HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II VÀ ĐẲNG CẤP BẬC II


I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu $({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ thì$({y_0};{x_0})$ cũng là nghiệm của hệ.

2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
   

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {f(y,x) = 0}
\end{array}} \right.$
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ1:
Giải hệ phương trình sau:
${\text{(I}})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} - 2x = y} \\
  {{y^2} - 2y = x}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.
Giải:
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được
$\begin{array}
  {\text{     }}(x - y)(x + y) - 2(x - y) =  - (x - y)  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}(x - y)(x + y - 1) = {\text{ }}0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(Ia}})\left\{ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  {x^2} - 2x = y  \\
\end{array}  \right.$    hoặc ${\text{(Ib}})\left\{ \begin{array}
  x + y - 1 = 0  \\
  {x^2} - 2y = y  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).
Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:
$\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là
(0;0), (3;3), $\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Dạng 2:   

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {g(x,y) = 0}
\end{array}} \right.$(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\text{   (1)}}  \\
  2{x^2} - xy - 1 = 0{\text{ (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện:    $x \ne 0;{\text{ y}} \ne {\text{0}}$. Khi đó:
$(1) \Leftrightarrow (x - y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0{\text{    }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  y =  - \frac{1}{x}  \\
\end{array}  \right.$
Với x = y thì (2)$ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$
Với $y =  - \frac{1}{x}$ thì (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).

3. Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :
Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  {y^2} - 3y = 2x  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}{x^2} - {y^2} - 3x + 3y = 2y - 2x  \\
   \Leftrightarrow {\text{(x - y)(x + y - 1)}} = {\text{0}} \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(I}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x - y = 0  \\
\end{array}  \right.$   hoặc   ${\text{(II}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.$
Giải (I):
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2x  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x(x - 5) = 0  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = y = 0 \vee x = y = 5$
Giải (II):
$\begin{array}
  (II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2(1 - x)  \\
  y = 1 - x  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - x - 2 = 0  \\
  y = x - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
  {\text{     }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  - 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right.{\text{  }} \vee {\text{  }}\left\{ \begin{array}
  x = 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm
(0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4{\text{  }}(1)  \\
  \sqrt {2y + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4{\text{  }}(2)  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}
   - \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant 4  \\
   - \frac{3}{2} \leqslant y \leqslant 4  \\
\end{array}  \right.$.
Lấy(1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 3}  - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y}  - \sqrt {4 - x} } \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }} = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y  \\
\end{array} $
Thay x = y vào (1), ta được:
$\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)}  = 16$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12}  = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  9 - x \geqslant 0  \\
  9{x^2} - 38x + 33 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 3  \\
  x = \frac{{11}}{9}  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right),\left( {\frac{{11}}{9};\frac{{11}}{9}} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  2y = \frac{{{y^2} + 1}}{{{x^2}}}  \\
  2x = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $x,y > 0$
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{array}
  2y{x^2} = {y^2} + 1{\text{  (1)}}  \\
  2x{y^2} = {x^2} + 1{\text{  (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
        $\begin{array}
  {\text{     }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2xy(x - y) = y - x  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\,\,\,{\text{mà }}\,\,\,\,\left( {2xy + x + y} \right) > 0  \\
   \Leftrightarrow x = y{\text{     (3)}}  \\
\end{array} $
Thay (3) vào (1) ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}2{x^3} = {x^2} + 1  \\
   \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 1 = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - 1)(\underbrace {2{x^2} + x + 1}_{ > 0\forall x}) = 0 \Leftrightarrow x = 1  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) = (1;1).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải hệ phương trình:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  2x + y = \frac{3}{{{x^2}}}  \\
  2y + x = \frac{3}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. b \right)\left\{ \begin{array}
  xy + {x^2} = 1 + y  \\
  xy + {y^2} = 1 + x  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xy = a(y - 1)  \\
  {y^2} + xy = a(x - 1)  \\
\end{array}  \right.$

Bài 3:
Chứng minh rằng với $a \ne 0$thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}  \\
  2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}  \\
\end{array}  \right.$

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Định nghĩa:

Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,y} \right) = a  \\
  g\left( {x,y} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.

2. Cách giải:
Xét  x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,xt} \right) = a  \\
  g\left( {x,xt} \right) = b  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}f\left( {1,t} \right) = a  \\
  {x^2}g\left( {1,t} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
$f\left( {1,t} \right) = \frac{a}{b}g\left( {1,t} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12  \\
  2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Khi đó (2) $ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 1  \\
  t = 2  \\
\end{array}  \right.\,\,$(thỏa)
Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 2 } \right)$
Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ; \pm \sqrt 2 } \right)$, (1; 2), (–1; –2)

