HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II VÀ ĐẲNG CẤP BẬC II


I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu $({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ thì$({y_0};{x_0})$ cũng là nghiệm của hệ.

2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
   

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {f(y,x) = 0}
\end{array}} \right.$
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ1:
Giải hệ phương trình sau:
${\text{(I}})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} - 2x = y} \\
  {{y^2} - 2y = x}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.
Giải:
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được
$\begin{array}
  {\text{     }}(x - y)(x + y) - 2(x - y) =  - (x - y)  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}(x - y)(x + y - 1) = {\text{ }}0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(Ia}})\left\{ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  {x^2} - 2x = y  \\
\end{array}  \right.$    hoặc ${\text{(Ib}})\left\{ \begin{array}
  x + y - 1 = 0  \\
  {x^2} - 2y = y  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).
Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:
$\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là
(0;0), (3;3), $\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Dạng 2:   

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {g(x,y) = 0}
\end{array}} \right.$(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\text{   (1)}}  \\
  2{x^2} - xy - 1 = 0{\text{ (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện:    $x \ne 0;{\text{ y}} \ne {\text{0}}$. Khi đó:
$(1) \Leftrightarrow (x - y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0{\text{    }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  y =  - \frac{1}{x}  \\
\end{array}  \right.$
Với x = y thì (2)$ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$
Với $y =  - \frac{1}{x}$ thì (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).

3. Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :
Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  {y^2} - 3y = 2x  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}{x^2} - {y^2} - 3x + 3y = 2y - 2x  \\
   \Leftrightarrow {\text{(x - y)(x + y - 1)}} = {\text{0}} \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(I}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x - y = 0  \\
\end{array}  \right.$   hoặc   ${\text{(II}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.$
Giải (I):
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2x  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x(x - 5) = 0  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = y = 0 \vee x = y = 5$
Giải (II):
$\begin{array}
  (II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2(1 - x)  \\
  y = 1 - x  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - x - 2 = 0  \\
  y = x - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
  {\text{     }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  - 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right.{\text{  }} \vee {\text{  }}\left\{ \begin{array}
  x = 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm
(0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4{\text{  }}(1)  \\
  \sqrt {2y + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4{\text{  }}(2)  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}
   - \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant 4  \\
   - \frac{3}{2} \leqslant y \leqslant 4  \\
\end{array}  \right.$.
Lấy(1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 3}  - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y}  - \sqrt {4 - x} } \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }} = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y  \\
\end{array} $
Thay x = y vào (1), ta được:
$\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)}  = 16$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12}  = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  9 - x \geqslant 0  \\
  9{x^2} - 38x + 33 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 3  \\
  x = \frac{{11}}{9}  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right),\left( {\frac{{11}}{9};\frac{{11}}{9}} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  2y = \frac{{{y^2} + 1}}{{{x^2}}}  \\
  2x = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $x,y > 0$
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{array}
  2y{x^2} = {y^2} + 1{\text{  (1)}}  \\
  2x{y^2} = {x^2} + 1{\text{  (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
        $\begin{array}
  {\text{     }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2xy(x - y) = y - x  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\,\,\,{\text{mà }}\,\,\,\,\left( {2xy + x + y} \right) > 0  \\
   \Leftrightarrow x = y{\text{     (3)}}  \\
\end{array} $
Thay (3) vào (1) ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}2{x^3} = {x^2} + 1  \\
   \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 1 = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - 1)(\underbrace {2{x^2} + x + 1}_{ > 0\forall x}) = 0 \Leftrightarrow x = 1  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) = (1;1).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải hệ phương trình:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  2x + y = \frac{3}{{{x^2}}}  \\
  2y + x = \frac{3}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. b \right)\left\{ \begin{array}
  xy + {x^2} = 1 + y  \\
  xy + {y^2} = 1 + x  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xy = a(y - 1)  \\
  {y^2} + xy = a(x - 1)  \\
\end{array}  \right.$

Bài 3:
Chứng minh rằng với $a \ne 0$thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}  \\
  2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}  \\
\end{array}  \right.$

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Định nghĩa:

Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,y} \right) = a  \\
  g\left( {x,y} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.

2. Cách giải:
Xét  x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,xt} \right) = a  \\
  g\left( {x,xt} \right) = b  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}f\left( {1,t} \right) = a  \\
  {x^2}g\left( {1,t} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
$f\left( {1,t} \right) = \frac{a}{b}g\left( {1,t} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12  \\
  2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Khi đó (2) $ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 1  \\
  t = 2  \\
\end{array}  \right.\,\,$(thỏa)
Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 2 } \right)$
Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ; \pm \sqrt 2 } \right)$, (1; 2), (–1; –2)

Ví dụ 2:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xym + {y^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right)xy + m{y^2} = m  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x  0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {x^2}tm + {x^2}{t^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right){x^2}t + {x^2}{t^2}m = m  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {{t^2} + tm + 1} \right) = m  \\
  {x^2}\left( {{t^2}m + tm - t + 1} \right) = m  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow \frac{{{t^2} + tm + 1}}{{{t^2}m + tm +  - t + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 0  \\
  \left( {1 - m} \right)t = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Khi t = 0 thì         
Khi (1–m)t = 1    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  y = \frac{x}{{m - 1}}  \\
  {y^2} = \frac{m}{{2{m^2} - 3m + 2}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Vì $2{m^2} - 3m + 2 = 2{\left( {m - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0$ nên (*) có nghĩa$ \Leftrightarrow m \geqslant 1$
 Vậy với $m \geqslant 1$ thì hệ phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 3:
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 4xy + {y^2} = m  \\
  {y^2} - 3xy = 4  \\
\end{array}  \right.$
Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm $\forall m$.
Giải:
Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x   0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành
 
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,\,\left( {**} \right)$
Với m = 4 thì (**) có dạng $ - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thoả)
Với m   4 thì (**) có dạng:
$\left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,$
Với $\Delta  = 9{m^2} - 80m + 192 = {\left( {3m - \frac{{40}}{3}} \right)^2} + \frac{{128}}{9} > 0$
Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm$\forall m$.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. b \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} = 5 - 2xy  \\
  y\left( {x + y} \right) = 10  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2  \\
  2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} + xy + 2y + x = 2  \\
  2{x^2} - {y^2} - 2y - 2 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2}  \\
  {x^2} + 2{y^2} = x + 2y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m  \\
\end{array}  \right.$

cho xin nick zing nhe –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
minh muon ket ban vs cac pro toan hoc . lam quen o nick zing : linhhonbidanhtrai_99 nhe (nho ghi ro loi moi ket ban la thanh vien cua ''hoc tai nha'' nhe)chung ta se chia se kinh nghiem hoc tap cho nhau nhe :(( – –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
Chat chit và chém gió
  • S2karryS2: chả vần tí nào 2/13/2016 11:51:53 PM
  • ❦Nắng❦: ^^ 2/13/2016 11:51:55 PM
  • ❦Nắng❦: ko tính vần 2/13/2016 11:52:00 PM
  • ❦Nắng❦: tính đối thôi 2/13/2016 11:52:04 PM
  • S2karryS2: nghe nè: 2/13/2016 11:52:06 PM
  • ❦Nắng❦: tiếp đi 2/13/2016 11:52:08 PM
  • S2karryS2: nếu e là 1 bđt 2/13/2016 11:52:14 PM
  • phương10: good morning 2/13/2016 11:52:15 PM
  • phương10: good morning 2/13/2016 11:52:17 PM
  • phương10: good morning 2/13/2016 11:52:19 PM
  • S2karryS2: thì a sẽ là côsi 2/13/2016 11:52:22 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:52:31 PM
  • S2karryS2: a sẽ chẳng chút li bì 2/13/2016 11:52:34 PM
  • S2karryS2: để đi cm tình yêu vô hạn 2/13/2016 11:52:45 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:52:49 PM
  • phương10: tình bn ta như 7 hàng đẳng thức 2/13/2016 11:52:53 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:53:04 PM
  • ❦Nắng❦: nữa đi 2/13/2016 11:53:07 PM
  • S2karryS2: dấu bằng xảy ra khi a cùng e hết hạn 2/13/2016 11:53:09 PM
  • S2karryS2: rolling_on_the_floor 2/13/2016 11:53:13 PM
  • phương10: sánh vai nhau như 2 hệ pt 2/13/2016 11:53:18 PM
  • ❦Nắng❦: èo 2/13/2016 11:53:20 PM
  • ❦Nắng❦: như c** ý big_grin 2/13/2016 11:53:29 PM
  • phương10: sến vcl 2/13/2016 11:53:36 PM
  • ❦Nắng❦: chơi cái khác đi 2/13/2016 11:53:40 PM
  • S2karryS2: nghĩa là cùng nhau đến tây thiên 2/13/2016 11:53:41 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:53:45 PM
  • phương10: ha 2/13/2016 11:53:46 PM
  • ❦Nắng❦: chả ra gì 2/13/2016 11:53:48 PM
  • ❦Nắng❦: đố lại đi 2/13/2016 11:53:52 PM
  • S2karryS2: khi đó tình yêu đạt max 2/13/2016 11:53:58 PM
  • phương10: tui ms ngủ dậy 2/13/2016 11:54:05 PM
  • S2karryS2: hay vãi ra 2/13/2016 11:54:06 PM
  • S2karryS2: rolling_on_the_floor 2/13/2016 11:54:09 PM
  • phương10: 2222222222 2/13/2016 11:54:16 PM
  • S2karryS2: 2222 2/13/2016 11:54:20 PM
  • ❦Nắng❦: Thắng đệ 2/13/2016 11:54:25 PM
  • phương10: tui ms ngủ dậy 2/13/2016 11:54:25 PM
  • S2karryS2: a đi ngủ 2/13/2016 11:54:28 PM
  • ❦Nắng❦: vừa thêm đệ vào gr r đấy 2/13/2016 11:54:37 PM
  • S2karryS2: nắng kém quá 2/13/2016 11:54:37 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:54:42 PM
  • S2karryS2: chả đối dk a câu nào 2/13/2016 11:54:46 PM
  • ❦Nắng❦: nhóc thắng 2/13/2016 11:54:47 PM
  • S2karryS2: rolling_on_the_floor 2/13/2016 11:54:48 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:54:51 PM
  • ❦Nắng❦: ranh con 2/13/2016 11:54:54 PM
  • S2karryS2: vì a ra đề quá khó 2/13/2016 11:54:59 PM
  • ❦Nắng❦: thêm vào gr r đấy 2/13/2016 11:55:01 PM
  • S2karryS2: và văn chương a quá hay 2/13/2016 11:55:08 PM
  • S2karryS2: rolling_on_the_floor 2/13/2016 11:55:11 PM
  • S2karryS2: thôi đi ngủ 2/13/2016 11:55:16 PM
  • ❦Nắng❦: https://www.facebook.com/groups/425098591027633/ 2/13/2016 11:55:20 PM
  • S2karryS2: G9 2/13/2016 11:55:20 PM
  • ❦Nắng❦: ==' 2/13/2016 11:55:24 PM
  • ❦Nắng❦: đấy 2/13/2016 11:55:27 PM
  • ❦Nắng❦: vào đấy mà làm thơ mạng của a 2/13/2016 11:55:36 PM
  • ❦Nắng❦: toàn copy trên mạng hết v 2/13/2016 11:55:47 PM
  • ❦Nắng❦: trong gr của e 2/13/2016 11:55:52 PM
