ÁP DỤNG BĐT LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về cách áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào giải các bài toán định tính các tam giác đều, cân, vuông... và giải cực trị lượng giác

1. Định tính tam giác:
a) Tam giác đều:

Đối với loại bài nhận dạng tam giác đều, ta chỉ cần giải bất đẳng thức lượng giác và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT đó. Ta sẽ xét các ví dụ sau để thấy rõ điều đó.

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$đều khi thỏa: ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
${\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 3\left( {{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2} \right)$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant \frac{9}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \\
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)  \\
\end{array} $
mà   ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}$
$ \Rightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}.\frac{9}{4} = \frac{{81}}{4}{R^2}$
$ \Rightarrow $ ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều $ \Rightarrow $Đpcm.

Ví dụ 2:    
CMR nếu $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}} \leqslant \frac{{a + b}}{{8c}} = \frac{{2R\left( {\sin A + \sin B} \right)}}{{2R.8\sin C}} = \frac{{2R.2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{2R.8.2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}} = \frac{{\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{8\sin \frac{C}{2}}} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}  \\
   \Leftrightarrow 8\cos \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant 1  \\
   \Leftrightarrow 4\cos \frac{{A + B}}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0  \\
\end{array} $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{{A + B}}{2} - 4\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 \geqslant 0  \\
   \Leftrightarrow {\left( {2\cos \frac{{A + B}}{2} - \cos \frac{{A - B}}{2}} \right)^2} + {\sin ^2}\frac{{A - B}}{2} \geqslant 0  \\
    \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.
    
Ví dụ 3:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa: $2\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
Lời giải:
Theo đề bài ta có:
$2.2p\left( {\frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow \frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
\end{array} $
Ta lại có:  $\frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} \leqslant \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{\cot \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2}}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)$
Tương tự ta có:
$\frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)$
$\frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2}} \right)$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)  \\
   \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right) \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu thỏa $S = 3Rr\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C = 2.{R^2}.2.2.2.\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
   = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = r4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
\end{array} $
$ \leqslant r4R\frac{{3\sqrt 3 }}{8} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}Rr$
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa ${m_a}{m_b}{m_c} = pS$
Lời giải:
Ta có:  ${m_a}^2 = \frac{1}{4}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} \right) \geqslant \frac{1}{2}bc\left( {1 + \cos A} \right) = bc{\cos ^2}\frac{A}{2}$

$\begin{array}
  \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Rightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} - 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}  \\
   \Rightarrow {\cos ^2}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{4bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{4bc}} = \frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}  \\
   \Rightarrow {m_a} \geqslant \sqrt {p\left( {p - a} \right)}   \\
\end{array} $
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  {m_b} \geqslant \sqrt {p\left( {p - b} \right)}   \\
  {m_c} \geqslant \sqrt {p\left( {p - c} \right)}   \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} \geqslant p\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = pS  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

