HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II VÀ ĐẲNG CẤP BẬC II


I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu $({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ thì$({y_0};{x_0})$ cũng là nghiệm của hệ.

2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
   

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {f(y,x) = 0}
\end{array}} \right.$
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ1:
Giải hệ phương trình sau:
${\text{(I}})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} - 2x = y} \\
  {{y^2} - 2y = x}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.
Giải:
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được
$\begin{array}
  {\text{     }}(x - y)(x + y) - 2(x - y) =  - (x - y)  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}(x - y)(x + y - 1) = {\text{ }}0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(Ia}})\left\{ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  {x^2} - 2x = y  \\
\end{array}  \right.$    hoặc ${\text{(Ib}})\left\{ \begin{array}
  x + y - 1 = 0  \\
  {x^2} - 2y = y  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).
Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:
$\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là
(0;0), (3;3), $\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Dạng 2:   

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {g(x,y) = 0}
\end{array}} \right.$(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\text{   (1)}}  \\
  2{x^2} - xy - 1 = 0{\text{ (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện:    $x \ne 0;{\text{ y}} \ne {\text{0}}$. Khi đó:
$(1) \Leftrightarrow (x - y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0{\text{    }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  y =  - \frac{1}{x}  \\
\end{array}  \right.$
Với x = y thì (2)$ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$
Với $y =  - \frac{1}{x}$ thì (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).

3. Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :
Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  {y^2} - 3y = 2x  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}{x^2} - {y^2} - 3x + 3y = 2y - 2x  \\
   \Leftrightarrow {\text{(x - y)(x + y - 1)}} = {\text{0}} \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(I}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x - y = 0  \\
\end{array}  \right.$   hoặc   ${\text{(II}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.$
Giải (I):
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2x  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x(x - 5) = 0  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = y = 0 \vee x = y = 5$
Giải (II):
$\begin{array}
  (II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2(1 - x)  \\
  y = 1 - x  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - x - 2 = 0  \\
  y = x - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
  {\text{     }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  - 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right.{\text{  }} \vee {\text{  }}\left\{ \begin{array}
  x = 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm
(0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4{\text{  }}(1)  \\
  \sqrt {2y + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4{\text{  }}(2)  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}
   - \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant 4  \\
   - \frac{3}{2} \leqslant y \leqslant 4  \\
\end{array}  \right.$.
Lấy(1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 3}  - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y}  - \sqrt {4 - x} } \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }} = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y  \\
\end{array} $
Thay x = y vào (1), ta được:
$\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)}  = 16$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12}  = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  9 - x \geqslant 0  \\
  9{x^2} - 38x + 33 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 3  \\
  x = \frac{{11}}{9}  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right),\left( {\frac{{11}}{9};\frac{{11}}{9}} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  2y = \frac{{{y^2} + 1}}{{{x^2}}}  \\
  2x = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $x,y > 0$
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{array}
  2y{x^2} = {y^2} + 1{\text{  (1)}}  \\
  2x{y^2} = {x^2} + 1{\text{  (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
        $\begin{array}
  {\text{     }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2xy(x - y) = y - x  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\,\,\,{\text{mà }}\,\,\,\,\left( {2xy + x + y} \right) > 0  \\
   \Leftrightarrow x = y{\text{     (3)}}  \\
\end{array} $
Thay (3) vào (1) ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}2{x^3} = {x^2} + 1  \\
   \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 1 = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - 1)(\underbrace {2{x^2} + x + 1}_{ > 0\forall x}) = 0 \Leftrightarrow x = 1  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) = (1;1).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải hệ phương trình:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  2x + y = \frac{3}{{{x^2}}}  \\
  2y + x = \frac{3}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. b \right)\left\{ \begin{array}
  xy + {x^2} = 1 + y  \\
  xy + {y^2} = 1 + x  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xy = a(y - 1)  \\
  {y^2} + xy = a(x - 1)  \\
\end{array}  \right.$

Bài 3:
Chứng minh rằng với $a \ne 0$thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}  \\
  2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}  \\
\end{array}  \right.$

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Định nghĩa:

Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,y} \right) = a  \\
  g\left( {x,y} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.

2. Cách giải:
Xét  x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,xt} \right) = a  \\
  g\left( {x,xt} \right) = b  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}f\left( {1,t} \right) = a  \\
  {x^2}g\left( {1,t} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
$f\left( {1,t} \right) = \frac{a}{b}g\left( {1,t} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12  \\
  2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Khi đó (2) $ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 1  \\
  t = 2  \\
\end{array}  \right.\,\,$(thỏa)
Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 2 } \right)$
Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ; \pm \sqrt 2 } \right)$, (1; 2), (–1; –2)

Ví dụ 2:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xym + {y^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right)xy + m{y^2} = m  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x  0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {x^2}tm + {x^2}{t^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right){x^2}t + {x^2}{t^2}m = m  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {{t^2} + tm + 1} \right) = m  \\
  {x^2}\left( {{t^2}m + tm - t + 1} \right) = m  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow \frac{{{t^2} + tm + 1}}{{{t^2}m + tm +  - t + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 0  \\
  \left( {1 - m} \right)t = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Khi t = 0 thì         
Khi (1–m)t = 1    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  y = \frac{x}{{m - 1}}  \\
  {y^2} = \frac{m}{{2{m^2} - 3m + 2}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Vì $2{m^2} - 3m + 2 = 2{\left( {m - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0$ nên (*) có nghĩa$ \Leftrightarrow m \geqslant 1$
 Vậy với $m \geqslant 1$ thì hệ phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 3:
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 4xy + {y^2} = m  \\
  {y^2} - 3xy = 4  \\
\end{array}  \right.$
Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm $\forall m$.
Giải:
Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x   0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành
 
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,\,\left( {**} \right)$
Với m = 4 thì (**) có dạng $ - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thoả)
Với m   4 thì (**) có dạng:
$\left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,$
Với $\Delta  = 9{m^2} - 80m + 192 = {\left( {3m - \frac{{40}}{3}} \right)^2} + \frac{{128}}{9} > 0$
Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm$\forall m$.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. b \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} = 5 - 2xy  \\
  y\left( {x + y} \right) = 10  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2  \\
  2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} + xy + 2y + x = 2  \\
  2{x^2} - {y^2} - 2y - 2 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2}  \\
  {x^2} + 2{y^2} = x + 2y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m  \\
\end{array}  \right.$

