MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN


1. Các phương pháp chung:

Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn vẫn là biến đổi hệ phương trình đã cho thành những hệ tương đương hoặc những hệ phương trình hệ quả dễ giải hơn, (trong đó có những phương trình với số ẩn ngày càng ít). Để đạt được điều này ta thường dùng:
-   Phương pháp cộng đại số
-   Phương pháp thế
Nếu có dùng phép biến đổi không tương đương thì cần phải thử lại các giá trị tìm được của ẩn.

Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình :
$(I)\left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  {x^2} + {y^2} = 5z  \\
  {x^3} + {y^3} = 9z  \\
\end{array}  \right.$
Giải
$\begin{array}
  (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  (x + y){}^2 - 2xy = 5z  \\
  {(x + y)^3} - 3xy(x + y) = 9z  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  9{z^2} - 5z = 2xy  \\
  27{z^3} - 9z\frac{{9{z^2} - 5z}}{2} = 9z  \\
\end{array}  \right. \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  2xy = 9{z^2} - 5z  \\
  3{z^3} - 5{z^2} + 2z = 0  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y = 3z  \\
  2xy = 9{z^2} - 5z  \\
  z = 0 \vee z = 1 \vee z = \frac{2}{3}  \\
\end{array}  \right. \\
\end{array} $
-   Với $z = 0$ ta có :
   $\left\{ \begin{array}
  x + y = 0  \\
  xy = 0  \\
  z = 0  \\
\end{array}  \right.$
Hệ này có nghiệm $\left( {0;0;0} \right)$
-   Với $z = 1$ ta có :
 $\left\{ \begin{array}
  x + y = 3  \\
  xy = 2  \\
  z = 1  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ ta được hai nghiệm : $\left( {1;2;1} \right),\left( {2;1;1} \right)$
-   Với $z = \frac{2}{3}$ ta có :
 $\left\{ \begin{array}
  x + y = 2  \\
  xy = \frac{1}{3}  \\
  y = \frac{2}{3}  \\
\end{array}  \right.$
Hệ có hai nghiệm :$\left( {\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right),\left( {\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right)$.
Vậy hệ (I) có 5 nghiệm :
$\left( {0;0;0} \right),\left( {1;2;1} \right),\left( {2;1;1} \right),\left( {\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right),\left( {\frac{{3 + \sqrt 6 }}{3};\frac{{3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{2}{3}} \right)$

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình :
$\left( {{\text{III}}} \right)\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  zx = 15  \\
\end{array}  \right.$
Nhận xét: Nghiên cứu cách giải. Hãy thử giải hệ này bằng phương pháp thế.
Tuy nhiên có thể nhận xét về dấu của $x,y,z$để đề ra một cách giải cách.
Rõ ràng $x,y,z$khác $0$và cùng dấu.
Giải
Nhân vế với vế của ba phương trình ta được một phương trình; kết hợp với hai trong ba phương trình đã cho ta được hệ:
$\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  {\left( {xyz} \right)^2} = 3600  \\
\end{array}  \right.$
Ta dễ thấy rằng $\left( {{\text{III}}} \right) \Leftrightarrow \left( {{\text{IV}}} \right)$
Vì ${\left( {xyz} \right)^2} = 3600 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  xyz = 60  \\
  xyz =  - 60  \\
\end{array}  \right.$
Nên hệ $(IV)$ tương đương với hai hệ :
$\left( {\text{V}} \right)\left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  xyz = 60  \\
\end{array}  \right.$ và $\left( {{\text{VI}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  xy = 12  \\
  yz = 20  \\
  xyz =  - 60  \\
\end{array}  \right.$
Giải $\left( {\text{V}} \right)$: Thay $xy = 12$vào phương trình thứ bat a được $z = 5$; thay $yz = 20$ vào phương trình thứ ba ta được $x = 3$. Thay $x = 3,z = 5$ vào phương trình thứ ba ta được $y = 4$.
Hệ $\left( {\text{V}} \right)$ có nghiệm: $\left( {3;4;5} \right).$
Giải $\left( {{\text{IV}}} \right)$: Tương tự hệ $\left( {{\text{IV}}} \right)$có nghiệm $\left( { - 3; - 4; - 5} \right).$
Vậy hệ $\left( {{\text{III}}} \right)$có hai nghiệm: $\left( {3;4;5} \right),\left( { - 3; - 4; - 5} \right).$

2. Áp dụng hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba:
Phương pháp:
Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:
Định lý:
Nếu phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có ba nghiệm${x_1},{x_2},{x_3}$ thì :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} =  - \frac{d}{a}  \\
\end{array}  \right.$
Ngược lại, nếu ba số${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn các đẳng thức :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} = P  \\
\end{array}  \right.$
thì chúng là ba nghiệm của phương trình :
${x^3} - {S_1}{x^2} + {S_2}x - P = 0$
 
Theo định lí trên đây có thể giải hệ phương trình ba ẩn
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1}  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2}  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} = P  \\
\end{array}  \right.$
bằng cách giải một phương trình bậc ba ${x^3} - {S_1}{x^2} + {S_2}x - P = 0$

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}
  {x_1} + {x_2} + {x_3} =  - 1  \\
  {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} =  - 10  \\
  {x_1}{x_2}{x_3} =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Theo định lí Viét $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình
${x^3} + {x^2} - 10x + 8 = 0$
Ta thấy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình trên. Do đó phương trình trên được viết thành : $(x - 1)({x^2} + 2x - 8) = 0$
Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 1,{x_2} =  - 4,{x_3} = 2$
Vì hệ phương trình này đối xứng đối với $x,y,z$ nên hệ có $3! = 6$ nghiệm sau :
$\left( {1; - 4;2} \right),\left( {1;2; - 4} \right),\left( {2; - 4;1} \right),\left( { - 4;1;2} \right),\left( {2;1; - 4} \right),\left( { - 4;2;1} \right)$

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình :
$(II)\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 22  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Biến đổi hệ này thành hệ có dạng $(I)$. Bình phương hai vế phương trình thứ nhất rồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được :
$\,\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  xy + yz + zx =  - 3  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$
Hoặc $\,\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 4  \\
  xy + yz + zx =  - 4  \\
  xyz = 18  \\
\end{array}  \right.$

Theo định lí Viét, $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình :
${x^3} + 4{x^2} - 3x + 18 = 0$
Ta có thể thấy $x = 2$ là một nghiệm. Do đó : $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0$
Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 2,{x_2} = {x_3} =  - 3$
Vậy hệ có ba nghiệm: $\left( {2; - 3; - 3} \right),\left( { - 3;2; - 3} \right),\left( { - 3; - 3;2} \right)$

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình :
$\left( {{\text{III}}} \right)\left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6  \\
  {x^3} + {y^3} + {z^3} =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
Giải
$\left( {{\text{III}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {\left( {x + y + z} \right)^2} - 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 6  \\
  \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \left( {x{y^2} + {x^2}y + y{z^2} + {y^2}z + z{x^2} + {z^2}x} \right) =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  {(x + y + z)^2} - 2(xy + yz + zx) = 6  \\
  (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) - (xy + yz + zx)(x + y + z) + 3xyz =  - 8  \\
\end{array}  \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x + y + z =  - 2  \\
  xy + yz + zx =  - 1  \\
  xyz = 2  \\
\end{array}  \right.$
Vậy $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba
${t^2} + 2t - t - 2 = 0$ hay $(t + 2)({t^2} - 1) = 0$
Phương trình này có nghiệm là : ${t_1} =  - 1,{t_2} = 1,{t_3} =  - 2$
Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số $ - 1,1, - 2$:
$( - 1;1; - 2),( - 1; - 2;1),(1; - 1; - 2),(1; - 2; - 1),( - 2; - 1;1),( - 2;1; - 1)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình :
${\text{a)}}\left\{ \begin{array}
  {(y + z)^2} - {x^2} = 2  \\
  {(z + x)^2} - {y^2} = 3  \\
  {(x + y)^2} - {z^2} = 4  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{b}})\left\{ \begin{array}
  zx + xy = {x^2} + 2  \\
  xy + yz = {y^2} + 3  \\
  yz + zx = {z^2} + 4  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{c)}}\left\{ \begin{array}
  x + y + z = 1  \\
  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9  \\
  {x^3} + {y^3} + {z^3} = 1  \\
\end{array}  \right.$
${\text{d)}}\left\{ \begin{array}
  (x + y)(z + x) = x  \\
  (y + z)(x + y) = 2y  \\
  (z + x)(y + z) = 3z  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,{\text{e)}}\,\left\{ \begin{array}
  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3  \\
  \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 3  \\
  \frac{1}{{xyz}} = 1  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{f)}}\left\{ \begin{array}
  6x{(y + z)^2} = 13yz  \\
  3y{(z + x)^2} = 5zx  \\
  6z{(x + y)^2} = 5xy  \\
\end{array}  \right.$

Thẻ

Lượt xem

49999
Chat chit và chém gió
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:03 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:04 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:06 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:07 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:08 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:09 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:11 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:12 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:13 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:14 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:16 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:17 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:18 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:19 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:21 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:22 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:23 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:24 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:26 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:27 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:28 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:29 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:31 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:32 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:33 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:34 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:36 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:37 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:38 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:39 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:41 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:42 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:43 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:44 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:46 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:47 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:48 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:58:49 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:51 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:52 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:53 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:54 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:56 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:57 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:58:58 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:58:59 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:01 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:02 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:03 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:04 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:06 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:07 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:08 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:09 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:10 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:12 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:13 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:14 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:16 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:17 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:18 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:19 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:21 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:22 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:23 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:24 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:25 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:27 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:28 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:29 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:30 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:32 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:33 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:34 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:35 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:37 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:38 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:39 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:40 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:42 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:43 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:44 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:45 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:47 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:48 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:49 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:50 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:52 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:53 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 11:59:54 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:55 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:57 AM
  • Duck: Quack Quack 8/31/2020 11:59:58 AM
  • Duck: Quack 8/31/2020 11:59:59 AM
  • Duck: Quack Quack Quack 8/31/2020 12:00:00 PM
  • ๖ۣۜBossღ: broken_heart 9/1/2020 9:52:28 PM
  • khanhtranpkntva: . lô 9/4/2020 9:52:44 AM
  • habang0104: nail_biting 9/15/2020 9:20:23 PM
  • kienbtvl123: alo alo 9/21/2020 9:56:28 PM
  • khanhtranpkntva: looo 9/21/2020 10:48:01 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • .
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • B҉ãO҉-t҉ố҉
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • ☆☆Lãnh Hoàng Băng Ngọc ☆☆
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜNắng(M)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • Tu hoc
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp
  • thulively
  • btquyen11a2
  • giangbap0388
  • trung3152003
  • ntgu
  • ★F.29★
  • nguyenyen10082008
  • luongthimay21051981
  • nguyenngocminhtri.1233
  • 8a1day
  • thaithuhanglhp77
  • cuahanganhduc
  • ngolam230103
  • Uchiha Obito
  • thongoc1174
  • daihuenhatanh
  • phammaianh0210
  • thaonguyen.ht2404