Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

4814
Chat chit và chém gió
  • Tiểu sa nhi: t có điểm miệng rùi mờ còn phải chép nè 9/21/2014 8:25:57 PM
  • dolaemon98: ấy sao lại đi chép văn? 9/21/2014 8:26:06 PM
  • Bão Táp: kệ cô 9/21/2014 8:26:18 PM
  • Bão Táp: chốc bắt nó chép cho 9/21/2014 8:26:28 PM
  • Bão Táp: tui chém gió vs bạn 9/21/2014 8:26:35 PM
  • Bão Táp: giờ đổi vị trí cho nhau 9/21/2014 8:26:43 PM
  • dolaemon98: laughing 9/21/2014 8:26:44 PM
  • Bão Táp: devil 9/21/2014 8:26:49 PM
  • minh.phungxuan: mọi người giải giúp e seri bài về số vô tỉ ạ winking 9/21/2014 8:27:05 PM
  • dolaemon98: đến lúc cô gọi lên thì cứ nói "kệ cô" nhá 9/21/2014 8:27:33 PM
  • Bão Táp: có ng chép cho roài 9/21/2014 8:27:46 PM
  • dolaemon98: xem có đc ngồi sổ ko 9/21/2014 8:27:47 PM
  • dolaemon98: ai dại đến thế vậy 9/21/2014 8:28:07 PM
  • Bão Táp: cứ có bài soạn là đk rùi 9/21/2014 8:28:11 PM
  • Bão Táp: cát ưi 9/21/2014 8:28:44 PM
  • Tiểu sa nhi: hửm 9/21/2014 8:28:58 PM
  • Bão Táp: cát chép nhìu chưa 9/21/2014 8:29:25 PM
  • Tiểu sa nhi: đến khúc đường cùng 9/21/2014 8:29:57 PM
  • Bão Táp: nhanh dữ 9/21/2014 8:30:20 PM
  • dolaemon98: sa hoành đoản ca à? 9/21/2014 8:30:23 PM
  • Tiểu sa nhi: ừm 9/21/2014 8:30:37 PM
  • Bão Táp: tui giờ ứ thèm chép nữa 9/21/2014 8:31:01 PM
  • Bão Táp: lol thì k pit chơi 9/21/2014 8:31:09 PM
  • Bão Táp: ngồi nhổ tóc bạc 9/21/2014 8:31:15 PM
  • dolaemon98: sax 9/21/2014 8:31:15 PM
  • Tiểu sa nhi: bảo này 9/21/2014 8:31:20 PM
  • Bão Táp: hử 9/21/2014 8:31:26 PM
  • dolaemon98: bão táp là trai hay gái thế? 9/21/2014 8:31:28 PM
  • Bão Táp: gái 9/21/2014 8:31:31 PM
  • dolaemon98: thật ko? 9/21/2014 8:31:38 PM
  • Tiểu sa nhi: có bút màu hay phấn son gì ở đấy ko 9/21/2014 8:31:47 PM
  • Bão Táp: k 9/21/2014 8:31:52 PM
  • Bão Táp: thật 9/21/2014 8:31:55 PM
  • Tiểu sa nhi: chán 9/21/2014 8:31:59 PM
  • Bão Táp: hỏi cái đó lm gì 9/21/2014 8:32:01 PM
  • Tiểu sa nhi: tưởng có thì ngồi vẽ nên mặt thằng bạn í 9/21/2014 8:32:16 PM
  • dolaemon98: cứ tải lol về là biết chơi 9/21/2014 8:32:26 PM
  • Bão Táp: ặc vẽ xong nó cho fia nằm dưới nó lun 9/21/2014 8:32:35 PM
  • Bão Táp: ngồi nhổ tóc bạc cho nó 9/21/2014 8:33:06 PM
  • Bão Táp: còn nó chép baig cho 9/21/2014 8:33:13 PM
  • Bão Táp: tí ngồi đánh lol sau 9/21/2014 8:33:20 PM
  • Bão Táp: có gối sg rên' 9/21/2014 8:33:31 PM
  • dolaemon98: bạn bn tuổi mà bắt nhổ tóc bạc? 9/21/2014 8:33:35 PM
  • Bão Táp: devil 9/21/2014 8:33:35 PM
  • Bão Táp: tại trc nó phun lai 9/21/2014 8:33:47 PM
  • Tiểu sa nhi: I_dont_want_to_see 9/21/2014 8:33:54 PM
  • Bão Táp: giờ còn mấy cái tóc màu trắng thui 9/21/2014 8:34:02 PM
  • dolaemon98: nhuộm tóc á? 9/21/2014 8:34:06 PM
  • dolaemon98: chất đấy 9/21/2014 8:34:14 PM
  • dolaemon98: billy 9/21/2014 8:34:23 PM
  • Bão Táp: big_grin 9/21/2014 8:34:26 PM
  • dolaemon98: hiro 9/21/2014 8:34:28 PM
  • Tiểu sa nhi: thế thì sao phải xoắn 9/21/2014 8:34:30 PM
  • dolaemon98: april 9/21/2014 8:34:32 PM
  • Tiểu sa nhi: nhổ thoải mái đê 9/21/2014 8:34:37 PM
  • dolaemon98: monkey 9/21/2014 8:34:42 PM
