CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC BẰNG VECTOR


Trong chuyên đề này, ta sẽ đề cập đến các phương pháp giải toán cực trị hình học bằng vector:
1.    Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
2.    Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng
3.    Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector
Cách áp dụng cụ thể sẽ được nói trong từng phương pháp.

Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
Ví dụ 1.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN:
                        $T = |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC|} $
Giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì: $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 $
                          
Khi đó : $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) - (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                        $ = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} $
                                        $ = \overrightarrow {MI} $
Như vậy T lớn nhất $ \Leftrightarrow $$|\overrightarrow {MI} |$ lớn nhất $ \Leftrightarrow $MI lớn nhất $ \Leftrightarrow $M $ \equiv $ ${M_1}$ với ${M_1}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O), ${M_1}$ nằm ngoài đoạn OI..
Tương tự T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$M \equiv {M_2}$ với ${M_2}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O) , ${M_2}$ thuộc đoạn OI.

Ví dụ 1.2:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số$\alpha ,\beta ,\gamma $ sao cho $\alpha  + \beta  + \gamma  \ne 0$. Tìm điểm M thuộc (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN
                               $T = |\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC} |$
Giải:
Gọi I là tâm tỷ cự của hệ điểm A, B, C ứng với các hệ số $\alpha ,\beta ,\gamma $
$\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC}  = \alpha (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + \beta (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) + \gamma (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI}  + \alpha \overrightarrow {IA}  + \beta \overrightarrow {IB}  + \gamma \overrightarrow {IC} $
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI} $
Do đó $T = |(\alpha  + \beta  + \gamma )|.MI$.
Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là giao của OI với đường tròn (O) trong đó $I{M_1} \geqslant I{M_2}$ thì :
 T lớn nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_1}$
 T nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_2}$

Ví dụ 1.3:
Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt A, B cố định sao cho đường thẳng AB không cắt (O). Tên đường tròn đó lấy điểm C và dựng điểm M thỏa điều kiện $\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} $. Tìm vị trí của điểm C để đoạn CM có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải :
Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và $\overrightarrow {CM}  = 2\overrightarrow {CI} $.
Gọi ${C_1},{C_2}$ là giao của OI với đường tròn (O) và coi $I{C_1} \geqslant I{C_2}$.
                  
Với C bất kì thuộc (O) ta có:
$IC + CO \geqslant IO = O{C_1} + O{C_2}$
Do đó $IC \geqslant I{C_2}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
Mặt khác $IC \leqslant IO + OC = IO + O{C_1} = I{C_1}$
Do đó $IC \leqslant I{C_1}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$
 Vậy CM lớn nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
         CM nhỏ nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$

Ví dụ 1.4:
Giả sử tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G’ cố định. Tìn GTNN của tổng:
                   $T = AA' + BB' + CC'$
Giải:
Vì $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 $ nên
$\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A}  + \\ \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} $
                           $ = 3\overrightarrow {GG'}  - (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} )$
                           $ = 3\overrightarrow {GG'} $
Do đó:
$AA' + BB' + CC' = |\overrightarrow {AA'} | + |\overrightarrow {BB'} | + |\overrightarrow {CC'} |$
                              $ \geqslant |\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} |$
                               $ = 3|\overrightarrow {GG'} | = 3GG'$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vector $\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} $ cùng hướng
Vậy min$AA' + BB' + CC'$= 3GG’
Nhận xét: từ khái niệm trọng tâm của đoạn thẳng và tứ giác ta cũng có:
Min ( AA’+BB’) = 2GG’
Min ( AA’+BB’+CC’+DD’) = 4 GG’

Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng:
Ví dụ 2.1:

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qua C. Trên d lấy điểm M và lập tổng $3M{A^2} + 2M{B^2}$. Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:

Giả sử I là điểm sao cho $3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 $ thì I là điểm cố định .
                   
Ta có $3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}$
                                    $ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}$
Do đó $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$MI \bot d$, điều này tương đương $\widehat {IMC} = {90^0}$, tức là M thuộc đường tròng (C) đường kính IC.
Vậy $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d với đường tròn đường kính IC

Ví dụ 2.2:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tìm tam giác có tổng         T = ${a^2} + {b^2} + {c^2}$ lớn nhất.
Giải:
Ta có:
                       $T = B{C^2} + C{A^2} + A{B^2}$
                          $ = (\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} ) + (\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} )$
                          $ = 6{R^2} - 2(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OA} )$
                          $ = 9{R^2} - {(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )^2} = 9{R^2} - 9O{G^2}$
Suy ra T$ \leqslant 9{R^2}$. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow O \equiv G \Leftrightarrow $ ABC là tam giác đều
Vậy trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn thì tam giác đều thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2.3:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hãy tìm tam giác có tổng bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi ${d_a},{d_b},{d_c}$ lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn đến ba cạnh BC, CA, AB của tam giác.
                              
Ta có:
${d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = ({R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{b^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{c^2}}}{4})$
                                  $ = 3{R^2} - \frac{1}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
                                  $ \geqslant 3{R^2} - \frac{1}{4}.9{R^2} = \frac{{3{R^2}}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Vậy min $({d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2) = \frac{{3{R^2}}}{4}$ khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 2.4:
Cho điểm M nằm trong mặt phằng tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
Giải :  
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có
            $T = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2}$
               $ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} )$
               $ = 3M{G^2} + \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
               $ \geqslant \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
Đẳng thức xảy ra khi và chì khi M trùng G
Vậy min T = $\frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$ khi và chỉ khi M trùng G.

Phương pháp 3: Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector:
Ví dụ 3.1:

Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất.
Giải:
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) ta có:
                          
$T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
     $ = {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} )^2}$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} (\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OH} $ ( với H là trực tâm của tam giác)
     $ = 6{R^2} + 2R.OH.\cos \alpha (\alpha  = (\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {OH} ))$
Từ đó suy ra
T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  =  - 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {OH} $
T lớn nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {OH} $

Ví dụ 3.2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi  là góc $\alpha $ giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cos$\alpha $
Giải:
Ta có
 $\cos \alpha  = |\frac{{\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} }}{{BD.CK}}|$
             $ = \frac{{|(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} ).(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} )|}}{{4.BD.CK}}$
             $ = \frac{{|\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC} (\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA} ) - {{\overrightarrow {BC} }^2}|}}{{4.BD.CK}}$                
             $ = \frac{{B{C^2}}}{{2.BD.CK}}(doBA \bot CA)$
Mặt khác:
$2.BD.CK \leqslant B{D^2} + C{K^2} = \frac{1}{4}(2.A{B^2} + 2.B{C^2} - A{C^2}) + \frac{1}{4}(2A{C^2} + 2B{C^2} - A{B^2})$
                     $ = \frac{{5B{C^2}}}{4}$ ( do $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$)
Do đó   $\cos \alpha  \geqslant \frac{{B{C^2}}}{{\frac{{5B{C^2}}}{4}}} = \frac{4}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD = CK khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A
Vậy $\min \cos \alpha  = \frac{4}{5}$

Ví dụ 3.3:
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
                      $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC$
 Giải:
Ta có:
 $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $ \geqslant 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2.\cos \frac{A}{2} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} ).\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC$
Do đó ta có:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC(1)$
Mặt khác lại có:
${(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}})^2} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{A{C^2}}} + 2.\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}}.\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
                       $ = 1 + 1 + 2\cos A = 2(1 + \cos A) = 4{\cos ^2}\frac{A}{2}$
Suy ra: $|\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}| = 2|\cos \frac{A}{2}|$
Do đó :
$2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) = 2.MA\left[ {\cos \frac{A}{2}} \right. + |\cos \frac{A}{2}|\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u )] \geqslant 0(2)$
                                                                      (với $\overrightarrow u  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$)
Vì vậy:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant AB + AC$
 Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow {MB}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AB} $  và  $\overrightarrow {MC}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AC} $     
$ \Leftrightarrow M \equiv A$ (thỏa mãn (2))
Vậy Min T= AB+AC khi và chì khi M trùng A

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:

Cho$\Delta ABC$ có $\hat A = {60^0}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \sqrt 3 MA + MB + MC$.
Hướng dẫn:
$T = \sqrt 3 MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $\begin{array}
   \geqslant \sqrt 3 MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AB} }} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {AC} }}  \\
   = 2\cos \frac{A}{2}MA + \overrightarrow {MA} .\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right) + AB + AC.  \\
\end{array} $    
Bình phương tổng $\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right)$ ta có $\left| {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right| = 2\left| {\cos \frac{A}{2}} \right|$ suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2:
Cho$\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
                                                    $T = \frac{{IA.IB.IC}}{{aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2}}}$.     
Hướng dẫn:
Bình phương vô hướng ${\left( {a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC} } \right)^2} = 0$ suy ra $aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2} = abc$.
Max T = $\frac{{\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ đều.                 

Bài 31:
Cho $\widehat {xOy}$ = $\alpha $ và một độ dài a. Trên hai cạnh Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B sao cho OA + OB = a. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn AB.
Hướng dẫn:
 $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow A{B^2} = O{B^2} + O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} $
              $\begin{array}
   = {\left( {OA + OB} \right)^2} - 2OA.OB - 2OA.OB.\cos \alpha   \\
   = {a^2} - 2OA.OB\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   \geqslant {a^2} - 2.{\left( {\frac{{OA + OB}}{2}} \right)^2}.\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra OA = OB = $\frac{a}{2}$.
Vậy min AB = $\frac{a}{2}\sqrt {2 - 2\cos \alpha } $.

Bài 3:
Từ điểm I trên cạnh BC của$\Delta ABC$ dựng $IN//AB$, $IM//AC$. Xác định vị trí điểm I sao cho MN có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn:
Đặt $\frac{{IB}}{{BC}} = x$ thì $\frac{{IC}}{{BC}} = 1 - x\left( {0 < x < 1} \right).$
Ta có $\overrightarrow {AN}  = x\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM}  = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} $ nên $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AC}  - \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} $(ABCD là hình bình hành).
Tìm điểm K trên cạnh AD để $\overrightarrow {AK}  = x\overrightarrow {AD} $ thì $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BK} $.
Vậy MN ngắn nhất$ \Leftrightarrow $ BK ngắn nhất$ \Leftrightarrow $$BK \bot AD$.
Từ đó ta suy ra cách dựng điểm I.

Bài 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, M là điểm tùy ý trên cạnh CD. Gọi $P,{P_1},{P_2}$ lần lượt là chu vi các tam giác AMB, ACB, ADB. Cmr: $P < \max \left\{ {{P_1},} \right.\left. {{P_2}} \right\}$.
Hướng dẫn:
M thuộc cạnh CD nên $\overrightarrow {AM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $
            $\overrightarrow {BM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {BC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {BD} $
Do đó $AM = \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| < \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} } \right| + \left| {\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{MD}}{{CD}}.AC + \frac{{MC}}{{CD}}.AD$(Dấu “=” không xảy ra vì $\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} ,\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $ không cùng phương).
Tương tự với BM.
Suy ra $AM + BM < \frac{{MD}}{{CD}}\left( {AC + BC} \right) + \frac{{MC}}{{CD}}\left( {AD + BD} \right)$
        $ \leqslant \left( {\frac{{MD}}{{CD}} + \frac{{MC}}{{CD}}} \right).\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\}.} \right.$
Như vậy AM + BM < $\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\},} \right.$suy ra
AM + BM + AB < $\max \left\{ {AC + BC + AB,AD + \left. {BD + AB} \right\}} \right.$(đpcm)

Bài 5:
Cho M là một điểm thuộc miền trong$\Delta ABC$. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
$\begin{array}
  {\left( {aMH + bMI + cMK} \right)^2} \leqslant \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}} \right)  \\
   \Rightarrow M{H^2} + M{I^2} + M{K^2} \geqslant \frac{{4{S^2}_{ABC}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{MH}}{a} = \frac{{MI}}{b} = \frac{{MK}}{c}$
         $ \Leftrightarrow \frac{{{S_{MBC}}}}{{{a^2}}} = \frac{{{S_{MCA}}}}{{{b^2}}} = \frac{{{S_{MAB}}}}{{{c^2}}}$    
                  $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = 0$
         $ \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$.    

Bài 6:
Cho$\Delta ABC$ và một điểm M tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của tồng
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}$.
Hướng dẫn:
Ta có ${a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$ nên
${a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + 2{a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + 2{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + 2{a^2}{c^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$
Chú ý: $2\overrightarrow {MX} .\overrightarrow {MY}  = M{X^2} + M{Y^2} - X{Y^2},\forall X,Y$ta có:
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \geqslant \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$

Thẻ

Lượt xem

10554
Chat chit và chém gió
  • Tiểu Hi: mk thích thì mk cười thôi 2/20/2017 5:28:45 AM
  • •♥• Hate You •♥•: cj Hi laughing ns hay 2/20/2017 5:28:58 AM
  • Tiểu Hi: cảm ơn em 2/20/2017 5:29:23 AM
  • Bất Cần Đời: thế thì a quỳ r 2/20/2017 5:29:24 AM
  • Tiểu Hi: mà em tên gì ấy nhỉ 2/20/2017 5:29:28 AM
  • Bất Cần Đời: lmaf gái tên j nhè 2/20/2017 5:29:31 AM
  • •♥• Hate You •♥•: e tên Thảo ạg 2/20/2017 5:29:43 AM
  • Tiểu Hi: ừ e 2/20/2017 5:30:10 AM
  • Bất Cần Đời: còn gái tên j 2/20/2017 5:30:27 AM
  • •♥• Hate You •♥•: laughing 2/20/2017 5:30:49 AM
  • Tiểu Hi: mk tên Chi 2/20/2017 5:30:49 AM
  • Bất Cần Đời: à 2/20/2017 5:31:21 AM
  • Bất Cần Đời: hình như ny mk tên chj e ạ 2/20/2017 5:31:30 AM
  • •♥• Hate You •♥•: laughing hay ha 2/20/2017 5:31:58 AM
  • Bất Cần Đời: hjhjhjhjhh 2/20/2017 5:32:12 AM
  • Bất Cần Đời: ny a tên chj thảo ạ 2/20/2017 5:32:18 AM
  • Bất Cần Đời: laughing 2/20/2017 5:32:22 AM
  • Tiểu Hi: mà hình như ta noci chuyện vs nhau nhiều lần rồi nhỉ 2/20/2017 5:32:34 AM
  • Tiểu Hi: mình tên thảo chi ạ 2/20/2017 5:33:05 AM
  • Bất Cần Đời: đâu hum nay a ms vào đây mà 2/20/2017 5:33:24 AM
  • •♥• Hate You •♥•: r , bt a3 có ny 2/20/2017 5:33:34 AM
  • Bất Cần Đời: nhiều lúc nào hay nhớ nhầm ai r 2/20/2017 5:33:35 AM
  • Bất Cần Đời: lần sau cứ gọi ny a tên thảo chj nha 2/20/2017 5:33:52 AM
  • Bất Cần Đời: rolling_on_the_floor 2/20/2017 5:33:58 AM
  • •♥• Hate You •♥•: rolling_on_the_floor 2/20/2017 5:34:06 AM
  • Tiểu Hi: rolling_on_the_floor 2/20/2017 5:34:06 AM
  • •♥• Hate You •♥•: nằm mơ e cx k gọi 2/20/2017 5:34:14 AM
  • Nhok Sam: xl nha lúc nãy e lỡ tắt luôn máy 2/20/2017 5:34:34 AM
  • Bất Cần Đời: e bênh ai đay 2/20/2017 5:34:39 AM
  • •♥• Hate You •♥•: k s cj3 ạg 2/20/2017 5:34:42 AM
  • •♥• Hate You •♥•: e bênh ai là quyền của e happy2/20/2017 5:34:53 AM
  • Tiểu Hi: chị thích em thảo à 2/20/2017 5:35:01 AM
  • Nhok Sam: nek sao lại đem chuyện of cj ra ns thế 2/20/2017 5:35:17 AM
  • phucpy2k: 2 2/20/2017 5:35:22 AM
