Giúp mình giải bài toán về chương nguyên hàm, tích phân

Question

Nguyên hàm của x/( (căn của x^2 -1)+x)

Thanh Long · Answer 1 · 6/6/2017 4:16:44 AM

Thực hiện một số phép biến đổi hàm số đã cho và được

$\int\limits\frac{x}{\sqrt{x^2-1}+x}dx=\int\limits\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{(\sqrt{x^2-1}+x)(x-\sqrt{x^2-1})}dx$

$=\int\limits (x^2-x\sqrt{x^2-1})dx$

$=\frac{x^3}{3}-\int\limits (\sqrt{x^2-1})xdx$ .

Đặt

$t=\sqrt{x^2-1}$ . Thế thì

$x^2=t^2+1$ ; suy ra

$d(x^2)=d(t^2+1)$ , hay

$xdx=tdt$ . Từ đó suy ra

$\int\limits (\sqrt{x^2-1})xdx=\int\limits t.tdt$

$=\int\limits t^2dt$

$=\frac{t^3}{3}+C$

$=\frac{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}{3}+C$ .

Thành thử

$\int\limits\frac{x}{\sqrt{x^2-1}+x}dx=\frac{x^3-(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}{3}-C$ .

1 Đáp án