CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC BẰNG VECTOR


Trong chuyên đề này, ta sẽ đề cập đến các phương pháp giải toán cực trị hình học bằng vector:
1.    Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
2.    Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng
3.    Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector
Cách áp dụng cụ thể sẽ được nói trong từng phương pháp.

Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
Ví dụ 1.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN:
                        $T = |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC|} $
Giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì: $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 $
                          
Khi đó : $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) - (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                        $ = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} $
                                        $ = \overrightarrow {MI} $
Như vậy T lớn nhất $ \Leftrightarrow $$|\overrightarrow {MI} |$ lớn nhất $ \Leftrightarrow $MI lớn nhất $ \Leftrightarrow $M $ \equiv $ ${M_1}$ với ${M_1}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O), ${M_1}$ nằm ngoài đoạn OI..
Tương tự T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$M \equiv {M_2}$ với ${M_2}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O) , ${M_2}$ thuộc đoạn OI.

Ví dụ 1.2:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số$\alpha ,\beta ,\gamma $ sao cho $\alpha  + \beta  + \gamma  \ne 0$. Tìm điểm M thuộc (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN
                               $T = |\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC} |$
Giải:
Gọi I là tâm tỷ cự của hệ điểm A, B, C ứng với các hệ số $\alpha ,\beta ,\gamma $
$\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC}  = \alpha (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + \beta (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) + \gamma (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI}  + \alpha \overrightarrow {IA}  + \beta \overrightarrow {IB}  + \gamma \overrightarrow {IC} $
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI} $
Do đó $T = |(\alpha  + \beta  + \gamma )|.MI$.
Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là giao của OI với đường tròn (O) trong đó $I{M_1} \geqslant I{M_2}$ thì :
 T lớn nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_1}$
 T nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_2}$

Ví dụ 1.3:
Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt A, B cố định sao cho đường thẳng AB không cắt (O). Tên đường tròn đó lấy điểm C và dựng điểm M thỏa điều kiện $\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} $. Tìm vị trí của điểm C để đoạn CM có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải :
Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và $\overrightarrow {CM}  = 2\overrightarrow {CI} $.
Gọi ${C_1},{C_2}$ là giao của OI với đường tròn (O) và coi $I{C_1} \geqslant I{C_2}$.
                  
Với C bất kì thuộc (O) ta có:
$IC + CO \geqslant IO = O{C_1} + O{C_2}$
Do đó $IC \geqslant I{C_2}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
Mặt khác $IC \leqslant IO + OC = IO + O{C_1} = I{C_1}$
Do đó $IC \leqslant I{C_1}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$
 Vậy CM lớn nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
         CM nhỏ nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$

Ví dụ 1.4:
Giả sử tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G’ cố định. Tìn GTNN của tổng:
                   $T = AA' + BB' + CC'$
Giải:
Vì $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 $ nên
$\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A}  + \\ \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} $
                           $ = 3\overrightarrow {GG'}  - (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} )$
                           $ = 3\overrightarrow {GG'} $
Do đó:
$AA' + BB' + CC' = |\overrightarrow {AA'} | + |\overrightarrow {BB'} | + |\overrightarrow {CC'} |$
                              $ \geqslant |\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} |$
                               $ = 3|\overrightarrow {GG'} | = 3GG'$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vector $\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} $ cùng hướng
Vậy min$AA' + BB' + CC'$= 3GG’
Nhận xét: từ khái niệm trọng tâm của đoạn thẳng và tứ giác ta cũng có:
Min ( AA’+BB’) = 2GG’
Min ( AA’+BB’+CC’+DD’) = 4 GG’

Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng:
Ví dụ 2.1:

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qua C. Trên d lấy điểm M và lập tổng $3M{A^2} + 2M{B^2}$. Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:

Giả sử I là điểm sao cho $3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 $ thì I là điểm cố định .
                   
Ta có $3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}$
                                    $ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}$
Do đó $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$MI \bot d$, điều này tương đương $\widehat {IMC} = {90^0}$, tức là M thuộc đường tròng (C) đường kính IC.
Vậy $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d với đường tròn đường kính IC

Ví dụ 2.2:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tìm tam giác có tổng         T = ${a^2} + {b^2} + {c^2}$ lớn nhất.
Giải:
Ta có:
                       $T = B{C^2} + C{A^2} + A{B^2}$
                          $ = (\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} ) + (\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} )$
                          $ = 6{R^2} - 2(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OA} )$
                          $ = 9{R^2} - {(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )^2} = 9{R^2} - 9O{G^2}$
Suy ra T$ \leqslant 9{R^2}$. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow O \equiv G \Leftrightarrow $ ABC là tam giác đều
Vậy trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn thì tam giác đều thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2.3:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hãy tìm tam giác có tổng bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi ${d_a},{d_b},{d_c}$ lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn đến ba cạnh BC, CA, AB của tam giác.
                              
Ta có:
${d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = ({R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{b^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{c^2}}}{4})$
                                  $ = 3{R^2} - \frac{1}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
                                  $ \geqslant 3{R^2} - \frac{1}{4}.9{R^2} = \frac{{3{R^2}}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Vậy min $({d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2) = \frac{{3{R^2}}}{4}$ khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 2.4:
Cho điểm M nằm trong mặt phằng tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
Giải :  
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có
            $T = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2}$
               $ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} )$
               $ = 3M{G^2} + \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
               $ \geqslant \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
Đẳng thức xảy ra khi và chì khi M trùng G
Vậy min T = $\frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$ khi và chỉ khi M trùng G.

Phương pháp 3: Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector:
Ví dụ 3.1:

Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất.
Giải:
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) ta có:
                          
$T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
     $ = {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} )^2}$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} (\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OH} $ ( với H là trực tâm của tam giác)
     $ = 6{R^2} + 2R.OH.\cos \alpha (\alpha  = (\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {OH} ))$
Từ đó suy ra
T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  =  - 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {OH} $
T lớn nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {OH} $

Ví dụ 3.2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi  là góc $\alpha $ giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cos$\alpha $
Giải:
Ta có
 $\cos \alpha  = |\frac{{\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} }}{{BD.CK}}|$
             $ = \frac{{|(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} ).(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} )|}}{{4.BD.CK}}$
             $ = \frac{{|\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC} (\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA} ) - {{\overrightarrow {BC} }^2}|}}{{4.BD.CK}}$                
             $ = \frac{{B{C^2}}}{{2.BD.CK}}(doBA \bot CA)$
Mặt khác:
$2.BD.CK \leqslant B{D^2} + C{K^2} = \frac{1}{4}(2.A{B^2} + 2.B{C^2} - A{C^2}) + \frac{1}{4}(2A{C^2} + 2B{C^2} - A{B^2})$
                     $ = \frac{{5B{C^2}}}{4}$ ( do $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$)
Do đó   $\cos \alpha  \geqslant \frac{{B{C^2}}}{{\frac{{5B{C^2}}}{4}}} = \frac{4}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD = CK khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A
Vậy $\min \cos \alpha  = \frac{4}{5}$

Ví dụ 3.3:
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
                      $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC$
 Giải:
Ta có:
 $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $ \geqslant 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2.\cos \frac{A}{2} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} ).\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC$
Do đó ta có:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC(1)$
Mặt khác lại có:
${(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}})^2} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{A{C^2}}} + 2.\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}}.\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
                       $ = 1 + 1 + 2\cos A = 2(1 + \cos A) = 4{\cos ^2}\frac{A}{2}$
Suy ra: $|\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}| = 2|\cos \frac{A}{2}|$
Do đó :
$2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) = 2.MA\left[ {\cos \frac{A}{2}} \right. + |\cos \frac{A}{2}|\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u )] \geqslant 0(2)$
                                                                      (với $\overrightarrow u  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$)
Vì vậy:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant AB + AC$
 Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow {MB}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AB} $  và  $\overrightarrow {MC}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AC} $     
$ \Leftrightarrow M \equiv A$ (thỏa mãn (2))
Vậy Min T= AB+AC khi và chì khi M trùng A

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:

Cho$\Delta ABC$ có $\hat A = {60^0}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \sqrt 3 MA + MB + MC$.
Hướng dẫn:
$T = \sqrt 3 MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $\begin{array}
   \geqslant \sqrt 3 MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AB} }} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {AC} }}  \\
   = 2\cos \frac{A}{2}MA + \overrightarrow {MA} .\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right) + AB + AC.  \\
\end{array} $    
Bình phương tổng $\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right)$ ta có $\left| {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right| = 2\left| {\cos \frac{A}{2}} \right|$ suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2:
Cho$\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
                                                    $T = \frac{{IA.IB.IC}}{{aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2}}}$.     
Hướng dẫn:
Bình phương vô hướng ${\left( {a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC} } \right)^2} = 0$ suy ra $aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2} = abc$.
Max T = $\frac{{\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ đều.                 

Bài 31:
Cho $\widehat {xOy}$ = $\alpha $ và một độ dài a. Trên hai cạnh Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B sao cho OA + OB = a. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn AB.
Hướng dẫn:
 $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow A{B^2} = O{B^2} + O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} $
              $\begin{array}
   = {\left( {OA + OB} \right)^2} - 2OA.OB - 2OA.OB.\cos \alpha   \\
   = {a^2} - 2OA.OB\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   \geqslant {a^2} - 2.{\left( {\frac{{OA + OB}}{2}} \right)^2}.\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra OA = OB = $\frac{a}{2}$.
Vậy min AB = $\frac{a}{2}\sqrt {2 - 2\cos \alpha } $.

Bài 3:
Từ điểm I trên cạnh BC của$\Delta ABC$ dựng $IN//AB$, $IM//AC$. Xác định vị trí điểm I sao cho MN có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn:
Đặt $\frac{{IB}}{{BC}} = x$ thì $\frac{{IC}}{{BC}} = 1 - x\left( {0 < x < 1} \right).$
Ta có $\overrightarrow {AN}  = x\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM}  = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} $ nên $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AC}  - \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} $(ABCD là hình bình hành).
Tìm điểm K trên cạnh AD để $\overrightarrow {AK}  = x\overrightarrow {AD} $ thì $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BK} $.
Vậy MN ngắn nhất$ \Leftrightarrow $ BK ngắn nhất$ \Leftrightarrow $$BK \bot AD$.
Từ đó ta suy ra cách dựng điểm I.

Bài 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, M là điểm tùy ý trên cạnh CD. Gọi $P,{P_1},{P_2}$ lần lượt là chu vi các tam giác AMB, ACB, ADB. Cmr: $P < \max \left\{ {{P_1},} \right.\left. {{P_2}} \right\}$.
Hướng dẫn:
M thuộc cạnh CD nên $\overrightarrow {AM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $
            $\overrightarrow {BM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {BC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {BD} $
Do đó $AM = \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| < \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} } \right| + \left| {\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{MD}}{{CD}}.AC + \frac{{MC}}{{CD}}.AD$(Dấu “=” không xảy ra vì $\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} ,\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $ không cùng phương).
Tương tự với BM.
Suy ra $AM + BM < \frac{{MD}}{{CD}}\left( {AC + BC} \right) + \frac{{MC}}{{CD}}\left( {AD + BD} \right)$
        $ \leqslant \left( {\frac{{MD}}{{CD}} + \frac{{MC}}{{CD}}} \right).\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\}.} \right.$
Như vậy AM + BM < $\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\},} \right.$suy ra
AM + BM + AB < $\max \left\{ {AC + BC + AB,AD + \left. {BD + AB} \right\}} \right.$(đpcm)

Bài 5:
Cho M là một điểm thuộc miền trong$\Delta ABC$. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
$\begin{array}
  {\left( {aMH + bMI + cMK} \right)^2} \leqslant \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}} \right)  \\
   \Rightarrow M{H^2} + M{I^2} + M{K^2} \geqslant \frac{{4{S^2}_{ABC}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{MH}}{a} = \frac{{MI}}{b} = \frac{{MK}}{c}$
         $ \Leftrightarrow \frac{{{S_{MBC}}}}{{{a^2}}} = \frac{{{S_{MCA}}}}{{{b^2}}} = \frac{{{S_{MAB}}}}{{{c^2}}}$    
                  $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = 0$
         $ \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$.    

Bài 6:
Cho$\Delta ABC$ và một điểm M tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của tồng
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}$.
Hướng dẫn:
Ta có ${a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$ nên
${a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + 2{a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + 2{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + 2{a^2}{c^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$
Chú ý: $2\overrightarrow {MX} .\overrightarrow {MY}  = M{X^2} + M{Y^2} - X{Y^2},\forall X,Y$ta có:
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \geqslant \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$

Thẻ

Lượt xem

12797
Chat chit và chém gió
  • Ruande Zôn: mơ ai 11/22/2017 8:24:01 AM
  • Roshia: Ai 11/22/2017 8:24:01 AM
  • Roshia: Lan 11/22/2017 8:24:06 AM
  • Ruande Zôn: Lan 11/22/2017 8:24:10 AM
  • Ruande Zôn: nói sai 11/22/2017 8:24:14 AM
  • Tiểu Hy: dạI_dont_want_to_see 11/22/2017 8:24:18 AM
  • Ruande Zôn: thì từ nay a vs e 11/22/2017 8:24:19 AM
  • Ruande Zôn: coi như... 11/22/2017 8:24:23 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:24:26 AM
  • Roshia: Cắt đứt vk ck nếu ns sai 11/22/2017 8:24:33 AM
  • Tiểu Hy: crying 11/22/2017 8:24:52 AM
  • Tiểu Hy: ai cx mơ mà 11/22/2017 8:24:58 AM
  • Ruande Zôn: Lan, suy nghĩ kĩ đ e 11/22/2017 8:24:59 AM
  • Roshia: Ca ck hiền lắm e 11/22/2017 8:25:00 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:25:02 AM
  • Ruande Zôn: ak dk 11/22/2017 8:25:04 AM
  • Ruande Zôn: câu đó dk nè 11/22/2017 8:25:07 AM
  • Ruande Zôn: ai cũng mơ 11/22/2017 8:25:11 AM
  • Ruande Zôn: blushing 11/22/2017 8:25:17 AM
  • Tiểu Hy: big_grin 11/22/2017 8:25:19 AM
  • Roshia: K đc 11/22/2017 8:25:20 AM
  • Tiểu Hy: nhưng mơ ck e nhiều hơn 11/22/2017 8:25:27 AM
  • Roshia: Z k đc 11/22/2017 8:25:27 AM
  • Tiểu Hy: happy 11/22/2017 8:25:30 AM
  • Roshia: Yeah 11/22/2017 8:25:33 AM
  • Tiểu Hy: nha nha ck 11/22/2017 8:25:35 AM
  • Roshia: blushing 11/22/2017 8:25:39 AM
  • Ruande Zôn: @@ 11/22/2017 8:25:43 AM
  • Roshia: tongue 11/22/2017 8:25:45 AM
  • Ruande Zôn: =/= 11/22/2017 8:25:47 AM
  • Roshia: Pp 11/22/2017 8:26:02 AM
  • Tiểu Hy: pp ck 11/22/2017 8:26:06 AM
  • Roshia: Yep 11/22/2017 8:26:09 AM
  • Ruande Zôn: ^^ 11/22/2017 8:26:22 AM
  • Roshia: E mag ns Xấu ck z liệu đấy 11/22/2017 8:26:24 AM
  • Tiểu Hy: aK 11/22/2017 8:26:24 AM
  • Roshia: happy 11/22/2017 8:26:28 AM
  • Tiểu Hy: chết 11/22/2017 8:26:28 AM
  • Tiểu Hy: chưa đi hả?/ 11/22/2017 8:26:32 AM
  • Ruande Zôn: @@ 11/22/2017 8:26:34 AM
  • Ruande Zôn: chưa 11/22/2017 8:26:36 AM
  • Tiểu Hy: e nói ck e 11/22/2017 8:26:42 AM
  • Ruande Zôn: @@ 11/22/2017 8:26:48 AM
  • Tiểu Hy: thôi, mai nch, e ngủ đây 11/22/2017 8:27:18 AM
  • Tiểu Hy: lát mơ a 11/22/2017 8:27:24 AM
  • Roshia: @@ 11/22/2017 8:27:31 AM
  • Roshia: Giỏi 11/22/2017 8:27:35 AM
  • Ruande Zôn: uk 11/22/2017 8:27:36 AM
  • Tiểu Hy: broken_heart 11/22/2017 8:27:39 AM
  • Ruande Zôn: ngoan ghê 11/22/2017 8:27:40 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:27:43 AM
  • Tiểu Hy: từ đâu ra đấy 11/22/2017 8:27:44 AM
  • Roshia: Hay lắm 11/22/2017 8:27:44 AM
  • Tiểu Hy: ơ 11/22/2017 8:27:47 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:27:48 AM
  • Ruande Zôn: vk phản bội ck 11/22/2017 8:27:53 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:27:55 AM
  • Ruande Zôn: theo boy 11/22/2017 8:27:58 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:28:00 AM
  • Roshia: Vừa qua nhìn thấy lun@@ 11/22/2017 8:28:10 AM