cho xin nick zing nhe –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
minh muon ket ban vs cac pro toan hoc . lam quen o nick zing : linhhonbidanhtrai_99 nhe (nho ghi ro loi moi ket ban la thanh vien cua ''hoc tai nha'' nhe)chung ta se chia se kinh nghiem hoc tap cho nhau nhe :(( – –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
Chat chit và chém gió
  • Con Gái MAFIA: giờ nó quyết định đi ngủ cho em on 10/31/2014 10:27:50 PM
  • Con Gái MAFIA: kezo cb có .. rùi 10/31/2014 10:28:01 PM
  • Kezo: trời 10/31/2014 10:28:20 PM
  • hey: frustrated mk đi ngủ 10/31/2014 10:28:21 PM
  • chicoenpyty: chị xinh gái 10/31/2014 10:28:26 PM
  • Con Gái MAFIA: trời gì 10/31/2014 10:28:36 PM
  • hey: tí thăg đệ tủe njk không ai cả 10/31/2014 10:28:39 PM
  • Kezo: thôi em bận học chưa muốn có sơm đâu 10/31/2014 10:28:40 PM
  • Kezo: ko thể chăm sóc cháu nó 10/31/2014 10:28:51 PM
  • hey: lên thj nhắn nólà mk đi ngủ cái nhá 10/31/2014 10:28:55 PM
  • Con Gái MAFIA: biết anh bảo cì gì k 10/31/2014 10:28:57 PM
  • Mưa Đêm: ok hey 10/31/2014 10:29:02 PM
  • hey: wave 10/31/2014 10:29:03 PM
  • Mưa Đêm: tí tớ nhắn cho mặc dù tớ off ngay bây giờ 10/31/2014 10:29:13 PM
  • hey: -_- 10/31/2014 10:29:22 PM
  • Con Gái MAFIA: a bảo mi cb có ảnh chị mi rùi 10/31/2014 10:29:31 PM
  • Con Gái MAFIA: cháu chắt gì 10/31/2014 10:29:37 PM
  • Kezo: à 10/31/2014 10:29:37 PM
  • Kezo: tưởng có cháu 10/31/2014 10:29:41 PM
  • Con Gái MAFIA: nghĩ linh tinh 10/31/2014 10:29:44 PM
  • Kezo: rolling_on_the_floor 10/31/2014 10:29:44 PM
  • Mưa Đêm: thôi bye hey 10/31/2014 10:29:49 PM
  • Kezo: đâu ạ 10/31/2014 10:29:50 PM
  • hey: ảnh j em rể 10/31/2014 10:29:50 PM
  • Con Gái MAFIA: a m đàng hoàng lắắm 10/31/2014 10:29:50 PM
  • hey: chị coi vs 10/31/2014 10:29:56 PM
  • Mưa Đêm: bye mấy đứa a off đây 10/31/2014 10:29:59 PM
  • chicoenpyty: từ từ đã kero 10/31/2014 10:30:02 PM
  • Con Gái MAFIA: đợi hum này nó tập văn nghệ 10/31/2014 10:30:04 PM
  • hey: anh shit 10/31/2014 10:30:04 PM
  • Con Gái MAFIA: e đang ns vs kezo 10/31/2014 10:30:16 PM
  • hey: ảnh đâu 10/31/2014 10:30:18 PM
  • hey: chị xem vs 10/31/2014 10:30:25 PM
  • hey: k dk ak 10/31/2014 10:30:27 PM
  • Con Gái MAFIA: giờ trông nó tạ tạ ốm yếếu 10/31/2014 10:30:29 PM
  • Con Gái MAFIA: khi nào nhìn khỏe lên em chụp cho 10/31/2014 10:30:44 PM
  • hey: no no 10/31/2014 10:30:49 PM
  • hey: sao mà chả dk 10/31/2014 10:30:55 PM
  • Kezo: ko bjt khi nào cho kỏoẻt 10/31/2014 10:30:56 PM
  • Kezo: khỏe 10/31/2014 10:30:59 PM
  • Con Gái MAFIA: kezo a mi k linh tinh đâu mà mi nghĩ nc có cháu 10/31/2014 10:31:00 PM
  • Con Gái MAFIA: sớm thui 10/31/2014 10:31:06 PM
  • Kezo: thấy anh ... 10/31/2014 10:31:14 PM
  • Kezo: nên nghĩ thế 10/31/2014 10:31:22 PM
  • Con Gái MAFIA: sặc 10/31/2014 10:31:25 PM
  • Con Gái MAFIA: mặc dù thừa khả năng nhưng k nê 10/31/2014 10:31:35 PM
  • Con Gái MAFIA: mình là con nhà có hok mà 10/31/2014 10:31:43 PM
