Trước hết ta nhắc lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa :
\[f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
  Phương pháp này thường áp dụng đối với giới hạn có dạng  $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$; trong đó $g'(x_0) \ne 0$, $g'(x_0)$ tồn tại hữu hạn và $f(x_0)=g(x_0)=0$, tức là dạng giới hạn $\frac{0}{0}$.
  Nếu giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ thỏa mãn các điều kiện trên thì phương pháp này rất có hiệu quả và dễ thực hiện hơn nhiều so với các phương pháp bình thường như : phương pháp thêm bớt hạng tử, dùng biểu thức liên hợp, sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản.
  Ta sẽ cùng xét các ví dụ sau :

Ví dụ $1.$  Tính giới hạn sau
\[L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{x-\sin x}{x+\sin x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=x- \sin x$  thì  $f(0)=0$
và  $f'(x)=1- \cos x$ nên $f'(0)=0$

Đặt : $g(x)=x+ \sin x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=1+ \cos x$ nên $g'(0)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{x}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)}{x}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=0$

Ví dụ $2.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{7+2x-x^2}}{x^2-2x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{7+2x-x^2}$  thì  $f(2)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle\frac{1+2x}{2\sqrt{1+x+x^2}}-\frac{1-x}{\sqrt{7+2x-x^2}}$ nên $f'(2)=\displaystyle\frac{5}{2\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$

Đặt : $g(x)=x^2-2x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=2x-2$ nên $g'(0)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{f(x)}{x-2}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{g(x)}{x-2}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{f(x)-f(2)}{x-2}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2}\displaystyle\frac{g(x)-g(2)}{x-2}}=\displaystyle\frac{f'(2)}{g'(2)}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ví dụ $3.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt[3]{x^2+7}$  thì  $f(1)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{2\sqrt{5-x}}-\frac{2x}{3\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2}}$ nên $f'(1)=\displaystyle-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=-\frac{5}{12}$

Đặt : $g(x)=x^2-1$  thì  $g(1)=0$
và  $g'(x)=2x$ nên $g'(1)=2$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{g(x)}{x-1}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to1 }\displaystyle\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\displaystyle\frac{f'(1)}{g'(1)}=-\frac{5}{24}$
Trong ví dụ này, nếu ta sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử và dùng biểu thức liên hợp thì thực hiện như sau :
$L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-2+2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$
    $=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{\sqrt{5-x}-2}{x^2-1}+\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{2-\sqrt[3]{x^2+7}}{x^2-1}$
    $=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1-x}{(x^2-1)\left (\sqrt{5-x}+2 \right )}+\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1-x^2}{(x^2-1)\left (4+2\sqrt[3]{x^2+7}+\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2} \right )}$
    $=\displaystyle-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1}{(x+1)\left (\sqrt{5-x}+2 \right )}\displaystyle-\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{1}{4+2\sqrt[3]{x^2+7}+\sqrt[3]{\left ( x^2+7 \right )^2} }$
    $=-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=-\frac{5}{24}$

  Độc giả có thể tự đọc và suy ngẫm về những ưu điểm của từng phương pháp.  Và ví dụ tiếp theo đây sẽ minh họa thêm về tính hiệu quả của phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.

Ví dụ $4.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{\left ( x^3+2013 \right )\sqrt[5]{1-3x}-2013}{x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\left ( x^3+2013 \right )\sqrt[5]{1-3x}-2013$  thì  $f(0)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle 3x^2.\sqrt[5]{1-3x}-\frac{3(x^3+2013)}{5\sqrt[5]{(1-3x)^4}}$ nên $f'(0)=\displaystyle-\frac{6039}{5}$

Đặt : $g(x)=x$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(x)=1$ nên $g'(0)=1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{g(x)}{x-0}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to0 }\displaystyle\frac{g(x)-g(0)}{x-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=-\frac{6039}{5}$
  Rõ ràng trong bài toán này ta sẽ rất khó định hướng được hướng làm nếu chỉ nghĩ đến các phương pháp quen thuộc.