  • Roshia: broken_heart 11/22/2017 8:28:14 AM
  • Tiểu Hy: crying 11/22/2017 8:28:15 AM
  • Tiểu Hy: ck fai hiểu cho vk 11/22/2017 8:28:21 AM
  • Roshia: Giỏi lắm 11/22/2017 8:28:21 AM
  • Tiểu Hy: hôm trước là ai ko nghe đt, lo nch vs trai cơ 11/22/2017 8:28:44 AM
  • Roshia: Ck ns là ca ck ghi .... điền vô là coi như k có chuyện j 11/22/2017 8:28:58 AM
  • Roshia: Trong khi ck ns cắt đứt vk ck z mag 11/22/2017 8:29:21 AM
  • Roshia: .... 11/22/2017 8:29:24 AM
  • Roshia: Hazzz 11/22/2017 8:29:32 AM
  • Tiểu Hy: haixxx 11/22/2017 8:29:33 AM
  • Ruande Zôn: em mơ a tối nay là ấm lắm 11/22/2017 8:29:37 AM
  • Ruande Zôn: laughing 11/22/2017 8:29:39 AM
  • Roshia: Hay lắm 11/22/2017 8:29:45 AM
  • Tiểu Hy: laughing 11/22/2017 8:29:46 AM
  • Tiểu Hy: thôi, ck ngủ đi 11/22/2017 8:29:55 AM
  • Ruande Zôn: blushing 11/22/2017 8:29:58 AM
  • Roshia: Ca giỏi lắm 11/22/2017 8:29:58 AM
  • Tiểu Hy: vk ngủ đây 11/22/2017 8:29:58 AM
  • Tiểu Hy: mệt quá 11/22/2017 8:30:01 AM
  • Ruande Zôn: tongue 11/22/2017 8:30:06 AM
  • Roshia: 2 ng đợi đấy 11/22/2017 8:30:11 AM
  • Ruande Zôn: ngủ đi 11/22/2017 8:30:11 AM
  • Ruande Zôn: big_grin 11/22/2017 8:30:15 AM
  • Tiểu Hy: ơ 11/22/2017 8:30:16 AM
  • Tiểu Hy: vk vs a K ko có j nha 11/22/2017 8:30:25 AM
  • Roshia: Bỏ đi 11/22/2017 8:30:27 AM
  • Roshia: K nch nữa 11/22/2017 8:30:31 AM
  • Tiểu Hy: đưg nghĩ sai 11/22/2017 8:30:31 AM
  • Roshia: K chs vs 2 ng đến khi t hết bực 11/22/2017 8:30:48 AM
  • Ruande Zôn: blushing 11/22/2017 8:30:51 AM
  • Roshia: Hừ 11/22/2017 8:30:52 AM
  • Roshia: angry 11/22/2017 8:30:56 AM
  • Ruande Zôn: tongue 11/22/2017 8:30:58 AM
  • Ruande Zôn: @@ 11/22/2017 8:31:00 AM
  • Tiểu Hy: broken_heart 11/22/2017 8:31:03 AM
  • Ruande Zôn: ngôi 11/22/2017 8:31:03 AM
  • Ruande Zôn: ^^ 11/22/2017 8:31:05 AM
  • Tiểu Hy: praying 11/22/2017 8:31:39 AM
  • Ruande Zôn: big_grin 11/22/2017 8:33:07 AM
  • Ruande Zôn: Lan 11/22/2017 8:33:11 AM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • Ruanyu Jian
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • Thìn
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜIceღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • TQT☾♋
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minhˆˆ
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Trình Lộ Phong
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Giang Thần
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • Another
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • Thanh yêu T
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • White
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Lành
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜGemღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Tuyết Linh
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • Kenvil Trần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • ttmoshpcy2001
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • trinh2005
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Cửu Thiên Vũ
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜBlue ๖ۣۜMoon
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • Natsu
  • Băng
  • Gin
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Thị Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • ❦ Mưa ❦
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • Miumiu
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • caccontoi
  • phamdinhnuoi1
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • nguyễn âu thi hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • nguyenquangtuan640
  • blood