  • Con Gái MAFIA: tk tó nào vừa ib cho t thì im cmnm đi k ăn dép óó 10/31/2014 10:32:19 PM
  • Kezo: nhưng làm sao anh bjt em xin ảnh chị 10/31/2014 10:32:56 PM
  • Con Gái MAFIA: máy anh vs máy chị cài phần mềm gì gì đó 10/31/2014 10:33:23 PM
  • Con Gái MAFIA: quên cmn tên rùi 10/31/2014 10:33:28 PM
  • Con Gái MAFIA: nên a pit tuốt 10/31/2014 10:33:37 PM
  • Con Gái MAFIA: có đó nó mún hỏi em kìa 10/31/2014 10:33:58 PM
  • Kezo: òof 10/31/2014 10:34:02 PM
  • Kezo: là sao ạ 10/31/2014 10:34:09 PM
  • Con Gái MAFIA: đứa nào có nhu cầu hỏi em đó 10/31/2014 10:34:23 PM
  • Kezo: hỏi cái gì ạ 10/31/2014 10:34:37 PM
  • tuanthanh311297: hey ơiiiiiiiiiiiiiiiiiii 10/31/2014 10:34:50 PM
  • Con Gái MAFIA: a chịu 10/31/2014 10:34:54 PM
  • Con Gái MAFIA: em cứ hỏi đi tức có 10/31/2014 10:35:06 PM
  • hey: j z 10/31/2014 10:36:05 PM
  • Con Gái MAFIA: dancing 10/31/2014 10:37:42 PM
  • hey: rolling_on_the_floor 10/31/2014 10:37:51 PM
  • Con Gái MAFIA: thui em đi ngủ 10/31/2014 10:38:23 PM
  • Con Gái MAFIA: cả nhà ở lại nhá 10/31/2014 10:38:29 PM
  • Con Gái MAFIA: ngủ ngon 10/31/2014 10:38:34 PM
  • Kezo: wave 10/31/2014 10:38:36 PM
  • Con Gái MAFIA: wave 10/31/2014 10:38:42 PM
  • hey: ai con 5s k 10/31/2014 10:38:48 PM
  • hey: rolling_on_the_floor 10/31/2014 10:38:53 PM
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥: yawn 10/31/2014 10:41:21 PM
  • tuanthanh311297: hey ơi 10/31/2014 10:41:30 PM
  • Kezo: chị ơi 10/31/2014 10:41:30 PM
  • hey: trời ạ 10/31/2014 10:41:39 PM
  • hey: kêu nói j thì nói đi 10/31/2014 10:41:49 PM
  • tuanthanh311297: rolling_on_the_floor lamg lí ko?? 10/31/2014 10:41:54 PM
  • hey: cho mk xem phim cái 10/31/2014 10:41:54 PM
  • hey: chi 10/31/2014 10:42:04 PM
  • tuanthanh311297: pjim 18+ hả 10/31/2014 10:42:10 PM
  • hey: cụ thể co 10/31/2014 10:42:15 PM
  • tuanthanh311297: làm lí ko?? 10/31/2014 10:42:17 PM
  • hey: phim 18+ 10/31/2014 10:42:27 PM
  • hey: cái đầu ông 10/31/2014 10:42:31 PM
  • hey: lí j 10/31/2014 10:42:35 PM
  • hey: phần j 10/31/2014 10:42:42 PM
  • tuanthanh311297: ddiien xoay chiều 10/31/2014 10:42:59 PM
  • hey: k 10/31/2014 10:43:11 PM
  • hey: k thch 10/31/2014 10:43:15 PM
  • Kezo: anh chị vui vẻ đi nha 10/31/2014 10:43:26 PM
  • hey: rolling_on_the_floor 10/31/2014 10:43:31 PM
  • tuanthanh311297: thê thôi crying 10/31/2014 10:43:35 PM
  • Kezo: dành sự riêng tư cho 2 người 10/31/2014 10:43:36 PM
  • hey: m.n có ai coi 5s k 10/31/2014 10:43:38 PM
  • Kezo: bye bye 10/31/2014 10:43:39 PM
  • tuanthanh311297: t ko coi 10/31/2014 10:43:47 PM
  • hey: thj thôi 10/31/2014 10:44:17 PM
  • tuanthanh311297: +)) 10/31/2014 10:44:28 PM
  • Kezo: whistling 10/31/2014 11:02:18 PM
  • Kezo: wave 10/31/2014 11:37:12 PM
  • nambttvqht: ai cho e hỏi vài câu về sinh học với 11/1/2014 5:33:28 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Cát Biển
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo