Dễ thấy rằng mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-5;-2)$ và bán kính $R=6$.Xét điểm $A(6;-5;-2)$, khi đó $AM=\sqrt{(x-6)^2+(y+5)^2+(z+2)^2}$.
Từ đó suy ra
$K=AM^2$.
Kiểm tra trực tiếp và thấy $A\in(S)$.
Suy ra, biểu thức $K$ đạt giá trị lớn nhất khi $AM$ đạt giá trị lớn nhất. Điều này xảy ra khi $AM$ là đường kính của mặt cầu $(S)$, hay $AM=12$. Khi đó, biểu thức $K$ đạt giá trị lớn nhất bằng $144$. Điều này xảy ra khi $M$ đối xứng với $A$ qua $I$, hay $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$, suy ra $M(-6;-5;-2)$.