Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

3475
Chat chit và chém gió
  • tieusongtu.95: kinh te 4/15/2014 8:53:14 PM
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜLinh ·.°•97•°.·: tphcm hay s ạ? 4/15/2014 8:54:05 PM
  • tieusongtu.95: ha noi e ạ 4/15/2014 8:54:15 PM
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜLinh ·.°•97•°.·: big_grin 4/15/2014 8:54:47 PM
  • tieusongtu.95: ?? 4/15/2014 8:55:20 PM
  • Trang Ckít: hú hu 4/15/2014 8:56:04 PM
  • Trang Ckít: coa sai hông 4/15/2014 8:57:14 PM
  • Trang Ckít: có ai k 4/15/2014 8:59:03 PM
  • Mạnh:4/15/2014 9:00:30 PM
  • Trang Ckít: chém đê 4/15/2014 9:00:59 PM
  • Mạnh: cái gì mới đc 4/15/2014 9:03:30 PM
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜLinh ·.°•97•°.·: wind 4/15/2014 9:03:54 PM
  • Trang Ckít: cái gì cũng đk 4/15/2014 9:03:59 PM
  • Mạnh: -_- 4/15/2014 9:04:59 PM
  • Trang Ckít: dancing 4/15/2014 9:12:20 PM
  • Lone star: có ai ka 4/15/2014 9:21:50 PM
  • Lone star: giúp mình với 4/15/2014 9:22:00 PM
  • Trang Ckít: 1 đêm định mệnh 4/15/2014 9:23:21 PM
  • Lone star: đêm gì 4/15/2014 9:23:28 PM
  • doibuontenh16:4/15/2014 9:23:33 PM
  • Mạnh: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124483/mot-so-bai-hinh-9 4/15/2014 9:23:54 PM
  • Lone star: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124434/giup-voi-mn-oi 4/15/2014 9:24:22 PM
  • Lone star: giúp với 4/15/2014 9:24:28 PM
  • Trang Ckít: đêm định mệnh 4/15/2014 9:24:36 PM
  • Lone star: đêm gì 4/15/2014 9:25:46 PM
  • Lone star: ko hiểu 4/15/2014 9:25:49 PM
  • doibuontenh16: ý chị là đêm ĐM 4/15/2014 9:26:21 PM
  • Lone star: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124434/giup-voi-mn-oi 4/15/2014 9:26:28 PM
  • Trang Ckít: ukm 4/15/2014 9:26:39 PM
  • Lone star: đêm dm là sao 4/15/2014 9:26:47 PM
  • Trang Ckít: là đi ngủ đi 4/15/2014 9:28:32 PM
  • doibuontenh16: ha ha 4/15/2014 9:28:50 PM
  • Lone star: hâm 4/15/2014 9:31:37 PM
  • Lone star: ta ko hiểu hai đứa này nói gì cả 4/15/2014 9:31:55 PM
  • Trang Ckít: hiểu lm thao đk 4/15/2014 9:37:13 PM
  • doibuontenh16: chứ còn sao nữa 4/15/2014 9:37:25 PM
  • Trang Ckít: 100000000000000000000000 like cho hung 4/15/2014 9:38:31 PM
  • doibuontenh16: kaka 4/15/2014 9:38:39 PM
  • doibuontenh16: 10^n lun đi lại còn 4/15/2014 9:38:49 PM
  • Trang Ckít: 10(0) 4/15/2014 9:39:26 PM
  • doibuontenh16: ờ há 4/15/2014 9:40:13 PM
  • Trang Ckít: tha hồ mà đếm số o 4/15/2014 9:40:26 PM
  • doibuontenh16: he he 4/15/2014 9:40:58 PM
  • doibuontenh16: đã xong một bài rồi manhto ơi 4/15/2014 9:41:06 PM
  • Mạnh: ùa cảm ơn 4/15/2014 9:44:10 PM
  • Mạnh: ^^! 4/15/2014 9:44:11 PM
  • doibuontenh16: đợi tý mềnh đang đăng 4/15/2014 9:44:20 PM
  • Mạnh: applause 4/15/2014 9:44:58 PM
  • toanteen123: Ê bà Trua!! 4/15/2014 9:48:37 PM
  • Trang Ckít: dancing 4/15/2014 9:49:06 PM
  • doibuontenh16: bà trua là ai 4/15/2014 9:49:31 PM
  • doibuontenh16: laughing 4/15/2014 9:49:35 PM
  • Lã Phụng Tiên: mọi người giúp với đang cần gấpcrying 4/15/2014 9:51:48 PM
  • Lã Phụng Tiên: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124489/nho-moi-nguoi-giup-do-dang-can-gap-gan-thi-roi 4/15/2014 9:51:50 PM
