ÁP DỤNG BĐT LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN


Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về cách áp dụng bất đẳng thức lượng giác vào giải các bài toán định tính các tam giác đều, cân, vuông... và giải cực trị lượng giác

1. Định tính tam giác:
a) Tam giác đều:

Đối với loại bài nhận dạng tam giác đều, ta chỉ cần giải bất đẳng thức lượng giác và chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT đó. Ta sẽ xét các ví dụ sau để thấy rõ điều đó.

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$đều khi thỏa: ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
${\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 3\left( {{m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2} \right)$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant \frac{9}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \\
   \Leftrightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}\left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)  \\
\end{array} $
mà   ${\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}$
$ \Rightarrow {\left( {{m_a} + {m_b} + {m_c}} \right)^2} \leqslant 9{R^2}.\frac{9}{4} = \frac{{81}}{4}{R^2}$
$ \Rightarrow $ ${m_a} + {m_b} + {m_c} = \frac{9}{2}R$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Delta ABC$đều $ \Rightarrow $Đpcm.

Ví dụ 2:    
CMR nếu $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}} \leqslant \frac{{a + b}}{{8c}} = \frac{{2R\left( {\sin A + \sin B} \right)}}{{2R.8\sin C}} = \frac{{2R.2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{2R.8.2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}} = \frac{{\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{8\sin \frac{C}{2}}} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant \frac{1}{{8\cos \frac{{A + B}}{2}}}  \\
   \Leftrightarrow 8\cos \frac{{A + B}}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \leqslant 1  \\
   \Leftrightarrow 4\cos \frac{{A + B}}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0  \\
\end{array} $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\frac{{A + B}}{2} - 4\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 \geqslant 0  \\
   \Leftrightarrow {\left( {2\cos \frac{{A + B}}{2} - \cos \frac{{A - B}}{2}} \right)^2} + {\sin ^2}\frac{{A - B}}{2} \geqslant 0  \\
    \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.
    
Ví dụ 3:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa: $2\left( {{h_a} + {h_b} + {h_c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
Lời giải:
Theo đề bài ta có:
$2.2p\left( {\frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\sqrt 3 $
$\begin{array}
   \Leftrightarrow \frac{r}{a} + \frac{r}{b} + \frac{r}{c} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}  \\
\end{array} $
Ta lại có:  $\frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} \leqslant \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{\cot \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2}}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)$
Tương tự ta có:
$\frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)$
$\frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} = \frac{1}{4}\left( {\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2}} \right)$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{1}{{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}}} + \frac{1}{{\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}}} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)  \\
   \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} \leqslant \frac{1}{2}\left( {\tan \frac{A}{2} + t\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right) \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \geqslant \sqrt 3   \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu thỏa $S = 3Rr\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thì $\Delta ABC$đều.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  S = 2{R^2}\sin A\sin B\sin C = 2.{R^2}.2.2.2.\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
   = 4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = r4R\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}  \\
\end{array} $
$ \leqslant r4R\frac{{3\sqrt 3 }}{8} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}Rr$
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa ${m_a}{m_b}{m_c} = pS$
Lời giải:
Ta có:  ${m_a}^2 = \frac{1}{4}\left( {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos A} \right) \geqslant \frac{1}{2}bc\left( {1 + \cos A} \right) = bc{\cos ^2}\frac{A}{2}$

$\begin{array}
  \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \Rightarrow 2{\cos ^2}\frac{A}{2} - 1 = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}  \\
   \Rightarrow {\cos ^2}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc}}{{4bc}} = \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}}}{{4bc}} = \frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}  \\
   \Rightarrow {m_a} \geqslant \sqrt {p\left( {p - a} \right)}   \\
\end{array} $
Tương tự ta có:
$\begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  {m_b} \geqslant \sqrt {p\left( {p - b} \right)}   \\
  {m_c} \geqslant \sqrt {p\left( {p - c} \right)}   \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow {m_a}{m_b}{m_c} \geqslant p\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = pS  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

