Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

6897
Chat chit và chém gió
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: sợ con dạng 3 4/19/2015 11:18:22 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: và ức chế con dạng 1 4/19/2015 11:18:33 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: còn thằng dạng 4 thì k đáng bận tâm lắm :v 4/19/2015 11:18:50 PM
  • Jang Dang: e cũng ngán dạng 2 4/19/2015 11:19:52 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: =]] 4/19/2015 11:20:02 PM
  • Jang Dang: quá phũ cho đội bán mũ 4/19/2015 11:20:03 PM
  • Jang Dang: còn dạng một còn zui tính 4/19/2015 11:20:14 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: nó chỉ móc họng anh mày thôi 4/19/2015 11:20:32 PM
  • Jang Dang: dạng 4 thì k đáng nói 4/19/2015 11:20:35 PM
  • Jang Dang: dạng 3 thì chưa biet h này ở đau rồi 4/19/2015 11:20:53 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: đại loại là ăn ở thế nào mà tán con nào là con nấy biến thành phũ girl nốt 4/19/2015 11:20:54 PM
  • Jang Dang: CHị Sâu RA mẶt Coi 4/19/2015 11:21:04 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: mày có thấy anh nói gì trên ko? 4/19/2015 11:21:20 PM
  • Jang Dang: k để ý 4/19/2015 11:21:29 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: con dạng 3 nó bán bơ 4/19/2015 11:21:30 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: đm 4/19/2015 11:21:34 PM
  • Jang Dang: anh mua bánh mỳ về kẹp chung là hợp 4/19/2015 11:21:51 PM
  • Jang Dang: bánh mỳ bơ 4/19/2015 11:21:56 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: từ từ 4/19/2015 11:21:59 PM
  • Sâu lười: ai gọi sâu đó có sâu đây :v 4/19/2015 11:22:05 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: a nặn cục mụn ở mông ra xong đã 4/19/2015 11:22:07 PM
  • Sâu lười: ế 4/19/2015 11:22:12 PM
  • Jang Dang: laughing 4/19/2015 11:22:13 PM
  • Jang Dang: vừa lúc 4/19/2015 11:22:18 PM
  • Sâu lười: kinh quá Troll ơi sick 4/19/2015 11:22:24 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: đấy 4/19/2015 11:22:28 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: cứ mỗi lần a tưởng k có ai 4/19/2015 11:22:35 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: nc bựa có 1 chút 4/19/2015 11:22:40 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: là lập tức có ai liền 4/19/2015 11:22:45 PM
  • Jang Dang: thánh thật 4/19/2015 11:22:52 PM
  • Sâu lười: ai bảo kêu làm gì :3 4/19/2015 11:23:07 PM
  • Jang Dang: vừa nhắc đã...... mà trúng chỗ nhạy cảm 4/19/2015 11:23:24 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: chắc tại em ấy hết bơ nên k bán nữa jang dang nhỉ ==" 4/19/2015 11:23:38 PM
  • Sâu lười: mà Jang lớp mấy í nhỉ? 4/19/2015 11:23:39 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: e bán bơ cho bọn a đã chưa 4/19/2015 11:23:44 PM
  • Sâu lười: ý anh cô 3 là em hả? hypnotized 4/19/2015 11:23:57 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: ý a ko phải thế 4/19/2015 11:24:07 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: mà là chính xác thì như thế @@ 4/19/2015 11:24:22 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: Jang Dang 4/19/2015 11:24:31 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: Công bố luôn phũ girl duyên dáng htn nhé 4/19/2015 11:24:40 PM
  • Jang Dang: ế 4/19/2015 11:24:41 PM
  • Jang Dang: ròi 4/19/2015 11:24:44 PM
  • Jang Dang: Em học lớp 10 nhá 4/19/2015 11:24:52 PM
  • Sâu lười: @@ 4/19/2015 11:24:52 PM
  • Sâu lười: ơ hơ 4/19/2015 11:24:57 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: Phũ girl tài năng vs 2 khả năng đặc biệt 4/19/2015 11:24:58 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: Bán bơ và giả nai 4/19/2015 11:25:05 PM
  • Jang Dang: Girl HTN chia làm 5 loại 4/19/2015 11:25:07 PM
  • Sâu lười: thế thì kêu chị làm gì, bằng tuổi mà 4/19/2015 11:25:13 PM
  • Jang Dang: hả 4/19/2015 11:25:20 PM
  • Jang Dang: bằng á 4/19/2015 11:25:24 PM
