HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II VÀ ĐẲNG CẤP BẬC II


I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1. Định nghĩa:
Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.
*Chú ý: Nếu $({x_0};{y_0})$ là nghiệm của hệ thì$({y_0};{x_0})$ cũng là nghiệm của hệ.

2. Các dạng của hệ phương trình đối xứng loại II:
Dạng 1:
   

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {f(y,x) = 0}
\end{array}} \right.$
(đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải chung:
Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Ví dụ1:
Giải hệ phương trình sau:
${\text{(I}})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} - 2x = y} \\
  {{y^2} - 2y = x}
\end{array}} \right.$
Nhận xét: Nếu thay đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất sẽ trở thành phương trình thứ hai và ngược lại.
Giải:
Trừ từng vế hai phương trình trong hệ, ta được
$\begin{array}
  {\text{     }}(x - y)(x + y) - 2(x - y) =  - (x - y)  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}(x - y)(x + y - 1) = {\text{ }}0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(Ia}})\left\{ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  {x^2} - 2x = y  \\
\end{array}  \right.$    hoặc ${\text{(Ib}})\left\{ \begin{array}
  x + y - 1 = 0  \\
  {x^2} - 2y = y  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ (Ia) ta được nghiệm (0;0), (3;3).
Giải hệ (IIa) ta được nghiệm:
$\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là
(0;0), (3;3), $\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)$

Dạng 2:   

 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f(x,y) = 0} \\
  {g(x,y) = 0}
\end{array}} \right.$(trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng loại I)
Cách giải:

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại.

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}{\text{   (1)}}  \\
  2{x^2} - xy - 1 = 0{\text{ (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện:    $x \ne 0;{\text{ y}} \ne {\text{0}}$. Khi đó:
$(1) \Leftrightarrow (x - y)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0{\text{    }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  y =  - \frac{1}{x}  \\
\end{array}  \right.$
Với x = y thì (2)$ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$
Với $y =  - \frac{1}{x}$ thì (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt (1;1), (–1;–1).

3. Một số bài tập về phương trình đối xứng loại II :
Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  {y^2} - 3y = 2x  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}{x^2} - {y^2} - 3x + 3y = 2y - 2x  \\
   \Leftrightarrow {\text{(x - y)(x + y - 1)}} = {\text{0}} \Leftrightarrow {\text{ }}\left[ \begin{array}
  x - y = 0  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với:
${\text{(I}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x - y = 0  \\
\end{array}  \right.$   hoặc   ${\text{(II}})\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2y  \\
  x + y - 1 = 0  \\
\end{array}  \right.$
Giải (I):
$(I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2x  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x(x - 5) = 0  \\
  x = y  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow x = y = 0 \vee x = y = 5$
Giải (II):
$\begin{array}
  (II) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - 3x = 2(1 - x)  \\
  y = 1 - x  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - x - 2 = 0  \\
  y = x - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
  {\text{     }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  - 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right.{\text{  }} \vee {\text{  }}\left\{ \begin{array}
  x = 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm
(0;0), (5;5), (–1;2), (2;–1).

Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  \sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - y}  = 4{\text{  }}(1)  \\
  \sqrt {2y + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4{\text{  }}(2)  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}
   - \frac{3}{2} \leqslant x \leqslant 4  \\
   - \frac{3}{2} \leqslant y \leqslant 4  \\
\end{array}  \right.$.
Lấy(1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 3}  - \sqrt {2y + 3} } \right) + \left( {\sqrt {4 - y}  - \sqrt {4 - x} } \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow {\text{ }}\frac{{(2x + 3) - (2y + 3)}}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{{(4 - y) - (4 - x)}}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }} = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {2y + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {4 - y}  + \sqrt {4 - x} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y  \\
\end{array} $
Thay x = y vào (1), ta được:
$\sqrt {2x + 3}  + \sqrt {4 - x}  = 4 \Leftrightarrow x + 7 + 2\sqrt {(2x + 3)(4 - x)}  = 16$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 12}  = 9 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  9 - x \geqslant 0  \\
  9{x^2} - 38x + 33 = 0  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 3  \\
  x = \frac{{11}}{9}  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right),\left( {\frac{{11}}{9};\frac{{11}}{9}} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}
  2y = \frac{{{y^2} + 1}}{{{x^2}}}  \\
  2x = \frac{{{x^2} + 1}}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Điều kiện: $x,y > 0$
Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{array}
  2y{x^2} = {y^2} + 1{\text{  (1)}}  \\
  2x{y^2} = {x^2} + 1{\text{  (2)}}  \\
\end{array}  \right.$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
        $\begin{array}
  {\text{     }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2xy(x - y) = y - x  \\
   \Leftrightarrow (x - y)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\,\,\,{\text{mà }}\,\,\,\,\left( {2xy + x + y} \right) > 0  \\
   \Leftrightarrow x = y{\text{     (3)}}  \\
\end{array} $
Thay (3) vào (1) ta được:
$\begin{array}
  {\text{     }}2{x^3} = {x^2} + 1  \\
   \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 1 = 0  \\
   \Leftrightarrow (x - 1)(\underbrace {2{x^2} + x + 1}_{ > 0\forall x}) = 0 \Leftrightarrow x = 1  \\
\end{array} $
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(x;y) = (1;1).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải hệ phương trình:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  2x + y = \frac{3}{{{x^2}}}  \\
  2y + x = \frac{3}{{{y^2}}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. b \right)\left\{ \begin{array}
  xy + {x^2} = 1 + y  \\
  xy + {y^2} = 1 + x  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  x - 3y = \frac{{4y}}{x}  \\
  y - 3x = \frac{{4x}}{y}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xy = a(y - 1)  \\
  {y^2} + xy = a(x - 1)  \\
\end{array}  \right.$

Bài 3:
Chứng minh rằng với $a \ne 0$thì phương trình sau có nghiệm duy nhất:
$\left\{ \begin{array}
  2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}  \\
  2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}  \\
\end{array}  \right.$

II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Định nghĩa:

Biểu thức f(x; y) gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 nếu
f(mx; my) = m2f(x; y)
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,y} \right) = a  \\
  g\left( {x,y} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Trong đó: f(x; y) và g(x; y) là phương trình đẳng cấp bậc 2;
với a và b là hằng số.

2. Cách giải:
Xét  x = 0 thay vào hệ kiểm tra.
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt thay vào hệ ta có:
$\left\{ \begin{array}
  f\left( {x,xt} \right) = a  \\
  g\left( {x,xt} \right) = b  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}f\left( {1,t} \right) = a  \\
  {x^2}g\left( {1,t} \right) = b  \\
\end{array}  \right.$
Sau đó, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau ta được:
$f\left( {1,t} \right) = \frac{a}{b}g\left( {1,t} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Giải phương trình (*) ta tìm được t.
Thế t vào hệ ta tìm được (x; y).

3. Các ví dụ:
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12  \\
  2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x ≠ 0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành:
Khi đó (2) $ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 1  \\
  t = 2  \\
\end{array}  \right.\,\,$(thỏa)
Khi t = 1 thế vào hệ ta được (x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 2 } \right)$
Khi t = 2 thế vào hệ ta được (x; y) = (1; 2), (–1; –2)
Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) = $\left( { \pm \sqrt 2 ; \pm \sqrt 2 } \right)$, (1; 2), (–1; –2)

Ví dụ 2:
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + xym + {y^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right)xy + m{y^2} = m  \\
\end{array}  \right.$
Giải:
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình
Với x  0 ta đặt y = xt. Thế vào hệ phương trình ta được
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {x^2}tm + {x^2}{t^2} = m  \\
  {x^2} + \left( {m - 1} \right){x^2}t + {x^2}{t^2}m = m  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {{t^2} + tm + 1} \right) = m  \\
  {x^2}\left( {{t^2}m + tm - t + 1} \right) = m  \\
\end{array}  \right.  \\
   \Rightarrow \frac{{{t^2} + tm + 1}}{{{t^2}m + tm +  - t + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){t^2} + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 0  \\
  \left( {1 - m} \right)t = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Khi t = 0 thì         
Khi (1–m)t = 1    $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  y = \frac{x}{{m - 1}}  \\
  {y^2} = \frac{m}{{2{m^2} - 3m + 2}}  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Vì $2{m^2} - 3m + 2 = 2{\left( {m - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0$ nên (*) có nghĩa$ \Leftrightarrow m \geqslant 1$
 Vậy với $m \geqslant 1$ thì hệ phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 3:
Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}
  {x^2} - 4xy + {y^2} = m  \\
  {y^2} - 3xy = 4  \\
\end{array}  \right.$
Chứng minh hệ phương trình luôn luôn có nghiệm $\forall m$.
Giải:
Khi x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Với x   0 ta đặt y = xt. Khi đó hệ phương trình trở thành
 
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,\,\left( {**} \right)$
Với m = 4 thì (**) có dạng $ - 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ (thoả)
Với m   4 thì (**) có dạng:
$\left( {4 - m} \right){t^2} - \left( {16 - 3m} \right)t + 4 = 0\,\,$
Với $\Delta  = 9{m^2} - 80m + 192 = {\left( {3m - \frac{{40}}{3}} \right)^2} + \frac{{128}}{9} > 0$
Vậy hệ phương trình luôn luôn có nghiệm$\forall m$.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:

Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. b \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} = 5 - 2xy  \\
  y\left( {x + y} \right) = 10  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2  \\
  2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} + {y^2} + xy + 2y + x = 2  \\
  2{x^2} - {y^2} - 2y - 2 = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
    \\
  \left. d \right)\left\{ \begin{array}
  2x + 3y = {x^2} + 3xy + {y^2}  \\
  {x^2} + 2{y^2} = x + 2y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

Bài 2:
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}
  3{x^2} + 2xy + {y^2} = 11  \\
  {x^2} + 2xy + 3{y^2} = 17 + m  \\
\end{array}  \right.$

cho xin nick zing nhe –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
minh muon ket ban vs cac pro toan hoc . lam quen o nick zing : linhhonbidanhtrai_99 nhe (nho ghi ro loi moi ket ban la thanh vien cua ''hoc tai nha'' nhe)chung ta se chia se kinh nghiem hoc tap cho nhau nhe :(( – –  hattorihejji0110 17-09-13 09:29 PM
Chat chit và chém gió
  • Min Tồ: xóa à 7/31/2014 12:45:38 AM
  • jea¤¤student: uk 7/31/2014 12:45:41 AM
  • jea¤¤student: tức lm r 7/31/2014 12:45:54 AM
  • Min Tồ: haiz 7/31/2014 12:46:22 AM
  • jea¤¤student: khi nao alone r 7/31/2014 12:48:08 AM
  • jea¤¤student: thi goi t 7/31/2014 12:48:10 AM
  • jea¤¤student: happy 7/31/2014 12:48:14 AM
  • jea¤¤student: còn chưa thì dung goi 7/31/2014 12:48:37 AM
  • jea¤¤student: happy 7/31/2014 12:48:40 AM
  • Min Tồ: haiz 7/31/2014 12:48:49 AM
  • Min Tồ: _____________________________________________ 7/31/2014 12:49:14 AM
  • jea¤¤student: nghe ko 7/31/2014 12:49:26 AM
  • Min Tồ: có hay ko thì cũng đâu còn qtrọng 7/31/2014 12:49:53 AM
  • jea¤¤student: mịa 7/31/2014 12:50:18 AM
  • jea¤¤student: ko tôn trọng loi nói 7/31/2014 12:50:27 AM
  • Min Tồ: ms tục này 7/31/2014 12:50:27 AM
  • jea¤¤student: thui out ngủ day 7/31/2014 12:50:33 AM
  • jea¤¤student: sad 7/31/2014 12:50:36 AM
  • jea¤¤student: haizzz 7/31/2014 12:50:38 AM
  • Min Tồ: haiz 7/31/2014 12:50:41 AM
  • Min Tồ: ai ko tôn trọng lời ns trc 7/31/2014 12:50:56 AM
  • jea¤¤student: ko nói nua 7/31/2014 12:51:35 AM
  • jea¤¤student: noi v thui 7/31/2014 12:51:40 AM
  • jea¤¤student: mun thi lm 7/31/2014 12:51:42 AM
  • jea¤¤student: ko thi thu 7/31/2014 12:51:45 AM
  • Min Tồ: straight_face 7/31/2014 12:51:50 AM
  • jea¤¤student: thui 7/31/2014 12:51:51 AM
  • Min Tồ: ừ thì k ns 7/31/2014 12:51:53 AM
  • jea¤¤student: ngủ 7/31/2014 12:52:26 AM
  • jea¤¤student: éo di dau nua 7/31/2014 12:52:33 AM
  • Min Tồ: straight_face 7/31/2014 12:52:53 AM
  • jea¤¤student: cứ chui tục ntn 7/31/2014 12:53:29 AM
  • jea¤¤student: có lẽ tốt đẹp 7/31/2014 12:53:40 AM
  • jea¤¤student: laughing 7/31/2014 12:53:44 AM
  • Min Tồ: tốt cc 7/31/2014 12:53:49 AM
  • jea¤¤student: siet 7/31/2014 12:54:06 AM
  • Min Tồ: mà thôi 7/31/2014 12:54:12 AM
  • Min Tồ: nv cx đc 7/31/2014 12:54:17 AM
  • Min Tồ: t học theo 7/31/2014 12:54:20 AM
  • Min Tồ: laughing 7/31/2014 12:54:21 AM
  • jea¤¤student: đù 7/31/2014 12:54:30 AM
  • jea¤¤student: bậy vãi 7/31/2014 12:54:36 AM
  • jea¤¤student: ko ngờ nha 7/31/2014 12:54:44 AM
  • jea¤¤student: thay đổi cách nhìn r day 7/31/2014 12:54:56 AM
  • jea¤¤student: big_grin 7/31/2014 12:54:59 AM
  • Min Tồ: chỉ ra đc 1 câu bậy muốn t lm j cx đc 7/31/2014 12:55:31 AM
  • jea¤¤student: thui nói v thui 7/31/2014 12:55:54 AM
  • Min Tồ: ctỏ t đâu có ns bậy 7/31/2014 12:56:12 AM
  • jea¤¤student: chứ qtâm chi ng ta bảo mh lắm chn 7/31/2014 12:56:21 AM
  • jea¤¤student: happy 7/31/2014 12:56:23 AM
  • jea¤¤student: mất công 7/31/2014 12:56:30 AM
  • Min Tồ: chắc trc có ns là lắm chyện đấy 7/31/2014 12:57:15 AM
  • Min Tồ: haiz 7/31/2014 12:57:19 AM
  • Min Tồ: mình qtâm chắc cx bị nghĩ nv 7/31/2014 12:57:27 AM
  • Min Tồ: giờ ms biết nha 7/31/2014 12:57:32 AM
  • jea¤¤student: trc nó khác 7/31/2014 12:57:39 AM
  • jea¤¤student: h nó khác hoàn toàn r 7/31/2014 12:57:48 AM
  • Min Tồ: ừ thì khá 7/31/2014 12:57:55 AM
  • jea¤¤student: ko nhu trc dau ma so sánh 7/31/2014 12:57:57 AM
  • Min Tồ: khác 7/31/2014 12:57:58 AM
  • jea¤¤student: nói đủ r 7/31/2014 12:58:13 AM
  • jea¤¤student: ko nói nua 7/31/2014 12:58:17 AM
  • Min Tồ: ừ 7/31/2014 12:58:21 AM
  • Min Tồ: tới h ngủ r 7/31/2014 12:58:29 AM
  • Min Tồ: t ngủ 7/31/2014 12:58:31 AM
  • jea¤¤student: alone thi goi ko thi thui big_grin 7/31/2014 12:58:46 AM
  • jea¤¤student: phận 7/31/2014 12:58:56 AM
  • jea¤¤student: = 7/31/2014 12:58:58 AM
  • jea¤¤student: yên nghỉ 7/31/2014 12:59:05 AM
  • jea¤¤student: ko tiễn 7/31/2014 12:59:10 AM
  • Min Tồ: haiz 7/31/2014 12:59:28 AM
  • jea¤¤student: ib 7/31/2014 1:00:24 AM
  • jea¤¤student: hoi dung 1 cau big_grin 7/31/2014 1:00:33 AM
  • Min Tồ: sáng tốt lành cả nhà happy 7/31/2014 6:43:32 AM
  • tieutulitipro: a vitamin có onl k 7/31/2014 8:02:25 AM
  • tieutulitipro: có ai onl k 7/31/2014 8:02:50 AM
  • tieutulitipro: ai rảnh giúp bài này với 7/31/2014 8:04:35 AM
  • tieutulitipro: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126324/ca-nha-giu-p-vo-i-1 7/31/2014 8:04:36 AM
  • tieutulitipro: sáng nay k có ai onl ak 7/31/2014 8:22:43 AM
  • Onchay01: có e 7/31/2014 8:29:51 AM
  • Onchay01: hu hu 7/31/2014 8:34:22 AM
  • Onchay01: anh tờ ơi 7/31/2014 8:34:40 AM
  • Onchay01: giúp em với 7/31/2014 8:34:47 AM
  • Onchay01: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126319/de-cuc-luon 7/31/2014 8:36:08 AM
  • Onchay01: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126317/de-thoi-roi 7/31/2014 8:37:17 AM
  • tieutulitipro: giải dum bai đó di 7/31/2014 8:43:49 AM
  • tieutulitipro: toán lớp mấy z 7/31/2014 8:45:03 AM
  • Rainy: :-) 7/31/2014 9:09:42 AM
  • Onchay01: lớ 9 7/31/2014 9:19:15 AM
  • hieugiapbat: 22 7/31/2014 9:49:33 AM
  • hieugiapbat: giuo minh voi 7/31/2014 9:49:39 AM
  • tieutulitipro: ai onl k 7/31/2014 10:08:14 AM
  • Death: k 7/31/2014 10:08:29 AM
  • tieutulitipro: giup vs death 7/31/2014 10:08:39 AM
  • Death: bài nào thế 7/31/2014 10:08:51 AM
  • tieutulitipro: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126324/ca-nha-giu-p-vo-i-1 7/31/2014 10:09:00 AM
  • tieutulitipro: cố gắng giup minh nha 7/31/2014 10:12:14 AM
  • tieutulitipro: ra chưa pn 7/31/2014 10:26:28 AM
  • Onchay01: chiều thanh vắng có ai onl ko nhỉ 7/31/2014 3:41:31 PM
  • hieugiapbat: co 7/31/2014 4:07:38 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • hieugiapbat
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Rainy
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • tieulinhlinh.quatquat