sqrt {1 - x} $, pt trở thành  $4\sqrt {1 + x}  = 3x + 2t + t\sqrt {1 + x} $  (1)
Ta rút  $x = 1 - {t^2}$ thay vào thì được pt: $3{t^2} - \left( {2 + \sqrt {1 + x} } \right)t + 4\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right) = 0$
Nhưng không có  sự may mắn để giải được phương trình  theo t   $\Delta  = {\left( {2 + \sqrt {1 + x} } \right)^2} - 48\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)$ không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách  3x  theo  ${\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\left( {\sqrt {1 + x} } \right)^2}$
Cụ thể như sau : $3x =  - \left( {1 - x} \right) + 2\left( {1 + x} \right)$   thay vào pt  (1)

Bài 4:
Giải phương trình: $2\sqrt {2x + 4}  + 4\sqrt {2 - x}  = \sqrt {9{x^2} + 16} $
Giải:
Bình phương  2 vế phương trình: $4\left( {2x + 4} \right) + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)}  + 16\left( {2 - x} \right) = 9{x^2} + 16$
Ta đặt : $t = \sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)}  \geqslant 0$. Ta được: $9{x^2} - 16t - 32 + 8x = 0$
Ta phải tách $9{x^2} = \alpha 2\left( {4 - {x^2}} \right) + \left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8\alpha $ làm sao cho ${\Delta _t}$ có dạng số chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

$\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  - \sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = n$            (1)
a/ Giải phương trình n =  2
b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm
Giải:
Điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + 1 \geqslant 0} \\
  {3 - x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \leqslant x \leqslant 3} \right.$
Đặt ẩn phụ $t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} ,t \geqslant 0$
Khi đó ${t^2} = 4 + 2\sqrt {(x + 1)(3 - x)} $
Hay $2\sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = {t^2} - 4$                (2)
a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành.
$\begin{array}
  2t - ({t^2} - 4) = 4  \\
   \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0  \\
   \Leftrightarrow {t_1} = 0,{t_2} = 2  \\
\end{array} $
Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được $\sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = 0, \Rightarrow {x_1} =  - 1,{x_2} = 3$, thoả điều kiện ban đầu.
b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:
$\begin{array}
  2t - ({t^2} - 4) = 2n  \\
   \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2n - 4 = 0  \\
\end{array} $
+ $\Delta  = 5 - 2n \geqslant 0$ thì phương trình có nghiệm
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t_1} = 1 + \sqrt {5 - 2n} } \\
  {{t_2} = 1 - \sqrt {5 - 2n} }
\end{array}} \right.$
Để phương trình có nghiệm thì $2 \leqslant t \leqslant 2\sqrt 2 $ (theo công thức tổng quát ở trên).
Với t2 không thoả mãn.
Với t1 ta có $2 \leqslant 1 + \sqrt {5 - 2n}  \leqslant 2\sqrt 2 $$ \Leftrightarrow 2\sqrt 2  - 2 \leqslant n \leqslant 2$
Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $2\sqrt 2  - 2 \leqslant n \leqslant 2$

Bài 2:
$\sqrt {x + 6\sqrt {x - 9} }  + \sqrt {x - 6\sqrt {x - 9} }  = \frac{{x + m}}{6}$
a/ Giải phương trình với m = 23
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện $x - 9 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 9$
Đặt ẩn phụ $t = \sqrt {x - 9} $. Khi đó x = t2 + 9
Phương trình đã cho trở thành:
$\begin{array}
  6\left( {\sqrt {{{(1 + 3)}^2}}  + \sqrt {{{(x - 3)}^2}} } \right) = {t^2} + 9 + m  \\
   \Leftrightarrow 6\left( {\left| {t + 3} \right| + \left| {t - 3} \right|} \right) = {t^2} + 9 + m  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t^2} - 12t + 9 + m = 0,t \geqslant 0} \\
  {{t^2} - 27 + m = 0,0 \leqslant t \leqslant 3}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
a/ Với m = 23 có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t^2} - 12t + 32 = 0,t \geqslant 3} \\
  {{t^2} = 4,0 \leqslant t \leqslant 3}
\end{array}} \right.$
     Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1=73, x2 = 25, x3 = 13.
b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0
   $ \Leftrightarrow {\left( {t - 6} \right)^2} = 27 - m$
Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27
Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

Bài 3:
Giải phương trình:      $x + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{35}}{{12}}$     (1)
Giải:
Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 $ \Leftrightarrow $ x > 1
Bình phương 2 vế của (1), ta có:
${x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{1225}}{{144}}$    
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{1225}}{{144}}$                (2)
Đặt $t = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$, với t > 0, ta có
(2) $ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - \frac{{1225}}{{144}} = 0$                (3)
Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t_1} = \frac{{25}}{{12}}} \\
  {{t_2} =  - \frac{{49}}{{12}}}
\end{array}} \right.$                                                                                            
+ Với ${t_1} = \frac{{25}}{{12}}$
$ \Rightarrow 12({x^2} - 1) - 25\sqrt {{x^2} - 1}  + 12 = 0$            (4)
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 1} ,y > 0$. Ta có
$\begin{array}
  (4) \Leftrightarrow 12{y^2} - 25y + 12 = 0  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y = \frac{4}{3}} \\
  {y = \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \frac{5}{4}} \\
  {x = \frac{5}{3}}
\end{array}} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{5}{4};\frac{5}{3}} \right\}$

Bài 4:
Giải phương trình:      $\sqrt[3]{{{{(x + a)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(x + a)}^2}}} + \sqrt[3]{{({x^2} - {a^2})}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$
Giải:
Đặt y = x + a, z = x – a
Nhân lượng liên hiệp
$\begin{array}
   \Rightarrow y - x = \sqrt[3]{{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z}} \right) = 2a  \\
   \Rightarrow \sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z} = 2\sqrt[3]{a}  \\
\end{array} $
Lập phương 2 vế phương trình ta được
- yz = a2
$ \Rightarrow $ x = 0 (thử lại thoả)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Bài 5:
Giải phương trình:      $\sqrt[4]{{629 - x}} + \sqrt[4]{{77 + x}} = 8$
Giải:
Đặt $\left\{ \begin{array}
  \,u = \sqrt[4]{{629 - x}}  \\
  \,v = \sqrt[4]{{77 + x}}  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow u + v = 8,{u^4} + {v^4} = 706$
Đặt t = uv
$\begin{array}
   \Rightarrow {t^2} - 128t + 1695 = 0  \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {t = 15} \\
  {t = 113}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
Với t = 15 $ \Rightarrow $ x = 4
Với t = 113 $ \Rightarrow $ x = 548
Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là $S = \left\{ {4;548} \right.{\text{\} }}$

Bài 6:
Giải phương trình:      $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left( {\sqrt {(1 + x} {)^3} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right) = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} $
Giải:
Điều kiện
-1 ≤ x ≤ 1
Đặt $u = \sqrt {1 + x} ,v = \sqrt {1 - x} $, với u, v > 0
$ \Rightarrow u.v = \sqrt {1 - {x^2}} ,{u^2} + {v^2} = 2,{u^2} - {v^2} = 2x$
Phương trình đã cho trở thành
$\begin{array}
  \sqrt {\frac{{{u^2} + {v^2}}}{2}}  + u.v({u^3} - {v^3}) = 2 + u.v  \\
   \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}(u + v)(u - v)({u^2} + uv + {v^2}) = 2 + u.v  \\
   \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}2x(2 + uv + {v^2}) = 2 + u.v  \\
   \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}  \\
\end{array} $
Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đã cho là $S = \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}$