  • Tiểu sa nhi: đen trắng chơi tất 9/21/2014 8:34:44 PM
  • dolaemon98: ok 9/21/2014 8:34:47 PM
  • Tiểu sa nhi: đúng ko emon 9/21/2014 8:35:01 PM
  • Bão Táp: ukm cứ chơi tất đi rùi fia lm vk nó lun 9/21/2014 8:35:04 PM
  • dolaemon98: chuẩn quá 9/21/2014 8:35:08 PM
  • Tiểu sa nhi: nó ko biết đc đâu 9/21/2014 8:35:11 PM
  • Bão Táp: nó nằm trên đùi tui nhổ tóc trắng nó khác tóc đen 9/21/2014 8:35:59 PM
  • Bão Táp: bảo nó ngồi dậy nó k thèm ngồi nên k thực hiện đk chính sách đó 9/21/2014 8:36:19 PM
  • Tiểu sa nhi: nhuộm mờ 9/21/2014 8:36:21 PM
  • Tiểu sa nhi: sao phân biệt đc 9/21/2014 8:36:29 PM
  • Bão Táp: có cả tóc bạc thật nữa 9/21/2014 8:36:31 PM
  • dolaemon98: vãi 9/21/2014 8:36:42 PM
  • Bão Táp: phun lai thì tóc nó yếu như tóc bạc lun 9/21/2014 8:36:43 PM
  • dolaemon98: bảo nó nhuộm đen lại 9/21/2014 8:37:00 PM
  • dolaemon98: ko cắt trọc luôn 9/21/2014 8:37:14 PM
  • Bão Táp: ukm hum trc mùa wc mấy th thích giống cầu thủ cắt tóc trông kinh 9/21/2014 8:37:30 PM
  • Bão Táp: bị thầy vô cổ vô văn phòng đoàn 9/21/2014 8:37:45 PM
  • dolaemon98: cắt kiểu Marco Reus 9/21/2014 8:37:51 PM
  • Tiểu sa nhi: cuồng quá nhể 9/21/2014 8:38:00 PM
  • dolaemon98: mấy thằng chỗ t toàn thế 9/21/2014 8:38:04 PM
  • dolaemon98: cạo sạch 2 bên 9/21/2014 8:38:22 PM
  • Bão Táp: thumbs_up 9/21/2014 8:38:42 PM
  • dolaemon98: mốt luôn 9/21/2014 8:38:56 PM
  • Tiểu sa nhi: oh 9/21/2014 8:39:07 PM
  • Tiểu sa nhi: chỗ mình thì ko cạo sạch 9/21/2014 8:39:16 PM
  • Tiểu sa nhi: chỉ cắt ngắn hơn thôi 9/21/2014 8:39:25 PM
  • dolaemon98: thôi pp 9/21/2014 8:40:20 PM
  • Bão Táp: giờ đủi mốt rùi 9/21/2014 8:40:31 PM
  • Bão Táp: đeo vòng bạc cơ 9/21/2014 8:41:01 PM
  • Bão Táp: th nào cổ vs tay cx có cái vòng như xích 9/21/2014 8:41:16 PM
  • minh.phungxuan: giúp e seri bài kia với 9/21/2014 8:41:42 PM
  • Bão Táp: devil 9/21/2014 8:41:54 PM
  • nguyenxuando: big_grin 9/21/2014 8:51:12 PM
  • Bão Táp: big_grin 9/21/2014 8:51:37 PM
  • Tiểu sa nhi: big_grin 9/21/2014 8:51:44 PM
  • Tiểu sa nhi: dd mình hay khoe răng thật í 9/21/2014 8:52:06 PM
  • Tiểu sa nhi: đại diện cho công ti thuốc đánh răng nào vậy nè 9/21/2014 8:52:34 PM
  • Bão Táp: devil 9/21/2014 8:55:12 PM
  • Bão Táp: mai đk cúp cua tiết 1 rùi 9/21/2014 8:58:16 PM
  • Tiểu sa nhi: why 9/21/2014 8:58:25 PM
  • Bão Táp: mai chào cờ ngồi lm gì 9/21/2014 8:59:39 PM
  • Bão Táp: ra net hoặc quán nc còn sg hưn 9/21/2014 8:59:50 PM
  • Bão Táp: devil 9/21/2014 9:00:37 PM
  • Bão Táp: dancing 9/21/2014 9:05:11 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • bontiton96
  • hoang10a5.bc
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • nguyendanh2401
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • Bão Táp
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • kto138
  • Hòn Sỏi Buồn
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Windy
  • kuzulies
  • ★.★Hoàng Huy★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • minh.phungxuan
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • misschpro
  • ndanh9999999
  • lovemath19999
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • mr.kurro