ÁP DỤNG BĐT LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về cách áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào giải các bài toán định tính các tam giác đều, cân, vuông... và giải cực trị lượng giác

1. Định tính tam giác:
a) Tam giác đều:

Đối với loại bài nhận dạng tam giác đều, ta chỉ cần giải bất đẳng thức lượng giác và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT đó. Ta sẽ xét các ví dụ sau để thấy rõ điều đó.

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$đều khi thỏa: ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
${\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 3\left( {{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2} \right)$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant \frac{9}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \\
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)  \\
\end{array} $
mà   ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}$
$ \Rightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}.\frac{9}{4} = \frac{{81}}{4}{R^2}$
$ \Rightarrow $ ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều $ \Rightarrow $Đpcm.

Ví dụ 2:    
CMR nếu $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}} \leqslant \frac{{a + b}}{{8c}} = \frac{{2R\left( {\sin A + \sin B} \right)}}{{2R.8\sin C}} = \frac{{2R.2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{2R.8.2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}} = \frac{{\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{8\sin \frac{C}{2}}} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}  \\
   \Leftrightarrow 8\cos \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant 1  \\
   \Leftrightarrow 4\cos \frac{{A + B}}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0  \\
\end{array} $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{{A + B}}{2} - 4\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 \geqslant 0  \\
   \Leftrightarrow {\left( {2\cos \frac{{A + B}}{2} - \cos \frac{{A - B}}{2}} \right)^2} + {\sin ^2}\frac{{A - B}}{2} \geqslant 0  \\
    \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.
    
Ví dụ 3:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa: $2\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
Lời giải:
Theo đề bài ta có:
$2.2p\left( {\frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow \frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
\end{array} $
Ta lại có:  $\frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} \leqslant \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{\cot \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2}}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)$
Tương tự ta có:
$\frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)$
$\frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2}} \right)$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)  \\
   \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right) \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu thỏa $S = 3Rr\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C = 2.{R^2}.2.2.2.\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
   = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = r4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
\end{array} $
$ \leqslant r4R\frac{{3\sqrt 3 }}{8} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}Rr$
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa ${m_a}{m_b}{m_c} = pS$
Lời giải:
Ta có:  ${m_a}^2 = \frac{1}{4}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} \right) \geqslant \frac{1}{2}bc\left( {1 + \cos A} \right) = bc{\cos ^2}\frac{A}{2}$

$\begin{array}
  \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Rightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} - 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}  \\
   \Rightarrow {\cos ^2}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{4bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{4bc}} = \frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}  \\
   \Rightarrow {m_a} \geqslant \sqrt {p\left( {p - a} \right)}   \\
\end{array} $
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  {m_b} \geqslant \sqrt {p\left( {p - b} \right)}   \\
  {m_c} \geqslant \sqrt {p\left( {p - c} \right)}   \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} \geqslant p\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = pS  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

b) Tam giác cân:
Đối với dạng bài nhận dạng tam giác cân, ta cần phải chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức là khi 2 biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$cân khi nó thỏa điều kiện ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2}$ và nhọn.
Lời giải:
Ta có: $\tan A + \tan B = \frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right)}} = \frac{{2\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)}} = \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}}$
Vì $\cos \left( {A - B} \right) \leqslant 1 \Rightarrow \cos \left( {A - B} \right) - \cos C \leqslant 1 - \cos C = 2{\sin ^2}\frac{C}{2}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}} \geqslant \frac{{2\sin C}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = \frac{{4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = 2\cot \frac{C}{2} = 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
   \Rightarrow \tan A + \tan B \geqslant 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
\end{array} $
Từ giả thiết: ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2} \leqslant 2{\left( {\frac{{\tan A + \tan B}}{2}} \right)^2}$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}A + {{\tan }^2}B} \right) \leqslant {\tan ^2}A + {\tan ^2}B + 2\tan A\tan B  \\
   \Leftrightarrow {\left( {\tan A - \tan B} \right)^2} \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow A = B  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 2:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa ${h_a} = \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Lời giải:
Trong mọi tam giác ta luôn có: ${h_a} \leqslant {l_a} = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}$
Mà $b + c \geqslant 2\sqrt {bc}  \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}} \leqslant \frac{{bc}}{{\sqrt {bc} }} = \sqrt {bc} $
$ \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2} \Rightarrow {h_a} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 3:
CMR nếu thỏa $r + {r_a} = 4R\sin \frac{B}{2}$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  r + {r_a} = \left( {p - b} \right)\tan \frac{b}{2} + p\tan \frac{B}{2} = \left( {2p - b} \right)\tan \frac{B}{2} = \left( {a + c} \right)\tan \frac{B}{2} = 2R\left( {\sin A + \sin C} \right)\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}  \\
   = 4R\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A + C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\cos \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\sin \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
   \Rightarrow r + {r_a} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu $S = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có: ${a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant \frac{1}{2}ab \geqslant \frac{1}{2}ab\sin C = S$
$ \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant S \Rightarrow $$\Delta ABC$cân nếu thỏa đk đề bài.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa $2\cos A + \cos B + \cos C = \frac{9}{4}$
Lời giải:
Ta có:
$2\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{A}{2}} \right) + 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}$
  $\begin{array}
   =  - 4{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}{\cos ^2}\frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4}  \\
   =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{B - C}}{2} + \frac{9}{4} \leqslant \frac{9}{4}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi B=C $ \Rightarrow $ Đpcm.

c) Tam giác vuông:
Đối với dạng bài tập nhận dạng tam giác vuông, ta ít khi cần dùng đến các BĐT lượng giác mà thường là chỉ cần sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương là được.    

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức $3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15$
Chứng minh $\vartriangle $ABC vuông.
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B \leqslant \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B} \right)}  = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C \leqslant \sqrt {\left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right)}  = 10  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow 3\cos B + 4\sin B + 6\sin C + 8\cos C \leqslant 15$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C = 10  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \frac{{\cos B}}{3} = \frac{{\sin B}}{4}  \\
  \frac{{\sin C}}{6} = \frac{{\cos C}}{8}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan B = \frac{4}{3}  \\
  \cot C = \frac{4}{3}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \tan B = \cot C \Leftrightarrow B + C = \frac{\pi }{2}$
Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2. Cực trị lượng giác:
Đây là một lĩnh vực khó, đòi hỏi người giải cần phải tự mình sử dụng khéo léo các bất đẳng thức lượng giác phù hợp cũng như phải có một vốn kiến thức khá lớn về bất đẳng thức để có thể tìm ra đáp án của bài toán.

Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x,y) = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Với a,b,c,d là các hằng số dương.
Lời giải:
Đặt $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2}$ với ${f_1} = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}}$ và ${f_2} = \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Ta có:  $c + d = c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + d\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right)$                             
Do đó: $\left( {c + d} \right){f_1} = \left[ {\left( {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \right) + \left( {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \right)} \right]\left[ {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{{{\cos }^4}x}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}} \right]$
$ \geqslant {\left( {\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} }} + \sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} }}} \right)^2} = 1$
$ \Rightarrow {f_1} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Tương tự $ \Rightarrow {f_2} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Vậy $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2} \geqslant \frac{{a + b}}{{c + d}}$

Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \cos 3A + \cos 3B - \cos 3C$
Lời giải:
Ta có: $\cos 3C = \cos 3\left[ {\pi  - \left( {A + B} \right)} \right] = \cos \left[ {3\pi  - 3\left( {A - B} \right)} \right] =  - \cos 3\left( {A + B} \right)$ nên
$\begin{array}
  P = \cos 3A + \cos 3B + \cos 3\left( {A + B} \right) = 2\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) - 1  \\
   \Rightarrow P + \frac{3}{2} = 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + \frac{1}{2} = f(x,y)  \\
\end{array} $
$\Delta \prime  = {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0 \Rightarrow P \geqslant  - \frac{3}{2}$
$\begin{array}
  P =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \Delta \prime  = 0  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 1  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \cos 3A =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \left[ \begin{array}
  A = \frac{{2\pi }}{9}  \\
  A = \frac{{4\pi }}{9}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy ${P_{\min }} =  -  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  A = B = \frac{{2\pi }}{9},C = \frac{{5\pi }}{9}  \\
  A = B = \frac{{4\pi }}{9},C = \frac{\pi }{9}  \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}}$
Lời giải:
Ta có:
$P = \frac{3}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}} - 1$
$\begin{array}
   = \frac{3}{{3 - \left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)}} - 1  \\
   \leqslant \frac{3}{{3 - \frac{9}{4}}} - 1 = 3  \\
\end{array} $
Do đó ${P_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x} $
Lời giải:
Điều kiện: $\sin x \geqslant 0,\cos x \geqslant 0$
Ta có: $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \leqslant \sqrt[4]{{\sin x}} \leqslant 1$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin x = 1  \\
  \cos x = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $
Mặt khác $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \geqslant  - \cos x \geqslant  - 1$
Dấu bằng xảy ra $\left\{ \begin{array}
  \sin x = 0  \\
  \cos x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = 2k\pi $
Vậy $\left\{ \begin{array}
  {y_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi   \\
  {y_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow x = 2k\pi   \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 5:
Cho hàm số $y = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$. Hãy tìm Max $y$trên miền xác định của nó.
Lời giải:
Vì $\sin x$và $\cos x$ không đồng thời bằng 1 nên $y$ xác định trên R.
${Y_0}$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi ${Y_0} = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$ có nghiệm.
$ \Leftrightarrow {Y_0}\sin x + \left( {{Y_0} - 1} \right)\cos x = 2{Y_0} + 2$ có nghiệm.
$\begin{array}
  {\left( {2{Y_0} + 2} \right)^2} \leqslant {Y_0}^2 + {\left( {{Y_0} - 1} \right)^2}  \\
   \Leftrightarrow 2{Y_0}^2 + 10{Y_0} + 3 \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {19} }}{2} \leqslant {Y_0} \leqslant \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}  \\
\end{array} $
Vậy ${y_{\max }} = \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}$

Bài tập rèn luyện
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:
1)    $\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A = \frac{3}{4}$
2)    $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \sin A + \sin B + \sin C$
3)    $\frac{1}{{\sin 2A}} + \frac{1}{{\sin 2B}} + \frac{1}{{\sin 2C}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}\tan A\tan B\tan C$
4)    ${\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\cot A + \cot B + \cot C}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}}$
5)    $\frac{{a\cos A + b\cos B + c\cos C}}{{a + b + c}} = \frac{1}{2}$
6)    ${l_a}{l_b}{l_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
7)    ${m_a}{m_b}{m_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
8)    $bc\cot \frac{A}{2} + ca\cot \frac{B}{2} + ab\cot \frac{C}{2} = 12S$
9)    $\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = 5 + \frac{{26\sqrt 3 }}{9}$

Chat chit và chém gió
  • Anh Gấu Bông : hello e Phương 6/15/2018 12:03:10 AM
  • Anh Gấu Bông : ngủ đi e 6/15/2018 12:03:16 AM
  • Anh Gấu Bông : big_grin 6/15/2018 12:03:20 AM
  • puu: laughing 6/15/2018 12:09:30 AM
  • Anh Gấu Bông : laughing 6/15/2018 12:10:18 AM
  • Anh Gấu Bông : hay e Phương coi bóng 6/15/2018 12:10:34 AM
  • Anh Gấu Bông : nay việt nam thắng 5-0 lận big_grin 6/15/2018 12:10:52 AM
  • puu: laughing xạo ke quá a 6/15/2018 12:15:34 AM
  • Anh Gấu Bông :6/15/2018 12:19:20 AM
  • Anh Gấu Bông : nay việt nam đá word cup j j đó 6/15/2018 12:19:42 AM
  • Anh Gấu Bông : thấy có messi tfrong đội hình mà 6/15/2018 12:19:59 AM
  • Anh Gấu Bông : big_grin 6/15/2018 12:20:02 AM
  • puu: laughing 6/15/2018 12:21:12 AM
  • puu: a vui tính quá 6/15/2018 12:21:16 AM
  • Anh Gấu Bông : laughing 6/15/2018 12:21:28 AM
  • Anh Gấu Bông : ủa em puu k coi ak 6/15/2018 12:22:03 AM
  • puu: coi chi a 6/15/2018 12:28:05 AM
  • Anh Gấu Bông : bóng 6/15/2018 12:30:59 AM
  • Anh Gấu Bông : laughing 6/15/2018 12:31:03 AM
  • puu: ngủ thôi a 6/15/2018 12:37:21 AM
  • puu: e đi ngủ đây 6/15/2018 12:37:27 AM
  • Anh Gấu Bông :6/15/2018 12:39:00 AM
  • Anh Gấu Bông : e puuu ngủ ngon 6/15/2018 12:39:08 AM
  • Anh Gấu Bông : mơ a càng tốt 6/15/2018 12:39:14 AM
  • Anh Gấu Bông : pp 6/15/2018 12:39:15 AM
  • Anh Gấu Bông : laughing 6/15/2018 12:39:18 AM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: .................. 6/16/2018 7:56:56 PM
  • Thanh Nga: có ai k happy 6/16/2018 8:57:43 PM
  • Vũ Như Quỳnh: e k lên đk fb 6/16/2018 9:20:47 PM
  • Vũ Như Quỳnh: có ai giống e k 6/16/2018 9:20:50 PM
  • 111222: laughing 6/16/2018 9:23:49 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: ko e 6/16/2018 9:27:23 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: :v hé hé 6/16/2018 9:27:27 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor 6/16/2018 9:40:29 PM
  • Thanh Nga: 2 bé Quỳnh, bé Thanh, bé Tăng độn 6/16/2018 9:45:51 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: @ cj Nga ^^ 6/16/2018 9:47:20 PM
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄: hi 6/16/2018 9:47:24 PM
  • Vũ Như Quỳnh: haiii cj Nga 6/16/2018 9:47:24 PM
  • Thanh Nga: cj còn tưởng đi hết rùi laughing 6/16/2018 9:48:03 PM
  • 111222: hi nga khùng:v 6/16/2018 9:49:11 PM
  • Thanh Nga: tăng động, bé k hk ag 6/16/2018 9:49:51 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) 6/16/2018 9:49:53 PM
  • 111222: bé j đang coi bóng đá à:v 6/16/2018 9:50:21 PM
  • Thanh Nga: tăng động bé gọi ai đấy big_grin 6/16/2018 9:51:02 PM
  • 111222: you:v 6/16/2018 9:51:28 PM
  • Thanh Nga: k có 6/16/2018 9:51:55 PM
  • Thanh Nga: you xem fim rolling_on_the_floor) 6/16/2018 9:52:04 PM
  • Thanh Nga: mn ngủ ngonwave 6/16/2018 10:06:14 PM
  • ๖ۣۜCold: vắng happy 6/17/2018 12:10:59 AM
  • Kiệt2003: hi mn 6/17/2018 11:39:23 AM
  • Tuấnhaha2k2: hi 6/17/2018 9:22:01 PM
  • Thanh Nga: happy 6/17/2018 10:09:33 PM
  • nguyenchitrung800: E là thành viên mới ạ 6/17/2018 10:20:15 PM
  • nguyenchitrung800: Có ai rãnh giải hộ e bài này với được không ạ ? 6/17/2018 10:20:43 PM
  • nguyenchitrung800: A=(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2 6/17/2018 10:21:08 PM
  • nguyenchitrung800: =[(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)](x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)2 6/17/2018 10:22:09 PM
  • nguyenchitrung800: Đoạn này e k hiểu lắm 6/17/2018 10:22:24 PM
  • mei mei: tách ra thôi e 6/17/2018 10:25:59 PM
  • nguyenchitrung800: Tách sao vậy chị 6/17/2018 10:26:22 PM
  • mei mei: cái(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx) 6/17/2018 10:26:45 PM
  • mei mei: hiểu chứ 6/17/2018 10:27:36 PM
  • nguyenchitrung800: Dạ hiểu rồi chị 6/17/2018 10:27:44 PM
  • nguyenchitrung800: Cảm ơn chị nhiều 6/17/2018 10:27:52 PM
  • mei mei: ok kcj e 6/17/2018 10:27:58 PM
  • nguyenchitrung800: Chị có nick facebook k chị 6/17/2018 10:28:04 PM
  • mei mei: để làm gì e 6/17/2018 10:28:19 PM
  • nguyenchitrung800: Cho e xin nick face có gì hỏi được k ạ 6/17/2018 10:28:29 PM
  • mei mei: e cop link đây chị gửi lời mời k bạn cho 6/17/2018 10:29:21 PM
  • nguyenchitrung800: Cop link sao vậy chị 6/17/2018 10:29:54 PM
  • mei mei: gửi link fb e ấy 6/17/2018 10:30:19 PM
  • mei mei: chưa làm bao giờ à 6/17/2018 10:30:26 PM
  • nguyenchitrung800: Dạ chưa chị 6/17/2018 10:30:36 PM
  • nguyenchitrung800: Đợi e tí 6/17/2018 10:31:04 PM
  • mei mei: ok e 6/17/2018 10:31:26 PM
  • nguyenchitrung800: https://www.facebook.com/profile.php?id=100024062970925 6/17/2018 10:32:02 PM
  • mei mei: r e 6/17/2018 10:32:39 PM
  • nguyenchitrung800: Phạm Ngọc à chị 6/17/2018 10:32:52 PM
  • mei mei: uk đúng r đó 6/17/2018 10:33:09 PM
  • nguyenchitrung800: Ukm cảm ơn chị nha 6/17/2018 10:33:17 PM
  • mei mei: kcj e:v 6/17/2018 10:33:31 PM
  • ANH GẤU BÔNG : laughing 6/17/2018 10:49:27 PM
  • Thanh Nga: . 6/17/2018 11:04:16 PM
  • Thanh Nga: @@ lúc vô k có ai mà sao di rồi lắm g vô z k bt straight_face 6/17/2018 11:04:35 PM
  • amy: aloooo 6/18/2018 7:45:30 PM
  • Nguyễn Hồng Ngọc: Hi mn 6/18/2018 10:31:59 PM
  • Thu:6/18/2018 10:36:25 PM
  • Thu:6/18/2018 10:37:59 PM
  • Thu:6/18/2018 10:38:05 PM
  • Thu:6/18/2018 10:38:09 PM
  • Thu:6/18/2018 10:38:10 PM
  • Thu:6/18/2018 10:38:13 PM
  • Thu: Ko có ai à huc 6/18/2018 10:39:56 PM
  • ๖ۣۜCold: yawn 6/18/2018 11:25:13 PM
  • tranthihong95it: hê nhô 6/19/2018 9:15:03 PM
  • tranthihong95it:6/19/2018 9:28:42 PM
  • Người vô danh: big_grin 6/19/2018 9:44:40 PM
  • Người vô danh: ai còn 6/19/2018 9:45:05 PM
  • Người vô danh: xem bóng đá k 6/19/2018 9:45:15 PM
  • Người vô danh: hi 6/19/2018 9:47:28 PM
  • ❦ : .. 6/19/2018 10:25:28 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Thanh Nga
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜAlone(๖ۣۜTS)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Linh (~miu~)
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • miumiu
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • Người vô danh