  • minh_thúy: sad 4/15/2014 9:53:15 PM
  • bọt biển: sad 4/15/2014 9:54:13 PM
  • doibuontenh16: surprise 4/15/2014 9:54:19 PM
  • Trang Ckít: big_grin 4/15/2014 9:57:19 PM
  • doibuontenh16:4/15/2014 9:59:05 PM
  • Mạnh: ai bunf ngủ chưa 4/15/2014 9:59:31 PM
  • Trang Ckít: chưa 4/15/2014 9:59:39 PM
  • doibuontenh16: 10h thì bùn ngủ gì pa 4/15/2014 9:59:44 PM
  • Mạnh: ta mỏi tay quá 4/15/2014 10:00:59 PM
  • Mạnh: nhức hết tay 4/15/2014 10:01:03 PM
  • Mạnh: chả biết sao 4/15/2014 10:01:07 PM
  • Mạnh: ? 4/15/2014 10:01:08 PM
  • minh_thúy: sad 4/15/2014 10:10:06 PM
  • doibuontenh16:4/15/2014 10:10:46 PM
  • Mạnh: straight_face 4/15/2014 10:11:32 PM
  • Trang Ckít: dancing 4/15/2014 10:12:06 PM
  • Death: co ai k a 4/15/2014 10:33:51 PM
  • Death: có ai k ạ 4/15/2014 10:34:24 PM
  • Death: crying 4/15/2014 10:38:42 PM
  • Death: cryingcrying 4/15/2014 10:38:49 PM
  • bọt biển: confused 4/15/2014 10:40:00 PM
  • Death: có ai k e nhờ cái ạ 4/15/2014 10:40:33 PM
  • minh_thúy: sad 4/15/2014 10:49:16 PM
  • bọt biển: sleepy 4/15/2014 10:56:13 PM
  • minh_thúy: yawn 4/15/2014 10:56:54 PM
  • leejongsukleejongsuk: mems nao con thuc k v, minh hoi chut 4/15/2014 11:57:39 PM
  • mr.hmn.mn.n: fas 4/16/2014 1:43:50 AM
  • mr.hmn.mn.n: bây giwof còn thức à 4/16/2014 1:43:58 AM
  • mr.hmn.mn.n: đây, hỏi gì hỏi đi 4/16/2014 1:44:08 AM
  • mr.hmn.mn.n: Ai hỏi gì tung ra mau, lẹ lẹ 4/16/2014 1:44:20 AM
  • mr.hmn.mn.n: Không hỏi à, có hỏi nhanh lên chuẩn bị đi ngủ rồi 4/16/2014 1:45:19 AM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: a nhô a nhô. có ai hông 4/16/2014 8:57:02 AM
  • htthanh96: đây 4/16/2014 8:59:13 AM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: chào bạn 4/16/2014 9:21:24 AM
  • htthanh96: càho 4/16/2014 9:45:44 AM
  • Lã Phụng Tiên: mọi người giúp đỡ với đang cần gấp 4/16/2014 10:57:57 AM
  • Lã Phụng Tiên: đề thi năm nay đó 4/16/2014 10:58:04 AM
  • Lã Phụng Tiên: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124489/nho-moi-nguoi-giup-do-dang-can-gap-gan-thi-roi 4/16/2014 10:58:08 AM
  • Tonny_Mon_97: coffee 4/16/2014 12:00:57 PM
  • leejongsukleejongsuk: co mems nao giup minh bai toan lop 12 voi 4/16/2014 1:47:54 PM
  • Nero: Hello 4/16/2014 1:48:11 PM
  • Thảo Thanh Thảo: helo 4/16/2014 2:12:00 PM
  • leejongsukleejongsuk: co ban nao giup minh toan 12 voi 4/16/2014 2:12:16 PM
  • Thảo Thanh Thảo: mình k giúp đc, ch học ^^ 4/16/2014 2:18:07 PM
  • kunkunangel: yawn 4/16/2014 2:27:55 PM
  • kunkunangel: yawn 4/16/2014 2:28:11 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • thucvodoi96
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • kunkunangel
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • muahebongbong496
  • yenthinh196
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • bọt biển
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • thanhthanh
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • kitonhitranhandi
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • dieu2102
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Thảo Thanh Thảo
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • kiemgo1999