b) Tam giác cân:
Đối với dạng bài nhận dạng tam giác cân, ta cần phải chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức là khi 2 biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$cân khi nó thỏa điều kiện ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2}$ và nhọn.
Lời giải:
Ta có: $\tan A + \tan B = \frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right)}} = \frac{{2\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)}} = \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}}$
Vì $\cos \left( {A - B} \right) \leqslant 1 \Rightarrow \cos \left( {A - B} \right) - \cos C \leqslant 1 - \cos C = 2{\sin ^2}\frac{C}{2}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}} \geqslant \frac{{2\sin C}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = \frac{{4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = 2\cot \frac{C}{2} = 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
   \Rightarrow \tan A + \tan B \geqslant 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
\end{array} $
Từ giả thiết: ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2} \leqslant 2{\left( {\frac{{\tan A + \tan B}}{2}} \right)^2}$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}A + {{\tan }^2}B} \right) \leqslant {\tan ^2}A + {\tan ^2}B + 2\tan A\tan B  \\
   \Leftrightarrow {\left( {\tan A - \tan B} \right)^2} \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow A = B  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 2:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa ${h_a} = \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Lời giải:
Trong mọi tam giác ta luôn có: ${h_a} \leqslant {l_a} = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}$
Mà $b + c \geqslant 2\sqrt {bc}  \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}} \leqslant \frac{{bc}}{{\sqrt {bc} }} = \sqrt {bc} $
$ \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2} \Rightarrow {h_a} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 3:
CMR nếu thỏa $r + {r_a} = 4R\sin \frac{B}{2}$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  r + {r_a} = \left( {p - b} \right)\tan \frac{b}{2} + p\tan \frac{B}{2} = \left( {2p - b} \right)\tan \frac{B}{2} = \left( {a + c} \right)\tan \frac{B}{2} = 2R\left( {\sin A + \sin C} \right)\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}  \\
   = 4R\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A + C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\cos \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\sin \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
   \Rightarrow r + {r_a} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu $S = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có: ${a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant \frac{1}{2}ab \geqslant \frac{1}{2}ab\sin C = S$
$ \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant S \Rightarrow $$\Delta ABC$cân nếu thỏa đk đề bài.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa $2\cos A + \cos B + \cos C = \frac{9}{4}$
Lời giải:
Ta có:
$2\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{A}{2}} \right) + 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}$
  $\begin{array}
   =  - 4{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}{\cos ^2}\frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4}  \\
   =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{B - C}}{2} + \frac{9}{4} \leqslant \frac{9}{4}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi B=C $ \Rightarrow $ Đpcm.

c) Tam giác vuông:
Đối với dạng bài tập nhận dạng tam giác vuông, ta ít khi cần dùng đến các BĐT lượng giác mà thường là chỉ cần sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương là được.    

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức $3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15$
Chứng minh $\vartriangle $ABC vuông.
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B \leqslant \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B} \right)}  = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C \leqslant \sqrt {\left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right)}  = 10  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow 3\cos B + 4\sin B + 6\sin C + 8\cos C \leqslant 15$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C = 10  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \frac{{\cos B}}{3} = \frac{{\sin B}}{4}  \\
  \frac{{\sin C}}{6} = \frac{{\cos C}}{8}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan B = \frac{4}{3}  \\
  \cot C = \frac{4}{3}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \tan B = \cot C \Leftrightarrow B + C = \frac{\pi }{2}$
Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2. Cực trị lượng giác:
Đây là một lĩnh vực khó, đòi hỏi người giải cần phải tự mình sử dụng khéo léo các bất đẳng thức lượng giác phù hợp cũng như phải có một vốn kiến thức khá lớn về bất đẳng thức để có thể tìm ra đáp án của bài toán.

Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x,y) = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Với a,b,c,d là các hằng số dương.
Lời giải:
Đặt $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2}$ với ${f_1} = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}}$ và ${f_2} = \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Ta có:  $c + d = c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + d\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right)$                             
Do đó: $\left( {c + d} \right){f_1} = \left[ {\left( {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \right) + \left( {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \right)} \right]\left[ {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{{{\cos }^4}x}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}} \right]$
$ \geqslant {\left( {\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} }} + \sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} }}} \right)^2} = 1$
$ \Rightarrow {f_1} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Tương tự $ \Rightarrow {f_2} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Vậy $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2} \geqslant \frac{{a + b}}{{c + d}}$

Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \cos 3A + \cos 3B - \cos 3C$
Lời giải:
Ta có: $\cos 3C = \cos 3\left[ {\pi  - \left( {A + B} \right)} \right] = \cos \left[ {3\pi  - 3\left( {A - B} \right)} \right] =  - \cos 3\left( {A + B} \right)$ nên
$\begin{array}
  P = \cos 3A + \cos 3B + \cos 3\left( {A + B} \right) = 2\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) - 1  \\
   \Rightarrow P + \frac{3}{2} = 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + \frac{1}{2} = f(x,y)  \\
\end{array} $
$\Delta \prime  = {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0 \Rightarrow P \geqslant  - \frac{3}{2}$
$\begin{array}
  P =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \Delta \prime  = 0  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 1  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \cos 3A =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \left[ \begin{array}
  A = \frac{{2\pi }}{9}  \\
  A = \frac{{4\pi }}{9}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy ${P_{\min }} =  -  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  A = B = \frac{{2\pi }}{9},C = \frac{{5\pi }}{9}  \\
  A = B = \frac{{4\pi }}{9},C = \frac{\pi }{9}  \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}}$
Lời giải:
Ta có:
$P = \frac{3}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}} - 1$
$\begin{array}
   = \frac{3}{{3 - \left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)}} - 1  \\
   \leqslant \frac{3}{{3 - \frac{9}{4}}} - 1 = 3  \\
\end{array} $
Do đó ${P_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x} $
Lời giải:
Điều kiện: $\sin x \geqslant 0,\cos x \geqslant 0$
Ta có: $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \leqslant \sqrt[4]{{\sin x}} \leqslant 1$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin x = 1  \\
  \cos x = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $
Mặt khác $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \geqslant  - \cos x \geqslant  - 1$
Dấu bằng xảy ra $\left\{ \begin{array}
  \sin x = 0  \\
  \cos x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = 2k\pi $
Vậy $\left\{ \begin{array}
  {y_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi   \\
  {y_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow x = 2k\pi   \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 5:
Cho hàm số $y = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$. Hãy tìm Max $y$trên miền xác định của nó.
Lời giải:
Vì $\sin x$và $\cos x$ không đồng thời bằng 1 nên $y$ xác định trên R.
${Y_0}$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi ${Y_0} = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$ có nghiệm.
$ \Leftrightarrow {Y_0}\sin x + \left( {{Y_0} - 1} \right)\cos x = 2{Y_0} + 2$ có nghiệm.
$\begin{array}
  {\left( {2{Y_0} + 2} \right)^2} \leqslant {Y_0}^2 + {\left( {{Y_0} - 1} \right)^2}  \\
   \Leftrightarrow 2{Y_0}^2 + 10{Y_0} + 3 \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {19} }}{2} \leqslant {Y_0} \leqslant \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}  \\
\end{array} $
Vậy ${y_{\max }} = \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}$

Bài tập rèn luyện
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:
1)    $\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A = \frac{3}{4}$
2)    $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \sin A + \sin B + \sin C$
3)    $\frac{1}{{\sin 2A}} + \frac{1}{{\sin 2B}} + \frac{1}{{\sin 2C}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}\tan A\tan B\tan C$
4)    ${\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\cot A + \cot B + \cot C}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}}$
5)    $\frac{{a\cos A + b\cos B + c\cos C}}{{a + b + c}} = \frac{1}{2}$
6)    ${l_a}{l_b}{l_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
7)    ${m_a}{m_b}{m_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
8)    $bc\cot \frac{A}{2} + ca\cot \frac{B}{2} + ab\cot \frac{C}{2} = 12S$
9)    $\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = 5 + \frac{{26\sqrt 3 }}{9}$

Chat chit và chém gió
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: L 6/2/2019 10:11:49 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: L 6/2/2019 10:11:49 PM
  • Bé Xíu: ghi đầy đủ 6/2/2019 10:12:00 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: rolling_on_the_floor thăng e ngâu 6/2/2019 10:12:02 PM
  • Bé Xíu: ui mẹ ui 6/2/2019 10:12:22 PM
  • Bé Xíu: vừa nhìn thấy con thằn lằn, giật thột 6/2/2019 10:12:32 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: bắt ăn đi cj 6/2/2019 10:12:46 PM
  • Bé Xíu: đến con gián cj cx sợ 6/2/2019 10:13:13 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: cj ơi cj thấy ng ấy của e đâu ko 6/2/2019 10:13:15 PM
  • Bé Xíu: ko e 6/2/2019 10:13:26 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: chạy đâu rồi ko biết nữa 6/2/2019 10:13:44 PM
  • Bé Xíu: Dũng chạy luôn r 6/2/2019 10:13:53 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: e đang kiếm ng của e 6/2/2019 10:14:25 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: kệ nó đi 6/2/2019 10:14:31 PM
  • ThỏConBốiRối: em làm việc nháu xíu @@ 6/2/2019 10:14:35 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: thôi thấy rồi 6/2/2019 10:15:02 PM
  • ThỏConBốiRối: 2 anh chị hợp nhau nhỉ :v 6/2/2019 10:15:04 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: ai vs ai? 6/2/2019 10:15:13 PM
  • Bé Xíu: laughing 6/2/2019 10:15:18 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:15:44 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @min là ai thế? 6/2/2019 10:16:01 PM
  • Minsoft: admin 6/2/2019 10:16:11 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:16:12 PM
  • ThỏConBốiRối: chị với anh =0) 6/2/2019 10:16:26 PM
  • ThỏConBốiRối: anh với chị rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:16:29 PM
  • Bé Xíu: anh chị nào e 6/2/2019 10:16:35 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @@ 6/2/2019 10:17:17 PM
  • ThỏConBốiRối: chị với anh đó rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:17:25 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: @min là admin à 6/2/2019 10:17:31 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: kệ 1 6/2/2019 10:17:33 PM
  • Bé Xíu: có lẽ chết 6/2/2019 10:17:36 PM
  • Bé Xíu: cj vs nó hợp nhau cái j 6/2/2019 10:17:42 PM
  • ThỏConBốiRối: cứ gặp nhau là cãi nhau rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:18:07 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:18:17 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: chưa đập là may 6/2/2019 10:18:52 PM
  • ThỏConBốiRối: đập đi em hốt xác rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:19:18 PM
  • Minsoft: big_grin 6/2/2019 10:21:40 PM
  • ThỏConBốiRối: tản cư đi hết rồi -_- 6/2/2019 10:26:49 PM
  • B҉ãO҉-t҉ố҉: thằng đồng chí t đâu rồi 6/2/2019 10:30:59 PM
  • ThỏConBốiRối: ra đi ra đi vì Tổ quốc rồi ạ rolling_on_the_floor 6/2/2019 10:38:38 PM
  • Kiệt2003: hú hú hú mn 6/4/2019 8:25:50 PM
  • Kiệt2003: có ai k 6/4/2019 8:25:55 PM
  • Kiệt2003: hú hú 6/4/2019 8:25:56 PM
  • nguyencongluc82: hello 6/5/2019 11:08:40 PM
  • nguyencongluc82: Địt mẹ 6/5/2019 11:08:51 PM
  • nguyencongluc82: địt lồn 6/5/2019 11:09:56 PM
  • nguyencongluc82: ơ ghi được nè 6/5/2019 11:10:01 PM
  • nguyencongluc82: lồn , cặc 6/5/2019 11:10:09 PM
  • nguyencongluc82: Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước 6/5/2019 11:10:49 PM
  • nguyencongluc82: Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước Cận cảnh cặc đụ lồn phụt nước 6/5/2019 11:10:53 PM
  • nguyencongluc82: link xvideo.com 6/5/2019 11:11:08 PM
  • ThỏConBốiRối: uầy 6/7/2019 8:00:43 PM
  • ThỏConBốiRối: lâu lắm mới thấy anh Kiệt 6/7/2019 8:00:48 PM
  • nguyentuyethoa9b: ơ .__. 6/7/2019 8:35:20 PM
  • Minsoft: big_grin 6/7/2019 9:31:46 PM
  • Go: big_grin 6/8/2019 10:45:56 AM
  • nguyenhnam6626: ban nao chi minh cach tinh xac suat cai 6/9/2019 9:51:53 AM
  • nguyenhnam6626: cach tren kho hieu wa~ 6/9/2019 9:52:14 AM
  • nguyenhnam6626: nail_biting 6/9/2019 9:52:24 AM
  • Minsoft: chào các cháu big_grin 6/10/2019 4:18:29 PM
  • Ruanyu Jian: big_grin 6/12/2019 3:40:04 PM
  • ๖ۣۜNắng(M): này 6/12/2019 3:42:26 PM
  • ๖ۣۜNắng(M): haz thôi bỏ đi 6/12/2019 3:43:03 PM
  • Ruanyu Jian: ơ 6/12/2019 3:47:40 PM
  • Ruanyu Jian: sao thế 6/12/2019 3:47:42 PM
  • Effort: Lâu k vào chẳng còn ai quen 6/13/2019 12:13:09 AM
  • 111aze: Làm thế nào để đăng ảnh vào được nhỉ? 6/15/2019 11:40:41 PM
  • 111aze: Còn ai sống không? 6/16/2019 7:15:44 PM
  • Thanh Nga: chấm chấm chấm 6/16/2019 8:11:58 PM
  • Thanh Nga: hỏi chấm happy 6/16/2019 8:12:02 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: fuck 6/16/2019 8:13:11 PM
  • Thanh Nga: ???? TÙNG 6/16/2019 8:14:39 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinhi c 6/16/2019 8:16:11 PM
  • Thanh Nga: chào em laughing) còn tưởng cb chửi nhau đến nơi rrolling_on_the_floor) 6/16/2019 8:16:58 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinc lớn r còn lên đây lm chi 6/16/2019 8:17:36 PM
  • Thanh Nga: rolling_on_the_floor) xem cn ai sống k thôi rolling_on_the_floor 6/16/2019 8:18:59 PM
  • Thanh Nga: e ns z thì thôi, cj lại off hôm khác lên chs tiếp 6/16/2019 8:19:23 PM
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽: big_grinhi 6/16/2019 8:21:57 PM
  • 111aze: ¬_¬ 6/16/2019 9:36:33 PM
  • Kiệt2003: hú hú mn 6/17/2019 8:22:20 AM
  • Thiên Bình: A N Y O N E A L I V E ? 6/17/2019 3:50:12 PM
  • Thiên Bình: surprise 6/17/2019 7:02:20 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:03 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:03 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:04 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:05 PM
  • Thiên Bình: . 6/17/2019 7:12:06 PM
  • admin123: Let x=asinθ⟹dx=acosθ dθ ∫a0x2a2−x2−−−−−−√ dx=∫π/20a2sin2θ(acosθwinking(acosθ dθwinking =a4∫π/20sin2θcos2θ dθ =a44∫π/20(2sinθcosθwinking2 dθ =a44∫π/20sin22θ dθ =a44∫π/201−cos4θ2 dθ =a48∫π/20(1−cos4θwinking dθ =a48(π2−0)=πa416 6/17/2019 8:57:35 PM
  • Thiên Bình: aaaaaaaa 6/17/2019 8:59:26 PM
  • admin123: ∫a0x2a2−x2−−−−−−√ dx=∫π/20a2sin2θ(acosθwinking(acosθ dθwinking =a4∫π/20sin2θcos2θ dθ =a44∫π/20(2sinθcosθwinking2 dθ =a44∫π/20sin22θ dθ =a44∫π/201−cos4θ2 dθ =a48∫π/20(1−cos4θwinking dθ =a48(π2−0)=πa416 6/17/2019 9:00:48 PM
  • Thiên Bình: Everyone's dead sad 6/17/2019 9:00:57 PM
  • Thiên Bình: oh, still a person alive 6/17/2019 9:01:16 PM
  • Thiên Bình: but he's very stupid sad 6/17/2019 9:01:32 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • tranhai98
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • B҉ãO҉-t҉ố҉
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • ☆☆Lãnh Hoàng Băng Ngọc ☆☆
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜNắng(M)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lê Thùy
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • fbt1800555581
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Cao Linh
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99
  • laitridung2004
  • nguyenthuhangtdvp
  • thulively
  • btquyen11a2
  • giangbap0388
  • trung3152003
  • ★.29.★