b) Tam giác cân:
Đối với dạng bài nhận dạng tam giác cân, ta cần phải chỉ ra điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức là khi 2 biến bằng nhau và khác biến thứ ba. Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1:
CMR $\Delta ABC$cân khi nó thỏa điều kiện ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2}$ và nhọn.
Lời giải:
Ta có: $\tan A + \tan B = \frac{{\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right)}} = \frac{{2\sin \left( {A + B} \right)}}{{\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)}} = \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}}$
Vì $\cos \left( {A - B} \right) \leqslant 1 \Rightarrow \cos \left( {A - B} \right) - \cos C \leqslant 1 - \cos C = 2{\sin ^2}\frac{C}{2}$
$\begin{array}
   \Rightarrow \frac{{2\sin C}}{{\cos \left( {A - B} \right) - \cos C}} \geqslant \frac{{2\sin C}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = \frac{{4\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} = 2\cot \frac{C}{2} = 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
   \Rightarrow \tan A + \tan B \geqslant 2\tan \frac{{A + B}}{2}  \\
\end{array} $
Từ giả thiết: ${\tan ^2}A + {\tan ^2}B = 2{\tan ^2}\frac{{A + B}}{2} \leqslant 2{\left( {\frac{{\tan A + \tan B}}{2}} \right)^2}$
$\begin{array}
   \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}A + {{\tan }^2}B} \right) \leqslant {\tan ^2}A + {\tan ^2}B + 2\tan A\tan B  \\
   \Leftrightarrow {\left( {\tan A - \tan B} \right)^2} \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow A = B  \\
\end{array} $
$ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 2:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa ${h_a} = \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Lời giải:
Trong mọi tam giác ta luôn có: ${h_a} \leqslant {l_a} = \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2}$
Mà $b + c \geqslant 2\sqrt {bc}  \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}} \leqslant \frac{{bc}}{{\sqrt {bc} }} = \sqrt {bc} $
$ \Rightarrow \frac{{2bc}}{{b + c}}\cos \frac{A}{2} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2} \Rightarrow {h_a} \leqslant \sqrt {bc} \cos \frac{A}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 3:
CMR nếu thỏa $r + {r_a} = 4R\sin \frac{B}{2}$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}
  r + {r_a} = \left( {p - b} \right)\tan \frac{b}{2} + p\tan \frac{B}{2} = \left( {2p - b} \right)\tan \frac{B}{2} = \left( {a + c} \right)\tan \frac{B}{2} = 2R\left( {\sin A + \sin C} \right)\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}  \\
   = 4R\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A + C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\cos \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2}\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} = 4R\sin \frac{B}{2}\cos \frac{{A - C}}{2} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
   \Rightarrow r + {r_a} \leqslant 4R\sin \frac{B}{2}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$cân $ \Rightarrow $ Đpcm.

Ví dụ 4:
CMR nếu $S = \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$ thì $\Delta ABC$cân.
Lời giải:
Ta có: ${a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant \frac{1}{2}ab \geqslant \frac{1}{2}ab\sin C = S$
$ \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \geqslant S \Rightarrow $$\Delta ABC$cân nếu thỏa đk đề bài.

Ví dụ 5:
CMR $\Delta ABC$cân khi thỏa $2\cos A + \cos B + \cos C = \frac{9}{4}$
Lời giải:
Ta có:
$2\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{A}{2}} \right) + 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}$
  $\begin{array}
   =  - 4{\sin ^2}\frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}{\cos ^2}\frac{{B - C}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{9}{4}  \\
   =  - {\left( {2\sin \frac{A}{2} - \frac{1}{2}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}{\sin ^2}\frac{{B - C}}{2} + \frac{9}{4} \leqslant \frac{9}{4}  \\
\end{array} $
Đẳng thức xảy ra khi B=C $ \Rightarrow $ Đpcm.

c) Tam giác vuông:
Đối với dạng bài tập nhận dạng tam giác vuông, ta ít khi cần dùng đến các BĐT lượng giác mà thường là chỉ cần sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương là được.    

