Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến hai ứng dụng cơ bản của định lý Lagrange, đó là chứng minh bất đẳng thức và chứng minh phương trình có nghiệm.
  Phương pháp :
Định lý Lagrange : Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$, có đạo hàm trong $(a, b)$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a, b)$ sao cho :        $f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$
Như vậy : Nếu $f(b)=f(a)$ thì phương trình $f'(x)=0$ có nghiệm $x=c \in (a, b)$
Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ $1.$ Chứng minh rằng nếu $2a+3b+6c=0$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$ phương trình $ax^2+bx +c=0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.
Lời giải :
Xét hàm số : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ liên tục và khả vi trên $(0, 1)$
Ta có : $f'(x)=ax^2+bx+c$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại số $x_0 \in (a, b)$ sao cho :
                                  $f(1)-f(0)=f'(x_0)(1-0)=f'(x_0)$
          với $\begin{cases}f(1)=\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b +c=\frac{2a+3b+6c}{6}\\ f(0)=0 \end{cases}$
Suy ra  $0=\frac{2a+3b+6c}{6}=ax_0^2+bx_0+c$
Như vậy $x_0$ là nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ (đpcm).

Ví dụ $2.$ Chứng minh rằng phương trình :
             $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$ có bốn nghiệm phân biệt.
Lời giải :
Xét hàm số :  $f(x)=x^5+10x^4+35x^3+50x^2+24x$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
nhận thấy       $\begin{cases}f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \\ f'(x)=5x^4+40x^3+105x^2+100x+24 \end{cases}$
Do đó phương trình $f(x)=0$ có các nghiệm là $-4, -3, -2, -1, 0$. Tức là $f(-4)=f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=0$
Áp dụng định lý Lagrange lần lượt trên các đoạn :
             $[-4, -3], [-3, -2], [-2, -1], [-1, 0]$
Chẳng hạn xét trên đoạn $ [-1, 0]$ thì tồn tại $x_1$ sao cho:
               $f(0)-f(-1)=f'(x_1)(0- -1)=f'(x_1)$  với $x_1 \in (-1, 0) $
  $\Rightarrow 5x_1^4+40x_1^3+105x_1^2+100x_1+24=0 $
  $\Rightarrow x=x_1 $ là một nghiệm của phương trình $5x^4+40x^3+105x^2+100x+24=0$
Trong $(-1, 0)$ có một nghiệm, làm tương tự với ba khoảng còn lại ta được thêm ba nghiệm nữa.
Mặt khác thì các khoảng này tách rời nhau nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ $3.$ Chứng minh rằng với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$ cho trước thì phương trình :
                 $a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x=0$ luôn có nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x) = \frac{1}{3}a\sin 3x + \frac{1}{2}b\sin 2x + c\sin x -\cos x$
Ta thấy $f(x)$ liên tục và khả vi trên $(0, 2\pi)$.
Mặt khác,  $\begin{cases}f'(x) = a\cos 3x +b\cos 2x + c\cos x + \sin x \\ f(0)=f(2\pi)=-1 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0, 2\pi)$ sao cho :
             $f(2\pi)-f(0)=f'(x_0)(2\pi-0)=2\pi.f'(x_0)$
$\Rightarrow a\cos 3x_0 +b\cos 2x_0 + c\cos x_0 + \sin x_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ $4.$ Cho $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ thỏa mãn :
             $\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0$.
Chứng minh phương trình $f(x)=0$ luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :
Xét hàm số $g(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}x^n+ \cdots + \frac{a_1}{2}x^2+a_0x $
thấy rằng $g(x)$ liên tục và khả vi trên $\mathbb{R}$.
Mặt khác,  $\begin{cases}g'(x) =a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 = f(x)\\ g(0)=0\\g(1)=\frac{a_n}{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n}+ \cdots + \frac{a_1}{2}+a_0 = 0 \end{cases}$.
Áp dụng định lý Lagrange thì tồn tại $x_0 \in (0,1)$ sao cho :
             $g(1)-g(0)=g'(x_0)(1-0)=g'(x_0)=f(x_0)$
$\Rightarrow a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\cdots +a_1x_0+a_0=0$
$\Rightarrow x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.

