Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

4293
Chat chit và chém gió
  • Con Gái MAFIA: crying 7/29/2014 10:17:14 PM
  • heoluoi12345678: hi 7/29/2014 10:18:58 PM
  • Con Gái MAFIA: chị vs em chém gió đê 7/29/2014 10:19:10 PM
  • Con Gái MAFIA: k thì lại đi ngủ 7/29/2014 10:19:16 PM
  • Con Gái MAFIA: lại có người lặng lẽ nhìn mn on 7/29/2014 10:19:41 PM
  • heoluoi12345678: em vs chị chém gió đi 7/29/2014 10:20:04 PM
  • Con Gái MAFIA: idea 7/29/2014 10:20:14 PM
  • Con Gái MAFIA: e nói đi 7/29/2014 10:20:18 PM
  • heoluoi12345678: chị hãy nói cho em biets 7/29/2014 10:20:53 PM
  • heoluoi12345678: hay là 7/29/2014 10:21:01 PM
  • heoluoi12345678: chị đối em câu này 7/29/2014 10:21:12 PM
  • heoluoi12345678: ko lương làm sao sống 7/29/2014 10:21:23 PM
  • Con Gái MAFIA: chị chịu 7/29/2014 10:21:43 PM
  • Con Gái MAFIA: chị hok dôt văn lém 7/29/2014 10:22:02 PM
  • heoluoi12345678: ngay trước mặt còn gì 7/29/2014 10:22:03 PM
  • heoluoi12345678: nói ngược lại thôi 7/29/2014 10:22:18 PM
  • Con Gái MAFIA: not_worthy 7/29/2014 10:22:33 PM
  • heoluoi12345678: sao ? 7/29/2014 10:22:48 PM
  • Con Gái MAFIA: k 7/29/2014 10:23:07 PM
  • heoluoi12345678: chị đối đi 7/29/2014 10:23:20 PM
  • Con Gái MAFIA: sống sao khi k lương hử 7/29/2014 10:23:42 PM
  • heoluoi12345678: sai 7/29/2014 10:23:53 PM
  • heoluoi12345678: giống như cưa ngọn=con ngựa í 7/29/2014 10:24:10 PM
  • Con Gái MAFIA: chị chịu 7/29/2014 10:24:32 PM
  • heoluoi12345678: đổi lương với sống = lông với sướng 7/29/2014 10:25:07 PM
  • heoluoi12345678: chị đối đi 7/29/2014 10:25:13 PM
  • Con Gái MAFIA: em 7/29/2014 10:26:25 PM
  • heoluoi12345678: ? 7/29/2014 10:26:30 PM
  • Con Gái MAFIA: chị kém văn giỏi toán thui 7/29/2014 10:26:42 PM
  • heoluoi12345678: em nói cho chị rồi mà 7/29/2014 10:27:13 PM
  • heoluoi12345678: chị chỉ thay vào thôi 7/29/2014 10:27:21 PM
  • heoluoi12345678: chị nói đi big_grin 7/29/2014 10:27:31 PM
  • Con Gái MAFIA: lông lá gì 7/29/2014 10:28:05 PM
  • heoluoi12345678: cái câu đó 7/29/2014 10:28:20 PM
  • heoluoi12345678: ko lương làm sao sống 7/29/2014 10:28:30 PM
  • heoluoi12345678: thay lương = lông sống = sướng 7/29/2014 10:28:53 PM
  • heoluoi12345678: chị nói đibig_grinbig_grinbig_grinbig_grin 7/29/2014 10:29:08 PM
  • Con Gái MAFIA: ai biểu k lông mà chét 7/29/2014 10:30:27 PM
  • heoluoi12345678: sặc 7/29/2014 10:31:03 PM
  • heoluoi12345678: chị thừa bít mà 7/29/2014 10:32:15 PM
  • heoluoi12345678: chị đg cố ko nói à 7/29/2014 10:32:27 PM
  • Con Gái MAFIA: sao tự nhiên nói linh tinh tế 7/29/2014 10:32:35 PM
  • Con Gái MAFIA: chị đang cố đập ny chị ra khỏi giường 7/29/2014 10:33:17 PM
  • Con Gái MAFIA: devil 7/29/2014 10:33:23 PM
  • Con Gái MAFIA: wave 7/29/2014 10:34:13 PM
  • heoluoi12345678: == 7/29/2014 10:36:55 PM
  • heoluoi12345678: nc với chị chán 7/29/2014 10:37:05 PM
  • Con Gái MAFIA: em nói k đúng sở trường của chị sao chị chiều đk 7/29/2014 10:37:51 PM
  • heoluoi12345678: chị nói bậ* trên này nhiều mà 7/29/2014 10:38:29 PM
  • heoluoi12345678: haizz 7/29/2014 10:38:38 PM
  • heoluoi12345678: ê 7/29/2014 10:39:09 PM
  • heoluoi12345678: 3t 7/29/2014 10:39:15 PM
  • heoluoi12345678: anh thiên 7/29/2014 10:39:20 PM
  • 3t.t2bem: ơ 7/29/2014 10:40:58 PM
  • 3t.t2bem: sao 7/29/2014 10:40:59 PM
  • 3t.t2bem: gọi a có việc gì đây happy 7/29/2014 10:41:06 PM
  • Con Gái MAFIA: bậy nhưng k linh tinh 7/29/2014 10:41:11 PM
  • 3t.t2bem: ê 7/29/2014 10:41:28 PM
  • Con Gái MAFIA: https://www.facebook.com/photo.php?fbid=297188703787567&set=a.107021029471003.13236.100004893191817&type=1 7/29/2014 10:41:37 PM
  • 3t.t2bem: Đức Thiên có đây ko 7/29/2014 10:41:54 PM
  • heoluoi12345678: == 7/29/2014 10:42:30 PM
  • heoluoi12345678: em nói là lông của chăn 7/29/2014 10:42:41 PM
  • heoluoi12345678: chị mới nghĩ linh tinh 7/29/2014 10:42:51 PM
  • Con Gái MAFIA: chăn mỏng chả đk 7/29/2014 10:42:56 PM
  • heoluoi12345678: chăn mỏng vẫn có lông 7/29/2014 10:43:10 PM
  • 3t.t2bem: cơ mà có ng vừa gọi a mà 7/29/2014 10:44:25 PM
  • 3t.t2bem: sao giờ lại cãi nhau ròi 7/29/2014 10:44:34 PM
  • heoluoi12345678: em gọi 7/29/2014 10:44:57 PM
  • heoluoi12345678: nói anh ra để nc 7/29/2014 10:45:08 PM
  • heoluoi12345678: chém với chị khủng bố chả vui j cả 7/29/2014 10:45:25 PM
  • Con Gái MAFIA: ai phun áo bong sđá k 7/29/2014 10:45:52 PM
  • heoluoi12345678: anh bem ơi 7/29/2014 10:46:25 PM
  • 3t.t2bem: Bem 7/29/2014 10:47:58 PM
  • 3t.t2bem: straight_face 7/29/2014 10:48:06 PM
  • 3t.t2bem: sao biết tên giả anh hay vậy straight_face 7/29/2014 10:48:28 PM
  • heoluoi12345678: chữ cuối là bem mà 7/29/2014 10:48:29 PM
  • 3t.t2bem: thật ra là Bém 7/29/2014 10:48:37 PM
  • heoluoi12345678: bèm hay hơn 7/29/2014 10:48:48 PM
  • heoluoi12345678: lèm bèm 7/29/2014 10:48:53 PM
  • 3t.t2bem: Tại hồi trc 7/29/2014 10:49:55 PM
  • 3t.t2bem: nhà anh cứ gọi anh là em bé 7/29/2014 10:50:08 PM
  • 3t.t2bem: đến lên lớp 3 vẫn còn gọi như thế 7/29/2014 10:50:25 PM
  • heoluoi12345678: bém đâu liên quan tới em bé 7/29/2014 10:50:36 PM
  • 3t.t2bem: Rồi thằng anh của anh nghĩ ra cái tên Bém 7/29/2014 10:50:40 PM
  • 3t.t2bem: tại từ em bé mà đọc nhanh thì nó ra BÉm 7/29/2014 10:50:52 PM
  • 3t.t2bem: e thử đi 7/29/2014 10:50:56 PM
  • heoluoi12345678: à 7/29/2014 10:51:06 PM
  • heoluoi12345678: cũng đúng 7/29/2014 10:51:11 PM
  • heoluoi12345678: hà hà 7/29/2014 10:51:16 PM
  • heoluoi12345678: tới lớp 3 vẫn bị gọi là em bé 7/29/2014 10:51:33 PM
  • 3t.t2bem: tongue 7/29/2014 10:51:42 PM
  • 3t.t2bem: thôi anh đi ngủ nha 7/29/2014 10:51:48 PM
  • 3t.t2bem: Bye e 7/29/2014 10:51:52 PM
  • heoluoi12345678: byebye 7/29/2014 10:51:55 PM
  • 3t.t2bem: mọi người ngủ ngon 7/29/2014 10:51:56 PM
  • heoluoi12345678: chúc anh ngủ ngon 7/29/2014 10:52:02 PM
  • heoluoi12345678: có em thôi mà 7/29/2014 10:52:09 PM
  • heoluoi12345678: còn ai đâu 7/29/2014 10:52:15 PM
  • 3t.t2bem: laughing 7/29/2014 10:52:35 PM
  • 3t.t2bem: happy 7/29/2014 10:52:38 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart97
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Rainy
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ♥♥Hoàng Huy♥♥
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • quynhcntpb