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức $3\left( {\cos B + 2\sin C} \right) + 4\left( {\sin B + 2\cos C} \right) = 15$
Chứng minh $\vartriangle $ABC vuông.
Lời giải:
Theo Bunhiacốpxki ta có:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B \leqslant \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B} \right)}  = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C \leqslant \sqrt {\left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}C + {{\cos }^2}C} \right)}  = 10  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow 3\cos B + 4\sin B + 6\sin C + 8\cos C \leqslant 15$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}
  3\cos B + 4\sin B = 5  \\
  6\sin C + 8\cos C = 10  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \frac{{\cos B}}{3} = \frac{{\sin B}}{4}  \\
  \frac{{\sin C}}{6} = \frac{{\cos C}}{8}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \tan B = \frac{4}{3}  \\
  \cot C = \frac{4}{3}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \tan B = \cot C \Leftrightarrow B + C = \frac{\pi }{2}$
Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2. Cực trị lượng giác:
Đây là một lĩnh vực khó, đòi hỏi người giải cần phải tự mình sử dụng khéo léo các bất đẳng thức lượng giác phù hợp cũng như phải có một vốn kiến thức khá lớn về bất đẳng thức để có thể tìm ra đáp án của bài toán.

Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$f(x,y) = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Với a,b,c,d là các hằng số dương.
Lời giải:
Đặt $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2}$ với ${f_1} = \frac{{a{{\sin }^4}x + b{{\cos }^4}y}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}}$ và ${f_2} = \frac{{a{{\cos }^4}x + b{{\sin }^4}y}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}$
Ta có:  $c + d = c\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + d\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right)$                             
Do đó: $\left( {c + d} \right){f_1} = \left[ {\left( {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \right) + \left( {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \right)} \right]\left[ {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y}} + \frac{{{{\cos }^4}x}}{{c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y}}} \right]$
$ \geqslant {\left( {\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\sqrt {c{{\sin }^2}x + d{{\cos }^2}y} }} + \sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\sqrt {c{{\cos }^2}x + d{{\sin }^2}y} }}} \right)^2} = 1$
$ \Rightarrow {f_1} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Tương tự $ \Rightarrow {f_2} \geqslant \frac{1}{{c + d}}$. Vậy $f(x,y) = a{f_1} + b{f_2} \geqslant \frac{{a + b}}{{c + d}}$

Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \cos 3A + \cos 3B - \cos 3C$
Lời giải:
Ta có: $\cos 3C = \cos 3\left[ {\pi  - \left( {A + B} \right)} \right] = \cos \left[ {3\pi  - 3\left( {A - B} \right)} \right] =  - \cos 3\left( {A + B} \right)$ nên
$\begin{array}
  P = \cos 3A + \cos 3B + \cos 3\left( {A + B} \right) = 2\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) - 1  \\
   \Rightarrow P + \frac{3}{2} = 2{\cos ^2}3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + \frac{1}{2} = f(x,y)  \\
\end{array} $
$\Delta \prime  = {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) - 1 \leqslant 0 \Rightarrow P \geqslant  - \frac{3}{2}$
$\begin{array}
  P =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \Delta \prime  = 0  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {\cos ^2}3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 1  \\
  \cos 3\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}\cos 3\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \cos 3A =  - \frac{1}{2}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  A = B  \\
  \left[ \begin{array}
  A = \frac{{2\pi }}{9}  \\
  A = \frac{{4\pi }}{9}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy ${P_{\min }} =  -  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  A = B = \frac{{2\pi }}{9},C = \frac{{5\pi }}{9}  \\
  A = B = \frac{{4\pi }}{9},C = \frac{\pi }{9}  \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C}}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}}$
Lời giải:
Ta có:
$P = \frac{3}{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\cos }^2}C}} - 1$
$\begin{array}
   = \frac{3}{{3 - \left( {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)}} - 1  \\
   \leqslant \frac{3}{{3 - \frac{9}{4}}} - 1 = 3  \\
\end{array} $
Do đó ${P_{\max }} = 3 \Leftrightarrow \Delta ABC$đều.

Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x} $
Lời giải:
Điều kiện: $\sin x \geqslant 0,\cos x \geqslant 0$
Ta có: $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \leqslant \sqrt[4]{{\sin x}} \leqslant 1$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  \sin x = 1  \\
  \cos x = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $
Mặt khác $y = \sqrt[4]{{\sin x}} - \sqrt {\cos x}  \geqslant  - \cos x \geqslant  - 1$
Dấu bằng xảy ra $\left\{ \begin{array}
  \sin x = 0  \\
  \cos x = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = 2k\pi $
Vậy $\left\{ \begin{array}
  {y_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi   \\
  {y_{\min }} =  - 1 \Leftrightarrow x = 2k\pi   \\
\end{array}  \right.$

Ví dụ 5:
Cho hàm số $y = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$. Hãy tìm Max $y$trên miền xác định của nó.
Lời giải:
Vì $\sin x$và $\cos x$ không đồng thời bằng 1 nên $y$ xác định trên R.
${Y_0}$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi ${Y_0} = \frac{{2 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}$ có nghiệm.
$ \Leftrightarrow {Y_0}\sin x + \left( {{Y_0} - 1} \right)\cos x = 2{Y_0} + 2$ có nghiệm.
$\begin{array}
  {\left( {2{Y_0} + 2} \right)^2} \leqslant {Y_0}^2 + {\left( {{Y_0} - 1} \right)^2}  \\
   \Leftrightarrow 2{Y_0}^2 + 10{Y_0} + 3 \leqslant 0  \\
   \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {19} }}{2} \leqslant {Y_0} \leqslant \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}  \\
\end{array} $
Vậy ${y_{\max }} = \frac{{ - 5 + \sqrt {19} }}{2}$

Bài tập rèn luyện
CMR $\Delta ABC$đều khi nó thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:
1)    $\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A = \frac{3}{4}$
2)    $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \sin A + \sin B + \sin C$
3)    $\frac{1}{{\sin 2A}} + \frac{1}{{\sin 2B}} + \frac{1}{{\sin 2C}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}\tan A\tan B\tan C$
4)    ${\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\cot A + \cot B + \cot C}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}}$
5)    $\frac{{a\cos A + b\cos B + c\cos C}}{{a + b + c}} = \frac{1}{2}$
6)    ${l_a}{l_b}{l_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
7)    ${m_a}{m_b}{m_c} = abc\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$
8)    $bc\cot \frac{A}{2} + ca\cot \frac{B}{2} + ab\cot \frac{C}{2} = 12S$
9)    $\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = 5 + \frac{{26\sqrt 3 }}{9}$