Ví dụ $5.$ Cho $0<a<b$. Chứng minh rằng :
                                $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b-a}{a}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                                 $\displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (a, b)$
                    $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại với $x \in (a, b)$ do $0<a<b$.
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                    $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \ln b - \ln a = \frac{1}{c}(b-a)$
              $\Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{c}=\frac{\ln b - \ln a}{b-a}$
Mặt khác : $a<c<b\Rightarrow \displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{b}<\frac{\ln b - \ln a}{b-a}<\frac{1}{a}$
             $\Leftrightarrow  \displaystyle \frac{b-a}{b} < \ln b - \ln a < \frac{b-a}{a}$ (đpcm).

Ví dụ $6.$ Chứng minh rằng :
                 $\displaystyle \frac{a-b}{2} \le \cos \frac{a+b}{2} .\sin \frac{a-b}{2} \le  \frac{b-a}{2}$
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh  $\Leftrightarrow a-b \le \sin a - \sin b \le b-a$
                                                          $\Leftrightarrow  \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$
Xét hàm số : $f(x)=\sin x$ với $x \in (a, b)$
                        $f'(x)=\cos x$ luôn tồn tại $\forall x \in (a, b)$
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a, b)$ sao cho :
                     $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
              $\Rightarrow |f'(c)|=\left| {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} \right|$
              $\Rightarrow |\cos c|=\frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|}$
Vì $|\cos c| \le 1\Rightarrow \frac{ \left| {\sin b - \sin a} \right| }{|b-a|} \le 1$
Do đó : $ \left| {\sin b - \sin a} \right| \le |b-a|$ (đpcm).

Ví dụ $7.$ Cho $n>1, n \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng :
            $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Lời giải :
Xét hàm số : $f(x)=\ln x$ với $x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
                        $f'(x)=\frac{1}{x}$ luôn tồn tại $\forall x \in (n-1, n)$ với $n>1$.
 Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho :
                          $f(n) - f(n-1)=f'(c)\left[ {n-(n-1)} \right]=f'(c)$
               $ \Rightarrow \ln n - \ln (n-1)= \frac{1}{c}$
 Vì $n-1 < c< n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n-1}$
                          $\Rightarrow \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}            (*)$
 Lần lượt thay $n=2,3, \cdots, n$ vào $(*)$ ta được :
$\begin{cases} \frac{1}{2} < \ln 2 < 1  \\ \frac{1}{3} < \ln 3 - \ln 2 < \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} < \ln 4 - \ln 3 < \frac{1}{3}     \\ \cdots \\ \frac{1}{n} < \ln n - \ln (n-1) < \frac{1}{n-1}  \end{cases}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được :
$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln 2 + \ln 3 - \ln 2+\ln 4 - \ln 3 + \cdots + \ln n - \ln (n-1) < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $
Do đó :
                $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} < \ln n < \displaystyle1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} $  (đpcm).

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài $1.$ Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $14a+9b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có ít nhât một nghiệm thuộc $[1, 2]$.

Bài $2.$ Chứng minh rằng nếu các số $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1} +\frac{c}{m}=0$ với $m \in \mathbb{N}$ thì phương trình $ax^2 +bx +c = 0$ có nghiệm thuộc $(0, 1)$.

Bài $3.$ Chứng minh rằng nếu phương trình $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_n\cos nx=0$ luôn có nghiệm với mọi $a_i \in \mathbb{R}$ với $i=1,2, \cdots, n.$

Bài $4$. Chứng minh rằng nếu phương trình $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x=0$ có nghiệm dương thì phương trình $na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_1=0$ cũng có nghiệm dương.

Bài $5.$ Chứng minh rằng với mọi mọi $a, b \in \mathbb{R}$ thì : $\left| {\arctan a - \arctan b} \right| \le |a-b|$.

Bài $6.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{a} < \frac{\ln a}{a-1} <1$ với $a>1$.

Bài $7.$ Chứng minh rằng với $a<a \le b$ và $n>1, n\in \mathbb{N}$ thì
                              $n.a^{n-1}(b-a) \le b^n - a^n \le nb^{n-1}(b-a)$

Thẻ

Lượt xem

5148
Chat chit và chém gió
  • Saori Hara: với x.y=1 thay vào giải x và y 10/21/2014 11:15:11 PM
  • SNHC: a gõ cho e đc k, ngày mai cũng đc 10/21/2014 11:15:11 PM
  • Saori Hara: uk em 10/21/2014 11:16:13 PM
  • tuanthanh31121997: gõ gì thế 10/21/2014 11:16:33 PM
  • Saori Hara: gõ đáp án 10/21/2014 11:16:47 PM
  • tuanthanh31121997: à 10/21/2014 11:17:12 PM
  • Saori Hara: mà ns vậy mà không hiểu ak 10/21/2014 11:17:55 PM
  • SNHC: nhưng mà còn đk -3<x<3 10/21/2014 11:18:27 PM
  • Saori Hara: thay = tìm min P ta đi tìm max của 15-(x+y)^2 10/21/2014 11:18:44 PM
  • Saori Hara: cái đó để dk loại nghiệm 10/21/2014 11:19:05 PM
  • Saori Hara: xẻ giải ra 2 nghiemj mà 10/21/2014 11:19:16 PM
  • SNHC: để e thử 10/21/2014 11:19:39 PM
  • minhkute141: Thánh ơi! HEpl 10/21/2014 11:20:17 PM
  • Saori Hara: x+y= + - căn 15 10/21/2014 11:20:21 PM
  • Saori Hara: và x.y=1 thay vào giải ra 10/21/2014 11:20:37 PM
  • minhkute141: h làm ra r mà k bít đúng sai thế nào lun! ôi mk thật bất hạnh qá mà 10/21/2014 11:22:17 PM
  • tuanthanh31121997: nói thê bạn ko hiu nhà minh chiu 10/21/2014 11:22:43 PM
  • Saori Hara: em cứ làm lời giải đúng còn hình thì vẻ sao cho nó đẹp là đk 10/21/2014 11:23:08 PM
  • minhkute141: theo chỉ dẩn của tuanthanh vs S... 10/21/2014 11:23:18 PM
  • minhkute141: thì là pần vẽ đồ thị thôi 10/21/2014 11:23:34 PM
  • minhkute141: chứ chưa tìm dk điếm đặc biệt 10/21/2014 11:23:52 PM
  • Saori Hara: đừng lấy nhiều điểm chỉ cần 1 2 điểm thôi vẻ sao cho nó đẹp là đk 10/21/2014 11:24:22 PM
  • minhkute141: h Minh tự tìm điễm đặc biệt dk r 10/21/2014 11:24:41 PM
  • minhkute141: nhưng mà hk đún sai thế nào lun 10/21/2014 11:25:14 PM
  • Saori Hara: tâm đối xứng 10/21/2014 11:25:18 PM
  • Saori Hara: thế là xong 10/21/2014 11:25:32 PM
  • minhkute141: C.Ơn nha! 10/21/2014 11:26:19 PM
  • Saori Hara: có chi mà cảm ơn 10/21/2014 11:26:33 PM
  • minhkute141: crying mà vẩn thấy hk ổn s đó 10/21/2014 11:27:23 PM
  • tuanthanh31121997: vẽ 2 đồ thị cảu 2 th ra nà lấy hơp của 2 đồ thi phái trên ox là đk 10/21/2014 11:28:08 PM
  • Saori Hara: ra hàm bậc 3 ms phức tạp 10/21/2014 11:28:48 PM
  • Saori Hara: ak bậc 2 chứ 10/21/2014 11:29:18 PM
  • minhkute141: nảy hỏi cái chị Con gái MAFIA chị đó ciu chị k bít 10/21/2014 11:29:20 PM
  • tuanthanh31121997: ham bậc nhất mà 10/21/2014 11:29:28 PM
  • tuanthanh31121997: bé đó ms lơp 11 mà -_- 10/21/2014 11:29:36 PM
  • Saori Hara: ban hk lớp mấy vậy 10/21/2014 11:29:53 PM
  • minhkute141: cái đây 2 mà hồi nảy hk đọc đề à -_- 10/21/2014 11:30:09 PM