cũng đc . on lai kien thuc –  kudoshinichi131100 24-04-16 12:47 AM

Thẻ

Lượt xem

62649
Chat chit và chém gió
  • laitridung2004: tui cũng chả biết nói sao nữa :v 2/19/2019 10:17:54 PM
  • giangminhdoranchov: max mà từ nãy h cứ giải min vc 2/19/2019 10:17:57 PM
  • giangminhdoranchov: nhầm cmnr 2/19/2019 10:18:05 PM
  • laitridung2004: được đó chàng trai :v 2/19/2019 10:18:05 PM
  • laitridung2004: thế ông tính giải cái căn ở dưới như nào nếu tìm min rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:18:23 PM
  • giangminhdoranchov: clown 2/19/2019 10:18:52 PM
  • laitridung2004: ông Đạt lên đọc lại cái đề bài cái, đề sai rồi hay sao ấy 2/19/2019 10:19:23 PM
  • giangminhdoranchov: dafuq? 2/19/2019 10:19:51 PM
  • giangminhdoranchov: inbox riêng ak 2/19/2019 10:20:01 PM
  • laitridung2004: không 2/19/2019 10:20:30 PM
  • laitridung2004: biết là ông ấy off rồi nhưng gọi hồn lên cho vui :v 2/19/2019 10:20:51 PM
  • giangminhdoranchov: talk_to_the_hand 2/19/2019 10:21:19 PM
  • letiendat352: đã off đâu 2/19/2019 10:21:21 PM
  • laitridung2004: uầy :v 2/19/2019 10:21:31 PM
  • giangminhdoranchov: skull 2/19/2019 10:21:32 PM
  • letiendat352: đề đây 2/19/2019 10:21:35 PM
  • laitridung2004: đọc lại cái đề bài đi 2/19/2019 10:21:36 PM
  • letiendat352: y2+y(x-4)+x+1=0 2/19/2019 10:21:53 PM
  • giangminhdoranchov: viết cos^ vào 2/19/2019 10:21:55 PM
  • letiendat352: (x-1)2+y2(x2+y2+2xy-8)=0 2/19/2019 10:22:12 PM
  • letiendat352: có cos nhưng cóp vào bị mất 2/19/2019 10:22:29 PM
  • laitridung2004: ý ông ấy là viết có ^ ấy rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:22:46 PM
  • letiendat352: có mà 2/19/2019 10:24:06 PM
  • letiendat352: nhưng cóp vào đây thì mất 2/19/2019 10:24:22 PM
  • giangminhdoranchov: nghiệm xấp xỉ x=0.121 y=0,315 với x=1,066 y=1,763 2/19/2019 10:24:28 PM
  • laitridung2004: bây giờ có 1 cách rất hay này :v 2/19/2019 10:24:29 PM
  • laitridung2004: nhân phá ra 2/19/2019 10:24:40 PM
  • laitridung2004: xong dùng delta cho y rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:24:47 PM
  • giangminhdoranchov: ^ dung shift 6 cop làm j 2/19/2019 10:24:57 PM
  • laitridung2004: bộ bài này trên mạng hả? 2/19/2019 10:25:10 PM
  • giangminhdoranchov: hoặc gv nghĩ tới đâu đọc tới đó 2/19/2019 10:25:37 PM
  • laitridung2004: chắc phương trình 1 phải là y^2+ y(x-2) + x+1 chứ? 2/19/2019 10:26:50 PM
  • laitridung2004: kiểu kia vô tỉ chơi sao? 2/19/2019 10:27:02 PM
  • letiendat352: ông thầy này ra bài hack não lắm 2/19/2019 10:29:39 PM
  • letiendat352: ko thì đưa lên đây chilaughing 2/19/2019 10:29:58 PM
  • laitridung2004: tìm ra được nghiệm chưa chàng trai rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:30:36 PM
  • giangminhdoranchov: mà cái đề bđt max hay min z 2/19/2019 10:30:49 PM
  • laitridung2004: max ông ạ :v 2/19/2019 10:31:49 PM
  • giangminhdoranchov: max tại 001 ak 2/19/2019 10:31:59 PM
  • letiendat352: kiếm dc 1 nghiệm rồi 2/19/2019 10:32:42 PM
  • laitridung2004: nghiệm nguyên không? 2/19/2019 10:33:23 PM
  • letiendat352: mà hình như sai 2/19/2019 10:33:26 PM
  • giangminhdoranchov: k 2/19/2019 10:33:36 PM
  • letiendat352: để thay vào đã 2/19/2019 10:33:37 PM
  • laitridung2004: cái kia max khi a=b=c=1/căn 3 mà? 2/19/2019 10:33:57 PM
  • giangminhdoranchov: min chứ 2/19/2019 10:34:04 PM
  • laitridung2004: max mà 2/19/2019 10:34:09 PM
  • laitridung2004: thế mới khó rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:34:12 PM
  • giangminhdoranchov: 1/can 3 là min chứ 2/19/2019 10:34:24 PM
