Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

3571
Chat chit và chém gió
  • bọt biển: khoái sò hơn 4/24/2014 10:55:30 PM
  • quanshuu: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124605/bt-ve-pt-nghiem-nguyen-day 4/24/2014 10:55:32 PM
  • bọt biển: hết 4/24/2014 10:55:32 PM
  • bọt biển: laughing 4/24/2014 10:55:34 PM
  • quanshuu: dòng 4 4/24/2014 10:56:01 PM
  • doibuontenh16: làm sao 4/24/2014 10:56:38 PM
  • jea¤¤student: ah lol 4/24/2014 10:58:43 PM
  • jea¤¤student: laughing 4/24/2014 10:58:46 PM
  • tienni68: sao chuyên cơ còn khoe đc 30K danh vong mà còn ns ko là j hết 4/24/2014 10:58:57 PM
  • quanshuu: ??? 4/24/2014 10:59:03 PM
  • quanshuu: 30k ghê đó chứ 4/24/2014 10:59:14 PM
  • quanshuu: sao còn chê 4/24/2014 10:59:20 PM
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥: http://toiyeuloptoi.kenh14.vn/trang-ca-nhan/vong-1/bin0.bossini96-412.htm 4/24/2014 10:59:21 PM
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥: ai co fb thi like gium mk voi 4/24/2014 10:59:29 PM
  • tienni68: sao chuyên cơ còn khoe đc 30K danh vong mà còn ns ko là j hết 4/24/2014 11:01:05 PM
  • quanshuu: ??? 4/24/2014 11:01:15 PM
  • bọt biển: khổ ghê 4/24/2014 11:01:24 PM
  • quanshuu: ai nói k là gì hết 4/24/2014 11:01:36 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: chi la j do de ta phan đấu 4/24/2014 11:02:00 PM
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng: chứ chả có j 4/24/2014 11:02:03 PM
  • quanshuu: a thấy a sai hay e sai? 4/24/2014 11:02:20 PM
  • quanshuu: sao ổng k trả lời nhỉ? hay là đói bụng đi ăn rồi 4/24/2014 11:05:42 PM
  • Tiểu Bự Bự: mình có đúng 1 điểm danh vọng hixsad 4/24/2014 11:06:21 PM
  • doibuontenh16: ms vào mà 4/24/2014 11:06:41 PM
  • quanshuu: ukm 4/24/2014 11:06:49 PM
  • quanshuu: ổng sửa rồi 4/24/2014 11:07:00 PM
  • quanshuu: vì cách ổng hay quá nên k nỡ bỏ vote 4/24/2014 11:07:22 PM
  • quanshuu: doibuontenh sao chưa ngủ 4/24/2014 11:08:02 PM
  • doibuontenh16: hazzz 4/24/2014 11:10:26 PM
  • doibuontenh16: có ai có bài hk mk làm đỡ bùn nào 4/24/2014 11:10:34 PM
  • quanshuu: k có bài khó 4/24/2014 11:11:16 PM
  • doibuontenh16:4/24/2014 11:11:34 PM
  • quanshuu: mà có thì ông cũng k làm đc , lý phần bình thông nhau 4/24/2014 11:11:38 PM
  • doibuontenh16: đk 4/24/2014 11:12:09 PM
  • doibuontenh16: để mai tui học lại phần bình thông nhau là ok hết 4/24/2014 11:12:23 PM
  • quanshuu: ô ô 4/24/2014 11:12:25 PM
  • doibuontenh16: sao 4/24/2014 11:12:33 PM
  • quanshuu: mới hôm qua còn bí mà , hôm nay ghê thế 4/24/2014 11:12:49 PM
  • doibuontenh16: thì học lại vài bữa là nhớ lại thoy 4/24/2014 11:13:05 PM
  • quanshuu: ông lớp 9 nhỉ 4/24/2014 11:13:54 PM
  • quanshuu: vậy sách lý 8 chắc vẫn còn,đọc là ok 4/24/2014 11:14:21 PM
  • doibuontenh16: hk 4/24/2014 11:14:25 PM
  • quanshuu: ? 4/24/2014 11:14:28 PM
  • doibuontenh16: trong sách sgk thì dễ hk à 4/24/2014 11:14:34 PM
  • doibuontenh16: tui đọc trong sách nang cao cơ 4/24/2014 11:14:40 PM
  • quanshuu: ukm 4/24/2014 11:14:44 PM
  • quanshuu: hay đó 4/24/2014 11:14:52 PM
  • quanshuu: trong đó cũng nhiều dạng 4/24/2014 11:15:06 PM
  • quanshuu: mà ông học muộn mẹ 1 ngày 4/24/2014 11:15:16 PM
  • doibuontenh16: ông có quyển 500 bài tập hk 4/24/2014 11:15:34 PM
  • quanshuu: có 4/24/2014 11:15:38 PM
  • doibuontenh16: đó 4/24/2014 11:15:42 PM
  • quanshuu: thì tui học bd toàn trong đó mà 4/24/2014 11:15:52 PM
  • doibuontenh16: tui trước toàn học ở đó 4/24/2014 11:15:54 PM
  • quanshuu: mà ông học muộn mẹ 1 ngày rồi 4/24/2014 11:16:07 PM
  • quanshuu: tụi tui mới qua chuyên đo mới : 4/24/2014 11:16:25 PM
  • quanshuu: mới qua chuyên đề mới 4/24/2014 11:16:38 PM
  • quanshuu: nhiệt 4/24/2014 11:16:43 PM
  • doibuontenh16: nhiệt tui vẫn nhớ sơ sơ 4/24/2014 11:18:10 PM
  • quanshuu: ờ 4/24/2014 11:19:14 PM
  • quanshuu: nhưng phần này tui học đc 4/24/2014 11:19:22 PM
  • quanshuu: nếu có bài khó tụi mình cùng trao đổi ý kiến 4/24/2014 11:19:40 PM
  • quanshuu: mà ông có bài nào k 4/24/2014 11:19:47 PM
  • doibuontenh16: phần nhiệt là phân dễ nhất mà 4/24/2014 11:19:49 PM
  • quanshuu: ukm 4/24/2014 11:20:09 PM
  • quanshuu: ông có bài nào k 4/24/2014 11:20:19 PM
  • doibuontenh16:4/24/2014 11:20:31 PM
  • doibuontenh16: làm hk 4/24/2014 11:20:33 PM
  • quanshuu: ok 4/24/2014 11:20:52 PM
  • doibuontenh16: đợi 4/24/2014 11:21:01 PM
  • quanshuu: đề 4/24/2014 11:21:02 PM
  • quanshuu: đc chưa 4/24/2014 11:28:38 PM
  • doibuontenh16: http://ly.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/7066/bai-de-truoc-nhe 4/24/2014 11:30:11 PM
  • quanshuu: có toán k 4/24/2014 11:31:26 PM
  • quanshuu: mà bài đó tui làm dc nhưng tui thich toán hơn 4/24/2014 11:31:41 PM
  • doibuontenh16: à cũng dk 4/24/2014 11:32:47 PM
  • doibuontenh16: toán thì đợi 4/24/2014 11:32:52 PM
  • doibuontenh16: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/124695/ne-kho-day 4/24/2014 11:34:59 PM
  • doibuontenh16: nè làm đi 4/24/2014 11:35:03 PM
  • doibuontenh16: zz 4/24/2014 11:35:52 PM
  • quanshuu: đợi tí 4/24/2014 11:38:21 PM
  • quanshuu: đi đánh răng 4/24/2014 11:38:33 PM
  • quanshuu: khó nhỉ 4/24/2014 11:39:04 PM
  • quanshuu: lần đầu gặp loại ẩn ở số mũ 4/24/2014 11:39:23 PM
  • quanshuu: doibuontenh oi 4/24/2014 11:40:26 PM
  • doibuontenh16: sao 4/24/2014 11:40:51 PM
  • quanshuu: tui chịu dạng này 4/24/2014 11:40:59 PM
  • quanshuu: chưa tiếp xúc lần nào 4/24/2014 11:41:09 PM
  • quanshuu: giải thử coi 4/24/2014 11:41:17 PM
  • doibuontenh16: ukm 4/24/2014 11:42:10 PM
  • quanshuu: giai mau , me bắt đi ngủ 4/24/2014 11:45:15 PM
  • doibuontenh16: dể mai đọc đi 4/24/2014 11:45:22 PM
  • doibuontenh16: ngủ đi 4/24/2014 11:45:24 PM
  • quanshuu: để coi luôn 4/24/2014 11:45:33 PM
  • quanshuu: mai lên đố lớp chuyên toán 4/24/2014 11:45:50 PM
  • doibuontenh16: ok 4/24/2014 11:45:55 PM
  • quanshuu: thui,mai tui coi 4/24/2014 11:49:26 PM
  • quanshuu: mẹ kêu ghê quá 4/24/2014 11:49:32 PM
  • doibuontenh16: uk 4/24/2014 11:49:48 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: a lô a lô 4/25/2014 10:46:48 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Đỗ Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • climaxusher
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Bảo Bảo ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • thucvodoi96
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • trymybest123456789
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • jea¤¤student
  • Death
  • devilphuong96
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • muahebongbong496
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • bọt biển
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • Lone star
  • hvthanh
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • kitonhitranhandi
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • ttra2004
  • dieu2102
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • thanhkelvin1999
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • diendien_01
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong