Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, ta thu được: $x^2 + 1 \geq 2x$
$y^2 + 4 \geq 4y$
$z^2 + 1 \geq 2z$
Mà, $3y \geq x^2 + y^2 + z^2$, nên, $3y + 6 \geq x^2 + 1 + y^2 + 4 + z^2 +1 \geq 2x + 4y + 2z$
Hay, $6 \geq 2x + y + 2z$
Lại theo bất đẳng thức Cô-si, ta thu được:
$\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{x+1}$
$\frac{4}{(y+2)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{2}{y+2}=\frac{1}{\frac{y}{2}+1}$
$\frac{8}{(z+3)^2} + \frac{2}{4} \geq \frac{4}{z+3}$
Nên, $A + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = A + 1 \geq \frac{1}{x+1} + \frac{1}{\frac{y}{2}+1}+\frac{4}{z+3}$
Theo bất đẳng thức cộng mẫu số Svaxo, ta có:
$A + 1 \geq \frac{(1+1+2)^2}{x+1+\frac{y}{2}+1+z+3}=\frac{16}{x+\frac{y}{2}+z+5}=\frac{32}{2x+y+2z+10} \geq \frac{32}{10+6}=2$
Vậy, $A \geq 1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$; $y=2$ và $z=1$