Cả 2 bài này dùng tính chất sau, nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$ (bạn tự chứng minh)
$1.\;(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2$$\Leftrightarrow ab+bc+ca=0$
$\Leftrightarrow \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c=0\Leftrightarrow \frac 1{a^3}+\frac 1{b^3}+\frac 1{c^3}=\frac 3{abc}\Leftrightarrow \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}=3$
$2.\;a+b+c=0\Rightarrow a^2=(b+c)^2\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc$ tương tự cho 2 cái kia
Khi đó $P=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}=\frac 12 \cdot\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac 12\cdot\frac{3abc}{abc}=\frac 32$
$3.\;$ Do vai trò $x,y,z$ như nhau nên ko mất tính tổng quát, giả sử $x \ge y \ge z$
Trừ pt $(1),(3)$ cho nhautheo vế , ta được $\frac{2z^2}{1+z^2}-\frac{2x^2}{1+x^2}=x-y \ge 0$
$\Rightarrow \frac{z^2}{1+z^2} \ge \frac{x^2}{1+x^2}\Rightarrow z^2 \ge x^2$, dễ thấy $x,z \ge 0\Rightarrow z \ge x$
lại có $x \ge z\Rightarrow x=z\Rightarrow x=y=z$
Thay vào giải ta được hai nghiệm $x=y=z=1$ hoặc $x=y=z=0$