CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC BẰNG VECTOR


Trong chuyên đề này, ta sẽ đề cập đến các phương pháp giải toán cực trị hình học bằng vector:
1.    Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
2.    Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng
3.    Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector
Cách áp dụng cụ thể sẽ được nói trong từng phương pháp.

Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vector
Ví dụ 1.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN:
                        $T = |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC|} $
Giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì: $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 $
                          
Khi đó : $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) - (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                        $ = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} $
                                        $ = \overrightarrow {MI} $
Như vậy T lớn nhất $ \Leftrightarrow $$|\overrightarrow {MI} |$ lớn nhất $ \Leftrightarrow $MI lớn nhất $ \Leftrightarrow $M $ \equiv $ ${M_1}$ với ${M_1}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O), ${M_1}$ nằm ngoài đoạn OI..
Tương tự T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$M \equiv {M_2}$ với ${M_2}$ là giao điểm của OI với đường tròn (O) , ${M_2}$ thuộc đoạn OI.

Ví dụ 1.2:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số$\alpha ,\beta ,\gamma $ sao cho $\alpha  + \beta  + \gamma  \ne 0$. Tìm điểm M thuộc (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN
                               $T = |\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC} |$
Giải:
Gọi I là tâm tỷ cự của hệ điểm A, B, C ứng với các hệ số $\alpha ,\beta ,\gamma $
$\alpha \overrightarrow {MA}  + \beta \overrightarrow {MB}  + \gamma \overrightarrow {MC}  = \alpha (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} ) + \beta (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) + \gamma (\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} )$
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI}  + \alpha \overrightarrow {IA}  + \beta \overrightarrow {IB}  + \gamma \overrightarrow {IC} $
                                    $ = (\alpha  + \beta  + \gamma )\overrightarrow {MI} $
Do đó $T = |(\alpha  + \beta  + \gamma )|.MI$.
Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là giao của OI với đường tròn (O) trong đó $I{M_1} \geqslant I{M_2}$ thì :
 T lớn nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_1}$
 T nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng ${M_2}$

Ví dụ 1.3:
Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt A, B cố định sao cho đường thẳng AB không cắt (O). Tên đường tròn đó lấy điểm C và dựng điểm M thỏa điều kiện $\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} $. Tìm vị trí của điểm C để đoạn CM có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải :
Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và $\overrightarrow {CM}  = 2\overrightarrow {CI} $.
Gọi ${C_1},{C_2}$ là giao của OI với đường tròn (O) và coi $I{C_1} \geqslant I{C_2}$.
                  
Với C bất kì thuộc (O) ta có:
$IC + CO \geqslant IO = O{C_1} + O{C_2}$
Do đó $IC \geqslant I{C_2}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
Mặt khác $IC \leqslant IO + OC = IO + O{C_1} = I{C_1}$
Do đó $IC \leqslant I{C_1}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$
 Vậy CM lớn nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_2}$
         CM nhỏ nhất khi và chỉ khi C trùng ${C_1}$

Ví dụ 1.4:
Giả sử tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G’ cố định. Tìn GTNN của tổng:
                   $T = AA' + BB' + CC'$
Giải:
Vì $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 $ nên
$\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A}  + \\ \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} $
                           $ = 3\overrightarrow {GG'}  - (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} )$
                           $ = 3\overrightarrow {GG'} $
Do đó:
$AA' + BB' + CC' = |\overrightarrow {AA'} | + |\overrightarrow {BB'} | + |\overrightarrow {CC'} |$
                              $ \geqslant |\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} |$
                               $ = 3|\overrightarrow {GG'} | = 3GG'$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vector $\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'} $ cùng hướng
Vậy min$AA' + BB' + CC'$= 3GG’
Nhận xét: từ khái niệm trọng tâm của đoạn thẳng và tứ giác ta cũng có:
Min ( AA’+BB’) = 2GG’
Min ( AA’+BB’+CC’+DD’) = 4 GG’

Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng:
Ví dụ 2.1:

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qua C. Trên d lấy điểm M và lập tổng $3M{A^2} + 2M{B^2}$. Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:

Giả sử I là điểm sao cho $3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 $ thì I là điểm cố định .
                   
Ta có $3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}$
                                    $ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}$
Do đó $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất $ \Leftrightarrow $$MI \bot d$, điều này tương đương $\widehat {IMC} = {90^0}$, tức là M thuộc đường tròng (C) đường kính IC.
Vậy $3M{A^2} + 2M{B^2}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d với đường tròn đường kính IC

Ví dụ 2.2:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tìm tam giác có tổng         T = ${a^2} + {b^2} + {c^2}$ lớn nhất.
Giải:
Ta có:
                       $T = B{C^2} + C{A^2} + A{B^2}$
                          $ = (\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} ) + (\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} )$
                          $ = 6{R^2} - 2(\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OA} )$
                          $ = 9{R^2} - {(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )^2} = 9{R^2} - 9O{G^2}$
Suy ra T$ \leqslant 9{R^2}$. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow O \equiv G \Leftrightarrow $ ABC là tam giác đều
Vậy trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn thì tam giác đều thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 2.3:
Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hãy tìm tam giác có tổng bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi ${d_a},{d_b},{d_c}$ lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn đến ba cạnh BC, CA, AB của tam giác.
                              
Ta có:
${d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2 = ({R^2} - \frac{{{a^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{b^2}}}{4}) + ({R^2} - \frac{{{c^2}}}{4})$
                                  $ = 3{R^2} - \frac{1}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
                                  $ \geqslant 3{R^2} - \frac{1}{4}.9{R^2} = \frac{{3{R^2}}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Vậy min $({d_a}^2 + {d_b}^2 + {d_c}^2) = \frac{{3{R^2}}}{4}$ khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 2.4:
Cho điểm M nằm trong mặt phằng tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
Giải :  
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có
            $T = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2}$
               $ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} )$
               $ = 3M{G^2} + \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
               $ \geqslant \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$
Đẳng thức xảy ra khi và chì khi M trùng G
Vậy min T = $\frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2})$ khi và chỉ khi M trùng G.

Phương pháp 3: Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vector:
Ví dụ 3.1:

Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất.
Giải:
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) ta có:
                          
$T = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$
     $ = {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )^2} + {(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} )^2}$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} (\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )$
     $ = 6{R^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OH} $ ( với H là trực tâm của tam giác)
     $ = 6{R^2} + 2R.OH.\cos \alpha (\alpha  = (\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {OH} ))$
Từ đó suy ra
T nhỏ nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  =  - 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {OH} $
T lớn nhất $ \Leftrightarrow \cos \alpha  = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {OH} $

Ví dụ 3.2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi  là góc $\alpha $ giữa hai trung tuyến BD và CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cos$\alpha $
Giải:
Ta có
 $\cos \alpha  = |\frac{{\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CK} }}{{BD.CK}}|$
             $ = \frac{{|(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} ).(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} )|}}{{4.BD.CK}}$
             $ = \frac{{|\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC} (\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA} ) - {{\overrightarrow {BC} }^2}|}}{{4.BD.CK}}$                
             $ = \frac{{B{C^2}}}{{2.BD.CK}}(doBA \bot CA)$
Mặt khác:
$2.BD.CK \leqslant B{D^2} + C{K^2} = \frac{1}{4}(2.A{B^2} + 2.B{C^2} - A{C^2}) + \frac{1}{4}(2A{C^2} + 2B{C^2} - A{B^2})$
                     $ = \frac{{5B{C^2}}}{4}$ ( do $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$)
Do đó   $\cos \alpha  \geqslant \frac{{B{C^2}}}{{\frac{{5B{C^2}}}{4}}} = \frac{4}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD = CK khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A
Vậy $\min \cos \alpha  = \frac{4}{5}$

Ví dụ 3.3:
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
                      $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC$
 Giải:
Ta có:
 $T = 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $ \geqslant 2.\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2.\cos \frac{A}{2} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} ).\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
    $ = 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC$
Do đó ta có:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant 2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) + AB + AC(1)$
Mặt khác lại có:
${(\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}})^2} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{A{C^2}}} + 2.\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}}.\frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$
                       $ = 1 + 1 + 2\cos A = 2(1 + \cos A) = 4{\cos ^2}\frac{A}{2}$
Suy ra: $|\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}| = 2|\cos \frac{A}{2}|$
Do đó :
$2\cos \frac{A}{2}.MA + \overrightarrow {MA} (\frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}) = 2.MA\left[ {\cos \frac{A}{2}} \right. + |\cos \frac{A}{2}|\cos (\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u )] \geqslant 0(2)$
                                                                      (với $\overrightarrow u  = \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}$)
Vì vậy:
$2.\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC \geqslant AB + AC$
 Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow {MB}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AB} $  và  $\overrightarrow {MC}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {AC} $     
$ \Leftrightarrow M \equiv A$ (thỏa mãn (2))
Vậy Min T= AB+AC khi và chì khi M trùng A

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:

Cho$\Delta ABC$ có $\hat A = {60^0}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \sqrt 3 MA + MB + MC$.
Hướng dẫn:
$T = \sqrt 3 MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}}$
    $\begin{array}
   \geqslant \sqrt 3 MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AB} }} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{\overrightarrow {AC} }}  \\
   = 2\cos \frac{A}{2}MA + \overrightarrow {MA} .\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right) + AB + AC.  \\
\end{array} $    
Bình phương tổng $\left( {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right)$ ta có $\left| {\overrightarrow {\frac{{AB}}{{AB}}}  + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{{AC}}} \right| = 2\left| {\cos \frac{A}{2}} \right|$ suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2:
Cho$\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm I. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
                                                    $T = \frac{{IA.IB.IC}}{{aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2}}}$.     
Hướng dẫn:
Bình phương vô hướng ${\left( {a\overrightarrow {IA}  + b\overrightarrow {IB}  + c\overrightarrow {IC} } \right)^2} = 0$ suy ra $aI{A^2} + bI{B^2} + cI{C^2} = abc$.
Max T = $\frac{{\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow $$\Delta ABC$ đều.                 

Bài 31:
Cho $\widehat {xOy}$ = $\alpha $ và một độ dài a. Trên hai cạnh Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B sao cho OA + OB = a. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn AB.
Hướng dẫn:
 $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow A{B^2} = O{B^2} + O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} $
              $\begin{array}
   = {\left( {OA + OB} \right)^2} - 2OA.OB - 2OA.OB.\cos \alpha   \\
   = {a^2} - 2OA.OB\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   \geqslant {a^2} - 2.{\left( {\frac{{OA + OB}}{2}} \right)^2}.\left( {1 + \cos \alpha } \right)  \\
   = \frac{{{a^2}}}{4}\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra OA = OB = $\frac{a}{2}$.
Vậy min AB = $\frac{a}{2}\sqrt {2 - 2\cos \alpha } $.

Bài 3:
Từ điểm I trên cạnh BC của$\Delta ABC$ dựng $IN//AB$, $IM//AC$. Xác định vị trí điểm I sao cho MN có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn:
Đặt $\frac{{IB}}{{BC}} = x$ thì $\frac{{IC}}{{BC}} = 1 - x\left( {0 < x < 1} \right).$
Ta có $\overrightarrow {AN}  = x\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM}  = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} $ nên $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AC}  - \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB}  = x\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} $(ABCD là hình bình hành).
Tìm điểm K trên cạnh AD để $\overrightarrow {AK}  = x\overrightarrow {AD} $ thì $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AK}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BK} $.
Vậy MN ngắn nhất$ \Leftrightarrow $ BK ngắn nhất$ \Leftrightarrow $$BK \bot AD$.
Từ đó ta suy ra cách dựng điểm I.

Bài 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, M là điểm tùy ý trên cạnh CD. Gọi $P,{P_1},{P_2}$ lần lượt là chu vi các tam giác AMB, ACB, ADB. Cmr: $P < \max \left\{ {{P_1},} \right.\left. {{P_2}} \right\}$.
Hướng dẫn:
M thuộc cạnh CD nên $\overrightarrow {AM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $
            $\overrightarrow {BM}  = \frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {BC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {BD} $
Do đó $AM = \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC}  + \frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| < \left| {\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} } \right| + \left| {\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{MD}}{{CD}}.AC + \frac{{MC}}{{CD}}.AD$(Dấu “=” không xảy ra vì $\frac{{MD}}{{CD}}.\overrightarrow {AC} ,\frac{{MC}}{{CD}}.\overrightarrow {AD} $ không cùng phương).
Tương tự với BM.
Suy ra $AM + BM < \frac{{MD}}{{CD}}\left( {AC + BC} \right) + \frac{{MC}}{{CD}}\left( {AD + BD} \right)$
        $ \leqslant \left( {\frac{{MD}}{{CD}} + \frac{{MC}}{{CD}}} \right).\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\}.} \right.$
Như vậy AM + BM < $\max \left\{ {AC + BC,AD + \left. {BD} \right\},} \right.$suy ra
AM + BM + AB < $\max \left\{ {AC + BC + AB,AD + \left. {BD + AB} \right\}} \right.$(đpcm)

Bài 5:
Cho M là một điểm thuộc miền trong$\Delta ABC$. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để $M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
$\begin{array}
  {\left( {aMH + bMI + cMK} \right)^2} \leqslant \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {M{H^2} + M{I^2} + M{K^2}} \right)  \\
   \Rightarrow M{H^2} + M{I^2} + M{K^2} \geqslant \frac{{4{S^2}_{ABC}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.  \\
\end{array} $
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{{MH}}{a} = \frac{{MI}}{b} = \frac{{MK}}{c}$
         $ \Leftrightarrow \frac{{{S_{MBC}}}}{{{a^2}}} = \frac{{{S_{MCA}}}}{{{b^2}}} = \frac{{{S_{MAB}}}}{{{c^2}}}$    
                  $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = 0$
         $ \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$.    

Bài 6:
Cho$\Delta ABC$ và một điểm M tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của tồng
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2}$.
Hướng dẫn:
Ta có ${a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$ nên
${a^4}M{A^2} + {b^4}M{B^2} + {c^4}M{C^2} + 2{a^2}{b^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + 2{b^2}{c^2}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + 2{a^2}{c^2}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  \geqslant 0$
Chú ý: $2\overrightarrow {MX} .\overrightarrow {MY}  = M{X^2} + M{Y^2} - X{Y^2},\forall X,Y$ta có:
$T = {a^2}M{A^2} + {b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} \geqslant \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow {a^2}\overrightarrow {MA}  + {b^2}\overrightarrow {MB}  + {c^2}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow $M là điểm Lemoine của $\Delta ABC$

Thẻ

Lượt xem

16289
Chat chit và chém gió
  • nighttrouble187 ☭: 𝚌𝚑à𝚘 𝙹𝚊𝚌𝚔 𝚗𝚑é 11/15/2018 9:32:26 PM
  • Jack Nguyễn: trg bn cb thi chưa 11/15/2018 9:32:50 PM
  • Kiệt2003: à ra hai người này về vụ thi đai học 11/15/2018 9:33:27 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴄʜưᴀ ʙạɴ ơɪ ɢầɴ ᴛếᴛ ᴍớɪ ᴛʜɪ 11/15/2018 9:33:28 PM
  • Jack Nguyễn: :v 11/15/2018 9:33:43 PM
  • Jack Nguyễn: sướng vậy 11/15/2018 9:33:57 PM
  • Rushia: Nãy giờ họ ns 17t mà e k nhận ra sao K 11/15/2018 9:34:05 PM
  • Rushia: laughing) 11/15/2018 9:34:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ʙạɴ ᴛʜɪ ᴛʀườɴɢ ɢỉ ʜả ᴊᴀᴄᴋ 11/15/2018 9:34:16 PM
  • Jack Nguyễn: mk cx chưa biết 11/15/2018 9:34:32 PM
  • Jack Nguyễn: hiện h đang ôn ielts 11/15/2018 9:34:58 PM
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag): lé mắt hết r :3 11/15/2018 9:35:11 PM
  • nighttrouble187 ☭: mình định thi 𝔨𝔦𝔫𝔥 𝔱ế đạ𝔦 𝔥ọ𝔠 𝔮𝔲ố𝔠 𝔤𝔦𝔞 𝔥à 𝔫ộ𝔦 11/15/2018 9:35:43 PM
  • Jack Nguyễn: wowww 11/15/2018 9:36:07 PM
  • nighttrouble187 ☭: ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ ɴày 11/15/2018 9:36:32 PM
  • Rushia: Đh ktqdrolling_on_the_floor) 11/15/2018 9:36:35 PM
  • Rushia: Nhiều ng tài 11/15/2018 9:36:46 PM
  • Kiệt2003: haiz 11/15/2018 9:36:52 PM
  • Jack Nguyễn: me too 11/15/2018 9:37:12 PM
  • Jack Nguyễn: cho nhàn 11/15/2018 9:37:29 PM
  • nighttrouble187 ☭: căn bản ngu hoá 11/15/2018 9:37:40 PM
  • nighttrouble187 ☭: mù lý 11/15/2018 9:37:44 PM
  • nighttrouble187 ☭: học khối D 11/15/2018 9:37:55 PM
  • Jack Nguyễn: mk ko ngu hóa vs lý nhưng ban d cho dễ 11/15/2018 9:37:59 PM
  • nighttrouble187 ☭: có tiếng anh lợi hơn chúng nó 11/15/2018 9:38:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: học Văn cho nó yêu đời 11/15/2018 9:38:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: đâᴍ ʀᴀ ʟà ᴍìɴʜ ʜọᴄ ᴋʜốɪ ᴅ 11/15/2018 9:39:08 PM
  • nighttrouble187 ☭: đang học hình không gian -.- 11/15/2018 9:39:22 PM
  • Jack Nguyễn: dễ mà 11/15/2018 9:39:33 PM
  • Jack Nguyễn: ko khó đâu 11/15/2018 9:40:25 PM
  • nighttrouble187 ☭: dễ hay khó vẫn phải học :3 11/15/2018 9:40:38 PM
  • Jack Nguyễn: dùng trí tưởng tượng ý 11/15/2018 9:40:38 PM
  • nighttrouble187 ☭: có học có hơn 11/15/2018 9:40:47 PM
  • Jack Nguyễn: cx đúng 11/15/2018 9:40:54 PM
  • nighttrouble187 ☭: chả đúng thì sao :v 11/15/2018 9:41:05 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của bạn mấy ? 11/15/2018 9:41:29 PM
  • Jack Nguyễn: mk đang ôn cho 5.5 11/15/2018 9:41:45 PM
  • Jack Nguyễn: hết lp 12 thì là 5.5 11/15/2018 9:41:57 PM
  • nighttrouble187 ☭: ielts của mình được 7 rồi 11/15/2018 9:42:38 PM
  • hoangminhhero2003: likhl 11/15/2018 9:42:41 PM
  • Jack Nguyễn: ghê 11/15/2018 9:42:50 PM
  • Kiệt2003: hi minh 11/15/2018 9:42:51 PM
  • hoangminhhero2003: hi 11/15/2018 9:42:57 PM
  • Jack Nguyễn: hi new member 11/15/2018 9:43:04 PM
  • hoangminhhero2003: happy 11/15/2018 9:43:42 PM
  • nighttrouble187 ☭: i am signing. out , peace out 11/15/2018 9:43:59 PM
  • Kiệt2003: haiz 2 năm nữa thôi 11/15/2018 9:44:46 PM
  • Jack Nguyễn: try hard 11/15/2018 9:45:16 PM
  • nighttrouble187 ☭: try harder , no pressure , no diamond 11/15/2018 9:45:36 PM
  • Jack Nguyễn: tưởng sign out 11/15/2018 9:45:53 PM
  • Jack Nguyễn: -.- 11/15/2018 9:46:06 PM
  • nighttrouble187 ☭: thôi thì 𝓹𝓮𝓪𝓬𝓮 𝓸𝓾𝓽 :3 11/15/2018 9:46:35 PM
  • hoangminhhero2003: iop[; 11/15/2018 9:51:32 PM
  • hoangminhhero2003: tiếp đi 11/15/2018 9:57:48 PM
  • Rushia: Hết ng chưa 11/15/2018 9:58:53 PM
  • hoangminhhero2003: còn ai thì đ danh đi 11/15/2018 10:00:35 PM
  • Rushia: Chào 2k3happy 11/15/2018 10:01:08 PM
  • hoangminhhero2003: chảo 11/15/2018 10:02:08 PM
  • hoangminhhero2003: b bn tuổi 11/15/2018 10:02:26 PM
  • Rushia: E 17t z tính ra làm e rồihappy 11/15/2018 10:05:00 PM
  • Rushia: À mà k đc 17tlaughing 11/15/2018 10:05:35 PM
  • hoangminhhero2003: e 15 mà 11/15/2018 10:06:01 PM
  • Kiệt2003: chán cj nga quá 11/15/2018 10:07:08 PM
  • Kiệt2003: cj k nhớ tuổi của e sao 11/15/2018 10:07:20 PM
  • Rushia: Cj nhầm vs cái bạn trênlaughing) 11/15/2018 10:07:25 PM
  • Rushia: E hơn eg cj 2t 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Kiệt2003: hí hí 11/15/2018 10:07:38 PM
  • Rushia: Nhớ chứlaughing) 11/15/2018 10:07:47 PM
  • Kiệt2003: eg nào của cj ạ 11/15/2018 10:07:50 PM
  • Rushia: E ruột 11/15/2018 10:07:55 PM
  • Kiệt2003: à vâng 11/15/2018 10:08:29 PM
  • Rushia: Nó vào nick of cj là chủ yếu chứ k vào đây mấyrolling_on_the_floor 11/15/2018 10:08:36 PM
  • Kiệt2003: thế ạ 11/15/2018 10:09:49 PM
  • Rushia: Ukm 11/15/2018 10:11:01 PM
  • Kiệt2003: pp cj nhá engur à 11/15/2018 10:11:44 PM
  • Kiệt2003: pp cj 11/15/2018 10:11:48 PM
  • Rushia: Ngủ sớm z ag 11/15/2018 10:11:55 PM
  • Rushia: E nn. Pp 11/15/2018 10:12:14 PM
  • Kiệt2003: cj ngủ ngon 11/15/2018 10:13:08 PM
  • nhatmicky: wave 11/15/2018 10:27:58 PM
  • nhatmicky: surprisesilly 11/15/2018 10:28:41 PM
  • Rushia: straight_face 11/15/2018 11:03:33 PM
  • laitridung2004: Thấy thì rep nhé Chi 11/15/2018 11:29:56 PM
  • laitridung2004: hú Chi ơi 11/16/2018 12:23:34 PM
  • laitridung2004:11/16/2018 6:13:52 PM
  • Kiệt2003: hi 11/16/2018 8:01:52 PM
  • laitridung2004: hi 11/16/2018 8:04:23 PM
  • Tuyết Nhi: ah kiệt ơi 11/16/2018 8:07:12 PM
  • Kiệt2003: hú linh 11/16/2018 8:07:33 PM
  • Tuyết Nhi: hj ah 11/16/2018 8:07:42 PM
  • Tuyết Nhi: ah ib e hs xíu nhé 11/16/2018 8:07:49 PM
  • Kiệt2003: hí lâu k gặp e nhỉ 11/16/2018 8:07:50 PM
  • Kiệt2003: ok e 11/16/2018 8:07:54 PM
  • Kiệt2003: e nt đi 11/16/2018 8:08:21 PM
  • Kiệt2003:11/16/2018 8:30:06 PM
  • Kiệt2003: linh ơi 11/16/2018 8:30:10 PM
  • Tuyết Nhi: dạ 11/16/2018 8:30:17 PM
  • ๖ۣۜBossღ: broken_heart 11/16/2018 9:47:19 PM
  • hoangduong: happy 11/16/2018 9:50:32 PM
  • laitridung2004: Chi oi rep ngay nhe 11/17/2018 12:05:06 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • nguyenhuuminh22
  • ahihi
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Thu Cúc
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ๖ۣۜSunღ
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • ★★★★★★★★★★JOHNNN 509★★★★★★★★★★
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜTQT☾♋☽
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • @_@ *Mèo9119* @_@
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • huongsehunnie
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • Vô Danh
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Effort
  • chinh923
  • galaxy
  • phanthilanphuong2011
  • vuthuytrang3112
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • Trương Thị Thu Phượng
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Hàn Thiên Dii
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • caigihu123
  • FuYu
  • Trang
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • Yêu Tatoo
  • milodatnguyen
  • Hoài Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • ☼SunShine❤️
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • Hoàng Yến
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • dunganh1308
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • [_đéo_có_tên_]
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜBossღ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • Moss
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • TQT
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Cesc Linh
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜColdღ
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDemonღ
  • phucanhthien
  • Dưa Leo
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • loan
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • nguyenconghoaganh01
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • phng_pepsi
  • Thiên Thu
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • tuthi1919
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • Lê Giang
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • .....
  • cụ nhỏ
  • Update
  • Hana
  • zzz02042001
  • quannguyenthd2
  • w
  • Nguyệt !!
  • egaehaneya
  • ai là ai?
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • ♥ Bảo bối của ck ♥
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • anhh
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • cô chủ của osin
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • Hạ Vân
  • nhoxkhi
  • Bùi Thị Thanh Nga
  • vannamlan72
  • Hậu Duệ Mặt Trời
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • bamboonguyen0411
  • xitrummeomeo
  • thanhhuongthcsmpbd
  • K
  • Update
  • nhansubbq
  • Bất Cần Đời
  • ๖ۣۜKenvil Ƹ̴Ӂ̴Ʒ ๖ۣۜTrần
  • Tiểu Hi
  • huyenthanhut9
  • phuong19
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • dotuan0918
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé
  • Hàn Ngọc Thiên Băng
  • nhuhoangvo810
  • hạng
  • Kh
  • Lãnh Hoàng Nhật Quân
  • tuyetnhitran8
  • phanngocngoc12345
  • tieuhame4444
  • TenshiBaka
  • hahaha
  • tarrasqueaohk
  • Caohuongjc
  • Anh Yêu
  • noh ssiw i
  • levanhung051098
  • lvtthichbongda
  • Thiên Hạ Vô Song
  • linhshaldy
  • 123456789
  • hongtintk123
  • leduydung
  • ajajsssss7
  • thao2632111
  • huyminky
  • dinhchienmese
  • truonghailam10112000
  • ngocluongmy04
  • giahuyhh2828
  • toilalong.99
  • Mây
  • phicong98lbls
  • Trafaldar D Water Law
  • ngocthaihoangvn
  • Rushia
  • net.sonicz
  • Huyền Kute
  • Chí Hiếu
  • chudieuquynh1506
  • tmcfunny
  • nguyenxuanhien2008
  • thanhtvtd
  • Ly Siucao
  • Trần Vũ Tử Lam
  • kieukieukieu2002
  • tamtung041
  • ๖ۣۜ➻❥Pu(๖ۣۜTSag)
  • dlboys212301
  • 23
  • nguyenlongdg12345
  • mymieumieu69
  • daongochoa2002
  • maiphuong12
  • Đức Vỹ
  • Trung
  • Ông chủ của cô chủ
  • snowflakes
  • ๖ۣۜSadღ
  • Tiểu thư cá tính
  • thư
  • Nhungevil
  • dslland
  • à mà thôi
  • lananhtranthi19
  • ๖ۣۜNatsu
  • Băng
  • ๖ۣۜCold
  • ptmpc.trung
  • cobenhinhanh
  • tranquynhat2002
  • hnqtan.c2vthanh.vn
  • nguyendang241001
  • nguyenthithuytrang1229
  • toanthcsphuvang1617
  • liyifeng732002
  • Nguyễn Thành Long
  • Vũ Như Quỳnh
  • benganxd2509
  • pnt2912003
  • nhathan61
  • binhphuong2232006
  • chuotcondangyeu07082004
  • hahonggiang03071967
  • Sakura
  • ๖ۣۜBrønsted Lowryღ
  • shinnie.sowon
  • anhtd2015
  • thuhiendt752
  • ๖ۣۜBé๖ۣۜChanh☆GTV
  • nguyenhaiduong942
  • Tôi là chính tôi
  • trikythcsphulang
  • Lê Lê Vy
  • lydinhthanhtuyen
  • Hồng Lam
  • Ngốk
  • nguyenquynhmai228
  • congn086
  • minhquandv123
  • Linh Lùn
  • Hưng Phú
  • hoangnhuminhquan2001
  • ngohaivan7
  • arima sama
  • Hoàng Yến
  • huutinh
  • Yuri Nguyễn
  • puu
  • caccontoi
  • Khang Ota
  • sonejung582007
  • thanhdatn
  • I Love You
  • nguyễn hoa
  • hanh01682803066
  • kimchi
  • anhthuduong141
  • ayato
  • Vietha2004
  • minhquan187212
  • trangkimyen2206
  • ๖ۣۜLãnh♌Băng ( ML)
  • nguyenquangtuan640
  • blood
  • tranmai9a3tdn
  • nguoidensau2k2
  • thuyduong.op61
  • SƯ TỬ
  • mmmmmm
  • tuanhuong
  • Maynguyen9585
  • Nguyen Le Na
  • tôi ăn cứt cho c Lý
  • Thanh Nga
  • tôi chỉ là 1 con chó của TQT
  • huyenankhethaibinh
  • KTT
  • Tuyết Nhi
  • ST
  • doanphuong0916803337
  • dinhkhachuy1234
  • Phúc Huy
  • Phùng THị Thu Hà
  • ๖ۣۜLãnh♌Huyết
  • ๖ۣۜNgược dòng thời gian
  • lehongminh22072001
  • Nguyễn Hồng Ngọc
  • ♓幸せ ♥╭╮♥ha ≧✯◡✯≦✌
  • admin
  • skud2003
  • Zidane
  • Hạ Nhi
  • Kiệt2003
  • cuong3888684
  • Mây của trời cứ để gió cuốn đi
  • caodsao
  • le.tg.310314
  • hoa.khanh.lhyan2707
  • tuthaiduong012
  • aidhakfcgano1
  • hisname004
  • honhutlinh
  • let02hb
  • vohieutrung99