  • minhkute141: vẽ đồ thị hàm số y= l1/2x^2+x-3/2l 10/21/2014 11:30:29 PM
  • Saori Hara: củng thế cả 10/21/2014 11:30:41 PM
  • minhkute141: pần tìm điểm đặc biệc sợ sai qá 10/21/2014 11:31:24 PM
  • Saori Hara: đồ thị ra hình chữ M lộn ngược 10/21/2014 11:31:37 PM
  • minhkute141: mai lên làm mà lún ta lún tún thì thôi r 10/21/2014 11:31:48 PM
  • Saori Hara: có cả tìm điểm đặc biệt nửa ak 10/21/2014 11:32:04 PM
  • minhkute141: đúng r có chữ M lộn ngc. 10/21/2014 11:32:08 PM
  • Saori Hara: tìm điểm đặc biệt là gì thế 10/21/2014 11:32:29 PM
  • minhkute141: hồi nảy h 2 ngừ chỉ cho Minh vẽ thôi 10/21/2014 11:32:53 PM
  • Saori Hara: tớ chỉ biết tìm điểm cố định thôi 10/21/2014 11:33:11 PM
  • tuanthanh31121997: điểm đặc biêt là mây điểm cho y=0 rồi suy ra x ấy 10/21/2014 11:33:33 PM
  • minhkute141: trục đối xứng đó hã? 10/21/2014 11:33:40 PM
  • Saori Hara: ak 10/21/2014 11:33:40 PM
  • Saori Hara: cái đó tính ra nháp 10/21/2014 11:33:54 PM
  • Saori Hara: mang vào làm gì cho nặng bài 10/21/2014 11:34:21 PM
  • tuanthanh31121997: thì điểm đặc biêt thì chỉ có mối cái điểm đó thôi 10/21/2014 11:34:34 PM
  • minhkute141: yêu cầu bài pãi gi ra nữa 10/21/2014 11:34:56 PM
  • Saori Hara: tuấn vs minh này 10/21/2014 11:35:11 PM
  • tuanthanh31121997: ??? 10/21/2014 11:35:20 PM
  • minhkute141: x=-b/2a 10/21/2014 11:35:21 PM
  • Saori Hara: tớ hs 2 bạn 1 câu các ban trả lời thật nha 10/21/2014 11:35:34 PM
  • tuanthanh31121997: Ừ HƯ 10/21/2014 11:35:43 PM
  • Saori Hara: minh sao bạn 10/21/2014 11:35:50 PM
  • minhkute141: r còn 4 điễm nữa ms vẽ dk lận 10/21/2014 11:36:01 PM
  • tuanthanh31121997: ừ hỏi đi 10/21/2014 11:36:04 PM
  • Saori Hara: @@ 10/21/2014 11:36:05 PM
  • Saori Hara: hs cả minh nữa 10/21/2014 11:36:17 PM
  • tuanthanh31121997: hỏi đi lằng nhằng hoài 10/21/2014 11:36:30 PM
  • minhkute141: hỏi đi happy 10/21/2014 11:36:30 PM
  • Saori Hara: các bạn có buồn ngủ không 10/21/2014 11:36:41 PM
  • Saori Hara: ?? 10/21/2014 11:36:47 PM
  • Saori Hara: waiting 10/21/2014 11:36:54 PM
  • tuanthanh31121997: ko t 1h ms ngủ 10/21/2014 11:36:54 PM
  • minhkute141: k ngủ dk lun chứ bùn j 10/21/2014 11:37:02 PM
  • Saori Hara: tuấn vậy thì hoy đi nha 10/21/2014 11:37:17 PM
  • tuanthanh31121997: t tên thành 10/21/2014 11:37:25 PM
  • Saori Hara: tớ vs minh ngủ đây 10/21/2014 11:37:33 PM
  • Saori Hara: ak minh này bạn là nam hay nữ vậy 10/21/2014 11:37:48 PM
  • tuanthanh31121997: ngủ đi rolling_on_the_floor 10/21/2014 11:37:54 PM
  • minhkute141: Minh hk ngủ dk 10/21/2014 11:37:57 PM
  • minhkute141: S ngủ đi 10/21/2014 11:38:07 PM
  • tuanthanh31121997: minh girl hay boy 10/21/2014 11:38:16 PM
  • minhkute141: -_- boyy 10/21/2014 11:38:21 PM
  • Saori Hara: vậy thì hoy đi nha 10/21/2014 11:38:30 PM