Ví dụ 2:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xym + {y^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right)xy + m{y^2} = m  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x  0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {x^2}tm + {x^2}{t^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right){x^2}t + {x^2}{t^2}m = m  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {{t^2} + tm + 1} \right) = m  \\
  {x^2}\left( {{t^2}m + tm - t + 1} \right) = m  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow \frac{{{t^2} + tm + 1}}{{{t^2}m + tm +  - t + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 0  \\
  \left( {1 - m} \right)t = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Khi t = 0 thì         
Khi (1–m)t = 1    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  y = \frac{x}{{m - 1}}  \\
  {y^2} = \frac{m}{{2{m^2} - 3m + 2}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Vì $2{m^2} - 3m + 2 = 2{\left( {m - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0$ nên (*) có nghĩa$ \Leftrightarrow m \geqslant 1$
 Vậy với $m \geqslant 1$ thì hệ phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 3:
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 4xy + {y^2} = m  \\
  {y^2} - 3xy = 4  \\
\end{array}  \right.$
Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm $\forall m$.
Giải:
Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x   0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành
 
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,\,\left( {**} \right)$
Với m = 4 thì (**) có dạng $ - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thoả)
Với m   4 thì (**) có dạng:
$\left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,$
Với $\Delta  = 9{m^2} - 80m + 192 = {\left( {3m - \frac{{40}}{3}} \right)^2} + \frac{{128}}{9} > 0$
Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm$\forall m$.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. b \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} = 5 - 2xy  \\
  y\left( {x + y} \right) = 10  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2  \\
  2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} + xy + 2y + x = 2  \\
  2{x^2} - {y^2} - 2y - 2 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2}  \\
  {x^2} + 2{y^2} = x + 2y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m  \\
\end{array}  \right.$

