A=a2−a+a+bb+c+b2−b+b+cc+a+c2−c+c+aa+bMà a+b+c=1 nên ta có:
A=a2−a+a+b1−a+b2−b+b+c1−b+c2−c+c+a1−c
A=−a−b−c+a+b1−b+b+c1−b+c+a1−c
Lại có a+b+c=1 :
A=−1+a+bb+c+b+cc+a+c+aa+b
A=−1+(a+b)2b2+ab+bc+ca+(b+c)2c2+ab+bc+ca+(c+a)2a2+ab+bc+ca
Áp dụng bđt Bunhia Copxki ta có:
A≥−1+(2a+2b+2c)2a2+b2+c2+3ab+3bc+3ca
A≥−1+4.(a+b+c)2(a+b+c)2+ab+bc+ca
Mà 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2 ( Biến đổi tương đương)
⇒ab+bc+ca≤(a+b+c)23
⇒A≥−1+4.(a+b+c)2(a+b+c)2+(a+b+c)23
A≥−1+3=2
Dấu bằng xảy ra ⇔ a=b=c=13