  • laitridung2004: đề gốc nó nhân cả x+y+z 2/19/2019 10:35:07 PM
  • giangminhdoranchov: nhân cái j 2/19/2019 10:35:22 PM
  • laitridung2004: nhưng mà đánh giá được bé hơn hoặc bằng căn 3 nên tui k viết rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:35:25 PM
  • laitridung2004: à a+b+c 2/19/2019 10:35:29 PM
  • giangminhdoranchov: cứ ghi cả đề gôc ra 2/19/2019 10:35:55 PM
  • giangminhdoranchov: big_grin 2/19/2019 10:36:09 PM
  • laitridung2004: đề gốc là cái (a+b+c) nhân cái tích đó đó :v 2/19/2019 10:36:39 PM
  • giangminhdoranchov: cái đó đóchicken 2/19/2019 10:38:04 PM
  • laitridung2004: mấy thầy cô ra đề kiểu này khó sống quá :v 2/19/2019 10:38:12 PM
  • letiendat352: có ai giải dc bài hệ của mình chưa 2/19/2019 10:38:47 PM
  • letiendat352: hay để thay bài khác lên 2/19/2019 10:39:23 PM
  • laitridung2004: xem lại đề đi chàng trai 2/19/2019 10:39:32 PM
  • laitridung2004: nghiệm vô tỉ đó :v 2/19/2019 10:39:36 PM
  • laitridung2004: mà giải bài khác đi cho nó đổi không khó :v 2/19/2019 10:40:22 PM
  • laitridung2004: không khí :v 2/19/2019 10:41:01 PM
  • letiendat352: bài dễ hơn hay khó hơn đây 2/19/2019 10:42:17 PM
  • letiendat352: cho chọn đấy 2/19/2019 10:42:22 PM
  • laitridung2004: dễ hơn đi 2/19/2019 10:42:25 PM
  • laitridung2004: cho đầu óc thư giãn rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:42:31 PM
  • letiendat352: để xem 2/19/2019 10:42:38 PM
  • giangminhdoranchov: 1+1=? 2/19/2019 10:42:45 PM
  • laitridung2004: 3 :v 2/19/2019 10:42:54 PM
  • giangminhdoranchov: 9/10 tùy người chấm XD 2/19/2019 10:43:05 PM
  • letiendat352: 9 hoặc 10 chứ 2/19/2019 10:43:18 PM
  • laitridung2004: mình có phải người chấm đâu @@ 2/19/2019 10:43:33 PM
  • giangminhdoranchov: thì cx như hs thôi 2/19/2019 10:43:50 PM
  • giangminhdoranchov: 1 vợ chồng bt đâu ra gđ 10 con 2/19/2019 10:44:03 PM
  • laitridung2004: đọc đề đê cho nóng rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:44:05 PM
  • giangminhdoranchov: XD 2/19/2019 10:44:06 PM
  • laitridung2004: tận 10 cơ à :v 2/19/2019 10:44:11 PM
  • giangminhdoranchov: các cụ có câu 2/19/2019 10:44:51 PM
  • giangminhdoranchov: .. 2/19/2019 10:44:53 PM
  • laitridung2004: ông kia đọc đề đê rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:45:06 PM
  • laitridung2004: nhanh tui còn đi ngủ 2/19/2019 10:45:14 PM
  • letiendat352: đang sớm mà 2/19/2019 10:45:26 PM
  • letiendat352: X+y=căn(x+3y) 2/19/2019 10:45:27 PM
  • letiendat352: X^2+y^2+xy=3 2/19/2019 10:45:33 PM
  • laitridung2004: sớm với ông thôi 2/19/2019 10:45:44 PM
  • laitridung2004: ông biết làm bài này đúng k rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:46:27 PM
  • letiendat352: làm rồi thôi 2/19/2019 10:47:07 PM
  • letiendat352: dễ mà 2/19/2019 10:47:12 PM
  • laitridung2004: lại no vô tỉ à :v 2/19/2019 10:47:27 PM
  • letiendat352: mang lên thay đổi không khílaughing 2/19/2019 10:47:30 PM
  • laitridung2004: rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:47:50 PM
  • letiendat352: nguyên đấy 2/19/2019 10:47:50 PM
  • laitridung2004: ồ để xem 2/19/2019 10:47:56 PM
  • laitridung2004: à x=y=1 :v 2/19/2019 10:48:08 PM
  • laitridung2004: bình phương lên rồi thế :v 2/19/2019 10:48:50 PM
  • laitridung2004: đỡ đau đầu rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:48:56 PM
  • laitridung2004: thôi đi ngủ đây rolling_on_the_floormai gặp thì giải tiếp rolling_on_the_floor 2/19/2019 10:49:24 PM
  • letiendat352: có nghiệm vô tỉ nữa mà 2/19/2019 10:50:39 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp
  • thulively
  • btquyen11a2