Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

6741
Chat chit và chém gió
  • dinhhoaitheu2000hb: Ơ GÁI MÀ 1/26/2015 9:10:14 PM
  • leviettung01: chào minh 1/26/2015 9:10:18 PM
  • Sát Thủ: đù 1/26/2015 9:10:19 PM
  • leviettung01: minh chào a đi em 1/26/2015 9:10:28 PM
  • Sát Thủ: đừng chào minh 1/26/2015 9:10:41 PM
  • Sát Thủ: chào tau đi nè 1/26/2015 9:10:46 PM
  • leviettung01: dinhhoaitheu2000hb e còn non và xanh lắm.............ko lừa đk tụi này đâu big_grin 1/26/2015 9:10:56 PM
  • Thần Thoại: chào m.n 1/26/2015 9:10:57 PM
  • Thần Thoại: laughing 1/26/2015 9:11:02 PM
  • leviettung01: chào m.n ???????? 1/26/2015 9:11:04 PM
  • Sát Thủ: đếu chào tau ak 1/26/2015 9:11:12 PM
  • Thần Thoại: chào tất cả 1/26/2015 9:11:14 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: ơ lừa làm gì 1/26/2015 9:11:15 PM
  • Thần Thoại: laughing 1/26/2015 9:11:17 PM
  • leviettung01: phải là chào anh tùng đẹp zai chứ laughing 1/26/2015 9:11:22 PM
  • leviettung01: dinhhoaitheu2000hb thế coi như e là gái big_grin 1/26/2015 9:11:35 PM
  • Thần Thoại: mem mới à 1/26/2015 9:11:40 PM
  • leviettung01: mà e lên đây làm gì hả dinhhoaitheu2000hb 1/26/2015 9:11:50 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: học 1/26/2015 9:12:01 PM
  • leviettung01: có bt ko.............a làm giúp cho big_grin 1/26/2015 9:12:07 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: ko cần 1/26/2015 9:12:17 PM
  • Sát Thủ: help 1/26/2015 9:12:28 PM
  • leviettung01: dinhhoaitheu2000hb thế là bt e là trai rồi laughing 1/26/2015 9:12:32 PM
  • Sát Thủ: giúp em bài vật lí này vs 1/26/2015 9:12:37 PM
  • leviettung01: thìn big_grin 1/26/2015 9:12:43 PM
  • leviettung01: e bt tổng kết lý a mấy ko ?????? 1/26/2015 9:13:00 PM
  • Sát Thủ: mấy' 1/26/2015 9:13:06 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: trời ơi tui lạy ông tui là gái mà 1/26/2015 9:13:08 PM
  • leviettung01: 65 sad big_grin 1/26/2015 9:13:12 PM
  • Sát Thủ: rolling_on_the_floor 1/26/2015 9:13:16 PM
  • leviettung01: hic 1/26/2015 9:13:24 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: sao 1/26/2015 9:13:29 PM
  • leviettung01: hóa cx 65 nốt 1/26/2015 9:13:36 PM
  • Thần Thoại: e ngược con 6 lại 1/26/2015 9:13:49 PM
  • leviettung01: đk cái toán 97 big_grin 1/26/2015 9:13:50 PM
  • Thần Thoại: big_grin 1/26/2015 9:13:51 PM
  • Sát Thủ: nâu 1/26/2015 9:13:53 PM
  • Thần Thoại: hoá thì 99 1/26/2015 9:13:58 PM
  • leviettung01: laughing 1/26/2015 9:13:58 PM
  • Sát Thủ: ngâu 1/26/2015 9:13:58 PM
  • Thần Thoại: à quên 96 1/26/2015 9:14:03 PM
  • Sát Thủ: sad 1/26/2015 9:14:06 PM
  • Sát Thủ: hư cấu 1/26/2015 9:14:10 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: chào nha 1/26/2015 9:14:11 PM
  • leviettung01: minh lên lớp 10 khác vs lớp 9 1/26/2015 9:14:18 PM
  • Sát Thủ: mịa thằng minh hư cấu 1/26/2015 9:14:19 PM
  • leviettung01: pp dinhhoaitheu2000hb 1/26/2015 9:14:24 PM
  • Thần Thoại: k tin à thìn 1/26/2015 9:14:33 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: sao 1/26/2015 9:14:36 PM
  • leviettung01: (y) thìn 1/26/2015 9:14:38 PM
  • leviettung01: pai pai dinhhoaitheu2000hb 1/26/2015 9:14:43 PM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: mày onl đấ à thìn? 1/26/2015 9:14:55 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: umk 1/26/2015 9:14:56 PM
  • Thần Thoại: t TBT 93 cơ mà 1/26/2015 9:15:03 PM
  • Thần Thoại: a troll 1/26/2015 9:15:11 PM
  • Thần Thoại: lâu lắm mới thấy 1/26/2015 9:15:17 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: mà thìn tên thật là gì 1/26/2015 9:15:27 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: ??? 1/26/2015 9:15:56 PM
  • Thần Thoại: tên thật là thìn 1/26/2015 9:16:01 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: trời ơi đi học tên cũng là thìn à 1/26/2015 9:16:29 PM
  • dinhhoaitheu2000hb: bye nha 1/26/2015 9:17:09 PM
  • leviettung01: pp dinhhoaitheu2000hb 1/26/2015 9:17:20 PM
  • luan27092005: có ai đang học toạ độ trong mp ko? 1/26/2015 9:17:31 PM
  • leviettung01: minh TBT ? 1/26/2015 9:17:44 PM
  • Mưa Đêm:1/26/2015 9:17:46 PM
  • luan27092005: chicken 1/26/2015 9:17:50 PM
  • Mưa Đêm: luan 12 hả 1/26/2015 9:17:58 PM
  • luan27092005: chỉ mình bài này với 1/26/2015 9:18:01 PM
  • luan27092005: ko 1/26/2015 9:18:05 PM
  • luan27092005: mình 11 1/26/2015 9:18:07 PM
  • Mưa Đêm: à trong mp 1/26/2015 9:18:13 PM
  • Mưa Đêm: tưởng trong không gian @@ 1/26/2015 9:18:19 PM
  • Mưa Đêm: big_grin 1/26/2015 9:18:25 PM
  • luan27092005: laughing 1/26/2015 9:18:26 PM
  • leviettung01: minh ơi thìn ơi troll ơi ?????????????????????????????? 1/26/2015 9:18:33 PM
  • theanhhxh: ????????????/ 1/26/2015 9:18:33 PM
  • luan27092005: thế trong mp đc ko b 1/26/2015 9:18:37 PM
  • Mưa Đêm: cái này ko chak 1/26/2015 9:18:44 PM
  • Mưa Đêm: hỏi đi xem sao big_grin 1/26/2015 9:18:49 PM
  • leviettung01: 2 mưa laughing 1/26/2015 9:19:09 PM
  • Mưa Đêm: ờ 2 tùng 1/26/2015 9:19:17 PM
  • Mưa Đêm: ủa mình có quen nhau hả tùng confused 1/26/2015 9:19:30 PM
  • Troll.Insec Đang Cai Gái: Uầy, chú ms gặp a hôm wa mà Thìn? 1/26/2015 9:19:54 PM
  • Sát Thủ: sao anh troll 1/26/2015 9:20:26 PM
  • Sát Thủ: anh thiên ới ời ơi 1/26/2015 9:20:44 PM
  • Mưa Đêm: thiên 1/26/2015 9:20:51 PM
  • luan27092005: cho h.thang ABCD . AD//BC, A(7/4; 13/2) , 4AD=9BC . giao điểm của 2 đ.chéo là E(4; 2) , B thuộc đt 3x+2y+1=0 . trung điểm M của BC thuộc đt x=2. Tìm toạ độ các đỉnh h.thang 1/26/2015 9:20:54 PM
  • Mưa Đêm: gọi tui á 1/26/2015 9:20:56 PM
  • luan27092005: ai làm tui với 1/26/2015 9:21:05 PM
  • maithuyfr: hình phẳng à 1/26/2015 9:21:16 PM
  • luan27092005: crying 1/26/2015 9:21:18 PM
  • Sát Thủ: luan ơi 1/26/2015 9:21:18 PM
  • Sát Thủ: bài đó dễ mà 1/26/2015 9:21:25 PM
  • luan27092005: b chỉ mình với 1/26/2015 9:21:31 PM
  • leviettung01: thìn rolling_on_the_floor 1/26/2015 9:21:32 PM
  • leviettung01: nó lớp 9 1/26/2015 9:21:39 PM
  • Sát Thủ: rolling_on_the_floor 1/26/2015 9:21:43 PM
  • leviettung01: luan ạ 1/26/2015 9:21:46 PM
  • Sát Thủ: kaka 1/26/2015 9:21:48 PM
  • leviettung01: rolling_on_the_floor 1/26/2015 9:21:52 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • nguyendanh2401
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • datwin195
  • kto138
  • ~~ Nhỏ ~~
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Mưa Đêm
  • maithuyfr
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • leviettung01
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • Troll.Insec Đang Cai Gái
  • hungreocmg
  • duongngocha2910
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • ntlinh197
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • mikako303
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • theanhhxh
  • luan27092005