  • Jang Dang: z kêu tui anh đi, tui sinh đầu năm 4/19/2015 11:25:37 PM
  • Jang Dang: laughing 4/19/2015 11:25:45 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: chú mày hỏi lại làm gì 4/19/2015 11:25:46 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: khi nc vs nhau trực tiếp người ta k nghe rõ nên hỏi lại 4/19/2015 11:25:57 PM
  • Jang Dang: ? 4/19/2015 11:26:04 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: còn chú mày chat lên đây, có thể đọc lại mà 4/19/2015 11:26:04 PM
  • Jang Dang: not_worthy 4/19/2015 11:26:17 PM
  • Sâu lười: sinh bao nhiêu? 4/19/2015 11:26:19 PM
  • Jang Dang: 1/1/99 4/19/2015 11:26:27 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: người sanh năm đó thường ế đến chết 4/19/2015 11:26:42 PM
  • Sâu lười: thật à @@ 4/19/2015 11:26:48 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: à tháng đó chứ lợn 4/19/2015 11:26:51 PM
  • Jang Dang: peace_sign k có đâu a, tại chưa tìm dc ng mình yeu thoi 4/19/2015 11:27:31 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: A off đây 4/19/2015 11:27:47 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: g9 mn 4/19/2015 11:27:47 PM
  • Sâu lười: tối nay Troll ko thức khuya laughing 4/19/2015 11:28:15 PM
  • Sâu lười: chuyện lạ có thật laughing 4/19/2015 11:28:23 PM
  • Jang Dang: chuyện lạ 4/19/2015 11:28:27 PM
  • Jang Dang: k có ổng nói chuyện chán gê 4/19/2015 11:29:45 PM
  • Sâu lười: đến nhà ổng tìm đi mà nói chuyện laughing 4/19/2015 11:30:16 PM
  • Sâu lười: cho khỏi chán laughing 4/19/2015 11:30:20 PM
  • Jang Dang: sâu có fb k zạ 4/19/2015 11:31:32 PM
  • Jang Dang: xin cái đi 4/19/2015 11:31:41 PM
  • Sâu lười: trong nhóm í kìa 4/19/2015 11:31:51 PM
  • Sâu lười: tự tìm đi :v 4/19/2015 11:32:03 PM
  • Jang Dang: làm sao tìm z 4/19/2015 11:32:47 PM
  • Jang Dang: chỉ cái 4/19/2015 11:32:50 PM
  • Sâu lười: trong fb nhóm kín HTN í :v 4/19/2015 11:34:25 PM
  • Sâu lười: tìm đại 1 cái :v 4/19/2015 11:34:32 PM
  • Jang Dang: đùa hoaiaf 4/19/2015 11:34:45 PM
  • Jang Dang: tên j z 4/19/2015 11:34:50 PM
  • Sâu lười: <--- 4/19/2015 11:35:09 PM
  • Jang Dang: k cho à 4/19/2015 11:37:08 PM
  • Sâu lười: ây da 4/19/2015 11:37:46 PM
  • Sâu lười: Hoàn Sỏi Buồn 4/19/2015 11:37:50 PM
  • Sâu lười: í nhầm 4/19/2015 11:37:55 PM
  • Sâu lười: Hòn Sỏi Buồn 4/19/2015 11:38:00 PM
  • Sâu lười: khổ thế cơ :3 4/19/2015 11:38:03 PM
  • Jang Dang:4/19/2015 11:38:41 PM
  • Jang Dang: đoán thế 4/19/2015 11:38:45 PM
  • Jang Dang: mà sợ k phỉa 4/19/2015 11:38:51 PM
  • Jang Dang: phải 4/19/2015 11:38:55 PM
  • Sâu lười: :3 4/19/2015 11:39:07 PM
  • ~Kezo~: big_grin 4/20/2015 12:11:55 AM
  • anhnguyen150799: bar bằng bao nhiêu atm ạ 4/20/2015 12:24:13 AM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: hố la 4/20/2015 8:14:32 PM
  • ღChỉ Một Mìnhღ: 2 4/20/2015 8:15:31 PM
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •: Tại sao đêm nào a lên cũng vắng tanh như chùa bà đanh rựa 4/20/2015 8:15:58 PM
  • nguyenductuananh33: big_grin 4/20/2015 9:23:58 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Angel
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • The X-Files
  • ღKhờღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • datwin195
  • kto138
  • Sâu lười
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • ★.★Pino★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Pentakill_troll
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Thần Thoại
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Doushite
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • anhnguyen150799
  • buituoi1999
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღChỉ Một Mìnhღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • tramthiendhnmaths
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • forever feet mạng
  • †¯™»_๖ۣۜKIZ_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • giolangthang
  • toantutebgbg
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenductuananh33