PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp.

I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:
${A^2} + {B^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.$
Bài 1. Giải phương trình:
$3{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x - 4\sin x + 2 = 0$
GIẢI
$\begin{array}{l}
3{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x - 4\sin x + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x + 1 + 4{\sin ^2}x - 4\sin x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {(\sqrt 3 \tan x - 1)^2} + {(2\sin x - 1)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 3 \tan x - 1 = 0\\
2\sin x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + m\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + 2n\pi
\end{array} \right.\left( {m,n \in Z} \right)
\end{array}$
ĐS: $x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi $ $(k \in Z)$
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình $f(x) = g(x)$, ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: $f(x) \ge A,\forall x \in (a,b)$ và $g(x) \le A,\forall x \in (a,b)$ thì khi đó:
$f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = A\\
g(x) = A
\end{array} \right.$
Nếu ta chỉ có $f(x) > A$ và $g(x) < A$, $\forall x \in (a,b)$ thì kết luận phương trình vô ngiệm.
Bài 2. Giải phương trình:
${\cos ^5}x + {x^2} = 0$
GIẢI
${\cos ^5}x + {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} =  - {\cos ^5}x$
Vì $ - 1 \le \cos x \le 1$ nên $0 \le {x^2} \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1$
mà $\left[ { - 1,1} \right] \subset \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0,\forall x \in \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow  - {\cos ^5}x < 0,\forall x \in \left[ { - 1,1} \right]$
Do ${x^2} > 0$ và $ - {\cos ^5}x < 0$ nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. Giải phương trình:
${\sin ^{1996}}x + {\cos ^{1996}}x = 1$ (1)

GIẢI
(1)    $ \Leftrightarrow {\sin ^{1996}}x + {\cos ^{1996}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$
    $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x - 1) = {\cos ^2}x(1 - {\cos ^{1994}}x)$ (2)
Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x \ge 0\\
{\sin ^{1994}}x \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x - 1) \le 0,\forall x$
Mà $\left\{ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x \ge 0\\
1 - {\cos ^{1994}}x \ge 0
\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^2}x(1 - {\cos ^{1994}}x) \ge 0,\forall x$
Do đó (2)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x({\sin ^{1994}}x - 1) = 0\\
{\cos ^2}x(1 - {\cos ^{1994}}x) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x =  \pm 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x =  \pm 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = m\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + n\pi \\
x = n\pi
\end{array} \right.
\end{array} \right.(m,n \in Z)$
Vậy nghiệm của phương trình là: $x = k\frac{\pi }{2}(k \in Z)$
ĐS: $x = k\frac{\pi }{2}(k \in Z)$
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
•    $\sin ax.\sin bx = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 \sin ax = 1\\
 \sin bx = 1
\end{array} \right.\\
 \left\{ \begin{array}{l}
 \sin ax =  - 1\\
 \sin bx =  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

•    $\sin ax.\sin bx = -1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 \sin ax = 1\\
 \sin bx = -1
\end{array} \right.\\
 \left\{ \begin{array}{l}
 \sin ax =  - 1\\
 \sin bx = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
$\begin{array}{l}
\cos ax.\cos bx = 1\\
\cos ax.\cos bx =-1\\
\sin ax.\cos bx = 1\\
\sin ax.\cos bx =-1
\end{array}$ 
III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau:
•    Dùng tính chất đại số
•    Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình $f(x) = 0$ có 1 nghiệm $x = \alpha  \in (a,b)$ và hàm $f$ đơn điệu trong $(a,b)$ thì $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất là $x = \alpha $.
Phương trình $f(x) = g(x)$ có 1 nghiệm $x = \alpha  \in (a,b)$, $f(x)$ tăng (giảm) trong $(a,b)$, $g(x)$ giảm (tăng) trong $(a,b)$ thì phương trình $f(x) = g(x)$ có nghiệm $x = \alpha $ là duy nhất.
Bài 4. Giải phương trình:
$\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{2}$ với $x > 0$
GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm $x = 0$.
Đặt $f(x) = \cos x + \frac{{{x^2}}}{2} - 1$ là biểu thức của hàm số có đạo hàm $f'(x) =  - \sin x + x > 0,\forall x > 0$ (vì $\left| x \right| > \left| {\sin x} \right|,\forall x$)
$ \Rightarrow $ Hàm $f$ luôn đơn điệu tăng trong $\left( {0, + \infty } \right)$
$ \Rightarrow $ $f(x) = 0$ có 1 nghiệm duy nhất trong $\left( {0, + \infty } \right)$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $x = 0$.

B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài 1: Giải phương trình:
${x^2} - 2x\cos x - 2\sin x + 2 = 0$ (1)
 Giải:
Ta có:
(1)$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x\cos x + {\cos ^2}x + {\sin ^2}x - 2\sin x + 1 = 0$
$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {(x - \cos x)^2} + {(\sin x - 1)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - \cos x = 0\\
\sin x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x = x\\
\sin x = 1
\end{array} \right.
\end{array}$
 Phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình:
${\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1$
GIẢI
Ta có:   
$ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x$
$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x({\sin ^2}x - 1) = {\cos ^2}x(1 - {\cos ^{13}}x)$ (1)
Vì ${\sin ^2}x({\sin ^2}x - 1) \le 0,\forall x$

Do đó (1)     $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}x({\sin ^2}x - 1) = 0\\
{\cos ^2}x(1 - {\cos ^{13}}x) = 0
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin x =  \pm 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
ĐS: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ hay $x = 2k\pi $, $(k \in Z)$
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI

Bài 3: Giải các phương trình:
1.    ${\sin ^4}x + {\cos ^4}(x + \frac{\pi }{4}) = \frac{1}{4}$ (1)
2.   ${(\tan x + \frac{1}{4}\cot x)^n} = {\cos ^n}x + {\sin ^n}x\,\,\,\,\,(n = 2,3,4,...)$
GIẢI
1. Ta có:
(1)    $ \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}$
        $ \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1$
        $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1\\
 \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}$
        $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.(k \in Z)$
2.Với điều kiện $x \ne k\frac{\pi }{2}$ ta có $\tan x$ và $\cot x$ luôn cùng dấu nên:
$\left| {\tan x + \frac{1}{4}\cot x} \right| = \left| {\tan x} \right| + \left| {\frac{1}{4}\cot x} \right| \ge 2\sqrt {\left| {\tan x \cdot \frac{1}{4}\cot x} \right|}  = 1 \Rightarrow {\left| {\tan x + \frac{1}{4}\cot x} \right|^n} \ge 1$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {\tan x} \right| = \left| {\frac{1}{4}\cot x} \right| \Leftrightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \tan x =  \pm \frac{1}{2}$
•    Với $n = 2$: phương trình ${\left( {\tan x + \frac{1}{4}\cot x} \right)^2} = 1$ có nghiệm cho bởi:
$\tan x =  \pm \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \arctan \frac{1}{2} + k\pi (k \in Z)$
•    Với $n \in Z,n > 2$ thì:
${\cos ^n}x + {\sin ^n}x \le {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{\pi }{2}\;khi\;n = 2m\\
x = 2k\pi \;hay\;x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \;khi\;n = 2m + 1
\end{array} \right.\quad (k,m \in Z)$
(đều không thoả mãn điều kiện $x \ne k\frac{\pi }{2}$ của phương trình)
Vậy với $n > 2,n \in Z$ thì phương trình vô nghiệm.
ĐS:  $x =  \pm \arctan \frac{1}{2} + k\pi (k \in Z)$
Bài 4: Giải phương trình:
$\cos x\sqrt {\frac{1}{{\cos x}} - 1}  + \cos 3x\sqrt {\frac{1}{{\cos 3x}} - 1}  = 1$ (1)

GIẢI
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
\cos x > 0\\
\cos 3x > 0
\end{array} \right.$
Khi đó (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {\cos x - {{\cos }^2}x}  + \sqrt {\cos 3x - {{\cos }^2}3x}  = 1$
Vì ${a^2} - a + \frac{1}{4} = {(a - \frac{1}{2})^2} \ge 0 \Rightarrow a - {a^2} \le \frac{1}{4}$
Do đó $\cos x - {\cos ^2}x \le \frac{1}{4}$ và $\cos 3x - {\cos ^2}3x \le \frac{1}{4}$ $ \Rightarrow \sqrt {\cos x - {{\cos }^2}x}  \le \frac{1}{2}\;v\`a \;\sqrt {\cos 3x - {{\cos }^2}3x}  \le \frac{1}{2}$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x - {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\\
\cos 3x - {\cos ^2}3x = \frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos x = \frac{1}{2}\\
\cos 3x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
 D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải phương trình:
${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2 - {\sin ^4}x$
HƯỚNG DẪN
$\begin{array}{l}
{\sin ^3}x \le {\sin ^2}x\;,\forall x\\
{\cos ^3}x \le {\cos ^2}x\;,\forall x\\
 \Rightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x \le 1\;,\forall x\\
2 - {\sin ^4}x \ge 1\;,\forall x
\end{array}$
Vậy phương trình tương đương: $\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1\\
2 - {\sin ^4}x = 1
\end{array} \right.$
ĐS $x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \;(k \in Z)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sin x + \tan x - 2x = 0$ với $0 \le x \le \frac{\pi }{2}$
HƯỚNG DẪN
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm $x = 0$
Đặt $f(x) = \sin x + \tan x - 2x$ liên tục trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$
Có đạo hàm: $f'(x) = \frac{{(\cos x - 1)({{\cos }^2}x - \cos x - 1)}}{{{{\cos }^2}x}} \ge 0\,,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ do $\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} < 0 \le \cos x \le 1 < \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Rightarrow {\cos ^2}x - \cos x - 1 < 0$
$ \Rightarrow f$ đơn điệu tăng trên $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Bài 3: Giải phương trình:
${\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right)^2} = 5 + \sin 3x$
ĐS $x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \,(k \in Z)$

Bài 4: Giải phương trình:
${\cos ^4}x - {\sin ^4}x = \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|$
ĐS $x = k\pi \,(k \in Z)$

Bài 5: Giải phương trình:
${x^2} - 2\sin xy + 1 = 0$
ĐS $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right.$    hay    $\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = \frac{\pi }{2} + 2k\pi
\end{array} \right.$   $(k \in Z)$ 

Thẻ

Lượt xem

8627
Chat chit và chém gió
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:39 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:39 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:40 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:40 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:40 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:41 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:41 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:41 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:41 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:42 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:42 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:43 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:43 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:43 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:44 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:44 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:44 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:44 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:45 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:46 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorv 1/20/2017 3:59:47 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:48 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:48 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:49 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:50 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:50 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:51 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:51 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:53 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:53 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:55 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:56 PM
  • Update: v 1/20/2017 3:59:57 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:57 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:57 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:58 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:58 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 3:59:59 PM
  • Update: v 1/20/2017 4:00:00 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:00 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:01 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:01 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:01 PM
  • Update: v 1/20/2017 4:00:02 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:02 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:02 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:03 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:03 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:03 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:03 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:04 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:04 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:04 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:05 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:05 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:06 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:06 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:07 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:18 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:18 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:19 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:20 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:21 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:21 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:22 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:22 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:22 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:23 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:23 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:23 PM
  • Update: v 1/20/2017 4:00:24 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:24 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:24 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:25 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:25 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:26 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:26 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:26 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:27 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:27 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:27 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:28 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:28 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:28 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:29 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:29 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:30 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:30 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:30 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:32 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:32 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:32 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:33 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:33 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:34 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:35 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:37 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:48 PM
  • Update: rolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:48 PM
  • Update: rolling_on_the_floorrolling_on_the_floor 1/20/2017 4:00:48 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • Đỗ Quang Chính
  • Lê Thị Thu Hà
  • dvthuat
  • Học Tại Nhà
  • newsun
  • roilevitinh_hn
  • Đức Vỹ
  • Trần Nhật Tân
  • GreenmjlkTea FeelingTea
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • htnhoho
  • tnhnhokhao
  • hailuagiao
  • babylove_yourfriend_1996
  • tuananh.tpt
  • dungtth82
  • watashitipho
  • thienthan_forever123
  • hanhphucnhe989
  • xyz
  • Bruce Lee
  • mackhue59
  • sock_boy_xjnh_95
  • nghiahongoanh
  • HọcTạiNhà
  • super.aq.love.love.love
  • mathworld1999
  • phamviet2903
  • ducky0910199x
  • vet2696
  • ducdanh97
  • dangphuonganhk55a1s.hus
  • ♂Vitamin_Tờ♫
  • leeminhorain
  • binhnguyenhoangvu
  • leesoohee97qn
  • hnguyentien
  • Vô Minh
  • AnAn
  • athena.pi98
  • Park Hee Chan
  • cunglamhong
  • khoaita567
  • huongtrau_buffalow
  • nguyentienha95
  • thattiennu_kute_dangiu
  • ekira9x
  • ngolam39
  • thiếu_chất_xám
  • Nguyễn Đức Anh
  • doan.khoa
  • phamngocquynh19
  • chaicolovenobita
  • thanhgaubong
  • lovesong.2k12
  • NguyễnTốngKhánhLinh
  • yesterdayandpresent_2310
  • vanthoacb
  • Dark.Devil.SD
  • caheoxanh_99
  • h0tb0y_94
  • quangtung237
  • vietphong9x
  • caunhocngoc_97
  • thanhnghia96
  • bbzzbcbcacac
  • hoangvuly12
  • hakutelht_94
  • thanchet_iu_nuhoang_banggia
  • worried_person_zzzz
  • bjgbang_vn
  • trai_tim_bang_gia_1808
  • shindodark112
  • ngthanhhieu88
  • zb1309
  • kimvanthao
  • hongnhat74
  • i_crazy_4u101
  • sweet_memory0912
  • hoiduong698
  • ittaitan
  • Dép Lê Con Nhà Quê
  • thanhnguyen5718
  • dongson.nd
  • anhthong.1996
  • Trần Phú
  • truoctran2007
  • hoanghon755
  • phamphuckhoinguyen
  • maidagaga
  • tabaosiphu1991
  • adjmtwpg2
  • khoibayvetroi
  • nhunglienhuong
  • justindrewd96
  • huongtraneni
  • minato_fire1069
  • justateenabi
  • soohyna
  • candigillian
  • terrible987654
  • trungha_tran
  • tranxuanluongcdspna_k8bcntt
  • dolaemon
  • dolequan06
  • hoaithanhtnu
  • songotenf1
  • keo.shandy
  • vankhanhpf96
  • Phạm Anh Tuấn
  • thienbinh1001
  • phhuynh.tt
  • ductoan933
  • ♥♥♥ Panda Sơkiu Panda Mập ♥♥♥
  • nguyen_lou520
  • Phy Phy ♥ ヾ(☆▽☆) ♥
  • gnolwalker
  • dienhoakhoinguyen
  • jennifer.generation22
  • nvrinh
  • Tiến Thực
  • kratoss1407
  • cuongtrang265
  • Gió!
  • iamsuprael01
  • phamngocthao262
  • nguyenthanhnam488
  • thubi_panda
  • duyphong1969
  • sonnguyen846
  • woodknight22
  • Gà Rừng
  • ngothiphuong211
  • m_internet001
  • buihuyenchang
  • vlinh51
  • hoabachhop123ntt
  • honey.cake313
  • prokiller310
  • ducthieugia1998
  • phuoclinh0181
  • caolinh111111
  • vitvitvit29
  • vitxinh0902
  • anh_chang_co_don_3ky
  • successonyourhands
  • vuonlenmoingay
  • nhungcoi2109
  • vanbao2706
  • Billy Ken
  • vienktpicenza
  • stonecorter
  • botrungyc
  • nhoxty34
  • chonhoi110
  • tuanthanhvl
  • todangtvd
  • noluckhongngung1
  • tieulinhtinh102
  • vuongducthuanbg
  • ♥♂Ham٩(͡๏̮͡๏)۶Học♀♥
  • rabbitdieu
  • phungthoiphong1999
  • luubkhero
  • luuvanson35
  • neymarjrhuy
  • monkey_tb_96
  • ttbn841996
  • nhathuynh245
  • necromancy1996s
  • godfather9xx
  • phamtrungnhan122272
  • nghia7btq1234
  • thuỷ lê
  • thangha1311999
  • Jea...student
  • Dân Nguyễn
  • devilphuong96
  • .
  • tqmaries34
  • WhjteShadow
  • ๖ۣۜDevilღ
  • bontiton96
  • thienbs98
  • smix84
  • mikicodon
  • nhephong2
  • hy_nho_ai
  • vanduc040902
  • sweetmilk1412
  • phamvanminh_812
  • deptrai331
  • ttsondhtg
  • phuonghoababu
  • taknight92
  • theduong90
  • hiephiep008
  • phathero99
  • ki_niem_voi_toi
  • Mun Sociu
  • vinh.s2_ai
  • tuongquyenn
  • white cloud
  • Thịnh Hải Yến
  • transon123456789123456789
  • thanhnienkosonga921996
  • trangiang1210
  • gio_lang_thang
  • hang73hl
  • Bỗng Dưng Muốn Chết
  • Tonny_Mon_97
  • letrongduc2410
  • tomato.lover98
  • nammeo051096
  • phuongdung30497
  • yummyup1312
  • zerokool020596
  • nguyenbahoangbn97
  • ẩn ngư
  • choihajin89
  • danglinhdt8a
  • Đỗ Bằng Được
  • yuka loan
  • lenguyenanhthu2991999
  • duychuan95
  • sarah_curie
  • alexangđơ
  • sakurakinomoto199
  • luush06
  • phi.ngocanh8
  • hoanghoai1982000
  • iwillbestrong1101
  • quangtinh112
  • thuphuong10111997
  • tayduky290398
  • buoncuoi012
  • minh_thúy
  • mylove11a1pro
  • akaryzung
  • chauvantrung2995
  • anhdao
  • Nero
  • longthienxathu
  • loptruongnguyen
  • leejongsukleejongsuk
  • bồ công anh
  • cao văn sỹ
  • Lone star
  • never give up
  • tramy_stupid2
  • mousethuy
  • Sam
  • babie_icy.lovely
  • sheep9
  • cobemotmi10
  • ღ S' ayapo ღ
  • john19x6
  • Dark
  • giangkoi11196
  • tranhuyphuong99
  • namha500
  • Meoz
  • saupc7
  • Tonny_Mon_97
  • boyhandsome537
  • tinh_than_96
  • changngocxuan151095
  • gaconcute_2013
  • Sin
  • casio8tanyen
  • Choco*Pie
  • thusarah
  • tadaykhongsoai
  • seastar2592
  • Ruande Zôn
  • lmhlinh1997
  • munkwonkang
  • fighting
  • tart
  • dieu2102
  • cuonglapro97
  • atsm_001
  • luckyboy_kg1998
  • Nobi Nobita
  • akhoa13579
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anhquan9696
  • a5k67.lnq
  • Gia Hưng
  • tozakendo
  • phudongphu12
  • luuphuongthao62
  • Minn
  • lexuanmanh98
  • diendien_01
  • luongkimhien98
  • duanmath_xh
  • datk713kx
  • huynhtanhao_95_1996
  • peboo611998
  • kiemgo1999
  • geotherick
  • luong.thanhtruong
  • nguyenduythong.2012
  • soi.1stlife
  • nguyenthily257
  • huuhaono1
  • nguyenconguoc1996
  • dongthoigian1096
  • thanhthaiagu
  • thanhhoapro056
  • thukiet1979
  • xuanhuy164
  • ♫Lốc♫Xoáy♫
  • i_love_you_12387
  • datwin195
  • kto138
  • ~ *** ~
  • teengirl_hn1998
  • mãi yêu mình em
  • trilac2013
  • Wind
  • kuzulies
  • hoanghathu1998
  • nhoknana95
  • F7
  • langvohue1234
  • Pi
  • Togo
  • hothinhtls
  • hoangloclop4
  • gautruc_199854
  • janenguyen9079
  • cuoidiem035
  • giam_chua
  • Tôi đi code dạo
  • maitrangvnbk47
  • nhi.angel0809
  • NO NAME
  • nguyenhuuminh22
  • =.=
  • Mưa Đêm
  • dangtuan251097
  • Pls Say Sthing
  • c.x.sadhp1999
  • buivanhuybvh
  • huyhoangfan
  • lukie.luke142
  • ~Kezo~
  • Duy Phong
  • hattuyetmuadong_banggia
  • Trương Khởi Lâm
  • Hi Quang
  • ๖ۣۜKbts_๖ۣۜNTLH♓
  • mynhi0601
  • hikichbo
  • dorazu179
  • nguyenxuando
  • ndanh9999999
  • ♀_♥๖ۣۜT๖ۣۜE๖ۣۜO♥_♂
  • ndanh999
  • hjjj1602
  • Bi
  • tuongngo28
  • silanmarry
  • cafe9x92
  • kaitokidabcd
  • loan.pham7300
  • minhkute141
  • supervphuoc
  • chauvobmt
  • nguyenthiphuonglk33
  • Đá Nhỏ
  • Trúc Võ
  • dungfifteen
  • tuanthanh31121997
  • Nel Kezo
  • phuc9096
  • phamstars1203
  • conyeumeobeo
  • Conan Edogawa
  • Wade
  • Kẹo Vị Táo
  • khanhck2511
  • Hoài Nguyễn
  • nguyenbitit
  • aedungcuong
  • minh.phungxuan
  • ♥Ngọc Trinh♥
  • xuan.luc22101992
  • linh.phuong44
  • wonderwings007
  • Táo Dễ thương
  • maihd1980
  • Tiến Đạt
  • thuphuong.020298
  • Bi L-Lăng cmn N-Nhăng
  • xq.qn96
  • dynamite
  • gialinhgialinh
  • buituoi1999
  • Lam
  • ivymoonnguyen
  • Anthemy
  • hoangtouyen1997
  • ღTùngღ
  • Kim Lân
  • minhtu_dragon
  • bhtb55
  • nnm_axe
  • •⊱♦~~♣~~♦ ⊰ •
  • hungreocmg
  • candymapbmt
  • thanhkhanhhoa6631
  • bichlieukt89
  • truonghueman1998
  • dangvantho12as0
  • chausen855345
  • Moon
  • tramthiendhnmaths
  • thuhuong1607hhpt
  • phamthanhhaivy
  • Bùi Cao Thắng
  • mikako303
  • hiunguynminh565
  • Thanh dương
  • thuydungtran63
  • duongminh318
  • tran85295
  • miuvuivui12345678901
  • AvEnGeRs_A1
  • †¯™»_๖ۣۜUchiha_«™¯†
  • phnhung921
  • Bông
  • Jocker
  • hoangoanh2893
  • colianna123456789
  • vanloi07d1
  • muoivatly
  • ntnttrang1999
  • Jang Dang
  • hakunzee5897
  • Hakunzee
  • gió lặng
  • Phùng Xuân Minh
  • halo123
  • toantutebgbg
  • phuongthao202
  • nguyenhoang171197
  • xtuyen170391
  • nguyenminhquang_khung
  • nhuxuan2517
  • Nhok Clover
  • nguyenductuananh33
  • tattzgaruhp1997
  • camapheoga
  • sea dragon
  • anhmanhhy97
  • huynhduyvinh1305143
  • thehamngo
  • familylan1611
  • hanguyen19081999
  • kinhcanbeo
  • ngochungnguyen566
  • pasttrauma_sfiemth
  • huuthangn97
  • ngoxuanvinh2510
  • vukhiem9c
  • heocon.ntct.2606
  • laughjng_rungvang
  • bbb
  • cuccugato74
  • lauvanhoa
  • luongmauhoang
  • tuantanhtt1997
  • Sea Urchin march
  • Dark
  • trananh200033
  • nguyenvucnkt
  • thocon.kute1996
  • truong12321
  • YiYangQianXi
  • nguoicodanh.2812
  • Thanh Long
  • tazanchaudoc
  • kimbum98_1
  • huongquynh970
  • huongcandy0206
  • lan_pk1
  • nguyenngaa14
  • Nấm Di Động
  • 01235637736nhu
  • kieudungbt
  • trongtlt95
  • bahai1966
  • Nguyễn Ngô Anh Tuấn
  • Vân Anh
  • han
  • buivantoan2001
  • Ghost rider
  • lybeosun
  • Thỏ Kitty
  • toan1
  • hangmivn
  • Sam Tats
  • Nguyentuat123.TN
  • lexuanbao999
  • ๖ۣۜHoàng ๖ۣۜAnh
  • Nganiuyixing
  • anhvt93
  • Lê Việt Tùng
  • ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
  • navybui22
  • huytn01062015
  • Nghé Tồ
  • diemthuy852
  • phupro8c
  • duyducminh
  • aigoido333
  • lailathaonguyen
  • sliverstone101098
  • locnuoc
  • Ham Học Hỏi
  • fantastic dragon
  • Sea Dragon
  • Salim
  • meoconxichum103
  • phamduong1234
  • MiMi
  • Ruanyu Jian
  • no
  • www.thonuong8
  • NhẬt Nhật
  • Faker
  • Băng Hạ
  • •♥• Kem •♥•
  • lephamhieu
  • ๖ۣۜSầu
  • loclucian
  • wangjunkai2712
  • nhoxlobely_120
  • bangnk2000
  • vumaimq
  • Hoa Đỗ
  • huynhhoangphu.10k7
  • ๖ۣۜℒε✪ †hƠ ɳGây
  • pekien_nhatkimanh
  • hao5103946
  • lbxmanhnhat
  • thien01122
  • thanhanhhoang1998
  • vuvanduong12c108
  • huynhnhathuy
  • kaitou1475
  • lehien141099
  • noivoi_visaothe
  • ngoc.lenhu2005
  • Nguyễn Anh Tuấn
  • nguyenhoa2ctyd
  • Yatogami Tohka
  • alwaysmilewithyou2000
  • myha03032000
  • rungxanu30
  • DuDu
  • ๖ۣۜVua_๖ۣۜVô_๖ۣۜDanh_001
  • huyenthu2001
  • dungthuyimono
  • Mimileloveyou
  • anhthuka
  • rang
  • nghiyoyo
  • hieua1tt1
  • hieuprodzai1812
  • vuanhkiet0901
  • talavua11420000
  • ♫ Hằngg Ngaa ♫
  • Ngân Tít
  • nhok cute
  • tuankhanhspkt
  • satthu1909
  • hoang_tu_be_323
  • hoangviet25251
  • Komichan-jun
  • duongcscx
  • taanhdao16520
  • {Simon}_King_Math
  • ngaythu2dangso
  • Den Ly
  • nguyen0tien
  • linhsmile3012
  • nguyenquangtruonghktcute
  • Nguyễn Quang Tuấn
  • thom1712000
  • Jolly Nguyễn
  • NoRikAriN
  • duongrooneyhd1985
  • AKIRA
  • Đức Anh
  • thanhhuyen218969
  • Dương Yến Linh
  • 111aze
  • tclsptk25
  • Confusion
  • vanhuydk
  • ko tên ko tuổi
  • hoanghangnga2000
  • thaiviptn1201
  • Minh Princess ^^
  • CHỈ THÍCH ĂN
  • ❦Nắng❦
  • nhung
  • xonefmtop40
  • phammaianh23
  • crocodie
  • Thiên Bình
  • tam654834
  • tramylethi071
  • shinjadoo
  • minhcute_99
  • bualun000
  • tbao
  • Quên
  • chinh923
  • phanthilanphuong2011
  • Thùy Trang
  • maivyy
  • mitvodich
  • Minh................
  • ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
  • Âm thanh trong vỏ ốc
  • Vim
  • gaquay
  • thotrang
  • tùng mon
  • nguyenyen1510919311
  • buatruavuive
  • Buồn ơi là sầu !
  • caigihu123
  • FuYu
  • Tôi Tên "NHÁI"
  • taovipnhihue
  • vũ văn trí kiên
  • nhoxchuabietyeu_lk
  • Anti Bụt :))
  • ♓๖ۣۜMinh๖ۣۜTùng♓
  • duongtuyen198
  • nguyennhung
  • thuybaekons
  • ♦ ♣ ๖ۣۜTrung ♠ ♥
  • Tranthihahoe
  • Kiyoshi Bụt
  • ¸.•´¯)© Gái'ss Lùn'ss ©.•´¯)
  • milodatnguyen
  • Sherry
  • trunghen123
  • Hoàng Specter
  • lovesomebody121
  • Băng Băng
  • nguyenthiquynhphuong
  • No Friend
  • Kẻ lãng quên
  • ๖ۣۜConan♥doyleღ
  • huongcuctan
  • vuthithom0123
  • dfvxg
  • hgdam25
  • shadow night ^.^
  • Blood
  • Ngọc Ánh
  • dahoala
  • Bloody's Rose
  • Nguyễn Nhung
  • aki
  • h231
  • tuanhnguyen
  • congla118
  • lycaosam
  • hoangtiem 이
  • oanhsu
  • Lionel Messi
  • Kiên
  • phamthihoiphamthihoi
  • hanyu
  • dangqn1998
  • linhtung123hg
  • minhhuong25031999
  • Lion*City
  • hờ hờ
  • hienhoxinh1998
  • ๖ۣۜQueenღ
  • n.dang.giang39
  • loccoi
  • Trongduc0403
  • phuongthaoht99
  • Xiuu Ngố's
  • HMU-HY-18
  • Hieubui
  • huyevil
  • vuthithanhuyen2902
  • dungnguyen
  • ๖ۣۜLazer๖ۣۜD♥๖ۣۜGin
  • chamhocdethihsgtoan
  • languegework
  • danius99qn
  • vananh
  • ۞♠ξ__Judal__ζ♣۞
  • mimicuongtroi
  • ๖ۣۜHưng ๖ۣۜNhân
  • Team Nhà Quê ♥ ê ê ê
  • halieuanh1
  • 113
  • Bảo Trâm
  • LeQuynh
  • sakurachirido
  • ๖ۣۜAnubis๖ۣ
  • Hà Hoa
  • d.nguyn2603
  • chauchauchau98
  • 117
  • ღComPuncTionღ
  • cobannhungkhongdongian
  • tritanngo99
  • vanduongts
  • Linh bò
  • tasfuskau
  • thanhpre123
  • minh*mun
  • Đinh Thế Anh
  • thiendi.este
  • nhokbeo1212
  • cabvcahp
  • chibietngayhomnay
  • Vanus
  • ducnguyenminh777
  • Hongnhung08102015
  • tuyenluckyok
  • amthambenem661
  • ♥♥ Kiềuu HOa'ss ♥♥ Ahihi..
  • thanhduy.zad
  • thaongoc9a2001
  • Nghịch Tương Tư
  • phamcuongcuong98
  • linhtinh
  • phamdangkhoa2936
  • ngoctam9a8
  • Toán Cấp 3
  • ProGK
  • mxuyen7
  • W2S
  • Šamori
  • thantrunghieu2002
  • Sao Hỏa
  • chungphi18vn
  • ๖ۣۜEvilღ ๖ۣۜShadow
  • hoanglinhss20
  • ღLinhღ
  • lethitrang563
  • van.thuy.a1
  • thanhlong527
  • suongchieu770
  • sautaca
  • huydanso
  • thienbao25
  • banhe14031998
  • Ovember2003
  • hienct9x
  • ockimchun1999
  • phamloan 8800
  • ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫
  • Thang Ozil
  • Kaito kid
  • speedy2011vnn
  • minhhien23minhhien
  • i love you
  • _Lầy.
  • baongoc9912htn
  • phc_n17
  • ThomLongLongLong
  • rhaonamnhi2212
  • thietlactrung
  • mitsuo
  • ๖ۣۜDämonღ
  • ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩
  • ♉ Bingsu Pinacolada ❦ ❦
  • ♂KKK♂
  • ngocanhluong301
  • k10k11nk3b
  • tructrotreu123
  • khanh09031999
  • phanthixuanluong99
  • hoanga5k27
  • hieu31012003
  • acmadoiem251
  • tranthutrangtianc
  • adamkhoo
  • rianhdm
  • thangbptn
  • Tôi Tên Nhái
  • vuphuongnga810
  • Jin
  • gphong
  • phng_pepsi
  • Young Wild and Free
  • thong3q1999
  • hanghocgioi57
  • thienduonggia2811
  • solider76 :3
  • nguyenminhvip123
  • phuongtfboys2408
  • .
  • Uckute0x
  • Loan9aclo
  • nguyenngoctrangan.06.06
  • Đơn giản là yêu
  • johnnn509
  • Mình chia tay nhau đi
  • Nguyễn Đức Minh
  • Ryo
  • chỉ vậy thôi
  • cụ nhỏ
  • Update
  • w
  • ♥ Sweet Cherry ♥
  • egaehaneya
  • Trangg"xxx Kiềuu"xxx
  • ๖ۣۜTõn♥
  • thành khuất
  • huonghuong
  • thuyvan
  • nam
  • Mặt Trời Bé
  • phuonggay
  • nhokkaitoo
  • superduccong
  • thao24102
  • leanhtuan11a1
  • haotocbac
  • h
  • thainhung2905
  • oceancyclones
  • ntva
  • toilamothuyenthoai
  • DoTri69
  • bac1024578
  • denxam123
  • nhat6pth
  • conheo12c6
  • thanhnga759
  • vannamlan72
  • tuantudeptrai2000
  • giangzany369
  • thanhhuongthcsmpbd
  • Update
  • nhansubbq
  • lê việt anh
  • huyenthanhut9
  • Linh
  • muntrn789
  • ngu nhất xóm
  • Kunselly
  • quinceclara
  • chat tí nữa thôi đừng block nhé