cho xin nick zing nhe –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
minh muon ket ban vs cac pro toan hoc . lam quen o nick zing : linhhonbidanhtrai_99 nhe (nho ghi ro loi moi ket ban la thanh vien cua ''hoc tai nha'' nhe)chung ta se chia se kinh nghiem hoc tap cho nhau nhe :(( – –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
Chat chit và chém gió
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:15:06 AM
  • Windy: tha cho chị đi e 9/3/2014 12:15:13 AM
  • Windy: chị buồn ngủ díp mắt v r 9/3/2014 12:15:22 AM
  • nthuyhang2: nếu loại bỏ mấy cái kia thì ns thế nào cj nhể 9/3/2014 12:15:24 AM
  • nthuyhang2: nốt cái này thôi c 9/3/2014 12:15:36 AM
  • Windy: sao lại loại? 9/3/2014 12:15:37 AM
  • Windy: nghiệm đúng mờ 9/3/2014 12:15:45 AM
  • nthuyhang2: thay vào cũng đúng á c 9/3/2014 12:16:03 AM
  • nthuyhang2: mà cái nghiệm t2 của c í 9/3/2014 12:16:37 AM
  • nthuyhang2: e k ra thế đâu 9/3/2014 12:16:44 AM
  • nthuyhang2: ra thế này ạ 9/3/2014 12:17:13 AM
  • nthuyhang2: 0,9999998757 9/3/2014 12:17:21 AM
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:17:27 AM
  • Windy: biết là vậy 9/3/2014 12:17:37 AM
  • Windy: ý chị là chuyển về nghiệm căn í 9/3/2014 12:17:47 AM
  • Windy: nó ra là 9/3/2014 12:17:54 AM
  • nthuyhang2: nhưng 2 cái này có bằng nhau đâu ạ 9/3/2014 12:18:05 AM
  • nthuyhang2: cj viết lại cái căn đi 9/3/2014 12:18:12 AM
  • Windy: đấy chỉ là căn đen ta ' thôi 9/3/2014 12:18:53 AM
  • nthuyhang2: ah 9/3/2014 12:19:02 AM
  • Windy: còn nghiệm thì chắc là như này này 9/3/2014 12:19:07 AM
  • Windy: -4023031/8048072 9/3/2014 12:19:36 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:19:39 AM
  • Windy: a 9/3/2014 12:19:54 AM
  • Windy: nhàm 9/3/2014 12:19:56 AM
  • Windy: nhầm 9/3/2014 12:20:00 AM
  • nthuyhang2: thế là bn ạ 9/3/2014 12:20:10 AM
  • nthuyhang2: cj windy ơi 9/3/2014 12:21:02 AM
  • Windy: đây 9/3/2014 12:21:08 AM
  • Windy: -8046063/8048072 9/3/2014 12:21:38 AM
  • nthuyhang2: sao k giống cái của e cj nhỉ 9/3/2014 12:22:13 AM
  • nthuyhang2: e tính = máy tính mà 9/3/2014 12:22:23 AM
  • Windy:9/3/2014 12:22:37 AM
  • Windy: so số thập phân lại k ra như thế 9/3/2014 12:22:51 AM
  • Windy: @@ 9/3/2014 12:22:53 AM
  • Windy: hầy 9/3/2014 12:22:59 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:23:05 AM
  • nthuyhang2: cj tính kiểu j cj 9/3/2014 12:23:30 AM
  • Windy: để ra nghiệm đúng thì chỉ còn cách tính đen ta r dùng công thức nghiệm chứ tính kiểu gì 9/3/2014 12:24:02 AM
  • Windy: -_- 9/3/2014 12:24:04 AM
  • nthuyhang2: vg 9/3/2014 12:24:10 AM
  • nthuyhang2: thế chắc cái của cj đúng r 9/3/2014 12:25:13 AM
  • Windy: làm gì có ra giống máy đâu mà đúng 9/3/2014 12:25:31 AM
  • nthuyhang2:9/3/2014 12:25:48 AM
  • Windy: ơ 9/3/2014 12:26:16 AM
  • Windy: để thử lại xem nào 9/3/2014 12:26:22 AM
  • nthuyhang2: e dùng den ta ra giống máy mà cj 9/3/2014 12:27:36 AM
  • Windy: ơ 9/3/2014 12:27:42 AM
  • Windy: thế à 9/3/2014 12:27:45 AM
  • nthuyhang2: mỗi tội nó vẫn là số thập phân 9/3/2014 12:27:51 AM
  • Windy: hở 9/3/2014 12:27:56 AM
  • Windy: -_- 9/3/2014 12:27:58 AM
  • nthuyhang2: ci chuyển sang phân số hộ e đc k? 9/3/2014 12:28:10 AM
  • Windy: dùng đen ta r để căn e ơi =.= 9/3/2014 12:28:17 AM
  • nthuyhang2: là sao cj 9/3/2014 12:28:41 AM
  • Windy: chị có phải thánh đâu mờ chuyển đc từ số thập phân sang phân số 9/3/2014 12:28:43 AM
  • nthuyhang2: nhưng nó chả ra căn 9/3/2014 12:28:57 AM
  • Windy: căn đen ta k đc bấm máy -_- 9/3/2014 12:29:25 AM
  • Windy: đen ta e ra như nào 9/3/2014 12:29:39 AM
  • Windy: gõ thử vài số coi nào 9/3/2014 12:29:48 AM
  • nthuyhang2: den ta = 9/3/2014 12:29:59 AM
  • nthuyhang2: 16088117 9/3/2014 12:30:05 AM
  • Windy: k giống 9/3/2014 12:31:54 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:31:56 AM
  • nthuyhang2: cj ra thế nào 9/3/2014 12:32:10 AM
  • Windy: đen ta ra dài lắm 9/3/2014 12:33:21 AM
  • Windy: nhưng lần này căn lên số đẹp cực 9/3/2014 12:33:34 AM
  • nthuyhang2: đẹp là bn cj 9/3/2014 12:33:46 AM
  • Windy: căn đen ta =8046065 9/3/2014 12:33:53 AM
  • Windy: ra nghiệm chuẩn như máy luôn nài 9/3/2014 12:34:04 AM
  • nthuyhang2: nghiệm bn cj 9/3/2014 12:34:34 AM
  • nthuyhang2: căn den ta mà dìa thế á cj 9/3/2014 12:34:50 AM
  • Windy: x=8046065/8048072 9/3/2014 12:34:59 AM
  • Windy: lần này sai là chị bỏ cuộc đấy 9/3/2014 12:35:12 AM
  • Windy: ngủ luôn đây 9/3/2014 12:35:18 AM
  • Windy: =.= 9/3/2014 12:35:23 AM
  • nthuyhang2: cj ơi 9/3/2014 12:35:29 AM
  • nthuyhang2: lại sai 9/3/2014 12:35:34 AM
  • Windy: hử? 9/3/2014 12:35:36 AM
  • Windy: đúng đấy 9/3/2014 12:35:45 AM
  • Windy: 100% luôn 9/3/2014 12:35:53 AM
  • Windy: giống hệt máy còn gì 9/3/2014 12:36:03 AM
  • nthuyhang2: mà căn den ta đấy sao chị ra nghiệm thế kia ạ 9/3/2014 12:36:43 AM
  • nthuyhang2: thôi e cũng ngủ luôn đây 9/3/2014 12:37:42 AM
  • Windy: hằng 9/3/2014 12:37:45 AM
  • Windy: nhầm r 9/3/2014 12:37:47 AM
  • nthuyhang2: :sao ạ 9/3/2014 12:37:52 AM
  • Windy: x=8048071/8048072 9/3/2014 12:38:09 AM
  • Windy: đấy 9/3/2014 12:38:25 AM
  • Windy: như này mới đúng 9/3/2014 12:38:34 AM
  • nthuyhang2: sao ra căn đẹp thế đc cj nhể 9/3/2014 12:39:08 AM
  • Windy: đen ta chị =6,473916198 nhân 10^13 9/3/2014 12:39:34 AM
  • nthuyhang2: vg 9/3/2014 12:39:44 AM
  • nthuyhang2: thôi e ngủ nhá 9/3/2014 12:39:53 AM
  • Windy: bấm máy căn nó ra 8046065 9/3/2014 12:39:55 AM
  • Windy:9/3/2014 12:40:01 AM
  • Windy: mệt thật 9/3/2014 12:40:04 AM
  • Windy: sleepy 9/3/2014 12:40:09 AM
  • nthuyhang2: có gì hôm khác e gặp chj 9/3/2014 12:40:16 AM
  • nthuyhang2: yawn 9/3/2014 12:40:41 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sowkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • hikichbo