Ví dụ $5.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle \frac{\tan^3 x-3\tan x}{\displaystyle\cos \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\tan^3 x-3\tan x$  thì  $f(\frac{\pi}{3})=0$
và  $f'(x)=\displaystyle 3\tan^2 x . \frac{1}{\cos^2 x}-3.\frac{1}{\cos^2 x}$ nên $f'(\frac{\pi}{3})=24$

Đặt : $g(x)=\cos \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )$  thì  $g(\frac{\pi}{3})=0$
và  $g'(x)=-\sin \left ( x+ \frac{\pi}{6} \right )$ nên $g'(\frac{\pi}{3})=-1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{f(x)}{x-\frac{\pi}{3}}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{g(x)}{x-\frac{\pi}{3}}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{f(x)-f(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to\frac{\pi}{3} }\displaystyle\frac{g(x)-g(\frac{\pi}{3})}{x-\frac{\pi}{3}}}=\displaystyle\frac{f'(\frac{\pi}{3})}{g'(\frac{\pi}{3})}=-24$

Ví dụ $6.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle \frac{ \displaystyle x^x-1}{x\ln x}\]
Lời giải :

Đặt : $f(x)=\displaystyle x^x-1=\displaystyle e^{ \displaystyle \ln x^x}-1=\displaystyle e^{\displaystyle x\ln x}-1$  thì  $f(1)=0$
và  $f'(x)=\displaystyle e^{x\ln x}\left (1+ \ln x \right )$ nên $f'(1)=\displaystyle 1$

Đặt : $g(x)=x\ln x$  thì  $g(1)=0$
và  $g'(x)=1+ \ln x$ nên $g'(1)=1$

Ta có :
$L=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{g(x)}{x-1}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to1 }\displaystyle\frac{g(x)-g(1)}{x-1}}=\displaystyle\frac{f'(1)}{g'(1)}=1$

Ví dụ $7.$  Tính giới hạn sau
\[L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \left (1+\frac{2}{x} \right )^{\displaystyle 3x}\]
Lời giải :

Ta có :
$L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \left (1+\frac{2}{x} \right )^{\displaystyle 3x}=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle e^{\displaystyle 3x \ln \left (1+\frac{2}{x} \right )}=e^{L_1}$
Trong đó : $L_1=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}\displaystyle \displaystyle 3x \ln \left (1+\frac{2}{x} \right ) \underbrace{=}_{t=\frac{1}{x}}\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle \displaystyle \frac{3\ln (1+2t)}{t}$
Đặt : $f(t)=\displaystyle 3\ln (1+2t)$ thì  $f(0)=0$
và  $f'(t)=\displaystyle \frac{6}{1+2t}$ nên $f'(0)=\displaystyle 6$
Đặt : $g(t)=t$  thì  $g(0)=0$
và  $g'(t)=1$ nên $g'(0)=1$
Ta có :
$L_1=\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{f(t)}{t-0}}{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{g(t)}{t-0}}=\displaystyle \frac{\mathop {\lim }\limits_{t \to 0}\displaystyle\frac{f(t)-f(0)}{t-0}}{\mathop {\lim }\limits_{t\to0 }\displaystyle\frac{g(t)-g(0)}{t-0}}=\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=6$
   Tóm lại $L=e^{L_1}=e^6$

BÀI TẬP ÁP DỤNG

    Tính các giới hạn sau bằng phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm

$1.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 8}\displaystyle \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}$
$2.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{1-\sqrt{2x+1}+\sin x}{\sqrt{3x+4}-2-x}$
$3.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{1-4^x}{1-e^x}$
$4.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{x}$
$5.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \frac{e^x - 1}{x}$
$6      L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a}\displaystyle \frac{a^x-x^a}{x-a}    (a>0)$
$7.     L=\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\displaystyle \left (\frac{x}{2} \right )^{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$

 

Thẻ

Lượt xem

11635
Chat chit và chém gió
  • Thiên Hạ Vô Song: tui cũng đang làm 3/22/2017 11:47:44 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hehe 3/22/2017 11:47:49 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: t sắp xong rồi 3/22/2017 11:47:55 AM
  • 123456789: Minh :V 3/22/2017 11:47:55 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ôh 3/22/2017 11:47:59 AM
  • Thiên Hạ Vô Song:3/22/2017 11:48:01 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: chúng ta có duyên 3/22/2017 11:48:03 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: thằng ngồi kế tui cũng tên minh 3/22/2017 11:48:07 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: chối tỷ 3/22/2017 11:48:09 AM
  • 123456789: silly lq vãi 3/22/2017 11:48:15 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: t thấy ko lq mà' 3/22/2017 11:48:20 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: trời đất 3/22/2017 11:48:27 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: NINH ### MINH 3/22/2017 11:48:32 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: nói cho vui mà bắt bẻ vê lù 3/22/2017 11:48:34 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: một trời một vực 3/22/2017 11:48:38 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: cạn lời 3/22/2017 11:49:04 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: 1 bài văn nữa 3/22/2017 11:49:17 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: chaizo 3/22/2017 11:49:20 AM
  • 123456789: 2 người ở đâu 3/22/2017 11:49:28 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hp bn 3/22/2017 11:49:35 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: còn u 3/22/2017 11:49:40 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: TPHCM 3/22/2017 11:49:40 AM
  • 123456789: hà nội 3/22/2017 11:49:51 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: gần hp rồi 3/22/2017 11:49:58 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: trên đây mỗi người 1 phương trời nhỉ 3/22/2017 11:50:07 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: có giang vs quân cùng trường nè 3/22/2017 11:50:33 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: gì ghê vậy 3/22/2017 11:50:40 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: nhung vs hoàng cùng lớp nè 3/22/2017 11:50:49 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: rủ nhau chơi à @@ 3/22/2017 11:50:54 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: nhiều lắm 3/22/2017 11:50:59 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ko nhớ hết 3/22/2017 11:51:03 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: vl ông Hoàng chả bao giờ nhớ tkb 3/22/2017 11:51:15 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: thằng hoàng ngày nào chả hỏi tkb nhung đó 3/22/2017 11:51:22 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: CÓ ĐIỀM 3/22/2017 11:51:33 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: lười quá luôn 3/22/2017 11:51:41 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hắn cố ý đó 3/22/2017 11:51:51 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: cố ý chứ gì nữa 3/22/2017 11:51:57 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: ahihihi 3/22/2017 11:51:58 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: có hôm ko nhớ t đọc cho cái tkb của t 3/22/2017 11:52:10 AM
  • 123456789: :V 3/22/2017 11:52:12 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: Q đọc cho tkb của Q 3/22/2017 11:52:19 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hắn gộp lại mang sách đi hok 3/22/2017 11:52:31 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ko biết hok cái j nữa 3/22/2017 11:52:44 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: .......... 3/22/2017 11:53:03 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: ghê thật 3/22/2017 11:53:13 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: laughing 3/22/2017 11:53:21 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: t đi hok chả mang j 3/22/2017 11:53:31 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: t đi học mang tất cả 3/22/2017 11:53:44 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: vác cái xác đến rồi lại vác về 3/22/2017 11:53:48 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: sách để cả bộ trên lớp 3/22/2017 11:54:08 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: à 3/22/2017 11:54:23 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: để trên lớp à 3/22/2017 11:54:26 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: lớp t thì để là mất 3/22/2017 11:54:29 AM
  • 123456789: mẹ chứ :33 3/22/2017 11:54:38 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: lớp t có chìa tự quản mad 3/22/2017 11:54:46 AM
  • 123456789: lớp tôi để lại cái gì cũng mất 3/22/2017 11:54:49 AM
  • 123456789: đéo hiểu luôn :33 3/22/2017 11:55:01 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hahahhaaa 3/22/2017 11:55:09 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: trôm cắp như rươi as người như đúcrolling_on_the_floor 3/22/2017 11:55:30 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: có mấy đứa lớp 10 3/22/2017 11:55:42 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: để iphone 6 3/22/2017 11:55:44 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: đi cất tô cái 3/22/2017 11:55:54 AM
  • Thiên Hạ Vô Song: tèo téo teo teo téo tèo 3/22/2017 11:55:54 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ko bù cho trường t 3/22/2017 11:56:49 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: cấm mang đt đến trường 3/22/2017 11:56:59 AM
  • 123456789: mẹ laughing đứa bạn tôi đi chụp ảnh thẻ 3/22/2017 11:57:11 AM
  • 123456789: về mất mẹ nó cái mt :33 3/22/2017 11:57:20 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: rolling_on_the_floor cái đó chắc điên lắm đó nhỉ 3/22/2017 11:57:44 AM
  • 123456789: xót v~~ ra :333 mấy trăm chứ ít gì 3/22/2017 11:59:09 AM
  • 123456789: lại còn mới nữa :33 mẹ 3/22/2017 11:59:16 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: lại đc mua đồ ms 3/22/2017 11:59:58 AM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ns nghe 3/22/2017 12:00:02 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: con em t nó xin mẹ 100k mua cái but chì 3/22/2017 12:00:21 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: ko hiểu hk ở đâu cái kiểu đó 3/22/2017 12:00:37 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: mẹ t thấy lạ hỏi nó ns 3/22/2017 12:00:47 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: con mua cái bút 1k còn lại con đãi các bn vì con mua đồ ms 3/22/2017 12:01:12 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: laughing 3/22/2017 12:01:23 PM
  • 123456789: vãi rolling_on_the_floor 3/22/2017 12:02:03 PM
  • 123456789: cạn cmn lời @@ 3/22/2017 12:02:08 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: thế ms chối 3/22/2017 12:03:02 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: nghe tức xì khói đầu ra 3/22/2017 12:03:18 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: rolling_on_the_floor 3/22/2017 12:03:23 PM
  • Thiên Hạ Vô Song: tui đi ngủ đây] 3/22/2017 12:07:21 PM
  • Thiên Hạ Vô Song: các đồng chí ngủ ngon 3/22/2017 12:07:27 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: pp 3/22/2017 12:10:38 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: big_grin 3/22/2017 12:11:38 PM
  • Lãnh Hàn Băng Ngọc: hết ng rôi à 3/22/2017 12:28:12 PM
  • Bon Bon: laughing 3/22/2017 5:57:39 PM
  • Bon Bon: có ai sáng nay dk ở nhà như mk ko nhỉ rolling_on_the_floor 3/22/2017 5:59:29 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:29:24 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:29:24 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:29:25 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:42:02 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:42:03 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:42:03 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:42:04 PM
  • Bon Bon: . 3/22/2017 6:42:04 PM
  • Lee Han: . 3/22/2017 8:17:12 PM
  • Thiên Hạ Vô Song: chắc làk o 3/22/2017 9:36:44 PM
  • Kẹo"x Bông"x: :v 3/22/2017 10:15:44 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo Dễ thương
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • ¸.•♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•.¸
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Quỳnh Vũ
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • HMU-HY-18
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • ۞♠ξ__Judal__ζ♣۞
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • TNNNDK
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜNanhBạc๖ۣ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • ๖ۣۜSadღ
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • johnnn509
  • •♥•
  • Nhok Sam
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • TN
  • cụ nhỏ
  • hoangcongphuc771991
  • Update
  • zzz02042001
  • w
  • Mãi là vk đáng ju của ck
  • egaehaneya
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • Bon Bon
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • BB
  • NiuNiu
  • thanhnga759
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • ChoaN
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • ttmoshpcy2001
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • math
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • linhshaldy
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • phicong98lbls
  • khanhly252001