Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

5204
Chat chit và chém gió
  • misschpro: good luck 10/25/2014 12:43:06 PM
  • longlhoang365: có ai giữ đâu 10/25/2014 12:43:09 PM
  • misschpro: rolling_on_the_floor 10/25/2014 12:43:16 PM
  • misschpro: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127756/toan-9 10/25/2014 12:44:25 PM
  • longlhoang365: làm nó ức chế trước giờ thi kiểu này mà trượt thì nó chửi cho ra trò 10/25/2014 12:45:32 PM
  • misschpro: ah xem dùm đi 10/25/2014 12:46:03 PM
  • longlhoang365: a cũng phải đi học chiều chào nhá 10/25/2014 12:47:10 PM
  • misschpro: sad 10/25/2014 12:47:46 PM
  • longlhoang365:10/25/2014 12:48:21 PM
  • longlhoang365: có thời gian thì mua quyển nâng cao và phát triển toán 9 của VŨ HỮU BÌNH mà đọc 10/25/2014 12:49:32 PM
  • misschpro:10/25/2014 12:49:38 PM
  • longlhoang365: có rồi à 10/25/2014 12:50:13 PM
  • misschpro: chưa nhưng em sắp thi rùi 10/25/2014 12:50:34 PM
  • Saori Hara: ờ nhớ hồi lớp 9 toàn hk trong này 10/25/2014 12:50:38 PM
  • Saori Hara: quốn màu xanh nhỉ 10/25/2014 12:50:52 PM
  • longlhoang365: 2 cuốn 10/25/2014 12:51:07 PM
  • Saori Hara: uk 10/25/2014 12:51:11 PM
  • misschpro: thứ 6 tuần sau thi rùi crying 10/25/2014 12:51:15 PM
  • Saori Hara: đều màu xanh 10/25/2014 12:51:17 PM
  • misschpro: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/127756/toan-9 10/25/2014 12:51:27 PM
  • longlhoang365: xanh lá và xanh dương 10/25/2014 12:51:41 PM
  • misschpro: trời ơi 10/25/2014 12:51:50 PM
  • misschpro: rảnh wá thì xem dùm đi 10/25/2014 12:52:07 PM
  • Saori Hara: ờ nhớ là vậy 10/25/2014 12:52:10 PM
  • misschpro: whew 10/25/2014 12:52:19 PM
  • Saori Hara: có làm đk đâu 10/25/2014 12:52:20 PM
  • misschpro: huhuhuhuhuhuhu 10/25/2014 12:52:44 PM
  • misschpro: Chứng minh rằng với mọi m, nguyên thì A = m3 + n3 +(m + n ).( 3mn - 1) chia hết cho 6 10/25/2014 12:53:04 PM
  • Saori Hara: sad 10/25/2014 12:53:05 PM
  • misschpro: Chứng minh rằng với mọi m, nguyên thì A = m^3 + n^3 +(m + n ).( 3mn - 1) chia hết cho 6 10/25/2014 12:53:34 PM
  • misschpro: mà thôi khỏi 10/25/2014 12:54:15 PM
  • misschpro: bye mn nha 10/25/2014 12:54:19 PM
  • misschpro: wave 10/25/2014 12:54:27 PM
  • longlhoang365: dốt thật 10/25/2014 12:54:32 PM
  • misschpro: thì đã bảo là thôi rùi mà 10/25/2014 12:54:50 PM
  • longlhoang365: ừ thì thôi 10/25/2014 12:55:09 PM
  • longlhoang365: saori tôi ngủ đây 10/25/2014 12:55:39 PM
  • Saori Hara: uk 10/25/2014 12:56:06 PM
  • hakunzee5897: có ai k 10/25/2014 1:00:08 PM
  • cuncontocden123: co ma 10/25/2014 1:04:06 PM
  • cuncontocden123: klkl 10/25/2014 1:10:10 PM
  • Saori Hara: co anh 10/25/2014 1:12:52 PM
  • thoahoang73: có ai onl ko giup mik bài nghiệm nguyên này vs 10/25/2014 1:54:58 PM
  • Saori Hara: up lên 10/25/2014 1:55:24 PM
  • thoahoang73: giải phương trình nghiệm nguyên: (x-1)^4+x^4=y^4+(y+1)^2 10/25/2014 1:55:58 PM
  • thoahoang73: làm theo t/c kẹp giữa. 10/25/2014 1:56:21 PM
  • Saori Hara: đù 10/25/2014 1:56:41 PM
  • Saori Hara: sao lại chỉ có 1 pt là sao nhỉ 10/25/2014 1:56:58 PM
  • thoahoang73: đây là đề em chép y nguyên cô cho dok! 10/25/2014 1:58:06 PM
  • Saori Hara:10/25/2014 1:58:10 PM
  • Saori Hara: nghe củng khá khó 10/25/2014 2:18:42 PM
  • Saori Hara: kẹp 10/25/2014 2:18:57 PM
  • Con Gái MAFIA: yawn 10/25/2014 3:11:18 PM
  • Con Gái MAFIA: yawn 10/25/2014 3:22:31 PM
  • Con Gái MAFIA: yawn 10/25/2014 3:33:52 PM
  • vangiangconfessions: call_me 10/25/2014 4:38:32 PM
  • vangiangconfessions: http://www.zun.vn/tai-lieu/chuyen-de-hinh-hoc-12-6190/ ai rảnh vô giúp e bài 15 hình cây c với..khó dã man 10/25/2014 4:39:09 PM
  • minhkute141: ỳ zà hố 10/25/2014 5:16:53 PM
  • minhkute141: ỳ zà hô 10/25/2014 5:17:04 PM
  • minhkute141: ỳ zà hố hô 10/25/2014 5:17:13 PM
  • minhkute141: có ai k he? 10/25/2014 5:17:50 PM
  • minhkute141: píp píp......... 10/25/2014 5:18:26 PM
  • minhkute141: rầm......... 10/25/2014 5:18:57 PM
  • minhkute141: r xong 10/25/2014 5:19:07 PM
  • minhkute141: .hết 10/25/2014 5:19:17 PM
  • nbkhanhdhgd: alo , có bạn nào học về toán phân phối xác suất không , cho mình hỏi với ??? 10/25/2014 5:30:15 PM
  • longlhoang365: có ai ko 10/25/2014 5:56:47 PM
  • longlhoang365: chỉ có mấy cái bảng phân phối xác xuất mà nó nâng tầm lên thành cái gọi là toán kìa 10/25/2014 6:00:32 PM
  • longlhoang365: tối lại 10h nhá 10/25/2014 6:06:08 PM
  • hakunzee5897: ai onl không nào ???? 10/25/2014 6:59:06 PM
  • hakunzee5897: big_grin 10/25/2014 6:59:13 PM
  • hakunzee5897: dồng bào ơi 10/25/2014 6:59:28 PM
  • Con Gái MAFIA: dancing 10/25/2014 7:03:02 PM
  • hakunzee5897: 2 em 10/25/2014 7:03:28 PM
  • Con Gái MAFIA: e chị 10/25/2014 7:07:47 PM
  • Con Gái MAFIA: 2 10/25/2014 7:07:50 PM
  • hakunzee5897: em onl sớm vậy 10/25/2014 7:08:47 PM
  • Con Gái MAFIA:10/25/2014 7:09:03 PM
  • Con Gái MAFIA: em on tí đi chơi giờ đó mà chị 10/25/2014 7:09:14 PM
  • hakunzee5897: big_grin 10/25/2014 7:09:25 PM
  • hakunzee5897: em biết cách đổi avtar không > 10/25/2014 7:10:01 PM
  • Con Gái MAFIA: k ạ 10/25/2014 7:11:11 PM
  • Con Gái MAFIA: em lên đây học vs chém giõ thui 10/25/2014 7:11:21 PM
  • Con Gái MAFIA: chứ k qt đến mấy cái đó 10/25/2014 7:11:29 PM
  • hakunzee5897:10/25/2014 7:12:41 PM
  • hakunzee5897: chị cũng hỏi bài đây 10/25/2014 7:13:12 PM
  • hakunzee5897: ai 12 không ???? 10/25/2014 7:13:21 PM
  • hakunzee5897: ai làm hộ t bài này với 10/25/2014 7:13:37 PM
  • Con Gái MAFIA: toán hử chịi 10/25/2014 7:14:17 PM
  • hakunzee5897:10/25/2014 7:15:04 PM
  • hakunzee5897: lôga 10/25/2014 7:15:11 PM
  • hakunzee5897: loogarit có ai làm hộ t không với 10/25/2014 7:16:20 PM
  • Con Gái MAFIA: e chưa có hok 10/25/2014 7:16:21 PM
  • hakunzee5897:10/25/2014 7:16:27 PM
  • hakunzee5897: hình như không có ai ngoài chị em mìnhrolling_on_the_floor 10/25/2014 7:17:48 PM
  • Con Gái MAFIA: like 10/25/2014 7:18:45 PM
  • hakunzee5897: vậy thôi , xíu nữa lên hổi 10/25/2014 7:19:39 PM
  • hakunzee5897: rolling_on_the_floor 10/25/2014 7:19:45 PM
  • hieugiapbat: ai co kinh no trong tim qui tich chi tui với 10/25/2014 7:32:42 PM
  • hieugiapbat: quên cách tìm r 10/25/2014 7:32:54 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • hieugiapbat
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • hao_coi2000
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • ngocchau150620
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203