  • ❦Nắng❦: ko có làm mấy bài mạng của a đâu big_grin 2/13/2016 11:56:06 PM
  • ❦Nắng❦: thôi 2/13/2016 11:56:13 PM
  • ❦Nắng❦: thì 2/13/2016 11:56:16 PM
  • ❦Nắng❦: gọi = anh v 2/13/2016 11:56:22 PM
  • Mưa Đêm: Còn ai onl hông? 2/13/2016 11:56:52 PM
  • ❦Nắng❦: yes 2/13/2016 11:56:59 PM
  • ❦Nắng❦: còn muội 2/13/2016 11:57:05 PM
  • ❦Nắng❦: muội chờ Jin 2/13/2016 11:57:15 PM
  • Mưa Đêm: Nãy giờ a có khách sorry nha happy 2/13/2016 11:57:23 PM
  • ❦Nắng❦: mà ko thấy nó đâu Thiên huyh ạ 2/13/2016 11:57:28 PM
  • Mưa Đêm: Mà đến giờ a vẫn ko biết jin là ai nhá 2/13/2016 11:58:08 PM
  • ❦Nắng❦: thế hả 2/13/2016 11:58:43 PM
  • Mưa Đêm: Tự nhiên hồi truocs nó gọi xong nc bt, nhìn cách nc quen lắm mà 2/13/2016 11:58:45 PM
  • ❦Nắng❦: Jin Kaido ý a 2/13/2016 11:59:19 PM
  • Mưa Đêm: Ừ thì nó đó 2/13/2016 11:59:33 PM
  • ❦Nắng❦: chắc a quên nó phỏng 2/13/2016 11:59:37 PM
  • Mưa Đêm: con trai hay con gái v? 2/13/2016 11:59:38 PM
  • ❦Nắng❦: @@ 2/13/2016 11:59:50 PM
  • ❦Nắng❦: trai ạ 2/13/2016 11:59:52 PM
  • Mưa Đêm: Ò 2/13/2016 11:59:59 PM
  • ❦Nắng❦: mà a này 2/14/2016 12:00:17 AM
  • ❦Nắng❦: bên đấy đang sáng nhỉ 2/14/2016 12:00:27 AM
  • Mưa Đêm: 11h trưa e 2/14/2016 12:00:37 AM
  • ❦Nắng❦: bên này 12h01' đêm r 2/14/2016 12:00:46 AM
  • ❦Nắng❦: chuẩn bị đi ngủ 2/14/2016 12:00:55 AM
  • ❦Nắng❦: ^^ 2/14/2016 12:00:57 AM
  • Mưa Đêm: happy 2/14/2016 12:01:08 AM
  • Mưa Đêm: E vào hgn lâu chưa? 2/14/2016 12:01:30 AM
  • ❦Nắng❦: dạ 2/14/2016 12:02:56 AM
  • ❦Nắng❦: kha khá r ạ 2/14/2016 12:03:01 AM
  • Mưa Đêm: Thôi e ngủ đi, e ngủ ngon, htn ngủ ngon winking 2/14/2016 12:03:10 AM
  • ❦Nắng❦: pp a 2/14/2016 12:03:37 AM
  • ❦Nắng❦: ^^ hì 2/14/2016 12:03:41 AM
  • ❦Nắng❦: 11h trưa 2/14/2016 12:03:45 AM
  • ❦Nắng❦: 1 ngủ trưa ngon 2/14/2016 12:03:52 AM
  • ❦Nắng❦: a ngủ trưa ngon v 2/14/2016 12:04:01 AM
  • Mưa Đêm: wave sleepy good_luck 2/14/2016 12:04:03 AM
  • Mưa Đêm: A đang đi làm e nhung mà cũng cám ơn ewinking 2/14/2016 12:04:21 AM
  • phương10: ê 2/14/2016 12:17:12 AM
  • phương10: cn ai ko 2/14/2016 12:17:17 AM
  • phương10: ê 2/14/2016 1:39:31 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ HTN
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ***
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • Pino
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Mặc Phi
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Tư Mộng
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh)
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • nnk510blc
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • lieunguyen904
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ʚïɞ ๖ۣۜH๖ۣàn๖ۣۜG ๖ۣۜAn๖ۣۜH ʚïɞ
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Chiuu
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • ╭⌒╮☆♥Kem♥☆╭⌒╮
  • lephamhieu
  • Sầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • duongthuytrang27
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • duongrooneyhd1985
  • phương10
  • thanhhuyen218969
  • Yến Linh
  • Chắc ***
  • tclsptk25
  • thuylinhnguyenthptthanhha
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • Minh's
  • kieutrinh181999
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Hỏi thế gian tình là gì ?
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • bualun000
  • tbao
  • chinh923
  • trangthyhanhp8
  • maivyy
  • quocchanlqd
  • gaquay
  • thotrang
  • nguyenyen1510919311
  • caigihu123
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • kientrung9a
  • thuybaekons
  • Tranthihahoe
  • Quỳnh
  • milodatnguyen