  • •♥• Hate You •♥•: có j đâu cj3 2/20/2017 5:35:27 AM
  • Bất Cần Đời: ai ns đâu giang 2/20/2017 5:35:30 AM
  • Tiểu Hi: thôi chờ chị xíu chị có việc ddi 1 tí 2/20/2017 5:35:32 AM
  • •♥• Hate You •♥•: hjhj mơn cj Hi 2/20/2017 5:35:33 AM
  • •♥• Hate You •♥•: ukm 2/20/2017 5:35:39 AM
  • Bất Cần Đời: giang ơi e có đứng về phía a ko 2/20/2017 5:35:44 AM
  • phucpy2k: ... 2/20/2017 5:35:44 AM
  • Bất Cần Đời: thảo a dỗi r đấy 2/20/2017 5:35:52 AM
  • Nhok Sam: e đã đọc đc đâu 2/20/2017 5:35:54 AM
  • Bất Cần Đời: người ngoài còn thân hơn ae 2/20/2017 5:36:00 AM
  • Bất Cần Đời: ko cần đọc e về phía a nha 2/20/2017 5:36:13 AM
  • Nhok Sam: ukm đừng viết j nx để e đọc đã 2/20/2017 5:36:25 AM
  • Tiểu Hi: thảo 2/20/2017 5:36:27 AM
  • Nhok Sam: r ms quyết 2/20/2017 5:36:29 AM
  • •♥• Hate You •♥•: sad a3 dỗi e ? 2/20/2017 5:36:34 AM
  • •♥• Hate You •♥•: dạ cj 2/20/2017 5:36:39 AM
  • cao trí: ai nhớ trí nữa k 2/20/2017 5:36:45 AM
  • Tiểu Hi: chị em mình cùng 1 team nhỉ 2/20/2017 5:36:48 AM
  • •♥• Hate You •♥•: ukm winking 2/20/2017 5:36:58 AM
  • Bất Cần Đời: dỗi ko ns nữa 2/20/2017 5:37:18 AM
  • Tiểu Hi: thôi chờ chị xíu nha 2/20/2017 5:37:18 AM
  • duycnqd113: mấy bạn ở đâu 2/20/2017 5:37:21 AM
  • •♥• Hate You •♥•: ukm 2/20/2017 5:37:22 AM
  • Bất Cần Đời: dận ny luôn cả e gái 2/20/2017 5:37:23 AM
  • Bất Cần Đời: laughing 2/20/2017 5:37:27 AM
  • •♥• Hate You •♥•: tự hỏi , e gái có làm j sai đâu 2/20/2017 5:37:41 AM
  • •♥• Hate You •♥•: mà a3 giận 2/20/2017 5:37:49 AM
  • Bất Cần Đời: e gái pải đúng về phía a chứ 2/20/2017 5:38:21 AM
  • Nhok Sam: nek e ko đọc đc 2/20/2017 5:38:26 AM
  • Bất Cần Đời: s lị đứng về phía ny a hả 2/20/2017 5:38:29 AM
  • Bất Cần Đời: e cứ về phía a là đc 2/20/2017 5:38:36 AM
  • Bất Cần Đời: gọi ny là thảo chj 2/20/2017 5:38:45 AM
  • Nhok Sam: a2 có ny hả 2/20/2017 5:38:50 AM
  • Nhok Sam: ai z 2/20/2017 5:38:52 AM
  • •♥• Hate You •♥•: cj3 à 2/20/2017 5:38:55 AM
  • Nhok Sam: ns cho e nghe vs 2/20/2017 5:39:01 AM
  • Nhok Sam: sao e 2/20/2017 5:39:06 AM
  • •♥• Hate You •♥•: ny a2 của cj ở tương lai 2/20/2017 5:39:14 AM
  • •♥• Hate You •♥•: chứ cj Chi e hông có thik a3 laughing 2/20/2017 5:39:24 AM
  • •♥• Hate You •♥•: nên mắc mơ chi e về phe a 2/20/2017 5:39:35 AM
  • Nhok Sam: ủa z là sao 2/20/2017 5:39:41 AM
  • Nhok Sam: là a2 yêu đơn phương hả 2/20/2017 5:39:52 AM
  • •♥• Hate You •♥•: thôi , ng` đến sau k hiểu chuyện đâu ạ 2/20/2017 5:39:54 AM
  • •♥• Hate You •♥•: ukm hiểu r đó 2/20/2017 5:40:00 AM
  • Nhok Sam: là z à 2/20/2017 5:40:14 AM
  • Nhok Sam: úi a2 tội quá 2/20/2017 5:40:23 AM
  • •♥• Hate You •♥•: nừa 2/20/2017 5:40:24 AM
  • Nhok Sam: laughing 2/20/2017 5:40:33 AM
  • •♥• Hate You •♥•: đúng nhỉ a3 winking 2/20/2017 5:40:33 AM
  • dumplindumplin_: ủa các bạn ko học bài hả? sao onl nói chuyện suốt vậy? 2/20/2017 5:41:02 AM
  • Nhok Sam: r đọc xong r 2/20/2017 5:42:00 AM
  • phucpy2k: chỗ này chắc chém gió thôi @@ 2/20/2017 5:42:03 AM
  • Nhok Sam: a2 nhận vơ quá 2/20/2017 5:42:07 AM
  • •♥• Hate You •♥•: vơ va vơ vẩn vẫn vành vơ ( thơ tha thơ thẩn vẫn thành thơ ) 2/20/2017 5:42:58 AM
  • •♥• Hate You •♥•: laughing 2/20/2017 5:43:26 AM
  • dumplindumplin_: học bài đi các chế @@ tin nhắn cứ nhảy hoài tui ko tập trung đc 2/20/2017 5:43:38 AM
  • Nhok Sam: lại làm thơ 2/20/2017 5:43:42 AM
  • Bất Cần Đời: a chêu thui mà 2/20/2017 5:44:17 AM
  • •♥• Hate You •♥•: tắt trag chat đi sẽ k để ý nx 2/20/2017 5:44:21 AM
  • Bất Cần Đời: chứ tưởng lm ny a mà dễ à 2/20/2017 5:44:28 AM
  • •♥• Hate You •♥•: tự đại quá a3 2/20/2017 5:44:37 AM
  • Nhok Sam: nhớ a cx ns vs e z ko 2/20/2017 5:44:38 AM
  • •♥• Hate You •♥•: confused 2/20/2017 5:45:17 AM
  • Nhok Sam: này a2 2/20/2017 5:45:18 AM
  • •♥• Hate You •♥•: xấu hổ , trốn r 2/20/2017 5:45:28 AM
  • Nhok Sam: lại chờ.......... 2/20/2017 5:45:38 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo Dễ thương
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh Princess ^^
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Efforts
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • ¸.•♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•.¸
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • ¸.•´¯)© Gái'ss Lùn'ss ©.•´¯)
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • HMU-HY-18
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • ۞♠ξ__Judal__ζ♣۞
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • TNNNDK
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜAnubis๖ۣ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • phucanhthien
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • 123
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • johnnn509
  • •♥•
  • Nhok Sam
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • TN
  • cụ nhỏ
  • Update
  • w
  • Mãi là vk đáng ju của ck
  • egaehaneya
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Karry Angel ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • ntva
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • Bon Bon
  • bac1024578
  • sylik284
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • BB
  • thanhnga759
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • ChoaN
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • •♥• Hate You •♥•
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • phanngocngoc12345
  • Can't Solve
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • math
  • tarrasqueaohk
  • duycnqd113
  • dumplindumplin_