Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

6232
Chat chit và chém gió
  • Thành: linh hỏi ai?? 12/20/2014 10:37:46 PM
  • Dép Lê Con Nhà Quê: applause 12/20/2014 10:37:58 PM
  • thuylinhnguyen2611: hjhj hỏi v ấy ko hỏi c đâu 12/20/2014 10:38:07 PM
  • Thành: confused 12/20/2014 10:38:09 PM
  • Thành: vãi 12/20/2014 10:38:18 PM
  • thuylinhnguyen2611: thành thì bt rồi hỏi j nữa happy 12/20/2014 10:38:24 PM
  • thuylinhnguyen2611: mà cũng mới bt tên 12/20/2014 10:38:32 PM
  • Chân dài lên thành phố: 1 12/20/2014 10:40:42 PM
  • Chân dài lên thành phố: yeah đổi đk rồi 12/20/2014 10:40:50 PM
  • white cloud: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:41:33 PM
  • white cloud: bê đê vãi 12/20/2014 10:41:39 PM
  • dolaemon: tên hay ghê a thành 12/20/2014 10:41:59 PM
  • white cloud: like e mon 12/20/2014 10:42:06 PM
  • thuylinhnguyen2611: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:42:14 PM
  • Chân dài lên thành phố: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:42:57 PM
  • Saori Hara: vai cả chân dài 12/20/2014 10:43:04 PM
  • Chân dài lên thành phố: quá khen qua khen 12/20/2014 10:43:07 PM
  • Saori Hara: xem bóng đá ko 12/20/2014 10:43:19 PM
  • Chân dài lên thành phố: ko t đang xem NBA 12/20/2014 10:43:31 PM
  • white cloud: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:43:43 PM
  • Saori Hara: vải lúc nào cũng NBA 12/20/2014 10:45:06 PM
  • Chân dài lên thành phố: hehehehe 12/20/2014 10:45:21 PM
  • Chân dài lên thành phố: nghê mà 12/20/2014 10:45:24 PM
  • Chân dài lên thành phố: nghề mà 12/20/2014 10:45:27 PM
  • Chân dài lên thành phố: đâu hêt rồi 12/20/2014 10:50:25 PM
  • thuylinhnguyen2611: thi xong rãnh nhở 12/20/2014 10:51:11 PM
  • Chân dài lên thành phố: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:51:24 PM
  • Chân dài lên thành phố: ừ hêhhe 12/20/2014 10:51:27 PM
  • thuylinhnguyen2611: mà you ở đâu thế 12/20/2014 10:51:42 PM
  • Chân dài lên thành phố: hà tĩnh ou à rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:52:14 PM
  • thuylinhnguyen2611: hà tĩnh cũng thi đề chung chơ 12/20/2014 10:52:37 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: xem ai tên dài hơn 12/20/2014 10:53:04 PM
  • thuylinhnguyen2611: mấy bạn đọ tên ai dài à 12/20/2014 10:53:37 PM
  • Chân dài lên thành phố:12/20/2014 10:53:42 PM
  • Chân dài lên thành phố: éo chấp mon à 12/20/2014 10:53:52 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: big_grin 12/20/2014 10:54:01 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: tại a tự rưng lm e có hứng 12/20/2014 10:54:59 PM
  • Chân dài lên thành phố: hâhhha 12/20/2014 10:55:30 PM
  • Chân dài lên thành phố: tại chuyên cơ 12/20/2014 10:55:38 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: ờ đúng r 12/20/2014 10:55:50 PM
  • Chân dài lên thành phố: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:56:15 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: thôi e off 12/20/2014 10:56:23 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: sau này gặp lại 12/20/2014 10:56:33 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: a nhớ giữ gìn sức khỏe 12/20/2014 10:56:47 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: đừng thức khuya nhiều quá 12/20/2014 10:57:07 PM
  • white cloud: yawn 12/20/2014 10:57:20 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: tóc rụng hết đấy 12/20/2014 10:57:26 PM
  • white cloud: surprise 12/20/2014 10:57:34 PM
  • Chân dài lên thành phố: rolling_on_the_floor 12/20/2014 10:57:46 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: e đi chuyến này ko biết bao h ms quay lại 12/20/2014 10:57:54 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: haizzzzzzzzzzzzz 12/20/2014 10:58:03 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: c hey nhớ bảo trọng 12/20/2014 10:58:23 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: ôi thời oanh liệt nay còn đâu 12/20/2014 10:59:11 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: a thành nhớ chăm sóc vợ con cẩn thận 12/20/2014 10:59:50 PM
  • white cloud: éo 12/20/2014 10:59:52 PM
  • white cloud: sao em lại off 12/20/2014 10:59:59 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: ôi e phải đi lm 1 việc quan trọng 12/20/2014 11:00:21 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: học văn 12/20/2014 11:00:35 PM
  • thuylinhnguyen2611: việc j thế 12/20/2014 11:00:38 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: học anh 12/20/2014 11:00:49 PM
  • thuylinhnguyen2611: hjhj tốt toàn môn mình dở 12/20/2014 11:01:01 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: thôi e đi đây 12/20/2014 11:01:11 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: càng ở lại e lại càng ko nỡ 12/20/2014 11:01:26 PM
  • white cloud: wave 12/20/2014 11:01:40 PM
  • white cloud: bye e nhé 12/20/2014 11:01:47 PM
  • thuylinhnguyen2611: see you again happy wave 12/20/2014 11:01:50 PM
  • white cloud: m.n sẽ nhớ e 12/20/2014 11:01:54 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: vâng e chúc chị hạnh phúc 12/20/2014 11:02:14 PM
  • Chân dài lên thành phố: e an nghỉ nha 12/20/2014 11:02:31 PM
  • white cloud: ?? 12/20/2014 11:02:54 PM
  • white cloud: hp 12/20/2014 11:02:56 PM
  • white cloud: ?? 12/20/2014 11:02:58 PM
  • white cloud: vui vẻ chứ 12/20/2014 11:03:07 PM
  • white cloud: happy 12/20/2014 11:03:10 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: sax 12/20/2014 11:03:14 PM
  • thuylinhnguyen2611: kinh an nghỉ 12/20/2014 11:03:19 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: a thành e sẽ quay lại ko an nghỉ dễ thế đâu 12/20/2014 11:04:13 PM
  • Chân dài lên thành phố: rolling_on_the_floor 12/20/2014 11:04:23 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: chúc 2 ng "vui vẻ" 12/20/2014 11:05:07 PM
  • Chân dài lên thành phố: happy 12/20/2014 11:05:12 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: e đi đâyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy puppy_dog_eyes 12/20/2014 11:06:11 PM
  • Nhà mặt phố bố trồng cây xăng: à mà rỗi thì lm câu e đăng hqua nhá 12/20/2014 11:06:56 PM
  • white cloud: ? 12/20/2014 11:07:28 PM
  • white cloud: câu j z 12/20/2014 11:09:55 PM
  • thuylinhnguyen2611: yawn 12/20/2014 11:12:13 PM
  • thuylinhnguyen2611: mọi người ngủ ngon 12/20/2014 11:12:26 PM
  • Chân dài lên thành phố: bye cậu 12/20/2014 11:12:39 PM
  • white cloud: oái 12/20/2014 11:17:11 PM
  • white cloud: đi ngủ hết rồi ak 12/20/2014 11:17:20 PM
  • Chân dài lên thành phố: còn t 12/20/2014 11:17:30 PM
  • white cloud: yawn tôi cug buồn ngủ rôi 12/20/2014 11:17:37 PM
  • white cloud: cung đi ngủ luôn 12/20/2014 11:17:44 PM
  • white cloud: wave 12/20/2014 11:17:48 PM
  • white cloud: bye p 12/20/2014 11:17:51 PM
  • Chân dài lên thành phố: mẹ ngủ đi 12/20/2014 11:18:13 PM
  • Nero: ai thánh bđt 12/20/2014 11:22:37 PM
  • Chân dài lên thành phố: kêu thằng ankha nà 12/20/2014 11:24:04 PM
  • Nero: hắn có onl ko ? 12/20/2014 11:25:57 PM
  • Chân dài lên thành phố: ko 12/20/2014 11:38:03 PM
  • ๖ۣۜHentai♥๖ۣۜKamen: 2 12/21/2014 9:32:01 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • tieutulitipro
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ๖ۣۜHentai♥๖ۣۜKamen
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • nguyenthiquynh741
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • hungreocmg
  • konjiki.no.yami.bmt
  • tranhuynhquethanh