Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

7748
Chat chit và chém gió
  • sea dragon: khéo lại giống hiroxima và nagaxaki ở nhật 8/3/2015 9:54:44 PM
  • Hoàng Anh: laughing lại atsm 8/3/2015 9:54:55 PM
  • sea dragon: laughing 8/3/2015 9:54:58 PM
  • 1+1=10: cả 3 đứa đều atsm mà laughing 8/3/2015 9:55:26 PM
  • sea dragon: ha ha ha 8/3/2015 9:55:50 PM
  • sea dragon: atsm là j 8/3/2015 9:56:01 PM
  • sea dragon: ???? 8/3/2015 9:56:07 PM
  • 1+1=10: ảo tưởng sức mạnh laughing 8/3/2015 9:56:11 PM
  • Hoàng Anh: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 8/3/2015 9:56:13 PM
  • sea dragon: ha ha ha ha 8/3/2015 9:56:16 PM
  • sea dragon: laughinghttp://statichtn.com/image/emoticons/laughing.gif 8/3/2015 9:56:27 PM
  • sea dragon: laughing 8/3/2015 9:56:41 PM
  • 1+1=10: cái gì đấy e 8/3/2015 9:56:58 PM
  • Hoàng Anh: ?????? 8/3/2015 9:56:59 PM
  • sea dragon: em nhầm 8/3/2015 9:57:13 PM
  • Hoàng Anh: laughing 8/3/2015 9:57:39 PM
  • Hoàng Anh: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 8/3/2015 9:57:42 PM
  • sea dragon: kéo lun cả cái mặt cười ra khung chat ai ngờ nó lại 8/3/2015 9:57:46 PM
  • sea dragon: ha ha ha h 8/3/2015 9:57:55 PM
  • Hoàng Anh: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 8/3/2015 9:58:10 PM
  • 1+1=10: ??? 8/3/2015 9:58:10 PM
  • sea dragon: em chưa lẫn đâu anh 8/3/2015 9:58:16 PM
  • 1+1=10: thì lẩn thẩn laughing 8/3/2015 9:58:48 PM
  • sea dragon: à mà mấy anh có biết cách viết công thức ở đây ko 8/3/2015 9:58:55 PM
  • 1+1=10:8/3/2015 9:59:05 PM
  • 1+1=10: ở trong chỗ đặt câu hỏi ý e có công thức mà 8/3/2015 9:59:16 PM
  • sea dragon: cách nào mà ko cần mấy cái chữ ấy 8/3/2015 9:59:26 PM
  • 1+1=10: thêm $$ vào đầu với cuối nữa 8/3/2015 9:59:28 PM
  • 1+1=10: là nó tự hiện 8/3/2015 9:59:34 PM
  • duck8ahl: cho minh hoi neu muon viet cac cong thuc , dau can thi minh phai lam sao 8/3/2015 9:59:37 PM
  • sea dragon: vậy hả 8/3/2015 9:59:41 PM
  • 1+1=10: vừa nói bên trên rồi đấy bạn 8/3/2015 9:59:48 PM
  • duck8ahl: minh an xong moi thay ma ban 8/3/2015 10:00:07 PM
  • duck8ahl: gi ma du vay 8/3/2015 10:00:14 PM
  • sea dragon: à thế nếu em viết bình phương thì xuống kiểu j 8/3/2015 10:00:19 PM
  • Hoàng Anh: laughing 8/3/2015 10:00:24 PM
  • duck8ahl: ma sao may minh lam cu ra lam sao y 8/3/2015 10:00:51 PM
  • sea dragon: VDlove_struck^2 mà đang ở trên số 2 thì xuống kiểu j 8/3/2015 10:01:09 PM
  • 1+1=10: tại bạn viết nhầm thôi 8/3/2015 10:01:11 PM
  • duck8ahl: the nho ban chi cho minh ty duoc khong 8/3/2015 10:01:43 PM
  • duck8ahl: giup minh ty ban 8/3/2015 10:01:59 PM
  • sea dragon: =.= 8/3/2015 10:02:03 PM
  • sea dragon: =.= 8/3/2015 10:02:06 PM
  • sea dragon: =.= 8/3/2015 10:02:09 PM
  • duck8ahl: ban co the giup minh hieu ty duoc khong 8/3/2015 10:02:26 PM
  • 1+1=10: a hoàng anh ra giúp kìa 8/3/2015 10:03:16 PM
  • sea dragon: ???????????????????? 8/3/2015 10:03:29 PM
  • duck8ahl: lam sao day 8/3/2015 10:03:29 PM
  • sea dragon: anh ấy off zùi 8/3/2015 10:03:39 PM
  • 1+1=10: off sớm vậy 8/3/2015 10:04:02 PM
  • sea dragon: anh 10 thay ảnh đâị diện đi 8/3/2015 10:04:28 PM
  • sea dragon: ảnh đại diện 8/3/2015 10:04:47 PM
  • 1+1=10: ngại 8/3/2015 10:04:50 PM
  • sea dragon: ?????????????????// 8/3/2015 10:04:56 PM
  • 1+1=10: để vầy cũng được mà 8/3/2015 10:05:00 PM
  • 1+1=10: sao đâu 8/3/2015 10:05:04 PM
  • sea dragon: đẹp 8/3/2015 10:05:09 PM
  • 1+1=10: happy ngại lắm 8/3/2015 10:05:17 PM
  • sea dragon: thui bye anh em off đây hẹn mai gặp lại 8/3/2015 10:05:44 PM
  • 1+1=10: ukm a cũng off đây pp e 8/3/2015 10:05:52 PM
  • 1+1=10: goog night laughing 8/3/2015 10:05:57 PM
  • sea dragon: laughingnhớ mang cho em cái búa nhé 8/3/2015 10:06:00 PM
  • sea dragon: laughingwave 8/3/2015 10:06:10 PM
  • sea dragon: good sai kìa anh 8/3/2015 10:06:37 PM
  • Hoàng Anh: wave m.n 8/3/2015 10:06:58 PM
  • Hoàng Anh: m.n ngủ ngon 8/3/2015 10:07:04 PM
  • .: cool 8/3/2015 10:13:12 PM
  • Ruanyu Jian: 👹 8/3/2015 10:14:37 PM
  • .: skull 8/3/2015 10:15:02 PM
  • minh143: sao mọi người ngủ sớm zậystraight_face 8/3/2015 10:15:42 PM
  • minh143: ???????????? 8/3/2015 10:16:08 PM
  • Ruanyu Jian: 👹 8/3/2015 10:16:13 PM
  • Ruanyu Jian: 💀 8/3/2015 10:16:22 PM
  • minh143: Ruanyu Jian?? 8/3/2015 10:17:25 PM
  • Ruanyu Jian: sao e? 8/3/2015 10:19:17 PM
  • Ruanyu Jian: goi j a? 8/3/2015 10:19:23 PM
  • tran85295: HTN mấy bữa nay chán phèo 8/3/2015 10:23:30 PM
  • Vũ Dã Anh: rolling_on_the_floor 8/3/2015 10:25:02 PM
  • Ruanyu Jian: 👹 8/3/2015 10:25:09 PM
  • Ruanyu Jian: 👃 8/3/2015 10:40:37 PM
  • Ruanyu Jian: oa au ao omg ay? 8/3/2015 10:42:50 PM
  • Sam Tats: http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130310/giai-phuong-trinh 8/3/2015 10:54:46 PM
  • Ruanyu Jian: 👹 8/3/2015 11:04:28 PM
  • sliverstone101098: 2 co ai con thuc ko v? 8/3/2015 11:59:53 PM
  • Sam Tats: còn happy 8/4/2015 12:00:35 AM
  • sliverstone101098: big_grin 8/4/2015 12:01:10 AM
  • sliverstone101098: lm quen ha 8/4/2015 12:02:02 AM
  • Sam Tats: happy sliver sn bn? 8/4/2015 12:02:40 AM
  • sliverstone101098: 98 8/4/2015 12:03:50 AM
  • Sam Tats: v gọi bằng a dòi 8/4/2015 12:04:03 AM
  • sliverstone101098: bn sn bn 8/4/2015 12:04:25 AM
  • Sam Tats: 99 8/4/2015 12:05:21 AM
  • sliverstone101098: happy 8/4/2015 12:05:30 AM
  • sliverstone101098: chi no phai a 8/4/2015 12:05:44 AM
  • Ruanyu Jian: goi la e 8/4/2015 12:06:19 AM
  • Sam Tats: ? 8/4/2015 12:06:58 AM
  • Ruanyu Jian: e o dau? 8/4/2015 12:07:05 AM
  • Ruanyu Jian: no la girl em 8/4/2015 12:07:20 AM
  • Ruanyu Jian: k phai la boy dau ma goi a 8/4/2015 12:07:48 AM
  • sliverstone101098: e o thanh hoa 8/4/2015 12:07:52 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ***
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • Pino
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Bí ẩn
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Magic
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Bạch Lăng Lăng
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღLê Việt Tùngღ(vuacfhatinh)
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Kim Chi
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • daxanh.bolide
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • nguyenngaa14
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Thỏ Kitty
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • anhvt93
  • Hunter Destroy
  • navybui22
  • duyducminh
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098