Trước hết ta nhắc lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa :
\[f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
  Phương pháp này thường áp dụng đối với giới hạn có dạng  $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$; trong đó $g'(x_0) \ne 0$, $g'(x_0)$ tồn tại hữu hạn và $f(x_0)=g(x_0)=0$, tức là dạng giới hạn $\frac{0}{0}$.
  Nếu giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ thỏa mãn các điều kiện trên thì phương pháp này rất có hiệu quả và dễ thực hiện hơn nhiều so với các phương pháp bình thường như : phương pháp thêm bớt hạng tử, dùng biểu thức liên hợp, sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản.
  Ta sẽ cùng xét các ví dụ sau :

Ví dụ $1.$  Tính giới hạn sau
\[L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{x-\sin x}{x+\sin x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=x- \sin x$  thì  $f(0)=0$
và  $f'(x)=1- \cos x$ nên $f'(0)=0$

Đặt : $g(x)=x+ \sin x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=1+ \cos x$ nên $g'(0)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{x}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)}{x}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=0$

Ví dụ $2.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{7+2x-x^2}}{x^2-2x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{7+2x-x^2}$  thì  $f(2)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle\frac{1+2x}{2\sqrt{1+x+x^2}}-\frac{1-x}{\sqrt{7+2x-x^2}}$ nên $f'(2)=\displaystyle\frac{5}{2\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Đặt : $g(x)=x^2-2x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=2x-2$ nên $g'(0)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{f(x)}{x-2}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{g(x)}{x-2}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{f(x)-f(2)}{x-2}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{g(x)-g(2)}{x-2}}=\displaystyle\frac{f'(2)}{g'(2)}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ví dụ $3.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}$  thì  $f(1)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2}}$ nên $f'(1)=\displaystyle-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=-\frac{5}{12}$

Đặt : $g(x)=x^2-1$  thì  $g(1)=0$
và  $g'(x)=2x$ nên $g'(1)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{g(x)}{x-1}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to1 }\displaystyle\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\displaystyle\frac{f'(1)}{g'(1)}=-\frac{5}{24}$
Trong ví dụ này, nếu ta sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử và dùng biểu thức liên hợp thì thực hiện như sau :
$L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-2+2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$
    $=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-2}{x^2-1}+\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$
    $=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1-x}{(x^2-1)\left (\sqrt{5-x}+2 \right )}+\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1-x^2}{(x^2-1)\left (4+2\sqrt[3]{x^2+7}+\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2} \right )}$
    $=\displaystyle-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1}{(x+1)\left (\sqrt{5-x}+2 \right )}\displaystyle-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1}{4+2\sqrt[3]{x^2+7}+\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2} }$
    $=-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=-\frac{5}{24}$

  Độc giả có thể tự đọc và suy ngẫm về những ưu điểm của từng phương pháp.  Và ví dụ tiếp theo đây sẽ minh họa thêm về tính hiệu quả của phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.

Ví dụ $4.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{\left ( x^3+2013 \right )\sqrt[5]{1-3x}-2013}{x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\left ( x^3+2013 \right )\sqrt[5]{1-3x}-2013$  thì  $f(0)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle 3x^2.\sqrt[5]{1-3x}-\frac{3(x^3+2013)}{5\sqrt[5]{(1-3x)^4}}$ nên $f'(0)=\displaystyle-\frac{6039}{5}$

Đặt : $g(x)=x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=1$ nên $g'(0)=1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)}{x-0}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to0 }\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=-\frac{6039}{5}$
  Rõ ràng trong bài toán này ta sẽ rất khó định hướng được hướng làm nếu chỉ nghĩ đến các phương pháp quen thuộc.

Ví dụ $5.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{\tan^3 x-3\tan x}{\displaystyle\cos \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\tan^3 x-3\tan x$  thì  $f(\frac{\pi}{3})=0$
và  $f'(x)=\displaystyle 3\tan^2 x . \frac{1}{\cos^2 x}-3.\frac{1}{\cos^2 x}$ nên $f'(\frac{\pi}{3})=24$

Đặt : $g(x)=\cos \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )$  thì  $g(\frac{\pi}{3})=0$
và  $g'(x)=-\sin \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )$ nên $g'(\frac{\pi}{3})=-1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{f(x)}{x-\frac{\pi}{3}}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{g(x)}{x-\frac{\pi}{3}}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{f(x)-f(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to\frac{\pi}{3} }\displaystyle\frac{g(x)-g(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}}}=\displaystyle\frac{f'(\frac{\pi}{3})}{g'(\frac{\pi}{3})}=-24$

Ví dụ $6.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{ \displaystyle x^x-1}{x\ln x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\displaystyle x^x-1=\displaystyle e^{ \displaystyle \ln x^x}-1=\displaystyle e^{\displaystyle x\ln x}-1$  thì  $f(1)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle e^{x\ln x}\left (1+ \ln x \right )$ nên $f'(1)=\displaystyle 1$

Đặt : $g(x)=x\ln x$  thì  $g(1)=0$
và  $g'(x)=1+ \ln x$ nên $g'(1)=1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{g(x)}{x-1}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to1 }\displaystyle\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\displaystyle\frac{f'(1)}{g'(1)}=1$

Ví dụ $7.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \left (1+\frac{2}{x} \right )^{\displaystyle 3x}\]
Lời giải :

Ta có :
$L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \left (1+\frac{2}{x} \right )^{\displaystyle 3x}=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle e^{\displaystyle 3x \ln \left (1+\frac{2}{x} \right )}=e^{L_1}$
Trong đó : $L_1=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \displaystyle 3x \ln \left (1+\frac{2}{x} \right ) \underbrace{=}_{t=\frac{1}{x}}\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle \displaystyle \frac{3\ln (1+2t)}{t}$
Đặt : $f(t)=\displaystyle 3\ln (1+2t)$ thì  $f(0)=0$
và  $f'(t)=\displaystyle \frac{6}{1+2t}$ nên $f'(0)=\displaystyle 6$
Đặt : $g(t)=t$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(t)=1$ nên $g'(0)=1$
Ta có :
$L_1=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{f(t)}{t-0}}{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{g(t)}{t-0}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{f(t)-f(0)}{t-0}}{\mathop {\lim }\limits_{t\to0 }\displaystyle\frac{g(t)-g(0)}{t-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=6$
   Tóm lại $L=e^{L_1}=e^6$

BÀI TẬP ÁP DỤNG

    Tính các giới hạn sau bằng phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm

$1.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 8}\displaystyle \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$
$2.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{1-\sqrt{2x+1}+\sin x}{\sqrt{3x+4}-2-x}$
$3.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{1-4^x}{1-e^x}$
$4.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{x}$
$5.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{e^x - 1}{x}$
$6      L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a}\displaystyle \frac{a^x-x^a}{x-a}    (a>0)$
$7.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \left (\frac{x}{2} \right )^{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$

 

Thẻ

Lượt xem

12650
Chat chit và chém gió
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:55 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:56 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:56 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:56 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:56 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:57 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:57 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:57 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:57 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:58 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:58 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:58 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:58 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:59 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:59 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:49:59 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:00 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:00 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:00 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:01 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:01 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:01 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:02 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:02 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:02 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:03 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:03 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:03 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:04 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:04 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:05 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:05 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:05 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:05 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:06 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:06 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:06 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:07 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:07 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:07 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:08 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:08 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:08 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:09 AM
  • Tiểu Công Tử: . 7/27/2017 8:50:09 AM
  • Tiểu Công Tử: yawn 7/27/2017 8:50:17 AM
  • birminghamcommunity: đau trym quá :V 7/27/2017 9:28:27 AM
  • Theasker: .. 7/27/2017 9:49:34 AM
  • Theasker: hello 7/27/2017 9:49:36 AM
  • Theasker: con ai k 7/27/2017 9:49:41 AM
  • ๖ۣۜSadღ: cn ai k 7/27/2017 9:51:08 AM
  • birminghamcommunity: hello :V 7/27/2017 9:51:15 AM
  • ๖ۣۜSadღ: hi 7/27/2017 9:51:21 AM
  • birminghamcommunity: còn em nè :3 7/27/2017 9:51:21 AM
  • ๖ۣۜSadღ: e nèo thía? 7/27/2017 9:51:26 AM
  • birminghamcommunity: hông biết :3 7/27/2017 9:51:38 AM
  • ๖ۣۜSadღ: tên e chi? 7/27/2017 9:51:59 AM
  • birminghamcommunity: Long :v 7/27/2017 9:52:19 AM
  • birminghamcommunity: And you? :3 7/27/2017 9:52:36 AM
  • ๖ۣۜSadღ: tủi? 7/27/2017 9:52:39 AM
  • ๖ۣۜSadღ: Sad ^^ 7/27/2017 9:52:46 AM
  • birminghamcommunity: :V 7/27/2017 9:52:50 AM
  • birminghamcommunity: Girl hả? :3 7/27/2017 9:53:00 AM
  • ๖ۣۜSadღ: a ^^ 7/27/2017 9:53:27 AM
  • ๖ۣۜSadღ: e nhiu tủi? 7/27/2017 9:53:31 AM
  • birminghamcommunity: 2k2 :v 7/27/2017 9:53:41 AM
  • ๖ۣۜSadღ: e có nick cũ ở đây hem 7/27/2017 9:54:45 AM
  • birminghamcommunity: :\ thành viên mới 7/27/2017 9:54:59 AM
  • ๖ۣۜSadღ: oh big_grin uk 7/27/2017 9:55:32 AM
  • ๖ۣۜSadღ: a 2k big_grin tên Sad 7/27/2017 9:55:44 AM
  • birminghamcommunity: Dạ laughing 7/27/2017 9:56:09 AM
  • birminghamcommunity: ngủ đi anh :v 7/27/2017 9:56:21 AM
  • ๖ۣۜSadღ: a đợi ny :V 7/27/2017 9:57:09 AM
  • ๖ۣۜSadღ: e ngủ đi laughing 7/27/2017 9:57:15 AM
  • birminghamcommunity: em làm cái này .... xong em mới ngủ :V 7/27/2017 9:57:50 AM
  • ๖ۣۜSadღ: uklaughing 7/27/2017 9:58:38 AM
  • birminghamcommunity: Ukk big_grin 7/27/2017 9:58:59 AM
  • birminghamcommunity: ngủ ngon nhé :V 7/27/2017 9:59:11 AM
  • ๖ۣۜSadღ: Bye e 7/27/2017 10:01:15 AM
  • ๖ۣۜSadღ: mà hết ruj oi ak 7/27/2017 10:01:20 AM
  • ๖ۣۜSadღ: cn mk e ư 7/27/2017 10:01:22 AM
  • birminghamcommunity: latex diễn đàn mình ntn nhỉ? 7/27/2017 10:03:34 AM
  • birminghamcommunity: $...$ ạ? 7/27/2017 10:03:41 AM
  • ๖ۣۜSadღ: uk 7/27/2017 10:07:22 AM
  • Nguyễn Ánh Sáng: ,,, 7/27/2017 10:23:01 AM
  • ๖ۣۜSadღ: hú e laughing 7/27/2017 10:25:41 AM
  • Theasker: ... 7/27/2017 10:49:09 AM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: straight_face 7/27/2017 11:31:43 AM
  • Theasker: .. 7/27/2017 12:14:50 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: đừng có thi :v 7/27/2017 12:43:39 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: laughing 7/27/2017 12:43:43 PM
  • Theasker: .. 7/27/2017 12:47:26 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: bug 7/27/2017 1:18:11 PM
  • Theasker: .. 7/27/2017 1:25:28 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: ..... 7/27/2017 1:35:42 PM
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱: bbbb 7/27/2017 1:41:23 PM
  • birminghamcommunity: :v 7/27/2017 5:06:32 PM
  • birminghamcommunity: hello 7/27/2017 5:06:36 PM
  • Theasker: .. 7/27/2017 5:26:34 PM
  • birminghamcommunity: :3 7/27/2017 5:44:50 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Lỗi
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang.ch2609
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Lục Diệp Tử
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • Hoàng Yến
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ༉๖ۣۜ Këy࿐
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • -
  • Nhok Sam
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • sin^2 (B)
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Su Su
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Tiểu Công Tử
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • cos^2(T)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • kemetao
  • Theasker
  • lananhtranthi19
  • Băng
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • birminghamcommunity