Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

4917
Chat chit và chém gió
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: đưa đây mk xem 10/1/2014 9:51:18 PM
  • hieugiapbat: sao vui nhi co nhiu nguoi giup 10/1/2014 9:51:33 PM
  • hey: đáp án của mk thế nào 10/1/2014 9:52:07 PM
  • hey: big_grin 10/1/2014 9:52:10 PM
  • hieugiapbat: dag doc tutu 10/1/2014 9:53:04 PM
  • hieugiapbat: nhiu nhieu quá 10/1/2014 9:53:11 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: 5897 đâu rồi 10/1/2014 9:53:21 PM
  • hakunzee5897: cho chop deu S.ABCD đọ dài canh day = a . mat ben tạo voi mat day goc 60 độ , mat phang di qua trong tam G cua tam giac SAC cat SC , SD tại M ,N . tinh the tich S, ABMN 10/1/2014 9:53:37 PM
  • hakunzee5897: theo a 10/1/2014 9:53:47 PM
  • hakunzee5897: de bai day c 10/1/2014 9:54:05 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: cho ? cái mặt bên nào tạo vs đấy 1 góc 60 độ 10/1/2014 9:54:13 PM
  • hakunzee5897: mat nao cung dc , vi la chop deu mà 10/1/2014 9:54:46 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: rồi ok 10/1/2014 9:54:51 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: bh cần 10/1/2014 9:54:57 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: ??? 10/1/2014 9:54:59 PM
  • hakunzee5897: muon nhất là thu 6 10/1/2014 9:55:19 PM
  • hakunzee5897: làm luôn dc thi càng tốt 10/1/2014 9:55:42 PM
  • hakunzee5897: big_grin 10/1/2014 9:55:49 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: um chờ tý làm đây 10/1/2014 9:56:09 PM
  • Con Gái MAFIA: coffee 10/1/2014 9:58:00 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: vk ơi ck làm toán hộ bạn này đã nhé 10/1/2014 9:58:44 PM
  • Con Gái MAFIA: ukm 10/1/2014 9:59:53 PM
  • Con Gái MAFIA: ck cứ lm đi 10/1/2014 10:00:02 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: vk còn onl ko 10/1/2014 10:08:42 PM
  • Con Gái MAFIA: big_grin 10/1/2014 10:09:22 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: vk ơi bị nhớ vk 10/1/2014 10:10:08 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: hôm nay vk có hứng ko 10/1/2014 10:10:12 PM
  • Con Gái MAFIA: kiss 10/1/2014 10:10:17 PM
  • ♫Lốc♫Xoáy♫: vk ơi ib cho ck đi 10/1/2014 10:10:34 PM
  • Con Gái MAFIA: chăc scx có 10/1/2014 10:10:36 PM
  • Con Gái MAFIA: vk ck mình ib đê 10/1/2014 10:11:13 PM
  • Con Gái MAFIA: rôm ngủ ngon 10/1/2014 10:11:19 PM
  • hieugiapbat: com ai k 10/1/2014 10:21:38 PM
  • hey: yawn 10/1/2014 10:23:28 PM
  • hieugiapbat: Al(oh)3 + 3H+ -> Al 3+ + 3h2o o dau ra zay 10/1/2014 10:23:55 PM
  • hey: oh my god 10/1/2014 10:24:34 PM
  • hieugiapbat: ? 10/1/2014 10:28:56 PM
  • hey: al(oh)3 +hcl=alcl3+h20 10/1/2014 10:30:18 PM
  • Tiểu sa nhi: whew 10/1/2014 10:35:24 PM
  • hey: sao thế nhj 10/1/2014 10:36:46 PM
  • Tiểu sa nhi: cuối cùng cũng xử lí xong bài văn 10/1/2014 10:37:29 PM
  • hey: wave 10/1/2014 10:39:05 PM
  • hey: đi ngủ 10/1/2014 10:39:13 PM
  • Tiểu sa nhi: é 10/1/2014 10:39:36 PM
  • Tiểu sa nhi: chị ngủ rùi à 10/1/2014 10:39:43 PM
  • hey: ukm 10/1/2014 10:39:48 PM
  • hey: yawn 10/1/2014 10:39:55 PM
  • Tiểu sa nhi: thui 10/1/2014 10:39:55 PM
  • hey: thui j 10/1/2014 10:40:01 PM
  • Tiểu sa nhi: mn ngủ hết rùi thì cát cũng out 10/1/2014 10:40:06 PM
  • Tiểu sa nhi: pi2 10/1/2014 10:40:16 PM
  • Tiểu sa nhi: kiss 10/1/2014 10:40:22 PM
  • hey: ukm 10/1/2014 10:40:22 PM
  • hey: pi 10/1/2014 10:40:23 PM
  • Tiểu sa nhi: g9 10/1/2014 10:40:28 PM
  • hey: G9 10/1/2014 10:40:33 PM
  • Tiểu sa nhi: sleepy 10/1/2014 10:40:37 PM
  • Con Gái MAFIA: sleepy 10/1/2014 10:46:41 PM
  • misschpro: happy 10/2/2014 11:01:22 AM
  • arsfanfc12345: big_grin 10/2/2014 11:07:30 AM
  • misschpro: big_grin 10/2/2014 11:08:33 AM
  • misschpro: arsfanfc12345 10/2/2014 11:09:11 AM
  • arsfanfc12345: big_grin 10/2/2014 4:24:25 PM
  • misschpro: có ai h 10/2/2014 4:59:22 PM
  • misschpro: sad 10/2/2014 5:00:31 PM
  • arsfanfc12345:10/2/2014 5:01:17 PM
  • misschpro: hi 10/2/2014 5:01:26 PM
  • misschpro: happy 10/2/2014 5:01:37 PM
  • arsfanfc12345: big_grin 10/2/2014 5:01:39 PM
  • misschpro: bạn tên thật là j 10/2/2014 5:01:50 PM
  • arsfanfc12345: cho face đi 10/2/2014 5:02:13 PM
  • misschpro: k chơi face đâu 10/2/2014 5:02:33 PM
  • arsfanfc12345: lớp 9 ..ko có face ak 10/2/2014 5:03:05 PM
  • misschpro: k thích face 10/2/2014 5:03:21 PM
  • arsfanfc12345: rolling_on_the_floor 10/2/2014 5:03:34 PM
  • misschpro: devil 10/2/2014 5:04:17 PM
  • arsfanfc12345: doh 10/2/2014 5:04:33 PM
  • misschpro: gì chứ 10/2/2014 5:04:57 PM
  • arsfanfc12345: smug 10/2/2014 5:05:26 PM
  • misschpro: hứ 10/2/2014 5:05:39 PM
  • arsfanfc12345: dont_tell_anyone 10/2/2014 5:06:02 PM
  • misschpro: bạn có zing h 10/2/2014 5:06:03 PM
  • arsfanfc12345: ko.thời buổi này ai chơi zing 10/2/2014 5:06:18 PM
  • misschpro: bạn tên j 10/2/2014 5:06:52 PM
  • arsfanfc12345: blushing 10/2/2014 5:07:06 PM
  • misschpro: sao zậy 10/2/2014 5:07:13 PM
  • arsfanfc12345: kcc 10/2/2014 5:07:26 PM
  • misschpro: là sao 10/2/2014 5:07:36 PM
  • arsfanfc12345: ko có chj 10/2/2014 5:07:44 PM
  • arsfanfc12345: câu mà bạn ms đưa lên nak 10/2/2014 5:07:58 PM
  • misschpro: sao hỏi tên hoài mà k nói 10/2/2014 5:08:01 PM
  • arsfanfc12345: bạn kể song song là ra ak 10/2/2014 5:08:17 PM
  • arsfanfc12345: hỏi tên mk làm gì 10/2/2014 5:08:31 PM
  • misschpro: ai bỉu kết bạn vs tui 10/2/2014 5:08:45 PM
  • misschpro: frustrated 10/2/2014 5:09:05 PM
  • arsfanfc12345: confused 10/2/2014 5:09:08 PM
  • misschpro: bạn nói bài nào 10/2/2014 5:09:43 PM
  • arsfanfc12345: bài mà điểm I nak 10/2/2014 5:10:04 PM
  • misschpro: waiting 10/2/2014 5:11:40 PM
  • misschpro: wave 10/2/2014 5:15:17 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • a2no144
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • ~Liêu xiêu~
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • arsfanfc12345
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • misschpro
  • ndanh9999999
  • Tèo Handsome
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28