Chat chit và chém gió
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): tại để tên a ý nên là chúng nó tưởng vậy 11/15/2018 9:29:20 PM
  • nighttrouble187 ☭: 𝔩ớ𝔫 𝔯ồ𝔦 𝔨𝔥ô𝔫𝔤 𝔡ù𝔫𝔤 𝔱𝔢𝔢𝔫𝔠𝔬𝔡𝔢 𝔫ữ𝔞 11/15/2018 9:29:33 PM
  • Kiệt2003: ummm 11/15/2018 9:29:35 PM
  • nighttrouble187 ☭: 𝔩ớ𝔫 𝔯ồ𝔦 𝔨𝔥ô𝔫𝔤 𝔡ù𝔫𝔤 𝔱𝔢𝔢𝔫𝔠𝔬𝔡𝔢 𝔫ữ𝔞 11/15/2018 9:29:45 PM
  • nighttrouble187 ☭: ḷớṅ ṛồï ḳḧôṅġ ḋùṅġ ẗëëṅċöḋë ṅữä 11/15/2018 9:30:13 PM
  • Jack Nguyễn: hello 11/15/2018 9:30:18 PM
  • Kiệt2003: hi jack 11/15/2018 9:30:28 PM
  • Jack Nguyễn: có ai 17 tuổi ko 11/15/2018 9:30:35 PM
  • nighttrouble187 ☭: ʟớɴ ʀồɪ ᴋʜôɴɢ ᴅùɴɢ ᴛᴇᴇɴᴄᴏᴅᴇ ɴữᴀ 11/15/2018 9:30:35 PM
  • Rushia: Chào Bnhappy 11/15/2018 9:30:41 PM
  • Jack Nguyễn: hi 11/15/2018 9:31:06 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): vt chữ bth thoiiii 11/15/2018 9:31:08 PM
  • nighttrouble187 ☭: 𝙹𝚊𝚌𝚔 𝚋ằ𝚗𝚐 𝚝𝚞ổ𝚒 𝚝ô𝚒 11/15/2018 9:31:22 PM
  • nighttrouble187 ☭: 2001 hả 11/15/2018 9:31:29 PM
  • Rushia: rolling_on_the_floor) 11/15/2018 9:31:30 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:31:43 PM
  • Jack Nguyễn: smart thật 11/15/2018 9:31:49 PM
  • nighttrouble187 ☭: 𝚌𝚑à𝚘 𝙹𝚊𝚌𝚔 𝚗𝚑é 11/15/2018 9:32:26 PM
  • Jack Nguyễn: trg bn cb thi chưa 11/15/2018 9:32:50 PM
  • Kiệt2003: à ra hai người này về vụ thi đai học 11/15/2018 9:33:27 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴄʜưᴀ ʙạɴ ơɪ ɢầɴ ᴛếᴛ ᴍớɪ ᴛʜɪ 11/15/2018 9:33:28 PM
  • Jack Nguyễn: :v 11/15/2018 9:33:43 PM
  • Jack Nguyễn: sướng vậy 11/15/2018 9:33:57 PM
  • Rushia: Nãy giờ họ ns 17t mà e k nhận ra sao K 11/15/2018 9:34:05 PM
  • Rushia: laughing) 11/15/2018 9:34:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ʙạɴ ᴛʜɪ ᴛʀườɴɢ ɢỉ ʜả ᴊᴀᴄᴋ 11/15/2018 9:34:16 PM
  • Jack Nguyễn: mk cx chưa biết 11/15/2018 9:34:32 PM
  • Jack Nguyễn: hiện h đang ôn ielts 11/15/2018 9:34:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): lé mắt hết r :3 11/15/2018 9:35:11 PM
  • nighttrouble187 ☭: mình định thi 𝔨𝔦𝔫𝔥 𝔱ế đạ𝔦 𝔥ọ𝔠 𝔮𝔲ố𝔠 𝔤𝔦𝔞 𝔥à 𝔫ộ𝔦 11/15/2018 9:35:43 PM
  • Jack Nguyễn: wowww 11/15/2018 9:36:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ ɴày 11/15/2018 9:36:32 PM
  • Rushia: Đh ktqdrolling_on_the_floor) 11/15/2018 9:36:35 PM
  • Rushia: Nhiều ng tài 11/15/2018 9:36:46 PM
  • Kiệt2003: haiz 11/15/2018 9:36:52 PM
  • Jack Nguyễn: me too 11/15/2018 9:37:12 PM
  • Jack Nguyễn: cho nhàn 11/15/2018 9:37:29 PM
  • nighttrouble187 ☭: căn bản ngu hoá 11/15/2018 9:37:40 PM
  • nighttrouble187 ☭: mù lý 11/15/2018 9:37:44 PM
  • nighttrouble187 ☭: học khối D 11/15/2018 9:37:55 PM
  • Jack Nguyễn: mk ko ngu hóa vs lý nhưng ban d cho dễ 11/15/2018 9:37:59 PM
  • nighttrouble187 ☭: có tiếng anh lợi hơn chúng nó 11/15/2018 9:38:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: học Văn cho nó yêu đời 11/15/2018 9:38:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: đâᴍ ʀᴀ ʟà ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ 11/15/2018 9:39:08 PM
  • nighttrouble187 ☭: đang học hình không gian -.- 11/15/2018 9:39:22 PM
  • Jack Nguyễn: dễ mà 11/15/2018 9:39:33 PM
  • Jack Nguyễn: ko khó đâu 11/15/2018 9:40:25 PM
  • nighttrouble187 ☭: dễ hay khó vẫn phải học :3 11/15/2018 9:40:38 PM
  • Jack Nguyễn: dùng trí tưởng tượng ý 11/15/2018 9:40:38 PM
  • nighttrouble187 ☭: có học có hơn 11/15/2018 9:40:47 PM
  • Jack Nguyễn: cx đúng 11/15/2018 9:40:54 PM
  • nighttrouble187 ☭: chả đúng thì sao :v 11/15/2018 9:41:05 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của bạn mấy ? 11/15/2018 9:41:29 PM
  • Jack Nguyễn: mk đang ôn cho 5.5 11/15/2018 9:41:45 PM
  • Jack Nguyễn: hết lp 12 thì là 5.5 11/15/2018 9:41:57 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của mình được 7 rồi 11/15/2018 9:42:38 PM
  • hoangminhhero2003: likhl 11/15/2018 9:42:41 PM
  • Jack Nguyễn: ghê 11/15/2018 9:42:50 PM
  • Kiệt2003: hi minh 11/15/2018 9:42:51 PM
  • hoangminhhero2003: hi 11/15/2018 9:42:57 PM
  • Jack Nguyễn: hi new member 11/15/2018 9:43:04 PM
  • hoangminhhero2003: happy 11/15/2018 9:43:42 PM
  • nighttrouble187 ☭: i am signing. out , peace out 11/15/2018 9:43:59 PM
  • Kiệt2003: haiz 2 năm nữa thôi 11/15/2018 9:44:46 PM
  • Jack Nguyễn: try hard 11/15/2018 9:45:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: try harder , no pressure , no diamond 11/15/2018 9:45:36 PM
  • Jack Nguyễn: tưởng sign out 11/15/2018 9:45:53 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:46:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: thôi thì 𝓹𝓮𝓪𝓬𝓮 𝓸𝓾𝓽 :3 11/15/2018 9:46:35 PM
  • hoangminhhero2003: iop[; 11/15/2018 9:51:32 PM
  • hoangminhhero2003: tiếp đi 11/15/2018 9:57:48 PM
  • Rushia: Hết ng chưa 11/15/2018 9:58:53 PM
  • hoangminhhero2003: còn ai thì đ danh đi 11/15/2018 10:00:35 PM
  • Rushia: Chào 2k3happy 11/15/2018 10:01:08 PM
  • hoangminhhero2003: chảo 11/15/2018 10:02:08 PM
  • hoangminhhero2003: b bn tuổi 11/15/2018 10:02:26 PM
  • Rushia: E 17t z tính ra làm e rồihappy 11/15/2018 10:05:00 PM
  • Rushia: À mà k đc 17tlaughing 11/15/2018 10:05:35 PM
  • hoangminhhero2003: e 15 mà 11/15/2018 10:06:01 PM
  • Kiệt2003: chán cj nga quá 11/15/2018 10:07:08 PM
  • Kiệt2003: cj k nhớ tuổi của e sao 11/15/2018 10:07:20 PM
  • Rushia: Cj nhầm vs cái bạn trênlaughing) 11/15/2018 10:07:25 PM
  • Rushia: E hơn eg cj 2t 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Kiệt2003: hí hí 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Rushia: Nhớ chứlaughing) 11/15/2018 10:07:47 PM
  • Kiệt2003: eg nào của cj ạ 11/15/2018 10:07:50 PM
  • Rushia: E ruột 11/15/2018 10:07:55 PM
  • Kiệt2003: à vâng 11/15/2018 10:08:29 PM
  • Rushia: Nó vào nick of cj là chủ yếu chứ k vào đây mấyrolling_on_the_floor 11/15/2018 10:08:36 PM
  • Kiệt2003: thế ạ 11/15/2018 10:09:49 PM
  • Rushia: Ukm 11/15/2018 10:11:01 PM
  • Kiệt2003: pp cj nhá engur à 11/15/2018 10:11:44 PM
  • Kiệt2003: pp cj 11/15/2018 10:11:48 PM
  • Rushia: Ngủ sớm z ag 11/15/2018 10:11:55 PM
  • Rushia: E nn. Pp 11/15/2018 10:12:14 PM
  • Kiệt2003: cj ngủ ngon 11/15/2018 10:13:08 PM
  • nhatmicky: wave 11/15/2018 10:27:58 PM
  • nhatmicky: surprisesilly 11/15/2018 10:28:41 PM
  • Rushia: straight_face 11/15/2018 11:03:33 PM
  • laitridung2004: Thấy thì rep nhé Chi 11/15/2018 11:29:56 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lùn
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99