Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

4645
Chat chit và chém gió
  • Tiểu sa nhi: gió sao vậy 9/1/2014 9:24:19 PM
  • Windy: t chán 9/1/2014 9:24:51 PM
  • Windy: yawn 9/1/2014 9:24:58 PM
  • Tiểu sa nhi: sao lại chán vậy 9/1/2014 9:26:14 PM
  • Mưa Đêm: thôi a off nha 9/1/2014 9:27:20 PM
  • Mưa Đêm: tí on 9/1/2014 9:27:22 PM
  • Mưa Đêm: bye 9/1/2014 9:27:22 PM
  • Mưa Đêm: mn 9/1/2014 9:27:23 PM
  • Windy: nerd t cũng k biết nữa cát ợ 9/1/2014 9:27:42 PM
  • Windy: vầng, bye a 9/1/2014 9:27:51 PM
  • Death: yawn 9/1/2014 9:28:02 PM
  • nhóc xì teen: yawn 9/1/2014 9:28:38 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: yawn 9/1/2014 9:28:41 PM
  • nhóc xì teen: 2 m.n 9/1/2014 9:28:43 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: haha 9/1/2014 9:28:46 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: nước mới đổi tên 9/1/2014 9:28:52 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: laughing 9/1/2014 9:28:55 PM
  • Windy: laughing 9/1/2014 9:29:01 PM
  • nhóc xì teen: sao biết hay zữ zậy 9/1/2014 9:29:06 PM
  • nhóc xì teen: tongue 9/1/2014 9:29:14 PM
  • Windy: "nhóc xì teen" cơ :3 9/1/2014 9:29:17 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: thôi e off 9/1/2014 9:29:27 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: pye m.n 9/1/2014 9:29:31 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: yawn 9/1/2014 9:29:35 PM
  • nhóc xì teen: tongue hem nghĩ ra tên nào 9/1/2014 9:29:39 PM
  • Windy: avat màu hồng huyền thoại kia mấy ai cólaughing 9/1/2014 9:29:43 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: -_- 9/1/2014 9:29:47 PM
  • nhóc xì teen: nên đánh đại vậy thôi 9/1/2014 9:29:51 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: đá đểu 9/1/2014 9:29:52 PM
  • Windy: sỏi, e out sớm thế? 9/1/2014 9:29:54 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: vâng 9/1/2014 9:30:05 PM
  • nhóc xì teen: sao đểu 9/1/2014 9:30:10 PM
  • nhóc xì teen: sao kêu ng ta đểu 9/1/2014 9:30:15 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: gió đá đểu e kìa 9/1/2014 9:30:18 PM
  • Windy: hee_hee k phải đá đểu đâu 9/1/2014 9:30:22 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: -_- 9/1/2014 9:30:26 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: thôi e out 9/1/2014 9:30:30 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: m.n ở lại vui vẻ 9/1/2014 9:30:35 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: wave 9/1/2014 9:30:39 PM
  • Windy: sad ừ, bye ewave 9/1/2014 9:30:46 PM
  • nhóc xì teen: sad 9/1/2014 9:30:50 PM
  • nhóc xì teen: ở lại ns chuyện vs mn cho zuui 9/1/2014 9:31:02 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: laughing 9/1/2014 9:31:09 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: nước lưu luyến e kìa 9/1/2014 9:31:13 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: rolling_on_the_floor 9/1/2014 9:31:19 PM
  • Windy: laughing 9/1/2014 9:31:25 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: đùa thôi 9/1/2014 9:31:26 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: e out đây 9/1/2014 9:31:31 PM
  • nhóc xì teen: sax 9/1/2014 9:31:35 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: hôm nay phải học 9/1/2014 9:31:36 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: để mai đi chơi big_grin 9/1/2014 9:31:42 PM
  • nhóc xì teen: tại hôm mai nghỉ 9/1/2014 9:31:44 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: pp 9/1/2014 9:31:46 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: laughing 9/1/2014 9:31:51 PM
  • Hòn Sỏi Buồn: chuẩn nước 9/1/2014 9:31:54 PM
  • nhóc xì teen:9/1/2014 9:32:21 PM
  • nhóc xì teen: ít ng onl quá chỉ còn lx thui 9/1/2014 9:32:36 PM
  • Windy: -_- 9/1/2014 9:33:06 PM
  • nhóc xì teen: big_grin 9/1/2014 9:33:17 PM
  • Windy: t cũng out nốt h ílaughing 9/1/2014 9:33:28 PM
  • nhóc xì teen: đừng 9/1/2014 9:33:57 PM
  • Tiểu sa nhi: thôi cát cũng lượn đây 9/1/2014 9:34:01 PM
  • Tiểu sa nhi: bùn ngủ qua 9/1/2014 9:34:10 PM
  • Tiểu sa nhi: mn ngủ ngon nha 9/1/2014 9:34:16 PM
  • nhóc xì teen: cát 9/1/2014 9:34:16 PM
  • Tiểu sa nhi: sleepy 9/1/2014 9:34:21 PM
  • nhóc xì teen: sao ai cũng of hết zậy 9/1/2014 9:34:27 PM
  • Tiểu sa nhi: sao vậy 9/1/2014 9:34:29 PM
  • Windy: ơ, thế đi hết đi cho nước ở 1 mềnhrolling_on_the_floor 9/1/2014 9:34:33 PM
  • Tiểu sa nhi: buồn ngủ quá 9/1/2014 9:34:40 PM
  • nhóc xì teen: đừng 9/1/2014 9:35:33 PM
  • nhóc xì teen: sad 9/1/2014 9:35:36 PM
  • Windy: laughing 9/1/2014 9:35:53 PM
  • Windy: đùa thôi 9/1/2014 9:35:56 PM
  • nhóc xì teen:9/1/2014 9:36:12 PM
  • Tiểu sa nhi: nhóc nha 9/1/2014 9:36:14 PM
  • nhóc xì teen: big_grin 9/1/2014 9:36:15 PM
  • Tiểu sa nhi: ngủ ngon nhé 9/1/2014 9:36:19 PM
  • nhóc xì teen: cát 9/1/2014 9:36:22 PM
  • nhóc xì teen: ở lại ns chuyện đi 9/1/2014 9:36:29 PM
  • nhóc xì teen: happy 9/1/2014 9:37:03 PM
  • Windy: vậy bye cát nha, g9big_grin 9/1/2014 9:37:38 PM
  • Tiểu sa nhi: big_hug 9/1/2014 9:38:15 PM
  • Tiểu sa nhi: kiss 9/1/2014 9:38:21 PM
  • nhóc xì teen: cát 9/1/2014 9:38:32 PM
  • nhóc xì teen: đi đâu ùi 9/1/2014 9:38:41 PM
  • Tiểu sa nhi: sao vậy nhóc 9/1/2014 9:38:54 PM
  • nhóc xì teen:9/1/2014 9:39:16 PM
  • nhóc xì teen: tại tưởng cát of ùi 9/1/2014 9:39:27 PM
  • Tiểu sa nhi: cát chuẩn bị of đây 9/1/2014 9:40:49 PM
  • nhóc xì teen: cát bùn ngủ hả 9/1/2014 9:41:06 PM
  • Tiểu sa nhi: uh 9/1/2014 9:42:03 PM
  • Tiểu sa nhi: buồn ngủ lắm 9/1/2014 9:42:15 PM
  • nhóc xì teen: vậy cát ngủ đi nha 9/1/2014 9:43:11 PM
  • nhóc xì teen: g9 cát 9/1/2014 9:43:20 PM
  • nhóc xì teen: hì bùn ngủ thì phải đi ngủ chứ 9/1/2014 9:43:31 PM
  • Tiểu sa nhi: wave 9/1/2014 9:43:43 PM
  • nhóc xì teen: n.n.m.đ 9/1/2014 9:46:26 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: shame_on_you 9/1/2014 10:57:05 PM
  • Tonny_Mon_97: big_grin 9/1/2014 11:09:44 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sowkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • phunsukwangdu98
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • hikichbo