BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \geqslant 0,\forall x \in (a,b)$
* Hàm số nghịch biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \leqslant 0,\forall x \in (a,b)$
2. Xét tam thức bậc hai $f(x) = {\text{a}}{{\text{x}}^{\text{2}}} + bx + c$, $a \ne 0$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a > 0  \\   \Delta  \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \leqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a < 0  \\   \Delta  \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.$

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} + 3m(m - 2)x + 1$. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R.      $y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x + 3m(m - 2)$
a. Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3 > 0  \\   \Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \leqslant  - \frac{3}{2}  \\ \end{array}$
b. Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3 < 0  \\   \Delta ' = 6m + 9 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng)$
Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Bài 2.
Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - m$. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:    
TXĐ: D = R
$y' =  - {x^3} + m{x^2} - m$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow  - {x^3} + m{x^2} - m \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a =  - 1 < 0  \\   \Delta  = {m^2} \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m = 0  \\ \end{array}$
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 3.
Cho hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + (m - 1)x + m + 3$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:             

 TXĐ: D = R.    $y' = 3{x^2} - 4x + m - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + m - 1 \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3 > 0  \\   \Delta ' =  - 3m + 7 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \geqslant \frac{7}{3}  \\ \end{array}$
Vậy: Với $m \geqslant \frac{7}{3}$ thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 4.
Cho hàm số $y = {x^2}(m - x) - mx + 6$. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải:         

TXĐ: D = R.  $y' =  - 3{x^2} + 2mx - m$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 2mx - m \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a =  - 3 < 0  \\   \Delta  = {m^2} - 3m \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 3  \\ \end{array}$
Vậy: Với $0 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 5.
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3(2m - 1)x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:   

TXĐ: D = R  
$y' = 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1)$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3(2m - 1) \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 1 > 0  \\   \Delta ' = {m^2} - 2m + 1 \geqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m = 1  \\ \end{array}$
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 6.
Cho hàm số $y =  - \frac{1}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x + 4$. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải:   

TXĐ: D = R.       $y' =  - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3$
Hàm số luôn luôn giảm khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow  - {x^2} + 2(m - 1)x + m + 3 \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a =  - 1 < 0  \\   \Delta ' = {m^2} - m + 4 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng)  \\ \end{array}$
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Bài 7.
Cho hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 1$. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:             

TXĐ: D = R
$y' = 3{x^2} - 2mx + 3$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 3 \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3 > 0  \\   \Delta ' = {m^2} - 9 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow  - 3 \leqslant m \leqslant 3  \\ \end{array}$
Vậy: Với $- 3 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 8.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 2(m - 1)x - 2$. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải:   

TXĐ: D = R
$y' = {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1)$
Hàm số luôn tăng trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x + 2(m - 1) \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 1 > 0  \\   \Delta ' = (m - 1)(m - 3) \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow 1 \leqslant m \leqslant 3  \\ \end{array}$
Vậy: Với $1 \leqslant m \leqslant 3$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 9.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}(\sin m + \cos m){x^2} + \frac{3}{4}x\sin 2m$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow {x^2} - (\sin m + \cos m)x + \frac{3}{4}\sin 2m \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 1 > 0  \\   \Delta  = 1 - 2\sin m \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow 1 - 2\sin m \leqslant 0  \\    \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{6} + k2\pi  \leqslant 2m \leqslant \frac{\pi }{6} + k2\pi   \\    \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi  \leqslant m \leqslant \frac{\pi }{{12}} + k\pi   \\ \end{array}$

Bài 10.
Cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:  

TXĐ: D = R
$y' = 3{x^2} + 2mx + 2$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow 3{x^2} + 2mx + 2 \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3 > 0  \\   \Delta ' = {m^2} - 6 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow  - \sqrt 6  \leqslant m \leqslant \sqrt 6   \\ \end{array}$
Vậy: Với $- \sqrt 6  \leqslant m \leqslant \sqrt 6$ thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 11.
Cho hàm số $y = m{x^3} - (2m - 1){x^2} + (m - 2)x - 2$. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D =R
$y' = 3m{x^2} - 2(2m - 1)x + m - 2$
Trường hợp 1:
$m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 2 \Rightarrow$ m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 3m > 0  \\   \Delta ' = {(2m - 1)^2} - 3m(m - 2) \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m > 0  \\   {m^2} + 2m + 1 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m > 0  \\   m =  - 1  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng)  \\ \end{array}$
Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán

Bài 12.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m - 1}}{3}{x^3} + m{x^2} + (3m - 2)x$ luôn đồng biến
Lời giải:  

TXĐ: D = R
$y' = (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2$
Trường hợp 1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y' = 2x + 1 \Rightarrow$ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow (m - 1){x^2} + 2mx + 3m - 2 \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m - 1 > 0  \\   \Delta ' =  - 2{m^2} + 5m - 2 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \geqslant 2  \\ \end{array}$
Vậy: Với $m \geqslant 2$ thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 13.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} - x$. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Lời giải:     

TXĐ: D = R
$y' =  - m{x^2} + 2mx - 1$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' =  - 1 < 0 \Rightarrow$ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow  - m{x^2} + 2mx - 1 \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a =  - m < 0  \\   \Delta ' = {m^2} - m \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m > 0  \\   0 \leqslant m \leqslant 1  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(V.Ng)  \\ \end{array}$
Vậy: Với  m = 0  thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 14.
Định m để hàm số $y = \frac{{1 - m}}{3}{x^3} - 2(2 - m){x^2} + 2(2 - m)x + 5$ luôn luôn giảm
Lời giải
TXĐ: D = R
$y' = (1 - m){x^2} - 4(2 - m)x + 4 - 2m$
Trường hợp 1: $m = 1 \Rightarrow y' =  - 4x + 2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2}$ nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 1$
Hàm số luôn giảm khi $\left\{ \begin{array}   a = 1 - m < 0  \\   \Delta ' = 2{m^2} - 10m + 12 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m > 1  \\   2 \leqslant m \leqslant 3  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow 2 \leqslant m \leqslant 3$

Bài 15.
Cho hàm số $y = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} - (m + 2){x^2} + (m - 8)x + {m^2} - 1$. Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:     
TXĐ: D = R
$y' = (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8$
Trường hợp 1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2 \Rightarrow y' =  - 10 \Rightarrow$ m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne  - 2$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow (m + 2){x^2} - 2(m + 2)x + m - 8 \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m + 2 < 0  \\   \Delta ' = {(m + 2)^2} - (m + 2)(m - 8) \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m <  - 2  \\ \end{array}$
KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 16.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}({m^2} - 1){x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 5$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3$
Trường hợp 1: ${m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1$
* $m = 1 \Rightarrow y' = 4x + 3 \Rightarrow$ m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
* $m =  - 1 \Rightarrow y' = 3 > 0 \Rightarrow$ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: ${m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow ({m^2} - 1){x^2} + 2(m + 1)x + 3 \geqslant 0  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   {m^2} - 1 > 0  \\   \Delta  =  - 2{m^2} + 2m + 4 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m <  - 1 \vee m > 2  \\ \end{array}$
Vậy: Với $m \leqslant  - 1 \vee m > 2$ thì bài toán được thỏa

Bài 17.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}(m + 3){x^3} - 2{x^2} + mx$. Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = (m + 3){x^2} - 4x + m$
Trường hợp 1: $m + 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3 \Rightarrow y' =  - 4x - 3 \Rightarrow$ m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne  - 3$.
a. Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow (m + 3){x^2} - 4x + m \geqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m + 3 > 0  \\   \Delta  =  - {m^2} - 3m + 4 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \geqslant 1  \\ \end{array}$
b. Hàm số luôn nghịch biến khi $y' \leqslant 0,\forall x$
 $\begin{array}    \Leftrightarrow (m + 3){x^2} - 4x + m \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m + 3 < 0  \\   \Delta  =  - {m^2} - 3m + 4 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \leqslant  - 4  \\ \end{array}$

Bài 18.
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x + \frac{1}{3}$. Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
$y' = m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2)$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 2x - 6 \Rightarrow$ m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số nghịch biến trên R khi $y' \leqslant 0,\forall x$
$\begin{array}    \Leftrightarrow m{x^2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2) \leqslant 0,\forall x  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m < 0  \\   \Delta  =  - 2{m^2} + 4m + 1 \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}  \\ \end{array}$

Bài 19.
Cho hàm số$y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} + 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 2x + 1$. Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Ta có: $y' = \left( {{m^2} + 2m} \right){x^2} + 2mx + 2$
Xét 2 trường hợp:
* ${m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   m = 0  \\   m =  - 2  \\ \end{array}  \right.$
+ m = 0 $\Rightarrow$ $y' \geqslant 0,\forall x$ nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = - 2 $\Rightarrow y' =  - 4x + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant \frac{1}{2}$ nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
*  ${m^2} + 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   m \ne 0  \\   m \ne  - 2  \\ \end{array}  \right.$
Hàm số đồng biến trên R khi $\left\{ \begin{array}   a > 0  \\   {\Delta _{y'}} \leqslant 0  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   {m^2} + 2m > 0  \\    - {m^2} - 4m \leqslant 0  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow m \leqslant  - 4 \vee m \geqslant 0$
Vậy với $m \leqslant  - 4 \vee m \geqslant 0$ thì điều kiện bài toán được thỏa