  • tuanthanh31121997: hoy đi nha haha 10/21/2014 11:38:37 PM
  • Saori Hara: ngủ uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 10/21/2014 11:38:46 PM
  • tuanthanh31121997: ngủ đi 10/21/2014 11:39:16 PM
  • minhkute141: còn 4 cái điễm kia tìm s? 10/21/2014 11:39:18 PM
  • Saori Hara: hoy đi nha 10/21/2014 11:39:32 PM
  • tuanthanh31121997: 4 điểm để vẽ đồ thi hả 10/21/2014 11:39:37 PM
  • minhkute141: tuanthanh HEPL ME 10/21/2014 11:39:39 PM
  • tuanthanh31121997: 4 điểm vẽ đồ thị hả?? 10/21/2014 11:39:53 PM
  • minhkute141: 1 điểm là trục đối xứng bít r 10/21/2014 11:40:11 PM
  • minhkute141: uh 10/21/2014 11:40:16 PM
  • tuanthanh31121997: thi thay như bt ấy 10/21/2014 11:40:29 PM
  • minhkute141: còn 4 điểm kia có lúc tìm đún có lúc k tìm ra 10/21/2014 11:40:42 PM
  • tuanthanh31121997: thay x=0 suy y băng bn đó 10/21/2014 11:41:06 PM
  • minhkute141: uh 10/21/2014 11:41:25 PM
  • tuanthanh31121997: y=0 => x= bao nhiêu đó là đk mà 10/21/2014 11:41:25 PM
  • tuanthanh31121997: vẽ như bình thương bạn vẽ 1 đồ thị ấy 10/21/2014 11:41:43 PM
  • minhkute141: còn 2 điểm nữa mới vẽ dk 10/21/2014 11:42:42 PM
  • tuanthanh31121997: 2 điêm vẽ bbt ra xét cực đại cực tiểu 10/21/2014 11:43:03 PM
  • minhkute141: cho cái j = cái j nữa á, cô nói mà k rõ 10/21/2014 11:43:17 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • khangnguyenthanh
  • roilevitinh_hn
  • Hỗ Trợ BQT
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Chuyên Cơ Cuối Cùng
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon98
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • giola_2503
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Faker ^^
  • Angel
  • devilphuong96
  • Tiểu sa nhi
  • tqmaries34
  • ankhatruongnguyen
  • bontiton96
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • hey
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • Lăn tăn
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • dihoklafdihok
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • fan.arsenalfc
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Không Ai Cả
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Min Tồ
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • kto138
  • Sỏi Bự
  • teengirl_hn1998
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • ★.★Logarit★.★
  • nhoknana95
  • hoctainha
  • langvohue1234
  • fglory2912
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • dangtuan251097
  • c.x.sadhp1999
  • huyhoangfan
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • SNHC
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • Saori Hara
  • ndanh999
  • xuka.love.nobita.4ever
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • anhkhks123654
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo