Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

8045
Chat chit và chém gió
  • ♂Vitamin_Tờ♫: vấn đề sao e? 9/3/2015 6:06:44 PM
  • Táo: có nhiều pp em k biết 9/3/2015 6:07:00 PM
  • Táo: nên 9/3/2015 6:07:03 PM
  • Táo: kiểu nghĩ mãi trong 1 hay 2 pp đã học mà k ra đó 9/3/2015 6:07:21 PM
  • Táo: mãi mới hiểu ddc 9/3/2015 6:07:26 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: đó là cái cần học 9/3/2015 6:08:10 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: kiến thức phải tự mình gom nhặt 9/3/2015 6:08:29 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: trước a học cũng như các e thôi, 9/3/2015 6:08:38 PM
  • ♂Vitamin_Tờ♫: chả biết đc nhiều 9/3/2015 6:08:52 PM
  • Táo: happy 9/3/2015 6:09:38 PM
  • Táo: @@ 9/3/2015 6:12:08 PM
  • Ruanyu Jian: sad 9/3/2015 6:18:34 PM
  • Táo: tối mát mn 9/3/2015 6:32:37 PM
  • Táo: winking 9/3/2015 6:32:38 PM
  • Tùng (siêu nhân): ê có ai k???????????? 9/3/2015 7:10:29 PM
  • Tùng (siêu nhân): ê có ai k??????????? 9/3/2015 7:11:48 PM
  • =.=: có taoooo 9/3/2015 7:12:19 PM
  • Tùng (hot boy): ???????????? 9/3/2015 7:15:18 PM
  • Tùng (hot boy): lại là mi 9/3/2015 7:15:25 PM
  • Tùng (hot boy): ee đâu rò 9/3/2015 7:16:08 PM
  • Tùng (hot boy): chuồn nhanh zậy 9/3/2015 7:16:18 PM
  • Tùng (hot boy): có ai không 9/3/2015 7:17:17 PM
  • Tùng (hot boy): dm chả có ai ư 9/3/2015 7:17:24 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:27 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:28 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:29 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:30 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:30 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:31 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:32 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:33 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:34 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:35 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:37 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:38 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:39 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:40 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:41 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:42 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:43 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:44 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:45 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:46 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:47 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:48 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:49 PM
  • Tùng (hot boy): vcryingcryingcryingcryingcó ai khôngv 9/3/2015 7:31:50 PM
  • Tùng (hot boy): vv 9/3/2015 7:31:50 PM
  • Tùng (hot boy): vv 9/3/2015 7:31:51 PM
  • Tùng (hot boy): v 9/3/2015 7:31:52 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:57 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:58 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:31:59 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:00 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:02 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:03 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:04 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:05 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:06 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:07 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:08 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:32:09 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:33:59 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:00 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:01 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:02 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:03 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:04 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:05 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:34:05 PM
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh): đmm th spam cc 9/3/2015 7:37:00 PM
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh): spam cl 9/3/2015 7:37:03 PM
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh): đm 9/3/2015 7:37:04 PM
  • Tùng (hot boy): a chú tới rồi à 9/3/2015 7:38:14 PM
  • Tùng (hot boy): tùng lv 9/3/2015 7:38:20 PM
  • Tùng (hot boy): ê 9/3/2015 7:38:24 PM
  • Tùng (hot boy): đâu mẹ r 9/3/2015 7:38:28 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:02 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:03 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:04 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:05 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:06 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:07 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:08 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:09 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:10 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:11 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:12 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:12 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngv 9/3/2015 7:40:13 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:14 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:15 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:17 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:17 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:18 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:20 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:20 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:21 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:22 PM
  • Tùng (hot boy): cryingcryingcryingcryingcó ai khôngcryingcryingcryingcryingcó ai không 9/3/2015 7:40:23 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ***
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • Pino
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Bí ẩn
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • Magic
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam Vũ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh)
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • FlareBlitzz
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • nnk510blc
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Jin zhi
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • nguyenngaa14
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Tùng (hot boy)
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • anhvt93
  • Jin Kaido
  • navybui22
  • Nghé Tồ
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • nguyencamtu1983
  • Ham Học Hỏi
  • Sea Dragon
  • Chiuu
  • meoconxichum103
  • no
  • www.thonuong8
  • Long Nhật
  • lephamhieu
  • loclucian